Download - Solução de 118 questões
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PROF: EDUARDO TRINDADE
REVISÃO
ENEM / UEPA / UFPA / UFRA
Questão 01 – UFPA (Conjunto)
Feita uma pesquisa entre 100 alunos, do ensino médio, acerca
das disciplinas: português, geografia e história constatou-se que
65 gostam de português, 60 gostam de geografia, 50 gostam de
história, 35 gostam de português e geografia, 30 gostam de
geografia e história, 20 gostam de história e português e 10
gostam dessas três disciplinas. O número de alunos que não
gosta de nenhuma dessas disciplinas é:
a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20
Solução
Português: 65; Geografia: 60; História: 50; Português e
Geografia: 35; Geografia e História: 30; História e Português:
20; Português, Geografia e História: 10.
U = 20 + 25 + 5 + 10 + 10 + 20 + 10 + x ⟹ 100 = 100 + x
⟹ x = 0.
Questão 02 – ENEM (Conjuntos)
Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes
catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como
alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e
ocupa uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para
diminuir os gastos com originais de impressão.
Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40
páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica
que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas
em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4
também estarão em C1.
Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu
que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total
de originais de impressão igual a:
a) 135 b) 126 c) 118 d) 114 e) 110
Solução
Usando o diagrama, temos:
O número total de originais de impressão necessários é:
U = 38 + 6 + 34 + 2 + 4 + 1 + 33 = 40 + 40 + 38 = 118.
Questão 03 – UEPA (F. 1º Grau)
Numa concessionária, o departamento de vendas procurou
relacionar linearmente a quantidade x de carros álcool vendidos
com o preço y de cada um. Para tanto, verificou que: quando o
carro a álcool era oferecido a R$ 25.000,00, nenhum era
vendido, porém, quando o preço passava a ser de R$ 20.000,00;
10 carros a álcool eram vendidos. Nessas condições, a relação
encontrada entre x e y foi:
a) 050000500 yx b) 0500002500 yx
c) 025000500 yx d) 025000500 yx
e) 0500002 yx
Solução
i) (x, y) = (quantidade, preço) ⟹ (x, y) = (0, 25.000).
bxay b0000.25 000.25b .
ii) (x, y) = (quantidade, preço) ⟹ (x, y) = (10, 20.000).
bxay ba 10000.20 .
Usando (i) em (ii), temos:
000.2510000.20 a 000.25000.2010a
10
000.5a 500a .
Logo, a relação entre x e y basea-se em:
baxy 25000500xy 0000.25500 yx .
Questão 04 – UFF (F. do 1º Grau)
Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis
fósseis é o SO2 (dióxido de enxofre). Uma pesquisa realizada na
Noruega e publicada na revista “Science” em 1972 concluiu que
o número (N) de mortes por semana, causadas pela inalação de
SO2, estava relacionado com a concentração média (C), em
mg/m3, do SO2 conforme o gráfico.
Os pontos (C, N) dessa relação estão sobre o segmento de reta da
figura. Com base nos dados apresentados, a relação entre e C
(100 ≤ C ≤ 700) pode ser dada por:
a) C 700100N b) C 03,097N c) C 60097N
d) C 03,094N e) C 94115N
Solução
bCaNbaxy .
ba
ba
10097
700115
ba
ba
10097
700115 a60018
100
3a 03,0a .
• b03,010097 397b 94b .
Logo, 9403,0 CN .
Questão 05 – ENEM (F. do 1º Grau)
O gráfico abaixo, obtido a partir
de dados do Ministério do Meio
Ambiente, mostra o crescimento
do número de espécies da fauna
brasileira ameaçadas de extinção.
Se mantida, pelos próximos
anos, a tendência de crescimento
mostrada no gráfico, o número
de espécies ameaçadas de
extinção em 2011 será igual a:
a) 465 b) 493 c) 498 d) 538 e) 699
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Solução
• m1 e m2 são os coeficientes angulares da reta.
Como m1 e m2 pertencem a mesma reta, eles são iguais.
Logo, (anos)
espécies) º( 21
x
nymm
.
20072011
461
19832007
239461 x
4
461
24
222 x
4
461
12
111 x 461
3
111x 461
3
111x
3
1383111x
3
1494x 498x .
Solução por PA (Progressão Aritmética)
Sejam:
1983: a1 = 239; 1987: a2 = ?; 1991: a3 = ?; 1995: a4 = ?; 1999: a5
= ?; 2003: a6 = ?; 2007: a7 = 461; 2011: a8 = ?;
rnaan )1(1 ra 72398 e 4617 a . Logo,
78 aar 4617239 rr 2227r 37r .
Portanto, em 2011, temos:
3772398a 2592398a 4988 a espécies
ameaçadas de extinção.
Questão 06 – UFPA (F. 2º Grau)
Um cidadão, ao falecer, deixou uma herança de R$ 200.000,00
para ser distribuída, de maneira equitativa, entre os seus x filhos.
No entanto, três desses filhos renunciaram às suas respectivas
partes nessa herança, fazendo com que os demais x – 3 filhos,
além do que receberiam normalmente, tivessem um adicional de
R$15.000,00 em suas respectivas partes dessa herança. Portanto,
o número x de filhos do referido cidadão é
a) 8 b) 10 c) 5 d) 4 e) 7
Solução
x: é o número de filhos; y: o valor que cada um recebeu.
yx
000.200xy000.200 .
000.153
000.200y
x )3)(000.15(000.200 xy
000.45000.153000.200 xyxy
000.45000.153000.200000.200 xy
000.45000.15000.200
30 xx
000.15]000.45000.15000.6000[ 2 xx
04032 xx
acb 42 1609 169 ;
a
bx
2
2
133
5
8
2
1
x
x.
Questão 07 – ENEM (F. do 2º Grau)
Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a
R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada
centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100
litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do
álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando x
o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e
V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool,
então a expressão que relaciona V e x é:
a) 25010000 xxV . b)
25010000 xxV .
c)
25015000 xxV . d) 25015000 xxV .
e) 25015000 xxV .
Solução
Sendo x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada
litro, tal valor, em reais, é 0,01x.
• O preço de cada litro de álcool, em reais, é 1,50 − 0,01x;
• A quantidade de álcool vendida por dia, em litros, é 10.000 +
100x.
Logo, o valor arrecadado, em reais, é
V = (10000 + 100 x)·(1,50 – 0,01 x) ⟹ V = 15000 + 150 x – 100
x – x2
⟹ V = 15000 + 50 x – x2 ; 0 ≤ x ≤ 150.
Questão 08 – UDESC (F. do 2º Grau)
Uma fábrica de determinado componente eletrônico tem a receita
financeira dada pela função 30202)( 2 xxxR e o custo de
produção dada pela função 30123)( 2 xxxC , em que a
variável x representa o número de componentes fabricados e
vendidos. Se o lucro é dado pela receita financeira menos o custo
de produção, o número de componentes que deve ser fabricado e
vendido para que o lucro seja máximo é:
a) 32 b) 96 c) 230 d) 16 e) 30
Solução
)()()( xCxRxL
)30123(30202)( 22 xxxxxL
3012330202)( 22 xxxxxL
6032)( 2 xxxL
a
bxv
2
2
32vx 16vx .
Questão 09 – UFPA (F. 2º Grau)
O vértice da parábola cbxaxy 2 é o ponto (–2, 3).
Sabendo que 5 é a ordenada onde a curva corta o eixo vertical,
podemos afirmar que:
a) a > 1, b < 1 e c < 4. b) a > 2, b > 3 e c > 4.
c) a < 1, b < 1 e c > 4. d) a < 1, b > 1 e c > 4.
e) a < 1, b < 1 e c < 4
Solução
Como 5)0()( 2 fcbxaxxf , temos que 5c . A
abscissa do vértice é a
bxv
2
a
b
22 ab 4 .
Como vv yxf )( 3)2( f , então: cbxxay vvv 2)( .
5243 ba 224 ba 12 ba .
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Resolvendo o sistema linear
12
4
ba
ab, obtemos
2
1a ,
2b .
Logo, a < 1, b > 1 e c > 4.
Questão 10 – FCC-SP (F. 2º Grau)
Um menino está à distância 6 de um muro de altura 3 e chuta
uma bola que vai bater exatamente sobre o muro. Se a equação
da trajetória da bola em relação ao sistema de coordenadas
indicado pela figura é xaxay )41(2 , a altura máxima
atingida pela bola é:
a) 5 b) 4,5 c) 4 d) 3,5 e) 3
Solução
Como o ponto P(6, 3) pertence ao gráfico, logo:
xaxay )41(2 6)41()6(3 2 aa
aa 2463634
1312 aa .
Substituindo 4
1a na função, temos:
xaxay )41(2x
xy 2
4
2
.
A altura máxima atingida é:
a
yv4
a
acbyv
4
42
4
14
22
vy
4vy metros.
Questão 11 – UEPA (PA)
Texto
“Todo santo dia, 39 mil toneladas de comida, em condições de
alimentar um ser humano, alimentam uma outra boca, a do lixo.
O desperdício é gerado em restaurantes, mercados, feiras,
fábricas, quitandas, açougues e até mesmo dentro de nossa
própria casa”. Fonte: http://www.revelacaoonline.uniube.br/geral03/ fome.html
Supondo que um restaurante com um ano de existência jogue
fora no lixo certa quantidade de comida da seguinte forma: no 1º
mês, 2 kg; no 2º mês, 4 kg; no 3º mês, 6 kg e assim por diante. A
quantidade total de comida jogada no lixo pelo restaurante
durante esse ano foi de:
a) 90 kg b) 130 kg c) 156 kg d) 160 kg e) 178 kg
Solução
Considerando a sequência: (2 kg, 4 kg, 6 kg, ... , ?), onde:
a1 = 2; a2 = 4; r = 2; n =12; S12 = ?
rnaan )1(1 2)112(212a 211212a
2412 a .
2
)(S 1 naa n
n
2
12)242(S12 626S12
156S12 .
Questão 12 – FGV-SP adaptada (PA)
Um terreno será vendido através de um plano de pagamentos
mensais em que o primeiro pagamento de R$ 500,00 será feito 1
mês após a compra, o segundo de R$ 550,00 será feito 2 meses
após a compra, o terceiro de R$ 600,00 será feito 3 meses após a
compra e assim por diante. Sabendo que o preço total do terreno
é de R$ 19.500,00 o número de prestações mensais que devem
ser pagas é:
a) 12 b) 20 c) 25 d) 31 e) 39
Solução
Trata-se de uma PA (500, 550, 600, ... , an), r = 50, n = ?.
rnaan )1(1 50)1(500 nan 45050 nan .
2
)( 1 naaS n
n
2
)45050500(19500
nn
03900095050 2 nn 0780192 nn .
acb 42 )780(14192 3120361 3481 .
a
bn
2
2
5919
39
20
2
1
n
n.
Questão 13 – ENEM (PA)
O número mensal de passagens de uma determinada empresa
aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em
janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500;
em março, 36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para
os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por
essa empresa em julho do ano passado?
a) 38.000 b) 40.500 c) 41.000 d) 42.000 e) 48.000
Solução
O nº de passagens nos meses de janeiro, fevereiro, março, etc do
ano passado são os termos de uma PA:
(33.000, 34.500, 36.000, …), com r = 1500.
O nº de passagens vendidas no mês de julho é o sétimo termo (n
= 7).
rnaan )1(1 15006330007a
9000330007a 420007 a .
Questão 14 – UEPA (PG)
Um empresário comprou na ilha de Marajó uma fazenda com 64
cabeças de búfalo. Após n anos administrando a fazenda,
observou que seu rebanho teve um crescimento anual segundo
uma progressão geométrica de razão 2, passando atualmente para
1.024 cabeças. O valor de n é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Solução
a1 = 64; q = 2; an = 1.024; n = ?
11
nn qaa 12641024 n 1216 n 14 22 n
14 n 5n .
PG: )1024,512,256,128,64(4321
.
Questão 15 – UFPB (PG)
Hélio comprou, em uma loja, uma máquina de lavar roupas, no
seguinte plano de pagamento: 10 parcelas, sendo a primeira de
R$ 256,00 e o valor de cada parcela, a partir da segunda,
correspondendo a 50% do valor da anterior. Hélio pagou pela
máquina de lavar o valor total de:
a) R$ 511,75 b) R$ 511,50 c) R$ 511,00
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d) R$ 510,50 e) R$ 510,00
Solução
n = 10; a1 = 256; q = 50% = 1/2; Sn = ?;
1
)1(1
q
qaS
n
n
12
1
12
1256
10
10S
2
21
11024
1256
10S
2
1
1024
10241256
10S
)2(
4
102310S
2
102310S 5,51110 S .
Questão 16 – UFRA (PG)
“O agronegócio da avestruz (estrutiocultura) ganha cada vez
mais espaço no mercado brasileiro (...) Há cerca de seis anos,
não havia mais que 500 animais no país, hoje o plantel é formado
por cerca de 50 mil aves e 700 criadores (Fonte: ACAB:
Associação de Criadores de Avestruz do Brasil) o que já torna
possível viabilizar a comercialização da carne”. (Escala Rural, nº
22). Com os dados do texto e supondo que o crescimento da
população de avestruz no país se dá em PG (Progressão
Geométrica), daqui há quantos anos essa população atingirá 5
milhões de aves?
a) 5 b) 6 c) 9 d) 12 e) 18
Solução
Início: t = 6 anos; a1 = 500 avestruzes; an = 50.000 avestruzes.
Hoje (50.000 avestruzes) ?t
Futuro (5.000.000 avestruzes).
11
nn qaa taktf )( .
tq500000.50 6100 q 6 210q 3/110q .
Futuro: b1 = 50.000 avestruzes; bn = 5.000.000 avestruzes.
t)10(000.50000.000.5 3/1 23/1 10)10( t 23
t
6t .
Questão 17 – Unifesp (PG Infinita)
No interior de uma sala, na forma de um
paralelepípedo com altura h, empilham-se
cubos com arestas de medidas 1, 3
1,
9
1,
27
1, e assim por diante, conforme mostra a
figura:
O menor valor para a altura h, se o empilhamento pudesse ser
feito indefinidamente, é:
a) 3 b) 2
5 c)
3
7 d) 2 e)
2
3
Solução
3
1q ;
q
aS
1
1
3
11
1S
3
2
1S
2
3S .
Questão 18 – ENEM (PG Infinita) c
Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) objeto que pode ser
dividido em partes que possuem semelhança com o objeto
inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as
propriedades e o comportamento dos fractais-objetos
geométricos formados por repetições de padrões similares. O
triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da
geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos:
1. Comece com um triângulo equilátero (figura 1);
2. Construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do
tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias;
3. Posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha
um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros
dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;
4. Repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos
triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência
apresentada acima é:
Solução
Considerando os triângulos de cor escura, apresenta a sequência:
(1, 3, 9, … ) de razão q = 3.
Logo, a figura 4 deverá ter 9×3 = 27 triângulos pretos.
A única alternativa que apresenta 27 triângulos pretos é a letra C.
Questão 19 – UEPA (Matemática Financeira)
Suponha que um cartão de crédito cobre juros de 12% ao mês
sobre o saldo devedor e que um usuário com dificuldades
financeiras suspende o pagamento do seu cartão com um saldo
devedor de R$ 660,00. Se a referida dívida não for paga, o tempo
necessário para que o valor do saldo devedor seja triplicado
sobre regime de juros compostos, será de: (Dados: log 3 = 0,47;
log 1,12 = 0,05).
a) nove meses e nove dias. b) nove meses e dez dias.
c) nove meses e onze dias. d) nove meses e doze dias.
e) nove meses e treze dias.
Solução
i = 12% am (taxa de juros); C = 660 (capital); M = 3C.
ti)(1CM t)12,01(CC3 t12,13
t12,1log3log t05,047,0 05,0
47,0t
5
47t
5
2
5
45t
5
2309t 129t
t 9 meses e 12 dias.
Questão 20 – UERN
Um revendedor de automóveis comprou dois carros, pagando R$
15.000,00 pelo primeiro e R$ 10.000,00 pelo segundo. Vendeu o
primeiro com um prejuízo de 20% e o segundo com um lucro de
20%. No total, em relação ao capital investido, o revendedor:
a) lucrou 4% b) lucrou 2% c) perdeu 4%
d) perdeu 2% e) não lucrou e não perdeu
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Solução:
Investimento: 15.000 + 10.000 = 25.000.
• Vendeu 1º carro com prejuízo de 20%;
15.000×0,8 =1.500×8 = 12.000.
• Vendeu 2º carro com lucro de 20%;
10.000×1,2 =1.000×12 = 12.000.
Recebeu: 12.000 + 12.000 = 24.000.
Ele perdeu: 25.000 – 24.000 = 1.000
04,025
1
25000
1000 .
Questão 21 – ESPM-SP
Um capital de R$ 6.000,00 é aplicado por 4 meses a juros
compostos de 2% a.m. Qual é o valor dos juros resultantes dessa
aplicação?
a) R$ 6.494,40 b) R$ 6.480,00 c) R$ 6.441,60
d) R$ 494,40 e) R$ 480,00
Solução:
tiCM )1( 4)02,01(6000M 4)02,1(6000M
0824,16000M 40,6494M .
CMJ 600040,6494J 40,494J .
Questão 22 – UERJ adaptada (F. Exponencial)
Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário
recém-admitido, utilizado uma função f(d), cujo valor
corresponde ao número mínimo de
peças que a empresa espera que ele
produza em cada dia (d), a partir da
data de sua admissão. Considere o
gráfico auxiliar, que representa a
função xey .
Utilizando d2,0100100)d(f e e
o gráfico acima, a empresa pode prever que o funcionário
alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for
igual a:
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
Solução
Como xey e d2,0100100)d(f e . Para produzir 87 peças,
ou seja, 87)d(f , o número de dias (d = ?) é:
d2,010010087 e 13100 d2,0e 13,0d2,0 e .
O gráfico de xey , temos 213,0 e .
Logo, 2d2,0 ee 2d2,0 10d .
Questão 23 – UCDB-MS (F. Exponencial)
Certa substância radioativa de massa M0, no instante t = 0, tende
a se transformar em outra substância não radioativa. Para cada
instante t ≥ 0, dado em segundos, a massa da substância
radioativa restante obedece à lei t2
0 3M)t(M . Nessas
condições, o tempo necessário, em segundos, para que a massa
da substância radioativa seja reduzida a um terço da massa inicial
é igual a:
a) 3 b) 2,5 c) 1,5 d) 1 e) 0,5
Solução
Como devemos ter 3
M)t(M 0 . Logo:
t20 3M)t(M t2
00 3M
3
M t23
3
1
t21 33 t21 5,0t s.
Questão 24 – MACKENZIE-SP
O gráfico mostra, em função do tempo, a evolução do número de
bactérias em certa cultura. Dentre as alternativas a seguir,
decorridos 30 minutos do início das observações, o valor mais
próximo desse número é:
a) 18.000 b) 20.000 c) 32.000 d) 14.000 e) 40.000
Solução
Sejam os pontos (0, 104) e (3, 8·10
4), temos:
• tba)t(f 0 4 ba10 410a .
• 344 b10108 3b8 3 8b 2b .
A lei de formação é t4 210)t(f .
t = 30 min = 0,5 h.
2
1
4 210)t(f 210)t(f 4 4,110)t(f 4
14000)t(f .
Questão 25 – CEFET-PR
Cientistas de um certo país, preocupado com as possibilidades
cada vez mais ameaçadoras de uma guerra biológica, pesquisam
uma determinada bactéria que cresce segundo a expressão 1t
2
5
125
256)t(P
, onde t representa o tempo em horas. Para
obter-se uma população de 3.125 bactérias, será necessário um
tempo, em horas, com o valor absoluto no intervalo:
a) ]0, 2] b) ]2, 4] c) ]4, 6] d) ]6, 8] e) ]8, 10]
Solução
Para P(t) = 3.125, temos:
1t
2
5
125
2563125
1t
3
85
2
5
5
25
1t
8
35
2
5
2
55
1t
8
8
2
5
2
5
1t8
2
5
2
5
1t8 7t h.
Questão 26 – UFMT (Logaritmo)
A magnitude de um terremoto é medida na escala de Richter.
Considere que as magnitudes M1 e M2 de dois terremotos estão
relacionadas pela fórmula
2
121
E
Elog
3
2MM , em que E1 e
E2 são as medidas das quantidades de energia liberada pelos
terremotos.
Em 1955, ocorreu um terremoto no norte de Mato Grosso e, em
2004, um outro na ilha de Sumatra, na costa da Indonésia, que
liberaram as quantidades de energia E1 e E2, respectivamente.
Admitindo-se que E1 foi equivalente à milésima parte de E2 e que
o terremoto ocorrido na ilha de Sumatra teve magnitude M2 = 9,
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qual a magnitude M1 do terremoto ocorrido no norte de Mato
Grosso?
a) 6 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3
Solução
Sendo 1000
EE 2
1 e M2 = 9, temos:
2
21
E
1000/Elog
3
29M
1000
1log
3
29M1
31 10log
3
29M )3(
3
29M1 29M1
29M1 7M1 .
Questão 27 – UFMG (Logaritmo)
O pH de uma solução aquosa é definida pela expressão
]Hlog[pH , em que ]H[ indica a concentração, em
mol/L, de íons de hidrogênio na solução e log, o logaritmo na
base 10. Ao analisar determinada solução um pesquisador
verificou que, nela, a concentração de íons de hidrogênio em 8104,5]H[ . Para calcular o pH dessa solução, ele usou os
valores aproximados de 0,30 para log2 e de 0,48 para log3.
Então, o valor que o pesquisador obteve para o pH dessa solução
foi:
a) 7,26 b) 7,32 c) 7,58 d) 7,74 e) 7,82
Solução
]Hlog[pH ]104,5log[pH 8
]1054log[pH 9 ]10227log[pH 9
]1023log[pH 93 )10log92log3log3(pH
)930,048,03(pH )930,044,1(pH
)974,1(pH )26,7(pH 26,7pH .
Questão 28 – UPF-RS adaptada
A desintegração nuclear é regida pela equação exponencial te λ
0NN , em que λ é uma constante, N0 é a quantidade
inicial e N é quantidade após um tempo t. A equação que fornece
o tempo, em qualquer instante, é:
a)
et ln)NN(λ 0 b)
λ
0N
N
et
c)
e
t
0N
N d)
0N
Nln
λ
1t
e)
0N
Nlnλ t
Solução
te λ0NN te λ
0N
N te λ
0
lnN
Nln
et lnλN
Nln
0
0N
Nln
λ
1t .
Questão 29 – UEPA (F. Logarítmica)
Por volta dos anos 80, durante a implantação do projeto
Proálcool, uma montadora estimou que sua produção de carros a
álcool teria um crescimento anual de acordo com a expressão:
)1(log10)( 35 ttP , onde P é a quantidade produzida e t o
número de anos. Dessa forma, daqui a 8 anos a produção
estimada será de:
a) 200.000 carros. b) 220.000 carros. c) 232.000 carros.
d) 250.000 carros. e) 300.000 carros
Solução
Seja t = 8, temos:
)1(log10)( 35 ttP )18(log10)8( 3
5P
9log10)8( 35P 2
35 3log10)8(P
3log210)8( 35P 000.200)8( P .
Questão 30 – UFSM-RS (F. Logarítmica)
Carros novos melhoram o escoamento do trânsito e causam
menos poluição. Para adquirir um carro novo, um cidadão fez um
investimento de R$ 10.000,00 na poupança, a juros mensais de
1%, o qual rende, ao final de n meses, o valor de nnC )01,1(000.10)( reais. O número mínimo de meses
necessário para que o valor aplicado atinja R$ 15.000,00 é:
(Dados: log 2 = 0,301; log 3 = 0,477; log 101 = 2,004 )
a) 44 b) 46 c) 47 d) 48 e) 50
Solução
Sendo C(n) = 15.000, temos:
n)01,1(000.10000.15 n)01,1(1015 n)01,1(10
15
n)01,1log(10
15log )01,1log(10log15log n
01,1log
10log15logn
100
101log
10log2
30log
n
100log101log
10log2log30logn
210log101log
10log2log)103log(n
2101log
10log2log10log3logn
2101log
10log2log10log3logn
2101log
2log3logn
2004,2
301,0477,0n
004,0
176,0n 44n meses.
Questão 31 – UEPA (Trigonometria)
Na Amazônia, está sendo construído um observatório no alto de
uma torre, com a finalidade de compreender e modelar as trocas
gasosas que ocorrem na atmosfera. Um engenheiro de 1,80
metros de altura responsável pela execução do projeto observa o
topo dessa torre segundo um ângulo de 30°. Se o engenheiro está
posicionado a 120 metros de distância da torre, então a altura
dessa torre é, em metros, de: (dado: 73,13 ).
a) 86 b) 83 c) 71 d) 44 e) 32
Solução
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120
30tgx
1203
3 x
4073,1
xmx 2,69 .
Logo, a altura da torre é:
8,1xh 8,12,69h mh 71 .
Questão 32 – UEPA (Trigonometria)
As construções de telhados em geral são feitas com um grau
mínimo de inclinação em função do custo. Para as medidas do
modelo de telhado representado a seguir, o valor do seno do
ângulo agudo φ é dado por:
(Fonte:http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/933-2.pdf.
Acesso em 9 de setembro de 2011-Texto adaptado)
a)
10
104 b)
10
103 c)
10
22 d)
10
10 e)
10
2
Solução
Para encontrar o valor do seno do ângulo agudo φ (sen φ).
Vamos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o
comprimento da rampa (hipotenusa), temos:
222 cba 222 8,14,5a 24,316,292a
4,322a 10
324a
10
18a .
Assim:
18
108,1
10
18
8,1
a
csen
10
10sen .
Questão 33 – UEPA (Trigonometria)
Um botânico interessado em descobrir qual o comprimento da
copa da árvore fez as observações indicadas na figura abaixo a
partir de um ponto no solo.
O comprimento (H), em metros, dessa copa é:
a) )13(10 b) 15 c) 310 d) )13(10 e) 30
Solução
10
º45tgx
10
1x
10x .
10
º60tgxh
10
103
h 10310h
)13(10 h .
Questão 34 – FAMECA-SP (Lei dos Senos)
Dois amigos, André e Bruno, estão num campo aberto
empinando pipa. Eles estão, respectivamente, nas posições A e
B. Os fios dessas pipas se enroscam e se rompem, fazendo com
que as duas pipas caiam juntas num ponto C, distante 40 m de
André.
A distância de Bruno até as pipas é:
a) 210 m b) 310 m c) 20 m d) 220 m e) 320 m
Solução
x
sensen º30
40
º45
x
2/1
40
2/2
2
40
2
2x
2
40x 220x m.
Questão 35 – UEPA (Lei dos Cossenos)
A figura abaixo mostra o corte lateral de um terreno onde será
construída uma rampa reta, AB, que servirá para o acesso de
veículos a casa, que se encontra na parte mais alta do terreno.
A distância de A a B é de 6 metros, de B a C é de 10 metros e o
menor ângulo formado entre AB e BC é de 120°. Então, o valor
do comprimento da rampa deve ser de:
(Dado: cos120º = −cos60°)
a) 12 m b) 12,5 m c) 13 m d) 13,5 m e) 14 m
Solução
AB = 6 m; BC = 10 m; ABC = 120º; AC = d = ?
αcos2222 abbac 120ºcos1062106 222d
)º60cos(1201362d 2
11201362d
601362d 196d 14d m.
Questão 36 – UFPA (Circunferência)
Uma curva de uma Montanha Russa deve ser traçada em arco de
círculo. Se o raio do círculo é 258 m, ao percorrer uma distância
de 43π metros, o ângulo descrito pela trajetória será de:
a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º
Solução
r = 258 m; l = 43π; α = ?
l = α·r ⟹ 43π = 258α ⟹ º306
πα .
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Questão 37 – UNESP-SC (Circunferência)
Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma
de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a
figura. A parte que falta no círculo é a boca do
“monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 rad. O
perímetro do “monstro”, em centímetros, é:
a) π – 1 b) π + 1 c) 2π – 1 d) 2π e) 2π + 1
Solução
Seja o r = 1cm; α = 1 rad; Pm = ?;
l = α·r ⟹ l = 1·1 = 1 cm.
Pm = (2πr – l) + 2r ⟹ Pm = 2π – 1 + 1 + 1 ⟹ Pm = 2π + 1.
Questão 38 – UFPA (F. Trigonométrica)
O pêndulo simples é formado por uma partícula de massa m
fixada na extremidade inferior de uma haste retilínea, de
comprimento (de massa desprezível se comparada com a
massa da partícula), cuja extremidade superior está fixada.
Suponhamos que o movimento do pêndulo se processe em um
plano vertical e designemos por θ o ângulo que a haste faz com a
reta vertical 0Y (Veja figura abaixo).
0,cosA)(θ
tt
gt
Observemos que )(θθ t , isto é, θ é função do
tempo 0t . O movimento do pêndulo, para
pequenas oscilações, é regido pela equação em
que A é uma constante positiva, g é a
aceleração da gravidade e é o comprimento da haste. Os
valores de 0t , referentes à passagem do pêndulo pela posição
vertical OY, isto é, ao momento em que 0)(θ t , são dados por:
a)
,2,1,2
π)12( k
gkt b) ,3,2,1t
c) 0t ou g
t
d) ,3
1,
2
1,1t
e) ,3,2,1t
Solução
Para 0)(θ t , temos:
t
g
cosA0 .
Para
02
π3cos
02
πcos
0cos x , ou seja, 0π2
πcos
k .
Logo,
t
gk
cosAπ
2
πcos
tgk
2
π2
2
π
2
2
2
π2
2
πt
gk
22
2
π2
2
π k
gt
g
kt
2
π2
2
π
gkt
2
π)21( .
Questão 39 – UFPA (F. Trigonométrica)
Um fabricante produz telhas senoidais como a da figura abaixo.
Para a criação do molde da telha a ser fabricada, é necessário
fornecer a função cujo gráfico será a curva geratriz da telha. A
telha padrão produzida pelo fabricante possui por curva geratriz
o gráfico da função )(xseny (veja detalhe na figura abaixo).
Um cliente solicitou então a produção de telhas que fossem duas
vezes “mais sanfonadas” e que tivessem o triplo da altura da
telha padrão, como na figura abaixo.
A curva geratriz dessa nova telha será então o gráfico da função
a)
xseny
2
13 b) )2(3 xseny c)
xseny
3
12
d)
xseny
2
1
3
1
e) )3(2 xseny
Solução
Baseando-se no gráfico o período da função é π, assim:
2π2
ππ2
P kkk
.
A imagem do gráfico apresenta [–3, 3], de forma, 3×[– 1, 1].
)2(3)( xsenyxksenay .
Questão 40 – UEPA (F. Trigonométrica)
Os praticantes de COOPER balançam seus braços ritmicamente,
enquanto correm, para frente e para trás, descrevendo uma
oscilação completa em 4
3 de segundos, conforme figura abaixo.
O ângulo θ varia em função do tempo t, em segundos,
aproximadamente, de acordo com e equação:
4
3
3
π8
9
πθ tsen
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Tomando por base os dados acima, podemos afirmar que o maior
valor assumido pelo ângulo θ é:
a) 15° b) 20° c) 25° d) 30° e) 45°
Solução
Para o maior valor de θ, ou seja, sen x = [–1, 1], temos:
]1,1[9
πθ
9
π,
9
πθ ]20,20[θ .
Resumo:
)()( cxksenbaxf ou )(cos)( cxkbaxf
a: desloca para vertical (p/ (+) cima ou (–) baixo).
b: altera o período.
c: desloca para horizontal (+): (esq) ou (–): (dir).
k: (×) diminuiu o período ou (/) aumenta o período.
Questão 41 – UEPA (A. Combinatória)
Uma loja de um shopping Center na cidade de Manaus divulga
inscrições para um torneio de Games. Para realizar essas
inscrições, a loja gerou um código de inscrição com uma
sequência de quatro dígitos distintos, sendo o primeiro elemento
da sequência diferente de zero. A quantidade de códigos de
inscrição que podem ser gerados utilizando os elementos do
conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} é:
a) 4500 b) 4536 c) 4684 d) 4693 e) 5000
Solução
O código de inscrição é formado por quatro algarismos com os
números {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = 10 possibilidades.
Q = 9·9·8·7 = 81·8·7 = 648·7 = 4536.
Questão 42 – UFBA (A. Combinatória)
Numa eleição para a diretoria de um clube concorrem 3
candidatos a diretor, 2 a vice-diretor, 3 a primeiro-secretário e 4
a tesoureiro. O número de resultados possíveis da eleição é:
a) 4 b) 24 c) 72 d) 144 e) 12!
Solução
Pelo princípio fundamental da contagem, temos:
n = 3·2·3·4 = 6·12 = 72.
Questão 43 – UEBA (A. Combinatória)
Em uma das partidas realizadas pelo Parazão (Campeonato
Paraense de Futebol de Campo) de 2001, o time A jogou com o
time B e nessa partida o número de gols marcados pelo time A
está representado pela solução da equação !)1(4!)1(! nnn
e o número de gols do time B pela solução da equação
1
!)1(!)2(!4
n
nnn . Considerando que nessa partida não
houve gols contra, podemos afirmar que:
a) O time A marcou 4 gols e o B marcou 2 gols.
b) O time A marcou 2 gols e o B marcou 4 gols.
c) O time A marcou 1 gols e o B marcou 1 gols.
d) O time A marcou 2 gols e o B marcou 3 gols.
e) O time A marcou 3 gols e o B marcou 1 gols.
Solução
Time A:
!)1(4!)1(! nnn !)1(4!)1(!)1( nnnn
!)1(4)1(!)1( nnn 41n 3n .
Time B:
1
!)1(!)2(!4
n
nnn
!
!)1(!)1)(2()1(4
n
nnnnnn
12244 2 nnnnn 3444 2 nnn
342n 1n .
Questão 44 – FAAP-SP (A. Combinatória)
Para abrir um arquivo no microcomputador, o usuário deve
digitar uma senha de quatro caracteres, numa certa ordem e sem
repeti-los. O usuário sabe quais são os caracteres, mas não
conhece a ordem em que devem ser digitados. Obstinado,
procura acertar a senha por tentativas. O número de tentativas
que deve fazer é:
a) 24 b) 30 c) 36 d) 40 e) 120
Solução
Considera a sequência: A, 2, F, 9.
Logo, o número de maneiras distintas é: 24!4P4 .
Questão 45 – UEPA (A. Combinatória)
Visando obter mais informações sobre a denúncia de que uma
tribo da região Amazônica estava sendo dizimada, um repórter
recorreu a seu computador para acessar a Internet, entretanto não
lembrou a senha de acesso, que era composta por três
algarismos. Lembrava apenas que a senha era composta por três
dos cinco algarismos: 1, 3, 5, 6 e 9. Para encontrar a senha, o
repórter escreveu num papel todos os possíveis agrupamentos
com esses algarismos. O número de agrupamentos escritos por
esse repórter, na tentativa de encontrar a senha de acesso à
Internet, é:
a) 120 b) 108 c) 84 d) 60 e) 56
Solução
Esquematizando a situação, temos:
Como as senhas 139 e 391 são diferentes. Logo, os
agrupamentos que definem as possíveis senhas constituem
arranjo simples, em que n(5) ≥ p(3).
3)!(5
5!A 3,5
60
!2
!2345
.
Questão 46 – UFPA (A. Combinatória)
Por ocasião dos festejos da Semana da Pátria, uma escola decidiu
exibir seus melhores atletas e as respectivas medalhas. Desses
atletas, em número de oito e designados por 1a , 2a , 3a , , 8a ,
serão escolhidos cinco para, no momento do desfile, fazerem
honra à Bandeira Nacional. Do total de grupos que podem ser
formados, em quantos o atleta 2a estará presente?
a) 18 b) 21 c) 35 d) 41 e) 55
Solução
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Seja n = 8 e p = 5. Como 2a deve ser um dos escolhidos, temos
n = 7 e p = 4, a ordem da fila não importa trata-se de um
problema de Combinação.
!)(!
!C ,
pnp
npn
!3!4
!7C 4,7
6
567C 4,7 35 .
Questão 47 – UEPA (A. Combinatória)
A graviola é uma fruta que possui diversos nutrientes, como as
Vitaminas C, B1 e B2 e os Sais Minerais: Cálcio, Fósforo, Ferro,
Potássio e Sódio. Uma indústria química deseja fabricar um
produto a partir da combinação de 4 daqueles nutrientes, entre
vitaminas ou sais minerais, encontrados na graviola. A
quantidade de produtos que poderá ser fabricada, se forem
utilizados no máximo 2 tipos de vitaminas, será de:
a) 65 b) 60 c) 32 d) 30 e) 26
Solução
Uma indústria deseja utilizar 4 nutrientes da graviola.
Os nutrientes são:
Vitaminas: {C, B1, B2} = 3.
Sais minerais: {Cálcio, Fósforo, Ferro, Potássio e Sódio} = 5.
Condição: Utilizar no máximo duas vitaminas.
V V S S = V S S V (não altera)
Logo, os agrupamentos que definem o produto com vitaminas e
sais minerais é dado por uma Combinação Simples.
i) Produto feito com duas vitaminas:
V V S S = V S S V.
Vitaminas: 3!1!2
!3C 1,3 .
Sais minerais: 102
45
!2!3
!5C 3,5
.
Logo, 30103CC 3,51,3
ii) Produto feito com uma vitamina:
V S S S = S V S S
Vitaminas: 3!2!1
!3C 2,3 .
Sais minerais: 102
45
!3!2
!5C 2,5
.
Logo, 30103CC 2,52,3
iii) Produto feito sem nenhuma vitamina:
S S S S
Sais minerais: 5!1!4
!5C 4,5 .
Logo, o número de possibilidade de fazer o produto no máximo
com duas vitaminas é:
i + ii + iii = 30 + 30 + 5 = 65.
Questão 48 – UFPA (A. Combinatória)
O presidente de uma Comissão Parlamentar Mista de Inquérito
(CPMI) escolheu 5 senadores e 6 deputados federais para
formação de subcomissões com 5 parlamentares, sendo 2
senadores e 3 deputados federais. Assim, o número de
subcomissões que podem ser formadas com os parlamentares
escolhidos é:
a) 30 b) 90 c) 150 d) 200 e) 240
Solução
Subcomissões de 5 parlamentares (2 senadores e 3 deputados
federais).
Senadores: 102
45
!3!2
!5C 2,5
Deputados Federais: 206
456
!3!3
!6C 3,6
.
2002010CC 3,62,5 .
Questão 49 – UEPA (Probabilidade)
Em uma pesquisa envolvendo 120 cidades, sobre lixo doméstico,
observou-se que em 36 dessas cidades são desenvolvidas ações
de reciclagem. A probabilidade de uma cidade pesquisada ser
escolhida ao acaso e nela não ser desenvolvida ação de
reciclagem, é:
a) 3/10 b) 4/10 c) 5/10 d) 6/10 e) 7/10
Solução
Espaço amostral: n(E) = 120.
Evento: n(A) = 120 – 36 = 84.
10
7
12:120
12:84)A(P .
Questão 50 – UEPA (Probabilidade)
Uma empresa realizou uma pesquisa com 300 candidatos sobre
os fatores de risco de um infarto agudo do miocárdio (IAM) ou
enfarte agudo do miocárdio (EAM). Foi observado que 20%
dessas pessoas possuíam esses fatores de risco. A probabilidade
de essa empresa contratar ao acaso dois candidatos do grupo
pesquisado e eles apresentarem esses fatores de risco é:
a)
1597
60 b)
1495
59 c)
1695
69 d)
1797
74 e)
1898
77
Solução
O número de pessoas que possuem o fator de risco é:
60300%20 .
Logo, nosso espaço amostral e o evento serão dados por
combinações:
)E(
)A(P(A)
n
n
2,300
2,60
C
CP(A)
2
2993002
5960
P(A)
299150
5930P(A)
2995
59P(A)
1495
59P(A) .
Também, podemos resolver a probabilidade da seguinte forma:
1495
59
299
59
5
1
299
59
300
60P(A) .
Questão 51 – UFPA (Probabilidade)
De um refrigerador que tem em seu interior 3 refrigerantes da
marca A, 4 refrigerantes da marca B e 5 refrigerantes da marca
C, retiram-se dois refrigerantes sem observar a marca. A
probabilidade de que os dois retirados sejam da mesma marca é:
a) 1/6 b) 5/33 c) 19/66 d) 7/22 e) 3/11
Solução
Espaço amostral: 12 refrigerantes para escolher 2:
662
1112
)!212(!2
!12C 2,12
.
Evento: 2 refrigerantes da mesma marca:
Marca A: 3!1!2
!3C 2,3 ;
http://omatematicoeadt.blogspot.com/
Marca B: 6!2!2
!4C 2,4 ;
Marca A:
10!3!2
!5C 2,5 .
A Probabilidade de ocorrer o evento é:
66
19
66
1063P
.
Questão 52 – ENEM (Probabilidade)
As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há
10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias
delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das
mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no
gráfico abaixo.
Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A
probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a)
filho(a) único(a) é:
a) 3
1 b)
4
1 c)
15
7 d)
23
7 e)
25
7
Solução
Espaço amostral n(E) = 8·0 + 7·1 + 6·2 + 2·3 = 7 + 12 + 6 = 25.
Evento n(A) = 7·1 = 7.
25
7
n(E)
n(A)P(A) .
Questão 53 – UEPA adaptada (Probabilidade)
Durante a romaria do Círio de Nossa Senhora de Nazaré, em
Belém, foi feita uma pesquisa com 1.500 romeiros sobre as
promessas que os levaram a acompanhar a procissão na corda.
As promessas foram: recuperação da saúde; aprovação no
vestibular e emprego. Dentre os pesquisados:
• 200 agradeciam pela recuperação da saúde, aprovação no
vestibular e pelo emprego;
• 550 pela recuperação da saúde e aprovação no vestibular;
• 450 pela recuperação da saúde e pelo emprego;
• 400 pela aprovação n vestibular e pelo emprego;
• 200 só pela recuperação da saúde;
• 130 só pela aprovação no vestibular;
• 170 só pelo emprego.
Nessas condições, a probabilidade de se escolher ao acaso uma
das pessoas pesquisadas e esta estar agradecendo pela
recuperação da saúde é:
a) 15
2 b)
5
2 c)
30
11 d)
3
2 e)
15
11
Solução
Espaço amostral n(E) = 1500.
Evento: Recuperação da Saúde.
n(A) = 200 + 200 + 250 + 350 = 1000.
3
2
15
10
1500
1000P(A) .
Questão 54 – UNIFESP-SP (Matriz)
Uma indústria farmacêutica produz, diariamente, p unidades do
medicamento X e q unidades do medicamento Y, ao custo
unitário de r e s reais, respectivamente. Considere as matrizes M,
1×2 e N, 2×1:
]2[M qp e
s
r
2N .
A matriz produto M·N representa o custo da produção de:
a) 1 dia. b) 2 dias. c) 3 dias. d) 4 dias. e) 5 dias.
Solução
s
rqp
2]2[NM ]22[ qspr ][2 qspr .
pr + qs: custo diário da produção de p unidades de X e q
unidades de Y.
Logo, 2(pr + qs): é o custo d produção de 2 dias dessa indústria.
Questão 55 – UEPA (Matriz)
A tabela abaixo, regularmente disposta em linhas (atletas) e
colunas (dia), representa os registros dos tempos de treinamento
dos atletas A, B e C em 3 dias. Sendo i a ordem das linhas e j a
ordem das colunas e jiaij 1030 o elemento genérico desta
tabela, com i e j dados em minutos, o tempo de treinamento gasto
pelo atleta B no terceiro dia foi de: Dia3ºDia2ºDia1º
333231
232221
131211
C
B
A
aaa
aaa
aaa
a) 2 horas e 30 minutos. b) 2 horas e 10 minutos.
c) 2 horas. d) 1 hora e 50 minutos.
e) 1 hora e 30 minutos.
Solução
O tempo de treinamento do atleta B no terceiro dia ( 23a ) é:
31023023a 306023a 9023 a min.
Ou seja, 1 hora e 30 min.
Questão 56 – UFPA (Sistemas Lineares)
Uma indústria cerâmica produz tijolo, telha e lajota com
produção diária de 90 mil peças. Sabe-se que o número de telhas
produzidas é igual à metade da soma do número de tijolos com o
de lajotas, que os custos de produção do milheiro do tijolo, da
telha e lajota são respectivamente 100, 200 e 300 reais e que o
custo diário total da produção é de R$ 16.000,00. Com base
nesses dados, é correto afirmar que a indústria produz por dia:
a) mais de 30 milheiros de tijolos e menos de 29 milheiros de
lajotas.
b) menos de 29 milheiros de tijolos e menos de 29 milheiros de
lajotas.
c) mais de 50 milheiros de tijolos e menos de 30 milheiros de
lajotas.
d) 30 milheiros de tijolos e 30 milheiros de telhas.
e) 29 milheiros de tijolos e 39 milheiros de lajotas.
Solução
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Considere x: tijolos; y: telhas; z: lajotas.
• Produz tijolo, telha e lajota com produção diária de 90 mil
peças.
90 zyx
• O nº de telhas produzidas é igual à metade da soma do nº de
tijolos com o de lajotas.
2
zxy
• Os custos de produção do milheiro do tijolo, da telha e lajota
são respectivamente 100, 200 e 300 reais e que o custo diário
total da produção é de R$ 16.000,00.
16000300200100 zyx
Formando o Sistema Linear, temos;
000.16300200100
2`
90
zyx
zxy
zyx
100)000.16300200100(
2`
2)90(
zyx
zxy
zyx
16032
2
180222
zyx
zxy
zyx
1603
18022
zzxx
zzxx
16042
18033
zx
zx
802
60
zx
zx
802
60
zx
zx20z .
•
2
`zx
y 2
60`y 30y .
• 60zx 6020x 40x .
Logo, a alternativa certa é a letra A.
Questão 57 – ENEM (Sistema Linear)
Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de
determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150
carros por ano. O número de carros roubados da marca x é o
dobro do número de carros roubados da marca y, e as marcas x e
y juntas correspondem por cerca 60% dos carros roubados.
O número esperado de carros roubados da marca y é:
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60
Solução
• yx 2 .
• 6,0150yx 90 yx .
902 yy 903y 30y .
Questão 58 – PUC (Sistema Linear)
Alfeu, Bento e Cíntia foram a certa loja e cada qual comprou
camisas escolhidas entre três tipos, gastaram nessa compra os
totais de R$ 134,00, R$ 115,0 e R$ 48,00, respectivamente.
Sejam as matrizes
012
501
430
A e
z
y
x
X .
I. Os elementos de cada linha de A correspondem às quantidades
dos três tipos de camisas compradas pro Alfeu (1ª linha), Bento
(2ª linha) e Cíntia (3ª linha).
II. Os elementos de cada coluna de A correspondem às
quantidades de um mesmo tipo de camisa.
III. Os elementos de X correspondem aos preções unitários, em
reais, de cada tipo de camisa.
Nessas condições, o total a ser pago pela compra de uma unidade
de cada tipo de camisa é:
a) R$ 53,00 b) R$ 55,00 c) R$ 57,00 d) R$ 62,00 e) R$ 65,00
Solução
Nas condições dadas, temos:
48
115
134
012
501
430
z
y
x
482
2)1155(
13443
yx
zx
zy
yx
zx
zy
482
230102
13443
18210
13443
zy
zy
546303
13443
zy
zy 68034z 20z .
• 13443 zy 801343y 543y 18y .
• yx 482 18482x 302x 15x .
Logo, zyx é:
53151820 .
Questão 59 – UNESP (Geometria Espacial)
A área da superfície da Terra é estimada em 510.000.000 km2.
Por outro lado, estima-se que, se todo o vapor de água da
atmosfera terrestre fosse condensado, o volume de líquido
resultante seria de 13.000 km3. Imaginando que toda essa água
fosse colocada no interior de um paralelepípedo retângulo, cuja
área da base fosse a mesma da superfície da Terra, a medida que
mais se aproxima da altura que o nível da água alcançaria é:
a) 2,54 mm b) 2,54 cm c) 25,4 cm d) 2,54 cm e) 0,254 km
Solução
Superfície da Terra: ST = 51·107 km
2.
Volume de líquido: V = 13·103 km
3.
V = S·h ⟹ h10511013 73 ⟹7
3
1051
1013h
⟹
km 10254,0h 4 .
• Em metros 1km = 1000m. 34 1010254,0h ⟹ m 10254,0h 1 .
• Em centímetros 1m = 100cm. 21 1010254,0h ⟹ cm 54,2h .
Questão 60 – UNB-DF adaptada (Geometria Espacial)
A figura abaixo ilustra alguns degraus de uma escada de
concreto. Cada degrau é um prisma triangular reto de dimensões
15 cm, 30 cm e 60 cm. Se a escada tem 20 degraus, qual o
volume (em decímetros cúbicos) do concreto usado para
construir a escada.
Dado (1 dm3 = 1000 cm
3)
a) 13,5 b) 27 c) 270 d) 540 e) 135
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Solução
O volume de 1 degrau = V1.
Área da base: 2
Ab
hb .
hb1 AV
602
301560225 3cm 13500 .
331 dm 13,51013500V .
O volume V de concreto usado é: 3
1 dm 27013,52020VV .
Questão 61 – UFLA-MG (Geometria Espacial)
Um retângulo de lados a e b, girando em torno de b, gera um
cilindro de volume 324π cm3 e, girando em torno de a, gera outro
cilindro de volume 144π cm3. Os valores de a e b,
respectivamente é:
a) 4 cm e 9 cm. b) 9 cm e 4 cm. c) 8 cm e 3 cm.
d) 3 cm e 8 cm. e) 9 cm e 4 cm.
Solução
i) Cilindro 1 girando em torno de b:
π324V1
1
1
bh
ar
.
12
11 πV hr ba2 ππ324 ba2324 .
ii) Cilindro 2 girando em torno de a:
π144V2
2
2
ah
br
.
2222 πV hr ab2 ππ144 ab2144
2
144
ba .
Substituindo ii e i, temos:
•
324
1442
2bb 2
22
22
1812
bb 2
4
4
1812
bb
1818
121212123b
33
1212223b 4443b
4b .
• b
a3242
4
3242a 812a 9a .
Logo, os valores de a e b são 9 cm e 4 cm.
Questão 62 – UFRGS (Geometria Espacial)
Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro está completamente
cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é 16 cm.
O número de doces em formato de bolinhas de 2 cm de raio que
se podem obter com toda a massa é:
a) 300 b) 250 c) 200 d) 150 e) 100
Solução
i) Cilindro: cm102
Dr e h = 16 cm.
hr2panela πV 1601πV 2
panela3
panela cm π1600V
ii) Esfera: r = 2.
3doce π
3
4V r 3
doce 2 π3
4V 3
doce cm π3
32V .
Logo, o numero de doce feito é:
doce
panela
V
Vn
3
π32
π1600n
π32
3
1
π1600n
350n 150n .
Questão 63 – MACK-SP (Geometria Espacial)
Um frasco de perfume de forma esférica, com raio de 4 cm,
contém perfume em 4
1 de seu volume total. Se uma pessoa
utilizar, todos os dias, 2 ml do perfume, das alternativas abaixo, a
que indicará o maior período de tempo de duração do perfume
será:
a) 16 dias. b) 33 dias. c) 26 dias. d) 54 dias. e) 43 dias.
Solução
O volume total do frasco V com o raio de 4 cm é:
3 π3
4V r 34π
3
4V m
3
π256V
Obs: 1 cm3 = 1 ml.
O volume do perfume 4
1 é do total, ou seja:
3
π256
4
1Vp m
3
π64Vp .
Usando 2 ml/dia, o perfume acabará em:
2
3
π64
n 2
1
3
π64
3
π3232 dias.
Questão 64 – UFPB (Geometria Espacial)
Depois de desistir de retirar a pipa do poste, João foi jogar
futebol no quintal da casa. Ao chutar a bola com muita força fez
com que ela caísse num reservatório de água com a forma de um
cilindro reto, cujo o diâmetro é 96 cm. Maria percebeu que
exatamente a metade da bola ficou sbmessa, o que elevou o nível
da água do reservatório em 0,5 cm como mostra o desenho.
O raio da bola é:
a) 10 cm b) 11 cm c) 12 cm d) 13 cm e) 14 cm
Solução
O volume de água deslocada (V1) do cilindro é equivalente ao
volume da semi-esfera (V2), ou seja, V1 = V2.
• Volume deslocado.
hr21 πV 5,048πV 2
1 5,02304πV1
31 cm π1152V .
• Raio da bola.
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2
π3
4
2
VV
3
esfera2
r
3 π6
41152π r 3
2
31152 r
3
2
31152 r 35763r 17283r cm 12r .
Questão 65 – MACK-SP (Geometria Espacial)
Um vazamento, em um navio-tanque, provoca o aparecimento de
uma mancha de óleo que tem forma circular e espessura
constante de 2,5 cm, como na figura. O raio da mancha, t
minutos depois do início do vazamento, é dado, em metros, pela
relação 5
)(t
tr .
Adotando π = 3, o volume, em m
3, de óleo vazado, após 4
minutos do início do vazamento, é:
a) 0,014 b) 0,016 c) 0,08 d) 0,02 e) 0,012
Solução
Após 4 minutos do inicio do vazamento, o raio da mancha será:
5
4)4(r
5
2)4(r m 4,0)4( r .
Adotando π = 3, o volume de óleo vazado é de um cilindro de
raio da base 0,4 m e altura 2,5 cm (0,025 m). Portanto:
hr2óleo πV 321
óleo 1025)104(3V
32óleo 101025163V 5
óleo 104003V
5óleo 101200V 012,0Vóleo .
Questão 66 – Fatec-SP (Geometria Espacial)
Duas esferas maciças iguais e tangentes entre si estão inscritas
em um paralelepípedo reto-retângulo oco, como mostra a figura
abaixo. Observe que cada esfera tangencia as quatro faces
laterais e uma das bases do paralelepípedo.
O espaço entre as esferas e o paralelepípedo está preenchido com
um líquido. Se a aresta da base do paralelepípedo mede 6 cm, o
volume do líquido nele contido, em litros, é aproximadamente
igual a:
a) 0,144 b) 0,206 c) 1,44 d) 2,06 e) 20,6
Solução
Sejam R e h, respectivamente, as medidas, em centímetros, do
raio da esfera e da altura do paralelepípedo. Assim:
• 2R = 6 ⟶ R = 3 cm.
• h = 4R ⟶ h = 4·3 cm ⟶ h = 12 cm.
• Volume do paralelepípedo:
Vpar = Ab·h ⟶ Vpar = R2·h ⟶ Vpar = 6
2·12 = 36·12 = 432 cm
3.
• Volume da espera:
3esf Rπ
3
4V ⟶ 3
esf 3 π3
4V ⟶ 3
esf cm π36V .
• Volume do líquido.
esferaparliq V2VV ⟶ π362432Vliq ⟶
π72432Vliq ⟶ 14,372432Vliq ⟶
08,226432Vliq ⟶ 3liq cm 92,205V .
1dm3 = 1000 cm
3 = 1l.
206,0dm 20592,0V 3liq .
Questão 67 – UEL-PR (Geometria Espacial)
As maiores pirâmides egípcias são conhecidas pelo nome de
“Pirâmides de Gizé” e estão situadas nas margens do Nilo. A
figura a seguir representa essas pirâmides: Miquerinos (2470
a.C.), Quéfren (2500 a.C.) e Quéops (2530 a.C.).
A maior e mais antiga é a de Quéops que tem a forma
aproximada de uma pirâmide de base quadrada com 230 metros
de lado e cujas faces laterais se aproximam de triângulos
equiláteros. Em matemática, “pirâmide” é um sólido geométrico.
O volume de um sólido com as dimensões da pirâmide de
Quéops é:
a) 33
m 3
230 b) 3
3
m 6
2230 c) 3
2
m 4
3230
d) 33
m 2
230 e) 3
3
m 2
2230
Solução
O volume é: HA3
1V b .
Área da base é: 222b m 52900230A .
Para encontrar a altura H, devemos ter a geratriz m:
4
222
m 222 115230 m
13225529002m m 396752 m .
222 115Hm 13225H39675 2
26450H2 213225H2 2115H 22
m 2115H .
21152303
1V 2
2
2
3
2115230V
2
http://omatematicoeadt.blogspot.com/
6
2230230V
23
3
m 6
2230V .
Questão 68 – UEPA (Geometria Espacial)
Uma das máximas utilizadas nas pesquisas para o
desenvolvimento do “produto perfeito” é que ele deve possuir o
menor número de componentes, de tal modo que possa conseguir
um justo equilíbrio entre forma, produção e custo. Uma fábrica
de leite em pó investe na produção de duas embalagens para a
comercialização de um novo lançamento. O modelo A é um
cilindro reto de raio R e o modelo B é um prisma reto de base
quadrada cujo lado mede L. Fonte: Limites do design, Dijon de Moraes – 2 ed., São Paulo, Studio Nobel, 1999. Texto
adaptado.
Sabendo-se que os dois modelos devem ter o mesmo volume e
que a altura do modelo B é duas vezes a altura de A, então, a
razão R/L, nessas condições, é:
a) π
2 b) 2π c)
π
1 d) 2π e)
π
2
Solução
Existem dois sólidos geométricos: um cilindro reto e um prisma
reto de base quadrada.
Como o volume dos dois sólidos é igual pc VV e usando a
condição R/L, temos:
pc VV hh 2LRπ 22
h
h
π
2
L
R2
2
π
2
L
R2
π
2
L
R .
Questão 69 – UEPA (Geometria Espacial)
O matapi é um instrumento especialmente projetado para a
captura de camarão, feito de talas de folhas de palmeira (miriti)
amarradas com cipó titica e muito utilizado na região amazônica.
Esse é um estilo de pesca artesanal que não agride o meio
ambiente. A forma de matapi é composta por dois cones dentro
de um cilindro. Internamente há aberturas nos ápices dos cones,
funcionando como funis, por onde o camarão entra para comer a
isca ali colocada, ficando preso no interior do artefato.
Considere, com as necessárias e devidas aproximações, que a
altura de um cone é 1/3 da altura do cilindro e que os raios dessas
duas figuras são iguais. Desse modo, a razão entre o volume do
cone e o volume do cilindro é:
a) 1/9 b) 1/6 c) 1/3 d) 3 e) 9
Solução
Existem dois sólidos geométricos: um cone e um cilindro como
mostra a figura abaixo.
A razão entre o volume do cone e volume do cilindro é:
cilindro
cone
V
V
cilindro2
cone2
π
π3
1
hr
hr
cilindro2
cilindro2
π
3
1π
3
1
hr
hr
9
1.
Questão 70 – UEPA (Geometria Espacial)
Dados estatísticos mostram que o desemprego e a violência
produzida pela desigualdade social levam milhares de pessoas ao
furto de alimentos dentro de supermercados. Em geral os
produtos embalados industrialmente em caixas de papelão são os
alvos mais diretos para a prática desses delitos. Suponha que o
conteúdo de uma dessas embalagens em formato de um
paralelepípedo reto de medidas inteiras “a”, “b” e “c”, conforme
ilustra a figura abaixo, seja constituído do seguinte modo:
• 1/4 do seu volume (Vp) seja ocupado por um ingrediente A;
• 1/3 do seu volume (Vp) seja ocupado por um ingrediente B;
• Metade do volume restante (VR) seja ocupado por um
ingrediente C.
Fonte: http://g1.globo.com/jornal-hoje/noticia/2011/09/supermercados- brasileiros-perdem-r-
820-milhoes-por-anocom-furtos.html.
Acesso em 11 de setembro de 2011-Texto-Adaptado.
Nestas condições e considerando que bac , então o número
de cubos de aresta 30
3
5
3
1 abx contendo um ingrediente D que
ainda cabem dentro do volume Vp é:
a) 2
)(3 ba cubos. b)
27
)(8 ba cubos.
c) 3
)(2 ba cubos. d)
8
)(27 ba cubos.
e) )( ba cubos.
Solução:
O volume de um paralelepípedo é: cbaVp .
• O ingrediente A ocupa (1/4) do Vp: pV4
1A .
• O ingrediente B ocupa (1/3) do Vp: pV3
1B .
• metade do volume restante (VR) é ocupada pelo ingrediente C:
C2
RV.
Dessa forma, a outra metade do volume restante (VR) é ocupada
pelo ingrediente D: D2
RV.
Ou seja, o volume restante é ocupado pelos ingredientes C e D:
DCRV .
Os ingredientes A, B, C e D ocupam o volume do paralelepípedo
da seguinte forma:
http://omatematicoeadt.blogspot.com/
RV
p DCBAV Rppp VVVV3
1
4
1
ppR VVV12
7
pR VV
12
712pR VV
12
5 .
Como os ingredientes C e D ocupam a metade do volume
restante C2
RV e D
2RV
, ou seja, C = D.
Dessa forma, o volume ocupado pelo ingrediente D no
paralelepípedo é: 2
D RV
2
12
5
DpV
pV24
5D .
O volume do cubo (Vc) de aresta 30
3
5
3
1 abx é:
3
33
3
5
3
1 abaVc
3
5
27
1 abVc
81
5abVc .
Assim o número de cubos n é razão do volume ocupado do
ingrediente D pelo volume do cubo (Vc):
cV
nD
81
524
5
ab
V
np
ab
Vn p5
81
24
5
ab
Vn
p 27
8
ab
abcn
27
8 cn
8
27)(
8
27ban .
Questão 71 – UFPA adaptada (Geometria Espacial)
Um arquiteto planeja uma catedral cuja forma é um tronco de
cone reto com altura de 90 m, raio maior 90 m e raio menor 60
m. O tronco de cone é perfurado por um cilindro reto com raio
60 m, cujo eixo é o mesmo do cone. O volume do espaço
limitado pelo tronco de cone, o cilindro e o piso.
a) 837.000π m3 b) 702.000π m
3 c) 513.000π m
3
d) 324.000π m3 e) 189.000π m
3
Solução
Volume do troco de cone: h = 90 m; R = 90 m; r = 60 m.
]60609090[3
π90][
3
πV 2222
t.cone rrRRh
)90008100(π30]360054008100[π30Vt.cone
3cone m 000.51317100π30V .
Volume do cilindro: h = 90 m; 60 m.
6060ππV 22cilindro hr 903600π
3cilindro m π000.324V .
Volume restante é: 3
cilindrot.conecilindro m πVVV
3cilindro m π000.189π000.324π000.513V .
Questão 72 – UFPA (Geometria Espacial)
Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos de açaí. Um
típico exemplar tem forma de um tronco de cone, com diâmetro
de base 28 cm, diâmetro de boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos
afirmar, utilizando π = 3,14
que a capacidade da rasa, em litros, é
aproximadamente:
a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26
Solução:
Raio da base (r) = 14 cm; Raio da boca (R)= 17 cm; h = 27 cm.
O volume do tronco de cone é:
]14141717[3
π27][
3
πV 2222
t.cone rrRRh
]196238289[9πVt.cone 7239π 72314,39
650714,3Vt.cone3cm 32204 .
1dm3 = 1000 cm
3 = 1l.
432,20Vt.cone .
Questão 73 – UFPel-RS (Geometria Espacial)
Duas substâncias, A e B, que não se misturam, são colocadas
num recipiente de forma cônica, de modo que a substância A
ocupe até a metade da altura do cone e a substância B, o restante
(conforme a figura). A razão entre o volume de A e o volume de
B é:
a) 7
8 b)
7
1 c) 1 d)
8
1 e) 7
Solução
A razão da altura menor com altura maior do cone, temos:
R
r
h
h 2/
R
r
2
1
2
Rr .
i) a substância A forma um cone reto de raio r e altura 2
h:
O volume de um cone é: hr2A π
3
1V , temos:
22 π
3
1V
2
A
hR
24 π
3
1V
2
A
hRhR2
A π24
1V .
ii) a substância B forma um tronco de cone com raio menor r,
raio maior R e altura 2
h.
O volume de um tronco de cone é: ][π3
1V 22
B rrRRh ,
temos:
422π
3
1V
22
B
RRRR
h
4
7π
6
1V
2
B
Rh
2B π
24
7V Rh .
A razão de B
A
V
V é:
7
1
24/7π
24/π
V
V2
2
B
A Rh
Rh.
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Questão 74 – PUC-SP (Geometria Espacial)
Um tronco de pirâmide de bases quadradas tem 2.814 cm3 de
volume. A altura do tronco mede 18 cm e o lado do quadrado da
base maior mede 20 cm. Então, o lado do quadrado da base
menor mede:
a) 8 cm b) 6 cm c) 3 cm d) 12 cm e) 14 cm
Solução
Vt = 2814 cm3; h = 18 cm; lB = 20; lb = ?.
AB = 202 = 400 cm
2; Ab = l
2.
]AAAA[3
V bBbBt
h
]400400[3
182814 22 ll
2204006
2814ll 2204004690 ll
69202 ll 676276400 .
a
bl
2 2
2620 l
23
3
2
1
l
l.
Questão 75 – Fatec-SP (Geometria Espacial)
Um tubo de vidro, com formato de cilindro circular reto, é
graduado com um escala e está cheio de água até a borda. O
diâmetro interno do tubo é 5 cm. Inclinando-o paulatinamente,
despeja-se a água nele contido até que atinja a marca que dista da
borda π
8cm, conforme mostra as figuras.
O volume de água despejada é:
a) 25 cm3 b) 50 cm
3 c) 75 cm
3 d) 100 cm
3 e) 125 cm
3
Solução
Seja o tronco de cilindro com G = π
8cm e r = 2,5 cm.
2
)gG( πV 2
t.cil r 2
π/8 2,5πV 2
t.cil
2
1
π
8 25,6πVt.cil 4 25,6πVt.cil
3t.cil cm π25V .
Questão 76 – UEPA (Geometria Analítica)
Um personal trainer, acompanhando os preparativos de um
atleta, observou que o rendimento deste crescia linearmente com
o tempo. Aproveitando seus conhecimentos matemáticos,
registrou em um gráfico cartesiano o percurso, em km, no final
do 5º e do 15º dia, conforme figura abaixo. A equação da reta
que passa pelos pontos A e B é:
a) 0225 yx b) 0252 yx
c) 01052 yx d) 0225 yx
e) 01052 yx
Solução
O coeficiente angular (m) da reta é:
x
ym
515
48
10
4
5
2.
Usando a fórmuala da equação da reta, temos:
00)( yymxx 45
2)5( yx 205102 yx
01052 yx .
Questão 77 – UEPA (Geometria Analítica)
Segundo a Revista VEJA de 03.10.07, o mundo dá sinais de que
a paciência com o Irã está chegando ao fim. Rudolph Giuliani,
candidato à presidência dos EUA, defende um ataque preventivo
para evitar que o país se torne uma potência nuclear, pois o
presidente do Irã declarou ser seu projeto riscar Israel do mapa.
O material bélico do Irã é uma preocupação mundial. Seus
mísseis têm um alcance considerável e um raio de ação de
grande destruição. Um míssil foi lançado sobre uma região e
devastou uma área de formato circular. O raio de ação desse
míssil foi registrado por meio da equação
044222 yxyx . Esse raio, em km, mede:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Solução
Considerando a equação reduzida da circunferência de centro
O(a, b): 222 )()( rbyax .
E a equação geral da circunferência:
0CBA22 yxyx .
Onde: a2A , b2B e 222C rba .
Usando a equação: 044222 yxyx , temos:
• a2A a22 1a .
• b2B b24 2b .
• 222C rba 222 214 r
4412r 9r 3r .
Logo, o raio de ação é de 3 km.
Questão 78 – UEPA (Geometria Analítica)
Um professor de matemática preocupado com o desmatamento
na Amazônia resolveu desenvolver uma atividade com seus
alunos, na qual abordava o desmatamento de uma determinada
área. O objetivo da atividade estava relacionado à sensibilização
para necessária preservação da floresta amazônica. Na atividade
foram apresentados os gráficos abaixo, com a figura 1
representando a área sem o desmatamento e a figura 2
representando a área com o desmatamento existente. Se a área
desmatada pode ser representada pela equação da circunferência
04010822 yxyx , então o número aproximado, em
porcentagem, dessa área desmatada é:
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a) 9,81 b) 12,42 c) 14,32 d) 15,78 e) 17,41
Solução
A área desmatada da figura 2 é um círculo baseado na equação
geral:
04010822 yxyx .
• a2A a28 4a .
• b2B b210 5b .
• 222C rba 222 5440 r
40412r 1r .
A área desmantada (Ad), sendo o valor do raio igual a 1 e
considerando π = 3,14, temos:
2d πA r 2
d 13,14A 3,14Ad u.a.
A área não desmatada (And) da figura 2 é um retângulo com base
igual 8 e altura igual a 4, temos:
hbndA 48And 32And u.a.
A porcentagem (p) desmatada na área da figura 2 é:
32 ––––––––– 100%
3,14 –––––––– p
32
10014,3p
32
314p 8125,9p .
Questão 79 – UFPA (Geometria Analítica)
Uma companhia de telefonia celular deseja instalar três torres de
transmissão de sinal para delimitar uma região triangular com
600 km2 de área, de tal modo que a primeira torre se localize a
32 km a leste e 60 km ao norte da central de distribuição mais
próxima, e a segunda torre se localiza a 70 km a leste e 100 km
ao norte da mesma central de distribuição.
Sabendo-se que a terceira torre deve localizar-se a 20 km ao
norte desta central de distribuição, é correto afirmar que a
posição a leste da terceira torre é:
a) 131 km. b) 65 km. c) 102 km. d) 24 km. e) 35 km.
Solução
Seja o par ordenado (x, y) = (leste, norte), temos:
A(32, 60); B(70, 100); C(x, 20) e área de 600 km2.
2
|Adet |Área , temos:
1
1
1
A
CC
BB
AA
yx
yx
yx
120
110070
16032
A
x
20
10070
6032
120
110070
16032
A
xx
42006401001400603200A xx
48404046000A x 24040A x .
Substituindo na fórmula é:
2
|24040|006
x1200|24040| x .
120024040
120024040
x
x
240120040
240120040
x
x
96040
144040
x
x
km 24
satisfaz) (não 36
x
x.
Questão 80 – FAAP-SP (Geometria Analítica)
Uma reta de demanda estabelece a relação entre o preço de
venda p de uma unidade de um produto e a quantidade q que se
deseja comprar. Um distribuidor de relógios de mesa estima que,
se o preço for R$ 80,00, ele poderá vender 1.000 unidades; se o
preço subir para R$ 86,00, venderá 700. Quantos relógios ele
poderia vender se o preço fosse R$ 90,00?
a) 580 b) 900 c) 500 d) 730 e) 860
Solução
Seja o par ordenado (quantidade, preço) = (q, p).
q(x) 1000 700 x
p(y) 80 86 90
Os pontos estão alinhados, logo:
0
1
1
1
33
22
11
yx
yx
yx
0
190
186700
1801000
x
0
90
86700
801000
190
186700
1801000
xx
0560009000086630008086000 xx
0670004000 x 30006x 500x .
Questão 81 – PUC-SP (Geometria Analítica)
Na figura abaixo tem-se representada, em um sistema de eixos
cartesianos ortogonais, a rota de uma aeronave, de uma cidade M
a uma cidade N, passando sobre as pequenas cidades A e B.
Se os quatro pontos pertencem à reta de equação
0120034 yx , a distância entre as cidades A e B, em
quilômetros, é aproximadamente:
a) 50 b) 500 c) 800 d) 5000 e) 8000
Solução
• O ponto A temos (x, 0), ou seja, y = 0.
01200034x 12004x 300x .
Logo, A(–300, 0).
• O ponto B temos (0, y), ou seja, x = 0.
01200304 y 12003y 400x .
Logo, B(0, 400).
A distância de A e B é:
22AB )()(d abab yyxx
22
AB )0400()3000(d 44AB 1016109d
4AB 1025d km 500dAB .
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Questão 82 – UFSM-SC (Geometria Analítica)
A figura mostra um retângulo com dois lados nos eixos
cartesianos e um vértice na reta que passa pelos pontos A(0, 12)
e B(8, 0). As dimensões x e y do retângulo, para que sua área seja
máxima, devem ser, respectivamente, iguais a:
a) 4 e 6 b) 5 e 2
9 c) 5 e 7 d) 4 e 7 e) 6 e 3
Solução
Os pontos A(0, 12), P(x, y) e B(8, 0) estão alinhados, logo:
0
1
1
1
BB
PP
AA
yx
yx
yx
0
108
1
1120
yx
0
08
120
108
1
1120
yxyx 012896 xy
03224 xy xy 3242 )i(2
312 xy
Seja a área do retângulo.
)2(Aret yx .
Substituindo (1) em (2), temos:
xx
2
312A xx 12
2
3A 2 xx 243A 2
Para que a área seja máxima, temos:
a
bxv
2
)3(2
24vx
6
24vx 4vx .
Substituindo em (1), temos:
42
312y 612y 6y .
As dimensões x e y são 4 e 6, respectivamente.
Questão 83 – UEPA (Geometria Analítica)
O comandante de um barco resolveu acompanhar a procissão
fluvial do Círio, fazendo o percurso em linha reta. Para tanto, fez
uso do sistema de eixos cartesianos para melhor orientação. O
barco seguiu a direção que forma 45° com o sentido positivo do
eixo x, passando pelo ponto de coordenadas (3, 5). Este trajeto
ficou bem definido através da equação:
a) 12 xy b) 143 xy c) 2 xy
d) 8 xy e) 43 xy
Solução
Seja o ângulo de inclinação 45º, temos:
1º60tg m .
Usando a fórmula da equação da reta no ponto (3, 5), temos:
)( 00 xxmyy )3(15 xy 53xy
2 xy .
Questão 84 – UERJ adaptada (Geometria Analítica)
A promoção de uma mercadoria em um supermercado está
representada, no gráfico a seguir, por 6 pontos de uma mesma
reta.
Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção,
pagará por unidade, em reais, o equivalente a:
a) 4,50 b) 5,00 c) 5,50 d) 6,00 e) 6,50
Solução
Sejam os pontos A(5, 150) e B(30, 50).
A equação da reta desses pontos é:
BA
BA
xx
yym
305
50150
25
1004 .
Seja a reta r: )( 00 xxmyy , temos:
)30)(4(50 xy 120450 xy
1704 xy .
Para x = 20, temos:
17020)4(y 17080y 90y .
O preço n de cada uma das 20 unidades é:
5,420
90n .
Questão 85 – UEPA (Geometria Analítica)
Pilates é um sistema de exercícios físicos que integra o corpo e a
mente como um todo, desenvolvendo a estabilidade corporal
necessária para uma vida mais saudável. A figura abaixo mostra
um dos exercícios trabalhado no Pilates e é observado que o
corpo da professora gera um arco AB.
Supondo que o arco gerado pelo corpo da professora seja um
quarto de uma circunferência de equação
01075600400100100 22 yxyx , o valor aproximado da
altura da professora é:
a) 0,24 π u.c. b) 0,5 π u.c. c) 0,75 π u.c.
d) 0,95 π u.c. e) 1,24 π u.c.
Solução
Seja a equação:
01075600400100100 22 yxyx
Dividindo a equação por 100, temos:
0100
10756422 yxyx .
Usando a equação: 0100
10756422 yxyx , temos:
• a2A a24 2a .
• b2B b26 3b .
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• 222C rba 222 32100
1075r
100
1075132r
100
107513002r 100
2252r 10
15r
5,1r .
Como o arco gerado é um quarto de uma circunferência, temos:
4
π2C
r
4
5,1π2C π75,0C u.c.
Questão 86 – UEPA (A. Combinatória)
Com projeto Sivam será implantado um radar com capacidade de
captar sinais num raio de 250 km. Um técnico situou a ação
desse radar no sistema de coordenadas cartesianas, conforme a
figura abaixo.
A equação dessa circunferência tangente aos eixos coordenados
é:
a) 222 500)500()500( yx
b) 222 500)250()250( yx
c) 222 250)250()250( yx
d) 222 250)500()500( yx
e) 222 250 yx
Solução
Como o raio é 250 km e a circunferência tangencia os eixos x e y
no 1º quadrante as coordenadas do centro é 250, ou seja, o
próprio raio.
Seja a equação da circunferência é:
222 )()( rbyax 222 250)250()250( yx .
Questão 87 – UEPA (Estatística)
Texto
Em relação ao gráfico apresentado no Texto, a taxa média de
fecundidade do Japão ao Brasil é igual a:
a) 1,55 b) 1,48 c) 1,8 d) 1,3 e) 1,2
Solução
As taxa de fecundidade do Japão ao Brasil, temos:
Japão: 1,2; Espanha: 1,3; Itália: 1,3; China: 1,8 e Brasil: 1,8.
48,15
4,7
5
8,18,13,13,12,1
x .
Questão 88 – UEPA (Estatística)
Com base nos dados apresentados no gráfico do Texto 3, a
mediana é igual a:
a) 2,0 b) 1,8 c) 3,6 d) 1,3 e) 2,1
Solução
Como as taxas de fecundidade do texto 3 está em rol, temos:
1-1,2-1,3-1,3-1,8-1,8-2,0-2,1-2,1-7,3
Para encontrar a mediana das taxas, devemos encontrar o termo
central do rol, neste caso, teremos:
8,12
8,18,1md
.
Questão 89 – UEPA (Estatística)
A emissão de certidão negativa de débitos, ilustrada no gráfico
abaixo, evidencia as duas modalidades disponibilizadas pela
receita federal. Considerando que, em 2006, foram emitidos 12
milhões de CND, então o número de CND’s emitidas pela
internet foi de:
Fonte: www.receita.fazenda.gov.br
a) 8,34 milhões. b) 9,76 milhões c) 10,15 milhões.
d) 10,85 milhões. e) 11,64 milhões
Solução
12 –––– 100%
x –––– 97%
64,11100
1164x milhões.
Questão 90 – UEPA (Estatística)
Fonte: www.receita.fazenda.gov.br
O gráfico acima mostra a evolução da entrega de declarações e
documentos, via internet. A média, em milhões de unidades, de
entrega de declarações e documentos no período de 2000 a 2005
é:
a) 22,4 b) 28,5 c) 33,6 d) 40,5 e) 45,6
Solução
A média de 2000 a 2005 é:
2000 ⟶ 19,8 milhões.
2001 ⟶ 24,7 milhões.
2002 ⟶ 33,7 milhões.
2003 ⟶ 38,1 milhões.
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2004 ⟶ 42,9 milhões.
2005 ⟶ 42,4 milhões.
6
4,429,421,387,337,248,19x
6
6,201
6
1,1575,44
6
4,858,715,44x 6,33x .
Questão 91 – UFPA (Estatística)
A figura abaixo mostra o ciclo de crescimento do eucalipto, uma
planta de celulose e bastante usada na fabricação de papel,
carvão vegetal e madeira. A média, aproximada, de crescimento
do eucalipto, nos 7 primeiros anos, de acordo com os dados
apresentados, é:
Fonte: Revista Super Interessante, Setembro, 2007.
a) 15,34 m b) 20,28 m c) 25,47 m d) 26,38 m e) 27,20 m
Solução
A média de crescimento do eucalipto é:
7
8359
7
3028252218136x
7
142x
28,20x .
Questão 92 – ENEM (Estatística)
Um sistema de radar é programado para registrar
automaticamente a velocidade de todos os veículos trafegando
por uma avenida, onde passam em média 300 veículos por hora,
sendo 55 km/h a máxima velocidade permitida. Um
levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a
elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com
a velocidade aproximadamente.
A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é
de:
a) 35 km/h. b) 44 km/h. c) 55 km/h.
d) 76 km/h. e) 85 km/h.
Solução
O valor médio de velocidade para os veículos que trafegam na
referida avenida fica determinada pela média ponderada das
velocidades citadas no gráfico. Nessa média ponderada, o peso
de cada velocidade é a respectiva porcentagem de veículos que
têm esta velocidade.
1364030155
80703606504040303015205
mV
100
8021036020001200450100 mV
hkmVm /44100
4400
Obs: o valor médio de velocidades. Questão 93 – UFPA (Estatística)
No gráfico estão representados os gols marcados e os gols
sofridos por uma equipe de futebol nas dez primeiras partidas de
um determinado campeonato.
Considerando que, neste campeonato, as equipes ganham 3
pontos para cada vitória, 1 ponto por empate e 0 ponto em caso
de derrota, a equipe em questão, ao final da décima partida, terá
acumulado um número de pontos igual a
a) 15 b) 17 c) 18 d) 20 e) 24
Solução
O gráfico tracejado (de gols marcados) está acima do gráfico
contínuo (de gols sofridos) em cinco datas e estão juntos em
outras três datas.
Assim sendo, a equipe em questão teve cinco vitórias e três
empates, totalizando 5×3 + 3×1 = 18 pontos. Questão 94 – UEPA (Estatística)
Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos.
Enquanto a França é a 5ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a
10ª, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto,
devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois
países ainda não é adequadamente explorado, como mostra a
tabela seguinte, referente ao período 2003-2007.
INVESTIMENTOS BILATERAIS
(em milhões de dólares)
Ano Brasil na França França no Brasil
2003 367 825
2004 357 485
2005 354 1458
2006 539 744
2007 280 1214 Disponível em www.cartacapital.com.br. Acesso em: 7 jul. 2009.
Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os
valores médios dos investimentos da França no Brasil foram
maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor
a) inferior a 300 milhões de dólares.
b) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões
de dólares.
c) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões
de dólares.
d) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões
de dólares.
e) superior a 600 milhões de dólares.
Solução
•O valor médio dos investimentos da França no Brasil, em
milhões de dólares, foi de:
2,9455
4726
5
12147441458485825
http://omatematicoeadt.blogspot.com/
• O valor médio dos investimentos do Brasil na França, também
em milhões de dólares, foi de
4,3795
1897
5
280539354357367
Ainda neste período, o valor médio dos investimentos da França
no Brasil foi superior ao do Brasil na França em 945,2 – 379,4 =
565,8 milhões de dólares.
Questão 95 – UEPA (Estatística)
Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo
extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa
de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.
Mês Cotação Ano
Outubro R$ 83,00 2007
Novembro R$ 73,00 2007
Dezembro R$ 81,60 2007
Janeiro R$ 82,00 2008
Fevereiro R$ 85,30 2008
Março R$ 84,00 2008
Abril R$ 84,60 2008
De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações
mensais do ovo extra branco nesse período era igual a:
a) R$ 73,10 b) R$ 81,50 c) R$ 82,00.
d) R$ 83,00 e) R$ 85,30.
Resolução
Fazer a distribuição dos dados da tabela em rol (menor-maior ou
maior-menor) é:
R$ 73,10, R$ 81,60, R$ 82,00, R$ 83,00, R$ 84,00,
R$ 84,60, R$ 85,30.
A mediana das cotações mensais nesse período é o termo central
do rol, ou seja, R$ 83,00.
Questão 96 – UFPA (Estatística)
O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos
artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de
2006.
Disponível em: http://www.suapesquisa.com. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).
A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades
de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo?
a) 6 gols b) 6,5 gols c) 7gols d) 7,3 gols e) 8,5 gols
Solução
A partir dos dados:
8; 5; 7; 9; 11; 13; 4; 9; 10; 7; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 8; 5, obtém-se o
rol:
4; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 6; 6 (9º); 7 (10º); 7; 8; 8; 9; 9; 10; 11; 13
A mediana é 5,62
76
.
Questão 97 – Esam-RN (Nº Complexos)
Se ibiia 5)21)(3( , então ba é:
a) –5 b) –4 c) 1 d) 4 e) 5
Solução
ibiia 5)21)(3( ibiiaia 5632 2
ibiaia 5)1(632 ibiaia 5632
ibiaa 5)32()6(
532
6
a
ba
22
6
a
ba
1
6
a
ba
1
61
a
b
1
5
a
b.
Logo, 451 ba .
Questão 98 – UFAM (Nº Complexos)
A forma algébrica do número complexo i
iz
1
22 é:
a) –2i b) 2i c) 1+ i d) 1 – i e) 2 + 2i
Solução
)1(
)1(
)1(
)22(
i
i
i
iz
2
2
1
2222
i
iii
)1(1
)1(242
i
2
4iz
iz 2 .
Questão 99 – UFSM-RS (Nº Complexos)
A soma dos números complexos i
i
1
55 e
i1
20 é:
a) 2
525 i b) i1010 c) i1010
d) i1015 e) i2030
Solução
ii
i
1
20
1
55
)1)(1(
)1(20
1
)1(5
ii
i
i
i
21
20205
i
i
)1(1
20205
i
2
20205
i
2
202010 i
2
2030 i
i1015 .
Questão 100 – UFBA (Nº Complexos)
Sendo iz 2 , o inverso de 2z é:
a) 41
45 i b)
5
2 i c) i
25
3
25
4
d) i25
4
25
3 e) i
25
4
25
3
Solução
22 )2( iz 244 ii 144 i i43 .
Logo, 2
1
z é:
iz 43
112
)43)(43(
43
ii
i
2169
43
i
i
169
43 i
25
43 i.
Questão 101 – Fafi-BH (Nº Complexos)
A fração 301316
351723
iii
iiii
corresponde ao número complexo:
a) 1 + i b) –1 + i c) –1 – i d) 1 – i e) 2 + i
Solução
• ii 3 ; • 12 i ; • iiii 1617 ; • iiii 33235 ;
http://omatematicoeadt.blogspot.com/
• 101616 iii ; • iiii 1213 ; • 122830 iii .
301316
351723
iii
iiii
11
1
i
iii
i
i1
ii
ii)1(
2
2
i
ii
i1 .
Questão 102 – UFSC adaptada (Nº Complexos)
Dada a expressão 722 zizz , sendo z um número
complexo, determine 2|| z .
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Solução
722 zizz 7)(2)()(2 ibiabiabia
72222 2biaibiabia
7)1(223 baibia aibbia 2723
ab
ba
2
723
02
723
ab
ba
036
1446
ba
ba
147b 2b .
• 02 ba 022a 1a ; iz 21 .
• 5))2()1((|| 2222 z .
Questão 103 – UERN (Nº Complexos)
Se i
iz
1
)1( 2
, o argumento de z é:
a) 4
π3 b)
4
π c)
4
π d)
2
π e)
4
π3
Solução
i
iz
1
)1( 2
i
ii
1
21 2
i
i
1
2
)1)(1(
)1(2
ii
ii
2
2
1
22
i
ii
)1(1
)1(22
iz
2
22
ii 1 .
21)1(|| z 2 .
• ||
αcosz
a
2
1αcos
2
2
º1352
2cos arcα
.
• ||
αz
bsen
2
1α sen
2
2º135
2
2sen arcα .
Logo, 4
π3º135 .
Questão 104 – UFAL (Nº Complexos)
A imagem do número complexo
6
π11
6
π11cos3 seniz é
o ponto:
a)
2
3,
2
33 b)
2
33,
2
3 c)
2
3,
2
33
d)
2
1,
2
3 e) )3,33(
Solução
6
π11
6
π11cos3 seniz
2
1
6
π
6
π11
2
3
6
πcos
6
π11cos
sensen
2
1
2
33 iz i
2
3
2
33 .
Logo, a imagem de z é o ponto
2
3,
2
33.
Questão 105 – PUC-RS (Nº Complexos)
Seja z um número complexo cujo afixo P está representado
abaixo no plano Argand-Gauss.
A forma trigonométrica do número z é:
a) )º150º150(cos3 seni b) )º30º30(cos3 seni
c) )º150º150cos(3 seni d) )º120º120(cos3 seni
e) )º60º60cos(3 seni
Solução
iz2
3
2
3
O módulo de z é:
22
2
3
2
3|| z
4
3
4
9
4
123 .
•
3
2
3
αcos32
3αcos
2
3
º1502
3cos arcα
.
• 3
2
3
αsen32
3α sen
2
1º150
2
1sen arcα .
Logo, )º150º150(cos3 seni .
Questão 106 – UCDB-MS (Nº Complexos)
Dados os números complexos
6
π
6
πcos31 seniz e
3
π
3
πcos22 seniz , o produto de 21 zz , na forma
algébrica, é igual a:
a) 6 + 6i b) 6 – 6i c) –6i d) 6i e) –6 – 6i
Solução
3
π
6
π
3
π
6
πcos2321 senizz
http://omatematicoeadt.blogspot.com/
6
3π
6
3πcos621 senizz
2
π
2
πcos621 senizz
)0(621 izz izz 621 .
Questão 107 – UEMA (Nº Complexos)
Considere z um número complexo satisfazendo a condição
2|| z . Se o argumento de z é igual 60º, então 9z é igual a:
a) i92 b) 92 c) )1(29 i d) )1(29 i e) 92
Solução
Escrevendo z na forma trigonométrica:
)º60º60(cos2 seniz
)º609º609(cos299 seniz
)º540º540(cos299 seniz
)º180º180(cos299 seniz )01(299 iz
99 2z .
Questão 108 – UFRGS (Nº Complexos)
O valor de 9)3( i é:
a) 64 – 64i b) –64i c) 64i d) –64 e) 64
Solução
Seja iz 3 .
213|| z .
• ||
αcosz
a
2
3αcos
6
πº30
2
3cos arcα .
• ||
αz
bsen
2
1αsen
6
πº30
2
1sen arcα .
Logo:
6
π
6
πcos2 seniz
6
π6
6
π6cos266 seniz
]ππ[cos646 seniz ]01[646 iz 646 z .
Questão 109 – FGV-SP (Nº Complexos)
O ponto P é o afixo de um número complexo z e pertence à
circunferência de equação 922 yx . Sabendo-se que o
argumento de z é 60º, pode-se afirmar que:
a) iz2
1
2
3 b) iz
2
33
2
3 c) iz
2
3
2
1
d) iz2
3
2
33 e) iz
6
3
6
1
Solução
A circunferência 922 yx tem centro (0, 0) e raio 3. Como P
pertence à circunferência, a distância de P até C é o modulo de z
e vale 3. Sendo 60° o argumento de z, temos:
)αα(cos|| senizz )6060(cos6 seniz
iz
2
3
2
13 iz
2
33
2
3 .
Questão 110 – (Nº Complexos)
Sendo )7070(cos41 seniz , )1515(cos52 seniz
e )4040(cos23 seniz , então 3
21
z
zz é igual a:
a) )3030(cos5 seni b) )1010(cos5 seni
c) )1515(cos10 seni d) )4545(cos10 seni
e) )1(25 i
Solução
• )]º1570()º1570([cos5421 senizz
]º8585[cos2021 senizz .
•
)]40º85()º40º85([cos2
20
3
21 seniz
zz
]45º45[cos103
21
seniz
zz.
Questão 111 – (Nº Complexos)
A segunda fórmula de De Moivre:
n
k
nseni
n
k
nzw n
k
π2απ2αcos||
Para qualquer número complexo z, não-nulo, admite n raízes
enésimas distintas com o mesmo módulo n z || e seus
argumentos formam um progressão aritmética com, n
aα
1 e
nr
π2 . As raízes cúbicas do número complexo iz 1
apresentam os argumentos 0θ , 1θ e 2θ , respectivamente:
a) 12
7π,
4
5π e
12
23π. b)
4
5π,
12
7π e
12
23π.
c) 12
7π,
12
23π e
4
5π. d)
4
5π,
12
23π e
12
7π.
e) 12
23π,
12
7π e
4
5π.
Solução
• 2)1(1|| z .
• ||
αcosz
a
2
2
2
1αcos
4
7π315α .
||
αz
bsen
2
2
2
1αsen
4
7π315α .
• A forma trigonométrica de z:
α)α(cos|| senizz
4
7π
4
7πcos2 seniz .
Para encontrar as raízes n = 3, temos a razão:
n
r2π
3
2π.
O argumento das raízes é:
3 2||n z6 2 .
As raízes z são 0w , 1w e 2w com os respectivos argumentos
0θ , 1θ e 2θ .
• 3
4
7π
θ012
7πθ0 .
http://omatematicoeadt.blogspot.com/
12
7π
12
7πcos26
0 seniw .
• r12
7πθ1
3
2π
12
7π
12
8π
12
7π
12
15πθ1
4
5πθ1 .
4
5π
4
5πcos26
1 seniw .
• r4
5πθ2
3
2π
4
5π
12
8π
12
15π
12
23πθ2 .
12
23π
12
23πcos26
1 seniw .
Questão 112 – Uniube-MG adaptada (Polinômios)
O grau do polinômio: 10032 )100()3()2)(1()( xxxxxq
é igual a:
a) 100 b) 100! c) 5.050 d) 10.100 e) 100.100
Solução
O grau do polinômio é dado pela soma dos termos da PA:
(1, 2, 3, … 100).
2
)( 1 naaS n
n2
100)1001(100
S 50101 5050 .
Logo, o gr(q) = 5.050.
Questão 113 – UERN (Polinômios)
Se 1)(A 2 xxx , 2)2()(B xx e xx 3)(C , então
)(C)(B)(A xxx vale:
a) 113133 23 xxx b) 113133 23 xxx
c) xxx 15153 23 d) xxx 15153 23
e) xxx 15153 23
Solução
)(C)(B)(A xxx )3()2()1( 22 xxxx
)(C)(B)(A xxx )3)(44(1 22 xxxxx
)(C)(B)(A xxx xxxxx 121231 232
)(C)(B)(A xxx 113133 23 xxx .
Questão 114 – UFPA (Polinômios)
O polinômio dcxbxaxx 23)(p e idêntico a
435)(q 2 xxx . Então, podemos dizer que dcba é
igual:
a) 6 b) 5 c) 4 d) 0 e) –3
Solução
)(q)(p xx 435 223 xxdcxbxax .
Como a = 0; b = 5; c = –3 e d = 4.
Logo, 64350 dcba .
Questão 115 – UFU-MG (Polinômios)
Dividindo-se polinômio p(x) por 742 xx , obtêm-se 12 x
como quociente e 8x como resto. É correto afirma que o
coeficiente do termo de grau 2 é:
a) –1 b) 4 c) 8 d) 5 e) 1
Solução
d(dividendo) D(divisor)
R(resto) Q(quociente)
D×Q + R = d
Assim,
D = 742 xx ; Q = 12 x ; R = 8x ; d = p(x).
8)1)(74()(p 22 xxxxx
87474)(p 2234 xxxxxxx
1584)(p 234 xxxxx .
O coeficiente de 2x é igual a 8.
Questão 116 – UFPI (Polinômios)
Seja R(x) o resto da divisão do polinômio
7610)(P 235 xxxxx por )1)(1()(D xxxx .
Então, pode-se, afirmar que:
a) R(1) = –9 b) R(0) = 7 b) R(–1) = 8
d) R(2) = 2 e) 78)(R 2 xxx
Solução
)1()(D 22xxx xx 3 .
7610 235 xxxx xx 3
35 xx 92 x
769 23 xxx
xx 99 3
786)(R 2 xxx
Logo, 971816)1(R 2 .
Questão 117 – Uneb-BA (Polinômios)
Se o polinômio bxxax 83 23 é divisível por 42 x , então
ba é igual a:
a) –24 b) –6 c) 2 d) 6 e) 24
Solução
• )2)(2(42 xxx .
•
01612808)2(p
0161280)2(p
ba
ba.
48
288
ba
ba 242b 12b .
48 ba 4128a 168a 2a .
• 242)12( ba .
Questão 118 – Unifor-CE (Polinômios)
Se, no universo ℝ a equação 0485 2345 xxxxx
admite a raiz (–1), com multiplicidade 3, então a soma das
demais raízes é:
a) –4 b) –3 c) 0 d) 3 e) 4
Solução
• O (–1) do lado esquerdo é raiz e os demais são os coeficientes
do polinômio de maior grau até o termo independente.
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–1 1 –1 –5 1 8 4
1
Aplicado o dispositivo de Briot-Ruffini 3 vezes, consiste em:
Abaixar o coeficiente de maior grau e multiplicar com a raiz e
depois somar com o coeficiente seguinte do polinômio, ou seja:
1·(–1) + (–1) = –2.
–1 1 –1 –5 1 8 4
1 –2
Dessa forma, obtemos um polinômio de grau 4.
–1 1 –1 –5 1 8 4
1 –2 –3 4 4 0
Aplicado o dispositivo de Briot-Ruffini pela 2ª vez.
–1 1 –1 –5 1 8 4
–1 1 –2 –3 4 4 0
1 –3 0 4 0
Aplicado o dispositivo de Briot-Ruffini pela 2ª vez.
–1 1 –1 –5 1 8 4
–1 1 –2 –3 4 4 0
–1 1 –3 0 4 0
–1 1 –4 4 0
O polinômio é 44)( 2 xxxQ .
0442 xx 2)2(x 221 xx
Logo, 2 + 2 = 4.