título do slide 1 experimento fatorial 2 k completo

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1

EXPERIMENTO FATORIAL 2k COMPLETO

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2

Uma panificadora fornece pão italiano para vários supermercados de uma cidade. Um estudo experimental foi desenvolvido para avaliar os efeitos do fator A, altura da prateleira, cujos níveis são em baixo e no meio, e do fator B, largura da prateleira, com níveis regular e larga, nas vendas (em número de unidades) deste pão durante certo período.

Oito supermercados similares em termos de volume de vendas e clientela, foram utilizados no estudo. Cada um dos 4 tratamentos foi atribuído, ao acaso, a duas lojas de acordo com um planejamento completamente casualizado e a localização do pão em cada loja seguiu as especificações do tratamento para aquela loja. Os resultados estão apresentados a seguir

Exemplo 1

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3

Tabela: Vendas (em número de unidades) de pão italiano

Largura da parteleira (B)Altura da prateleira (A)

Em baixo No meio

Regular4743

6268

Larga4640

6771

Exemplo 1

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4

EXPERIMENTOS FATORIAIS

Experimento Fatorial Completo

São experimentos envolvendo dois ou mais fatores, em que todas as possíveis combinações de níveis de fatores são testadas.

Experimento Fatorial Fracionado

São experimentos envolvendo dois ou mais fatores, nos quais apenas uma fração do fatorial completo é testada. Envolvem uma quantidade menor de provas do que o correspondente completo, mas abrem mão de certa quantidade de informação.

São experimentos envolvendo 2 ou mais fatores, com o objetivo de examinar o efeitos dos fatores simultaneamente e possíveis interações entre eles, sobre a resposta de interesse. São muito utilizados na indústria e agronomia.

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5

EXPERIMENTOS FATORIAIS EM DOIS NÍVEIS

Desvantagem dos experimentos fatoriais

Número de combinações entre tratamentos cresce rapidamente quando o número de fatores e/ou o numero de níveis dos fatores aumentam.

Soluções

a) Considerar apenas um subconjunto de todos os possíveis tratamentos (experimentos fatoriais fracionários);

b) Considerar um número razoável de fatores e restringir o número de níveis de cada fator a 2.

Os dois níveis podem ser escolhidos de modo a cobrir, de algum forma, a amplitude (em termos práticos) dos níveis. Para alguns fatores, estes dois níveis são os únicos existentes.

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6

EXPERIMENTOS FATORIAIS 2k

São experimentos envolvendo k fatores, cada qual com 2 níveis.

Em experimentos fatoriais em dois níveis, a quantidade total de experiências (repetições) realizadas é sempre múltiplo de 2k.

a) Quantas experiências serão feitas se existirem dois fatores, em dois níveis, com duas repetições?

b) E se forem três fatores, em dois níveis, com cinco repetições?

Resp.: 22 x 2 = 4 x 2 = 8 observações.

Resp.: 23 x 5 = 8 x 5 = 40 observações.

Exemplos:

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7


Retomando o Exemplo 1 (panificadora), consideremos os dois fatores com dois níveis:

Fatores: A - Altura da prateleira: baixo e no meio B - Largura da prateleira: regular e larga Unidade experimental: loja (supermercado) Resposta: número de unidades vendidas de pão italiano

EXPERIMENTO 22 (k = 2 fatores)

Altura da prateleira (A)Largura da prateleira (B)

Regular (B0) Larga (B1)

Em baixo (A0) (1) (3)

No meio (A1) (2) (4)

A tabela para coleta dos resultados é da forma:

índice”0”: nível baixo

índice”1”: nível alto

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8


Atribuímos:

“-1” ao nível “0” e “+1” ao nível “1”


ou, alternativamente, escrevemos a tabela de contrastes, das quatro experiências possíveis, da seguinte forma:

B0 (-1) B1 (1)A0 (-1) (1) (3)A1 (1) (2) (4)

Experiência Tratamento A B AB Resposta Y

1 A0B0 -1 -1 +12 A1B0 +1 -1 -13 A0B1 -1 +1 -14 A1B1 +1 +1 +1

3

1

4

2

-1 +1

B

A

+1

-1

ou, ainda, graficamente:

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9


Para k = 3 fatores, (experimento 23)

Tabela de contrastes (oito experiências possíveis):

Experiência Tratamento A B C Respostas

1 A0B0C0 -1 -1 -12 A1B0C0 +1 -1 -13 A0B1C0 -1 +1 -14 A1B1C0 +1 +1 -15 A0B0C1 -1 -1 +16 A1B0C1 +1 -1 +17 A0B1C1 -1 +1 +18 A1B1C1 +1 +1 +1

Comentários:

Fator A alternância de níveis é de linha pra linhaFator B alternância de níveis é a cada 2 linhas (=21) Fator C alternância de níveis é a cada 4 linhas (=22)

Título do slide

10


Regra geral:

Tabela de contrastes com qualquer número de fatores k

Experiência 1ª. col

(A)2ª. col (B) 3ª. col (C) 4ª. col (D) ...

1 -1 -1 -1 -12 1 -1 -1 -13 -1 1 -1 -14 1 1 -1 -15 -1 -1 +1 -16 1 -1 +1 -17 -1 1 +1 -18 1 1 +1 -19 -1 -1 -1 +1

10 1 -1 -1 +1... ... ... ... ...

Alternância: 21

20

22

23

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11


EXERCÍCIO: O experimento 24 é aquele em que há quatro fatores, cada um com 2 níveis. Complete a tabela de contrastes para este experimento, similar aos casos anteriores.

Quantos tratamentos/experiências diferentes há num 24?Experiência Tratamento A B C D

1 A0B0C0D0 -1 -1 -1 __2 A1B0C0D0 1 -1 -1 __3 A0B1C0D0 -1 1 -1 __ 4 A1B1C0D0 1 1 -1 __5 A0B0C1D0 -1 -1 1 __6 A1B0C1D0 1 -1 1 __7 A0B1C1D0 -1 1 1 __8 A1B1C1D0 1 1 1 __9 A0B0C0D1 -1 -1 __ __

10 A1B0C0D1 1 -1 __ __11 A0B1C0D1 -1 1 __ __12 A1B1C0D1 1 1 __ __13 A0B0C1D1 -1 __ __ __14 A1B0C1D1 1 __ __ __15 A0B1C1D1 -1 __ __ __16 A1B1C1D1 1 __ __ __

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12



Considere, por exemplo, dois fatores, com repetição (3 réplicas):

Como determinar a significância estatística de um fator nos planejamentos fatoriais 2k?

Emprega-se a técnica de Análise de Variância (ANOVA)

B0 (-1) B1 (1)

A0 (-1)y111

y112

y113

y121

y122

y123

A1 (1)y211

y212

y213

y221

y222

y223

Qual é o modelo estatístico para representar estes dados?

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13

Modelo estatístico (22):

sendo

i : o índice para os níveis do fator A (i = 1, 2).j : o índice para os níveis do fator B (j = 1, 2).k : o índice para as réplicas (repetições), por tratamento (k = 1, 2, ..., r)

, )( ijkijjiijky

e

yijk: resposta da k-ésima réplica, no nível i de A e nível j de B.

i : efeito do i-ésimo nível de A.

j : efeito do j-ésimo nível de B.

()ij : efeito da interação entre i-ésimo nível de A e j-ésimo nível de B.

ijk : efeito aleatório da k-ésima observação do i-ésimo nível de A e j-ésimo nível de B.

EXPERIMENTOS FATORIAIS 22

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Fonte de Variação g.l. SQ QM Teste F

Fator A 1 SQA = r(efeito A)2 QMA= SQA =SA2 FA=QMA/QMEr

Fator B 1 SQB= r(efeito B)2 QMB= SQB =SB2 FB=QMB/QMEr

Interação AxB 1 SQAB= r(efeito AB)2 QMAB= SQAB =SAB2 FAB=QMAB/QMEr

Erro 4(r – 1) SQEr QMEr = SQEr/4(r – 1)= SE2

Total 4r - 1 SQT

A TABELA DE ANOVA para experimentos com 2 fatores fixos, com dois níveis cada e r réplicas é dada por:

ANOVA - 22

Como encontrar (estimar) o efeito de A, efeito de B e efeito de AB?


Título do slide

15

Exemplo 2: Uma certa pequena empresa, dispõe de dois tipos de máquinas (A0 e A1) para executar determinada tarefa, que pode ser realizada por dois operadores (B0 e B1). Deseja-se verificar se existem diferenças quanto às maquinas ou operadores, com relação ao tempo de execução da tarefa (em segundos).


operadores

máquinas B0 B1

A0

(1)

2022

(3)

4037

A1

(2)

5046

(4)

1215

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16

CÁLCULO DAS ESTIMATIVAS DOS EFEITOS


A análise fica facilitada utilizando-se a Tabela de Contrastes.

Experiência Trat. A B AB Resp (media) 1 A0B0 -1 -1 +1 21,02 A1B0 +1 -1 -1 48,03 A0B1 -1 +1 -1 38,54 A1B1 +1 +1 +1 13,5

”-“/2 29,75 34,50 43,25”+“/2 30,75 26,99 17,25

Efeito estim. +1,00 -8,50 -26,00

Título do slide

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Interpretação:

Quando o fator A vai do nível -1 (0) para o nível +1 (1), o tempo de operação aumenta, em média, de 1 s este é o efeito estimado do Fator A.

Regra geral: o efeito principal de A representa a mudança média na variável resposta quando A0 é mudado para A1.

Quando o fator B vai do nível -1 para o nível +1, o tempo de operação diminui, em média, de 8,50 s este é o efeito estimado do Fator B.

Analogamente, o efeito estimado da interação é de -26 s.

CÁLCULO DAS ESTIMATIVAS DOS EFEITOS

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18


O valor crítico da estatística F é F(1, 4; 5%) = 7,71.

Conclusão: verifica-se que há interação significativa e, portanto, esta precisa ser considerada na análise do delineamento.

No Exemplo 2, a tabela de ANOVA resulta em:


Fator A 1 2 2,0 FA = 0,42

Fator B 1 144,5 144,5 FB = 30,23

Interação AxB 1 1352,0 1352,0 FAB = 282,85

Erro 4 19,1 4,78

Total 7 1517,6

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19

MODELO DE PREVISÃO


Detectada a significância estatística do efeito de interação (no caso AB), é possível escrever o modelo de previsão que, para cada nível de A e de B, permite estimar a resposta média que se espera obter:

BABAij yyAB

yB

yA

yy .2

2

2

ˆ ..

EfeitoEfeitoEfeito

em que,

yA e yB assumem valores -1 ou +1, é a média geral de todas as observações...y

Para os dados do experimento do Exemplo 2 temos:

BABAij yyyyy .00,1325,450,025,30ˆ

Título do slide

20

Comentários:


a) Os valores dos coeficientes são iguais a (efeito/2), pois os níveis variam de –1 a +1, ou seja, num total de 2 unidades;

b) Quando há interação, além do próprio efeito desta, devem entrar também os efeitos principais dos fatores principais que compõem a interação.

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21

ANÁLISE DE RESÍDUOS


ijijij yye ˆ

Obtido o modelo de previsão, os resíduos são obtidos pela diferença entre o valor observado, yij , e o valor fornecido pelo modelo de previsão, , ou seja,ijy

ijy

Para o Exemplo 2, temos:

Experiência A B yij eij

1 -1 -1 20; 22 21,0 -1,0; +1,0

2 +1 -1 50; 46 48,0 +2,0; -2,0

3 -1 +1 40; 37 38,5 +1,5; -1,54 +1 +1 12; 15 13,5 -1,5; +1,5

Resíduos grandes indicam presença de dados suspeitos, enquanto que dados não aleatórios podem indicar a influência

de um outro fator não considerado no experimento.

Título do slide

22



Em geral, é feita uma análise gráfica dos residuos:

Para que o modelo seja considerado adequado, os resíduos devem apresentar-se distribuídos aleatoriamente em torno do valor “0”

-1.5 -0.5 0.5 1.5

-2

-1

0

1

2

z

Res

íduo

PPN dos Resíduos

-2 -1 0 1 2

0

1

2

3

Resíduo

Fre

qüên

cia

Histograma dos Resíduos

1 2 3 4 5 6 7 8

-5

0

5

Observação

Res

íduo

Gráfico dos Resíduos

X=0.000

LSC=5,889

LIC=-5,889

10 20 30 40 50

-2

-1

0

1

2

Ajuste

Res

íduo

Resíduos x Ajuste

Título do slide

23


Experimento 23 é aquele em que há três fatores, cada um com 2 níveis.

A0 (-1) A1 (+1)B0 (-1) B1 (+1) B0 (-1) B1 (+1)

C0 (-1) (1) (3) (2) (4)C1 (+1) (5) (7) (6) (8)

Tabela de contrastes:

Experiência Tratamento A B C AB AC BC ABC Respostas 1 A0B0C0 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -12 A1B0C0 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +13 A0B1C0 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +14 A1B1C0 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -15 A0B0C1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +16 A1B0C1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -17 A0B1C1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -18 A1B1C1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

Título do slide

24


ou, ainda, graficamente:

Título do slide

25



Fator A 1 SQA = 2r(efeito A)2 QMA= SQA =SA2 FA=SA

2/SE2

. . .

Fator C 1 SQB= 2r(efeito C)2 QMB= SQC=SC2 FB=SC

2/SE2

Interação AxB 1 SQAB= 2r(efeito AB)2 QMAB= SQAB =SAB2 FAB=SAB

2/SE2

. . . . . . . . . . . . . . .

Interação AxBxC 1 SQABC= 2r(efeito ABC)2 QMABC= SQABC =SABC2 FABC=SABC

2/SE2

Erro 8(r – 1) SQE= SQT-SQA-…-SQABC SE2 = SQEr/8(r – 1)

Total 8r - 1 SQT= (8r – 1)ST2

Tabela de ANOVA – Delineamento Fatorial 23

Obs.: Em experimentos 2k cada soma de quadrados é calculada pelo quadrado do correspondente efeito multiplicado por 2k-2.

Título do slide

26

Exemplo 3: Pilhas alcalinas podem ser montadas em dois diferentes tipos de linha (automática ou semi-automática), utilizando-se hidróxido de potássio ou hidróxido de índio como eletrólito e, eletrodos planos ou cilíndricos. Todos estes fatores podem ter impacto na impedância da pilha elétrica, comprometendo a sua vida útil.


Cada combinação de níveis dos fatores foi repetida quatro vezes (4 réplicas) e os resultados estão na tabela a seguir.

SIGNIFICADO

AA0 Linha de montagem semi-automáticaA1 Linha de montagem automática

BB0 Hidróxido de potássioB1 Hidróxido de índio

CC0 Eletrodo planoC1 Eletrodo cilíndrico

Título do slide

27


ou, equivalentemente, pela tabela:

A0 A1

B0 B1 B0 B1

C0 C1 C0 C1 C0 C1 C0 C1

-0,1 1,1 0,6 0,7 0,6 1,9 1,8 2,11,0 0,5 1,0 -0,1 0,8 0,7 2,1 2,30,6 0,1 0,8 1,7 0,7 2,3 2,2 1,9-0,1 0,7 1,5 1,2 2,0 1,9 1,9 2,2

A0 A1

B0 B1 B0 B1

C0

(1)

-0,11,00,6-0,1

(3)

0,61,00,81,5

(2)

0,60,80,72,0

(4)

1,82,12,21,9

C1

(5)

1,10,50,10,7

(7)

0,7-0,11,71,2

(6)

1,90,72,31,9

(8)

2,12,31,92,2

Título do slide

28


Tabela de contrastes (Exemplo 3):

Experiência A B C AB AC BC ABC Resp. media1

2

3

4

5

6

7

8

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

-1

-1

+1

+1

+1

+1

+1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

+1

-1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

+1

+1

-1

-1

-1

-1

+1

+1

-1

+1

+1

-1

+1

-1

-1

+1

0,350

1,025

0,975

2,000

0,600

1,700

0,875

2,125S “-“/4 0,70 0,92 1,09 1,15 1,13 1,32 1,23S “+”/4 1,72 1,50 1,33 1,27 1,29 1,10 1,19

Efeito estim 1,02 0,58 0,24 0,12 0,16 -0,22 -0,04

Título do slide

29


Exemplo 2: Tabela de ANOVA (slide 28)

Fonte g.l. SQ QM Teste FA 1 8,32 8,32 32,00

B 1 2,69 2,69 10,35

C 1 0,46 0,46 1,77

AxB 1 0,12 0,12 0,46

AxC 1 0,20 0,20 0,77

BxC 1 0,39 0,39 1,50

AxBxC 1 0,01 0,01 0,04Erro 24 6,32 0,26Total 31 18,60 0,60

O valor crítico da estatística F é F(1, 24; 5%) = 4,26.

Conclusão: O resultado da ANOVA revela que: Os fatores A (linha de montagem) e B (hidróxido) são significativos.

O fator C e todas as interações não são significativos.

Título do slide

30


Nesse experimento como somente os fatores A e B resultaram estatisticamente significantes, o modelo de previsão é:

BAij yyy .29,0.51,0206,1ˆ

em que,

yA e yB assumem valores -1 ou +1, é a média geral de todas as observações...y


Título do slide

31


Residuos Exemplo 2:

Título do slide

32


EXPERIMENTOS 3k

O desenvolvimento dos experimentos com dois níveis pode ser estendido para qualquer quantidade de fatores. No entanto, o maior problema que se enfrenta é a quantidade total de experiências a ser feita e, consequentemente, o seu custo.

Além dos experimentos 2k existem situações em que se faz necessário o emprego de experimentos do tipo 3k, ou seja, experimentos em que os k fatores envolvidos apresentam três níveis diferentes.

Título do slide

33


EXPERIMENTOS 3k

Experiência Tratamento A B Respostas

1 A0B0 0 02 A1B0 1 03 A2B0 2 04 A0B1 0 15 A1B1 1 16 A2B1 2 17 A0B2 0 28 A1B2 1 29 A2B2 2 2

Para k = 2 fatores, (experimento 32)

Tabela de contrastes (nove experiências possíveis):

título do slide 1 experimento fatorial 2 k completo

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