Download - Séries numéricas Convergência absoluta
Séries numéricasConvergência absoluta
Prof.a Priscila Savulski FerreiraUniversidade Tecnológica Federal do Paraná
Cálculo Integral
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 1 / 25
Série absolutamente convergente
DefiniçãoDizemos que uma série
∑an é absolutamente convergente
quando∑|an| é convergente.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 2 / 25
absolutamente convergente⇒ convergente
TeoremaSe∑
an é absolutamente convergente, então a série é tambémconvergente.
Dem. : Note que 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|.
Como∑|an| é convergente, temos pelo critério de comparação que∑
(an + |an|) converge.
Logo, pela Propriedade da Soma,∑
an =∑
(an + |an|)− |an| converge. ∗
Nota : Este teorema pode auxiliar a verificação de convergência quando temalternância de sinal.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 3 / 25
absolutamente convergente⇒ convergente
TeoremaSe∑
an é absolutamente convergente, então a série é tambémconvergente.
Dem. : Note que 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|.
Como∑|an| é convergente, temos pelo critério de comparação que∑
(an + |an|) converge.
Logo, pela Propriedade da Soma,∑
an =∑
(an + |an|)− |an| converge. ∗
Nota : Este teorema pode auxiliar a verificação de convergência quando temalternância de sinal.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 3 / 25
absolutamente convergente⇒ convergente
TeoremaSe∑
an é absolutamente convergente, então a série é tambémconvergente.
Dem. : Note que 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|.
Como∑|an| é convergente, temos pelo critério de comparação que∑
(an + |an|) converge.
Logo, pela Propriedade da Soma,∑
an =∑
(an + |an|)− |an| converge. ∗
Nota : Este teorema pode auxiliar a verificação de convergência quando temalternância de sinal.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 3 / 25
absolutamente convergente⇒ convergente
TeoremaSe∑
an é absolutamente convergente, então a série é tambémconvergente.
Dem. : Note que 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|.
Como∑|an| é convergente, temos pelo critério de comparação que∑
(an + |an|) converge.
Logo, pela Propriedade da Soma,∑
an =∑
(an + |an|)− |an| converge. ∗
Nota : Este teorema pode auxiliar a verificação de convergência quando temalternância de sinal.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 3 / 25
absolutamente convergente⇒ convergente
TeoremaSe∑
an é absolutamente convergente, então a série é tambémconvergente.
Dem. : Note que 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|.
Como∑|an| é convergente, temos pelo critério de comparação que∑
(an + |an|) converge.
Logo, pela Propriedade da Soma,∑
an =∑
(an + |an|)− |an| converge. ∗
Nota : Este teorema pode auxiliar a verificação de convergência quando temalternância de sinal.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 3 / 25
Volta do Teorema
convergente⇒ absolutamente convergente ?
Não!!!
Série harmônica alternada é convergente, MAS não é absolutamenteconvergente.
Estes tipos de séries recebem um nome especial:
DefiniçãoQuando
∑an é convergente mas não é absolutamente
convergente dizemos que esta é condicionalmente convergente.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 4 / 25
Volta do Teorema
convergente⇒ absolutamente convergente ?
Não!!!
Série harmônica alternada é convergente, MAS não é absolutamenteconvergente.
Estes tipos de séries recebem um nome especial:
DefiniçãoQuando
∑an é convergente mas não é absolutamente
convergente dizemos que esta é condicionalmente convergente.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 4 / 25
Volta do Teorema
convergente⇒ absolutamente convergente ?
Não!!!
Série harmônica alternada é convergente, MAS não é absolutamenteconvergente.
Estes tipos de séries recebem um nome especial:
DefiniçãoQuando
∑an é convergente mas não é absolutamente
convergente dizemos que esta é condicionalmente convergente.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 4 / 25
Volta do Teorema
convergente⇒ absolutamente convergente ?
Não!!!
Série harmônica alternada é convergente, MAS não é absolutamenteconvergente.
Estes tipos de séries recebem um nome especial:
DefiniçãoQuando
∑an é convergente mas não é absolutamente
convergente dizemos que esta é condicionalmente convergente.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 4 / 25
Volta do Teorema
convergente⇒ absolutamente convergente ?
Não!!!
Série harmônica alternada é convergente, MAS não é absolutamenteconvergente.
Estes tipos de séries recebem um nome especial:
DefiniçãoQuando
∑an é convergente mas não é absolutamente
convergente dizemos que esta é condicionalmente convergente.
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Exemplo
Verifique se a série converge ou diverge∑ (−1)n+1
n(n + 1).
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Exercício
Verifique se a série converge ou diverge∑ (−1)n
n2 .
Momento de tentar! Pause o vídeo!
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Exercício – reposta
Verifique se a série converge ou diverge∑ (−1)n
n2 .
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Testes de convergência absoluta.
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Teste da razão
Teste da razão ou de D’Alembert
Seja∑
an com an 6= 0 para todo n ∈ IN e limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = L. Então
L < 1⇒∑
an é absolutamente conv. ⇒∑
an é convergente;
L > 1⇒∑
an é divergente;
L = 1⇒ nada se conclui.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 9 / 25
Exemplo
Verifique se a série convergente ou divergente∑ an
n!.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 10 / 25
Exercício
Verifique se a série convergente ou divergente∑ n!
nn .
Momento de tentar! Pause o vídeo!
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 11 / 25
Exercício – desenvolvimento
Verifique se a série convergente ou divergente∑ n!
nn .
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 12 / 25
Exemplo
Verifique para que valores de x a série converge:
Função de Bessel de ordem 0: J0(x) =∞∑
n=0
(−1)nx2n
22n(n!)2 .
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 13 / 25
Teste da raíz
Teste da raíz
Seja∑
an e limn→∞
n√|an| = L. Então
L < 1⇒∑
an é absolutamente conv. ⇒∑
an é convergente;
L > 1⇒∑
an é divergente;
L = 1⇒ nada se conclui.
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Exemplo
Verifique se a série convergente ou divergente∑(
7n2 − 2n3n2 + 1
)n
.
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Teste da integral
Operador integral⇒ para função não-negativa, o cálculo de áreas.
Figura: Soma inferior S` . Fonte STEWART
1.1 +122 .1 +
132 .1 +
142 .1 + . . . =
∑ 1n2 .
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 16 / 25
Teste da integral
Operador integral⇒ para função não-negativa, o cálculo de áreas.
Figura: Soma inferior S` . Fonte STEWART
1.1 +122 .1 +
132 .1 +
142 .1 + . . . =
∑ 1n2 .
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Teste da integral
Pelo o que vimos na parte de integrais, temos que a série converge, pois
S` ≤∫ b
af (x)dx
Assim,
1.1 +122 .1 +
132 .1 +
142 .1 + . . . ≤ 1 +
∫ ∞1
f (x)dx = 2.
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Teste da integral
Vamos utilizar integrais para verificar a divergência de uma série também.
Figura: Soma superior Su . Fonte STEWART
1.1 +1√2.1 +
1√3.1 +
1√4.1 + . . . =
∑ 1√n
1.1 +1√2.1 +
1√3.1 +
1√4.1 + . . . ≤ 1 +
∫ ∞1
f (x)dx =∞.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 18 / 25
Teste da integral
Vamos utilizar integrais para verificar a divergência de uma série também.
Figura: Soma superior Su . Fonte STEWART
1.1 +1√2.1 +
1√3.1 +
1√4.1 + . . . =
∑ 1√n
1.1 +1√2.1 +
1√3.1 +
1√4.1 + . . . ≤ 1 +
∫ ∞1
f (x)dx =∞.
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Teste da integral
Vamos utilizar integrais para verificar a divergência de uma série também.
Figura: Soma superior Su . Fonte STEWART
1.1 +1√2.1 +
1√3.1 +
1√4.1 + . . . =
∑ 1√n
1.1 +1√2.1 +
1√3.1 +
1√4.1 + . . . ≤ 1 +
∫ ∞1
f (x)dx =∞.
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Teste da integral
Teste da integralSeja
∑an e an ≥ 0 para todo n > n0 ∈ IN.
Considere f : [n0,+∞)→ IR contínua, decrescente e positivacom f (n) = an para todo n > n0 ∈ IN. Então
a)∫ ∞
n0
f (x)dx converge⇒∑
an converge.
b)∫ ∞
n0
f (x)dx diverge⇒∑
an diverge.
(ideia) a) Note que∑
an =
n0∑k=0
ak +∞∑
k=n0+1
ak.
Por outro lado, pelas somas parciais,
snn0=
n∑k=n0+1
ak ≤∫ n
n0
f (x)dx ≤∫ ∞
n0
f (x)dx.
Como∫ ∞
n0
f (x)dx converge, temos que a sequência (snn0) é crescente e
limitada, portanto convergente.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 19 / 25
Teste da integral
Teste da integralSeja
∑an e an ≥ 0 para todo n > n0 ∈ IN.
Considere f : [n0,+∞)→ IR contínua, decrescente e positivacom f (n) = an para todo n > n0 ∈ IN. Então
a)∫ ∞
n0
f (x)dx converge⇒∑
an converge.
b)∫ ∞
n0
f (x)dx diverge⇒∑
an diverge.
(ideia) a) Note que∑
an =
n0∑k=0
ak +
∞∑k=n0+1
ak.
Por outro lado, pelas somas parciais,
snn0=
n∑k=n0+1
ak ≤∫ n
n0
f (x)dx ≤∫ ∞
n0
f (x)dx.
Como∫ ∞
n0
f (x)dx converge, temos que a sequência (snn0) é crescente e
limitada, portanto convergente.
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Teste da integral
Teste da integralSeja
∑an e an ≥ 0 para todo n > n0 ∈ IN.
Considere f : [n0,+∞)→ IR contínua, decrescente e positivacom f (n) = an para todo n > n0 ∈ IN. Então
a)∫ ∞
n0
f (x)dx converge⇒∑
an converge.
b)∫ ∞
n0
f (x)dx diverge⇒∑
an diverge.
(ideia) a) Note que∑
an =
n0∑k=0
ak +
∞∑k=n0+1
ak.
Por outro lado, pelas somas parciais,
snn0=
n∑k=n0+1
ak ≤∫ n
n0
f (x)dx ≤∫ ∞
n0
f (x)dx.
Como∫ ∞
n0
f (x)dx converge, temos que a sequência (snn0) é crescente e
limitada, portanto convergente.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 19 / 25
Teste da integral
Teste da integralSeja
∑an e an ≥ 0 para todo n > n0 ∈ IN.
Considere f : [n0,+∞)→ IR contínua, decrescente e positivacom f (n) = an para todo n > n0 ∈ IN. Então
a)∫ ∞
n0
f (x)dx converge⇒∑
an converge.
b)∫ ∞
n0
f (x)dx diverge⇒∑
an diverge.
(ideia) a) Note que∑
an =
n0∑k=0
ak +
∞∑k=n0+1
ak.
Por outro lado, pelas somas parciais,
snn0=
n∑k=n0+1
ak ≤∫ n
n0
f (x)dx ≤∫ ∞
n0
f (x)dx.
Como∫ ∞
n0
f (x)dx converge, temos que a sequência (snn0) é crescente e
limitada, portanto convergente.Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 19 / 25
Exemplo
Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1
n2 + 1.
Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an
é contínua, decrescente e positiva.
Considere f (x) =1
x2 + 1, temos que é contínua e positiva.
Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x(x2 + 1)2 < 0 para
todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.
Como∫ ∞
1
1x2 + 1
= limt→∞
(arctg t − π/4) = π/2− π/4 = π/2 convergente,
temos pelo teste da integral que,∑ 1
n2 + 1converge.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 20 / 25
Exemplo
Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1
n2 + 1.
Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an
é contínua, decrescente e positiva.
Considere f (x) =1
x2 + 1, temos que é contínua e positiva.
Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x(x2 + 1)2 < 0 para
todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.
Como∫ ∞
1
1x2 + 1
= limt→∞
(arctg t − π/4) = π/2− π/4 = π/2 convergente,
temos pelo teste da integral que,∑ 1
n2 + 1converge.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 20 / 25
Exemplo
Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1
n2 + 1.
Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an
é contínua, decrescente e positiva.
Considere f (x) =1
x2 + 1, temos que é contínua e positiva.
Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x(x2 + 1)2 < 0 para
todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.
Como∫ ∞
1
1x2 + 1
= limt→∞
(arctg t − π/4) = π/2− π/4 = π/2 convergente,
temos pelo teste da integral que,∑ 1
n2 + 1converge.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 20 / 25
Exemplo
Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1
n2 + 1.
Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an
é contínua, decrescente e positiva.
Considere f (x) =1
x2 + 1, temos que é contínua e positiva.
Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x(x2 + 1)2 < 0 para
todo x > 0.
Logo o teste da integral pode ser utilizado.
Como∫ ∞
1
1x2 + 1
= limt→∞
(arctg t − π/4) = π/2− π/4 = π/2 convergente,
temos pelo teste da integral que,∑ 1
n2 + 1converge.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 20 / 25
Exemplo
Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1
n2 + 1.
Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an
é contínua, decrescente e positiva.
Considere f (x) =1
x2 + 1, temos que é contínua e positiva.
Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x(x2 + 1)2 < 0 para
todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.
Como∫ ∞
1
1x2 + 1
= limt→∞
(arctg t − π/4) = π/2− π/4 = π/2 convergente,
temos pelo teste da integral que,∑ 1
n2 + 1converge.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 20 / 25
Exemplo
Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1
n2 + 1.
Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an
é contínua, decrescente e positiva.
Considere f (x) =1
x2 + 1, temos que é contínua e positiva.
Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x(x2 + 1)2 < 0 para
todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.
Como∫ ∞
1
1x2 + 1
= limt→∞
(arctg t − π/4) = π/2− π/4 = π/2
convergente,
temos pelo teste da integral que,∑ 1
n2 + 1converge.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 20 / 25
Exemplo
Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1
n2 + 1.
Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an
é contínua, decrescente e positiva.
Considere f (x) =1
x2 + 1, temos que é contínua e positiva.
Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x(x2 + 1)2 < 0 para
todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.
Como∫ ∞
1
1x2 + 1
= limt→∞
(arctg t − π/4) = π/2− π/4 = π/2 convergente,
temos pelo teste da integral que,∑ 1
n2 + 1converge.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 20 / 25
Exercício
Verifique se a série convergente ou divergente∑
n2e−n3.
Momento de tentar! Pause o vídeo!
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 21 / 25
Exercício – desenvolvimento
Verifique se a série convergente ou divergente∑
n2e−n3.
Note que a função f (x) = x2e−x3é positiva, contínua e decrescente para todo
x > 3√
2/3.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 22 / 25
Exercício
Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1√
n.
Momento de tentar! Pause o vídeo!
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 23 / 25
Exercício – desenvolvimento
Verifique se a série convergente ou divergente∑ 1√
n.
Note que a função f (x) =1√x
é positiva, contínua e decrescente.∫ ∞1
x−1/2dx =∞, logo pelo teste da integral∑ 1√
ndiverge.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 24 / 25
Referências
Guidorizzi, H. L., Um curso de Cálculo, V. 4,Livros Técnicos e Científicos Ed. Ltda, 5a edição (2002).
Stewart, J., Cálculo, V. 2,São Paulo: Cengage Learning, 7a edição (2013).
Lima, Elon L., , Análise Real, V. 1,IMPA: RJ, 12a edição (2017).
Lima, Elon L., , Curso de Análise, V. 1,IMPA: RJ, 14a edição (2017).
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 25 / 25