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TRIB
UIÇ
ÃO
GR
ATU
ITA
MateMática
e suas
tecnologias
VOLUME 2
3a. sériE
Simuladoenem2014
2 3a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Questão Matemática1
Gabarito: C
Comentários:A ) O aluno, ao multiplicar as dimensões do retângulo para obter a área, não multiplicou os denominadores.
101
2
125
2
12625
2
5 505
2⋅ = = .
B ) O aluno obteve o perímetro do retângulo ABCD. 2101
2
125
2101 125+
= + .
C ) Gabarito. Para determinar a área do retângulo, primeiro é preciso determinar a distância entre os pontos A e B e entre B e C.
d
d
A B
B C
,
,
( ) .
( )
= + + − +
= + =
= − + − −
2 33
21 5
1
4
101
2
2 33
24
22
2
2 = + −
=
2 2
111
2
125
2.
A área é dada por 101
2
125
2
12625
4
5 505
4⋅ = = .
D ) O aluno obteve apenas a distância entre os pontos A e B.E ) O aluno obteve apenas a distância entre os pontos B e C.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática2
Gabarito: A
Comentários:A ) Gabarito. A equação da reta que descreve a trajetória pela rua dos Tupinambás é dada por
x
p
y
q
x yx y+ = → + = → + =1
4 31 3 4 12.
B ) Para chegar a este cálculo, o aluno interpretou que a equação da reta é dada por x
p
y
q
x yx y+ = → + = → + =1
4 31 4 3 12.
C ) Para chegar a este cálculo, o aluno interpretou que a equação da reta é dada por x
p
y
q
x yx y+ = → + = → + =1
4 31 3 4 1. (e ainda interpretou que sempre se cancela o denominador de uma fração
após obter o mínimo múltiplo comum entre os denominadores.
3Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
D ) Para chegar a este cálculo, o aluno interpretou que a equação da reta é dada por x
p
y
q
x yx y+ = → + = → + =1
4 31 4 3 1. (E ainda errou ao somar as duas frações e interpretou que sempre se
cancela o denominador após obter o mínimo múltiplo comum.
E ) Para chegar a este cálculo, o aluno utilizou o fato de que a equação geral da reta é y = ax + b, obteve o seguinte
sistema 0 4
3 0
= += ⋅ +
a b
a b, e ao resolvê-lo obteve b = 3 e a= − 4
3, concluindo que a equação da reta é 4x + 3y = 3.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática3
Gabarito: B
Comentários:
A ) O aluno interpretou que a menor distância é dada por d hm m= − + − = + = = =( ) ( ) .0 3 0 5 9 16 25 5 502 2
B ) Gabarito. A equação da reta é dada por x
p
y
q
x yx y+ = → + = → + =1
4 31 3 4 12. A distância do ponto (0, 0) a essa
reta é da b
a bhm mp r,
| | | |, .= ⋅ + ⋅ −
+= −
+= = =0 0 12 12
9 16
12
52 4 240
2 2
C ) O aluno interpretou que a equação da reta é dada por x
p
y
q
x yx y+ = → + = → + =1
4 31 3 4 12. A distância do ponto
(0, 0) a essa reta é da b
a bhmp r,
| | | |,= ⋅ + ⋅ −
+= −
+= =0 0 12 12
9 16
12
52 4
2 2 e não houve a compreensão de que deveria
converter o resultado obtido de hectômetros para metros.
D ) O aluno interpretou que a equação da reta é dada por x
p
y
q
x yx y+ = → + = → + =1
4 31 3 4 1. Ao calcular a distância
obteve da b
a bhm mp r,
| | | |, .= ⋅ + ⋅ −
+= −
+= = =0 0 1 1
9 16
1
50 2 20
2 2
E ) O aluno interpretou que a equação da reta é dada por y = ax + b. Ao obter o seguinte sistema 0 4
3 0
= += ⋅ +
a b
a b e
resolvê-lo, obteve b = 3 e a= − 4
3, concluindo que a equação da reta é 4x + 3y = 3 e que a distância entre o ponto
(0, 0) e essa reta é da b
a bhm mp r,
| | | |, .= ⋅ + ⋅ −
+= −
+= = =0 0 3 3
9 16
3
50 6 60
2 2
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
4 3a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Questão Matemática4
Gabarito: D
Comentários:A ) O aluno interpretou que a equação da circunferência é dada por
( ) ( ) ( ) .x y r x y x y− + − = → + =
→ + =0 0
19
22 192 2 2 2 2 2 2
B ) O aluno interpretou que 19 representa o raio. C ) O aluno interpretou que r2 = 2r = d. Logo, fez que a equação da circunferência é dada por
( ) ( ) .x y r x y r x y d x y− + − = → + = → + = → + =0 0 2 192 2 2 2 2 2 2 2 2
D ) Gabarito. Como o centro é o ponto (0, 0) e o raio é r = 19
2, tem-se que a equação da circunferência é dada por
( ) ( ) ( ) .x y x y x y− + − =
→ + = → + =0 0
19
2
361
44 3612 2
22 2 2 2
E ) O aluno interpretou que a equação da circunferência é dada por
( ) ( ) ( ) ( )x y r x y x y x y− + − = → + =
→ + = → + =0 0
19
22 19 2 362 2 2 2 2
22 2 2 2 2 11.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática5
Gabarito: E
Comentários:
A ) O aluno calculou que a área procurada é igual a A = − =π π( ) .5 3 42
B ) O aluno interpretou que o raio da circunferência maior é x y x y x y x y x y x y r2 2 2 2 2 22 2 10 0 4 2 20 0 4 2 20 10+ − + − = → + − − − = → + − − = → =( ) e que o raio da circunfe-rência menor é x y x y r2 2 4 2 4 0 4+ − − − = → = . Obtendo a área igual a A = − =π π( ) .100 16 84
C ) O aluno obteve a área do círculo maior. D ) O aluno obteve a área do círculo menor. E ) Gabarito. O raio da circunferência maior é
x y x y x y x y x x y y2 2 2 2 2 22 2 10 0 4 2 20 0 4 4 4 2 1 1 20+ − + + = → + − − − = → − + − + − + − −( ) ==
− + − − = → − + − = → =
0
2 2 25 0 2 2 25 52 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) .x y x y r
O raio da circunferência menor é x y x y x x y y
x y r
2 2 2 2
2 2
4 2 4 0 4 4 4 2 1 1 4 0
2 1 9 3
+ − − − = → − + − + − + − − =
− + − = → =( ) ( ) ..Logo, a área da coroa circular é A = − =π π( ) .25 9 16
5Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática6
Gabarito: B
Comentários:
A ) O aluno calculou C(0) e C(2).
B ) Gabarito. Como o 1 é raiz de multiplicidade 2 do polinômio, pode-se usar o método de Briott-ruffini duas vezes da seguinte maneira:
1 1 –10 32 –38 15
1 1 –9 23 –15 0
1 –8 15 0
O polinômio resultante possui grau 2 e coeficientes iguais a 1, –8 e 15. Assim, basta encontrar as raízes de t t2 8 15− + , que equivalem a 3 e 5.
C ) O aluno aplicou o método de Briot-ruffini apenas uma vez.
1 1 –10 32 –38 15
1 1 –9 23 –15 0
D ) O aluno obteve a soma dos coeficientes do polinômio, resultante da aplicação dupla do método de Briot-ruffini (8) e calculou C(2).
E ) O aluno obteve a soma dos coeficientes do polinômio resultante da aplicação dupla do método de Briot-ruffini (8) e calculou C(0).
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática7
Gabarito: C
Comentários:
A ) O aluno interpretou que, como a função é do segundo grau, possui apenas duas raízes. Considerou a afirmação II como errada por ser uma função modular, concluindo que por esse motivo não pode admitir ordenada negativa, e na afirmativa III, ao substituir a abscissa do ponto na expressão da função, não elevou esse valor ao quadrado, e concluiu que o valor da ordenada é igual a 0.
6 3a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
B ) O aluno interpretou que, como a função é do segundo grau, possui apenas duas raízes. Fazendo x = 5
2, ob-
tém-se f x( ) .= − + = − + =5
25
5
26
25
4
15
26
1
4
2
Na afirmativa III, ao substituir a abscissa do ponto na expressão
da função, não elevou esse valor ao quadrado e concluiu que o valor da ordenada é igual a 0.
C ) Gabarito. A equação possui quatro raízes. Fazendo |x | = y, tem-se que as raízes da equação y2 – 5y + 6 são 2 e 3.
Assim, as raízes da função f x x x( ) | | | |= − +2 5 6 , são | |
| |
x x
x x
= ⇔ = ±= ⇔ = ±
2 2
3 3, logo I é falsa.
Calculando um dos pontos de mínimo, tem-se que xb
av =− =2
5
2 e yv = − + = − + = −25
4
25
26
25 50 24
4
1
4. Logo, a
afirmação II é verdadeira.
Se x = 3
2, então f
3
2
3
25
3
26
9
4
15
26
9 30 24
4
3
4
2
= − + = − + = − + = . Logo, a afirmação III é verdadeira.
D ) O aluno considerou a afirmação II como errada por ser uma função modular, concluindo que por esse motivo não pode admitir ordenada negativa.
E ) O aluno interpretou que, como a função é do segundo grau, possui apenas duas raízes. Considerou a afirmação II como errada por ser uma função modular, concluindo que por esse motivo não pode admitir ordenada negativa.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática8
Gabarito: E
Comentários:
A ) O aluno interpretou que deveria representar o desconto sobre um valor x, e não converteu o valor em porcentagem.
B ) O aluno interpretou que deveria representar o desconto sobre um valor x.
C ) O aluno interpretou que o desconto e a expressão que representa o valor a ser pago, após o desconto, equivalem a 100 0 03 99 97 99 97− = → =, , , .V x
D ) O aluno não converteu o valor em porcentagem para número decimal.
E ) Gabarito. O desconto é dado por 100 3 97 0 97− = =% , . Logo, a expressão que representa o valor V do IPVA a ser pago em cota única, em função do valor real x, equivale a V = 0,97x
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 19 – Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
7Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Questão Matemática9
Gabarito: D
Comentários:
A ) O aluno não transformou o valor em porcentagem para número decimal. Interpretando que a expressão que relaciona P e v é P v v v= − ⋅ =100 3 97 , concluindo que o coeficiente angular da reta equivale a 97.
B ) O aluno não transformou o valor em porcentagem para número decimal. Interpretou que a expressão que relacio-na P e v é P = 3 . v, concluindo que o coeficiente angular da reta equivale a 3.
C ) O aluno interpretou que a expressão que relaciona P e v é P = 0,03 . v, e concluiu que o coeficiente angular da reta equivale a 0,03.
D ) Gabarito. A expressão que relaciona P e v é P = 0,97 . v, considerando que o desconto dado é de 3% sobre o valor original v. Logo o coeficiente angular da reta vale 0,97.
E ) O aluno interpretou que 3% equivale a 0,3, concluindo que a expressão que relaciona P e v é P = 0,3 . v e que o coeficiente angular da reta equivale a 0,3.
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 3 – resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
Questão Matemática10
Gabarito: A
Comentários:
A ) Gabarito. A parte imaginária y do número complexo é 10 1 32
2 2( ) = + → = −y y , pois o ponto P está no quar-
to quadrante. Logo, o número complexo Z equivale a 1 – 3i e a expressão equivale a
E i i i i
E i i i
E i
= − − + + += + − − + += −
( ) ( )
.
1 3 2 1 3 1
3 2 6 1
2 4
B ) O aluno obteve apenas o número complexo Z.
C ) O aluno não obteve o conjugado do número complexo Z na expressão iz z i− + +2 1( ) , fazendo i i i i i i i i( ) ( ) .1 3 2 1 3 1 3 2 6 1 2 8− − − + + = + − + + + = +
D ) Ao aplicar a propriedade distributiva em i(1 – 3i), o aluno obteve i i i i i( ) .1 3 3 32− = − = −E ) O aluno interpretou que o número complexo Z é igual a 1 10− ⋅i , concluindo que a expressão equivale a
i i i i i( ) ( ) ( ) .1 10 2 1 10 1 2 10 2 10 1− − + + + = + + −
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
8 3a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Questão Matemática11
Gabarito: B
Comentários:A ) Para chegar a esse resultado, o aluno inverteu o sinal de desigualdade. B ) Gabarito. | | .2 145 45 45 2 145 45 100 2 190 50 95x x x x− ≤ →− ≤ − ≤ → ≤ ≤ → ≤ ≤C ) Para chegar a esse resultado, o aluno considerou que x representa a temperatura, variando entre 12°C e 23°C.D ) Para chegar a esse resultado, o aluno considerou que x representa a temperatura, variando entre 12°C e 23°C e
inverteu o sinal de desigualdade.E ) Para chegar a esse resultado, o aluno analisou apenas os dados fornecidos no enunciado, interpretando que a
expressão que representa os possíveis valores para o percentual de umidade equivale a | | .x− ≤50 90
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 19 – Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
Questão Matemática12
Gabarito: D
Comentários:A ) O aluno interpretou que a redução percentual é dada por
2400
23001 04= , .
B ) O aluno interpretou que a redução percentual é dada por 100 2 3
100
97 7
1000 977
− = =, ,, .
C ) O aluno dividiu 100 por 2,3, e em seguida interpretou que, para obter o resultado final em porcentagem, deveria dividir o resultado obtido por 100.
D ) Gabarito. A redução percentual equivale a 2400 2300
2400
100
24004 17
− = ≅ , .
E ) O aluno interpretou que a redução percentual é dada por 2300
24000 95= , .
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 3 – resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
Questão Matemática13
Gabarito: C
Comentários:
A ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve a soma entre 16:9 e 88, concluindo que a altura equivale a
8816
9
808
989 7+ = = , .
B ) Para chegar a esse resultado, o aluno calculou que 16
9 88
1408
9156 4= → = → =x
x x , .
9Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
C ) Gabarito. Como a largura é de 88 centímetros, tem-se que a altura obedece à proporção 16
9, ou seja,
16
9
8816 792
792
1649 5= → = → = =
xx x , .
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno subtraiu 16
9 de 88, concluindo que a altura da TV equivale a
8816
9
776
986 2− = = , .
E ) Ao multiplicar 9 por 88 utilizando o algoritmo da multiplicação, o aluno não considerou as dezenas resultantes da
multiplicação entre as 8 unidades e 9, obtendo 9 . 88 = 722. Logo, 16
9
8816 722
722
1645 1= → = → = =
xx x , .
Competência ENEM: 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
Habilidade ENEM: 16 – resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Questão Matemática14
Gabarito: A
Comentários:
A ) Gabarito. A reta determinada pela quantia y a ser paga ou restituída do imposto de um salário x de modo que r$ 3.418,60 ≤ x ≤ 4.271,59 de um trabalhador que possui três dependentes equivale a
y x x y= ⋅ − ⋅ −
= − − → = −3 171 97
22 5
100577 515 91 0 225 577 0 22,
,, ( , ) , 55 1092 91x+ , .
B ) O aluno não fez a regra de sinais y x x= ⋅ − ⋅ −
= − −3 171 97
22 5
100577 515 91 0 225 577,
,, ( , ), concluindo que o coe-
ficiente angular vale 0,225.
C ) O aluno analisou o exemplo fornecido, não fez a regra de sinais e concluiu que o coeficiente angular equivale a 0,075.
D ) O aluno analisou o exemplo fornecido e concluiu que o coeficiente angular equivale a –0,075.
E ) O aluno utilizou a alíquota para um salário entre 2 563,92 ≤ x ≤ 3 418,59.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática15
Gabarito: A
Comentários:
A ) Gabarito. Os juros após um mês equivalem a J C i t= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =8 500 0 0527 1 447 95, , .
B ) O aluno interpretou que a taxa de juros é 5,24%. Assim, os juros após um mês equivalem a J C i t= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =8 500 0 0524 1 445 40, , .
10 3a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
C ) O aluno interpretou que o aumento de 5,27% foi dado sobre o percentual de 5,24, concluindo que a taxa equivale a 5 27 5 24 27 6 0 27, , , % , .⋅ = = Assim, os juros após um mês são iguais a J C i t= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =8 500 0 27 1 2 295 00, , .
D ) O aluno interpretou que a taxa de juros equivale a 10,51 (5,24 + 5,27). Logo, os juros após um mês equivalem a J C i t= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =8 500 0 1051 1 893 35, , .
E ) O aluno interpretou que a taxa de juros equivale a (5,27 – 5,24). Logo, os juros após um mês equivalem a J C i t= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =8500 0 03 1 255 00, , .
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 3 – resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
Questão Matemática16
Gabarito: E
Comentários:
A ) O aluno interpretou que a cafeína presente na xícara de café expresso representa 7000
35200= % da quantidade de
cafeína presente na xícara de café instantâneo.
B ) O aluno interpretou que a cafeína presente na xícara de café expresso representa 7000
50140= % da quantidade de
cafeína presente na xícara de café instantâneo.
C ) O aluno interpretou que a cafeína presente na xícara de café expresso representa 3300
3594 28= , % da quantidade
de cafeína presente na xícara de café instantâneo.
D ) O aluno interpretou que a cafeína presente na xícara de café expresso representa 3500
33106 06= , % da quantidade
de cafeína presente na xícara de café instantâneo.
E ) Gabarito. A cafeína presente na xícara de café expresso representa 7000
33212 12= , % da quantidade de cafeína
presente na xícara de café instantâneo.
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 3 – resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
Questão Matemática17
Gabarito: B
Comentários:
A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que os juros são dados por
J C i t t
t t
= ⋅ ⋅ → − = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ → =
10000 5000 50005 24
1005000 5000 0 0524 19
,
, .
11Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
B ) Gabarito. O montante é determinado por M C i t t
t
= + → = +
= → =
( ) ( , )
( , ) ( ,
1 10000 5000 1 0 0527
10000
50001 0527 2 1 05227
2 1 05272
1 0527
0 3
4 023 4
0 3
0 02
)
log log( , )log
log ,
,
,
,
,
t
t t
t
= → =
=−
=22
13 6= ,
.
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que os juros são dados por
J C i t t
t t
= ⋅ ⋅ → − = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ → =
10 000 5 000 5 00010 51
1005 000 5 000 0 1051 9 5
,
, , ..
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que os juros são dados por J C i t t
t t
= ⋅ ⋅ → − = ⋅ ⋅= ⋅ → =
10 000 5 000 5 000 0 03
5 000 150 33 3
,
, .
E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que os juros são dados por M C i
t
t t
t
= + → = +
= → =
( ) ( , )
,,
1 10000 5000 1 0 0527
10000 5263 510000
5263 5==1 89, .
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 3 – resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
Questão Matemática18
Gabarito: C
Comentários:
A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o valor gasto com aluguel equivale a 0,10 . S. Um aumento de 28% sobre esse valor corresponde a 1 28 0 10 0 128, , , .⋅ ⋅ = ⋅S S Considerando que o salário aumentará 7%, tem-se que o novo valor corresponde a 1,07 . S.
Assim, o valor a ser pago no aluguel será equivalente a 0 128
1 070 1196 11 96
,
,, , %.
⋅⋅
= =S
SB ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a porcentagem do salário a ser gasta com aluguel equivale
a 12 0 28 0 07 100 12 1 96 13 96% , , % , , %.+ ⋅ ⋅ = + =C ) Gabarito. Considerando como S o salário, o valor gasto com aluguel equivale a 0,12 . S. Um aumento de 28% sobre
esse valor corresponde a 1 28 0 12 0 1536, , , .⋅ ⋅ = ⋅S S Considerando que o salário aumentará 7%, tem-se que o novo valor corresponde a 1,07 . S.
Assim, o valor a ser pago no aluguel será equivalente a 0 1536
1 070 1435 14 35
,
,, , %.
⋅⋅
= =S
S
12 3a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno somou 28% com 7%, obtendo 35% como percentual do salário que será gasto com aluguel.
E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o percentual do salário que será gasto com aluguel equivale
a 1228
712 4 16+ = + = %.
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 3 – resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
Questão Matemática19
Gabarito: D
Comentários:A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, como foi dado um desconto de 70%, para se ter o valor
original deve-se acrescer o equivalente a 70% do valor atual. B ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve o percentual referente ao preço do produto após o desconto.
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno calculou: 0 3
0 70 4285 42 85
,
,, , %.
⋅⋅
= =V
VD ) Gabarito. representando por V o valor original de um produto, após um desconto de 70% o valor equivale a 0,3 . V.
O valor original agora representará o equivalente a V
V0 33 33 333
,, %≅ = do valor com desconto. Então deve ser
acrescido 233% sobre o valor com desconto.
E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, como foi dado um desconto de 70%, para se ter o valor original deve-se acrescer o equivalente a 170% do valor atual.
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 3 – resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
Questão Matemática20
Gabarito: E
Comentários:A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a nova relação candidato/vaga é obtida fazendo
118 5 5 6 49 6 5, , , , .⋅ = ≅B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a nova relação candidato/vaga é obtida fazendo
110 5 5 6 05 6, , , .⋅ = ≅
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a nova relação candidato/vaga é obtida fazendo 322 7
69 624 63
,
,, .=
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a nova relação candidato/vaga é obtida fazendo 110 322 7
118 59
354 97
69 625 09 5 1
, ,
,
,
,, , .
⋅⋅
= = ≅
E ) Gabarito. Considerando o acréscimo no número de vagas e no número de candidatos, tem-se que a nova relação
candidato/vaga equivale a 118 322 7
110 595 86 5 9
, ,
,, , .
⋅⋅
= ≅
13Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Competência ENEM: 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
Habilidade ENEM: 16 – resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Questão Matemática21
Gabarito: A
Comentários:
A ) Gabarito. Se o número que representa 87% do quadro atual de temporários na rede pública de ensino equivale a
43 mil, então a quantidade total equivale a 4300
8749 42= , .
B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, se o número que representa 87% do quadro atual de tem-
porários na rede pública de ensino equivale a 59 mil, então a quantidade total equivale a 5900
8767 81= , .
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, se o número que representa 87% do quadro atual de tem-
porários na rede pública de ensino equivale a 59 mil, então a quantidade total equivale a 5900
13453 8= , .
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, se o número que representa 87% do quadro atual de tem-
porários na rede pública de ensino equivale a 59 mil, então a quantidade total equivale a 4300
13330 7= , .
E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, se o número que representa 87% do quadro atual de tem-
porários na rede pública de ensino equivale a 59 mil, então a quantidade total equivale a 322 7 100
87370 9
,, .
⋅ =
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 3 – resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
Questão Matemática22
Gabarito: C
Comentários:
A ) O aluno multiplicou 5,4 por 5.
B ) O aluno adicionou 5,4 e 5.
C ) Gabarito. O percentual total de reajuste é dado por 1,054 . 1,05 = 1,1067, representando um aumento de 1 – 1,1067 = 0,1067 = 10,67%.
D ) O aluno interpretou que o total de reajuste é dado por 1,054 . 0,05 = 0,0527 = 5,27.
E ) O aluno interpretou que o total de reajuste é dado por 0,054 . 1,05 = 0,0567 = 5,67.
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 3 – resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
14 3a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Questão Matemática23
Gabarito: D
Comentários:A ) O aluno considerou o valor de depreciação no lugar do valor restante após o “desconto”. B ) O aluno considerou que, no ano de lançamento do veículo, já ocorreu depreciação de 3%. No primeiro ano, o valor
será de V V V− ⋅ = ⋅3 0 97% , . No segundo ano, 0 97 3 0 97 0 97 2, % , ( , )V V V− ⋅ = ⋅ e assim por diante. Logo, no oitavo ano o valor do veículo será igual a V ⋅( , ) .0 97 8
C ) O aluno considerou o valor de depreciação no lugar do valor restante, após o “desconto” e interpretou que, no ano de lançamento do veículo, já ocorreu depreciação de 3%.
D ) Gabarito. A cada ano que passa o preço do veículo é 3% menor. Considere que no primeiro ano o valor do veículo é V. No segundo ano, o valor será de V V V− ⋅ = ⋅3 0 97% , . No terceiro ano, 0 97 3 0 97 0 97 2, % , ( , )V V V− ⋅ = ⋅ e assim por diante. Logo, no oitavo ano o valor do veículo será igual a V ⋅( , ) .0 97 7
E ) O aluno interpretou que o carro foi lançado considerando a depreciação de 3%, concluindo que, no primeiro ano, o valor do veículo é de 0 97 3 0 97 0 97 2, % , ( , )V V V− ⋅ = ⋅ . Logo, no oitavo ano o valor do veículo será igual a V ⋅( , ) .0 97 9
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 19 – Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
Questão Matemática24
Gabarito: B
Comentários:A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o percentual ideal de gasolina corresponde a
42 25
7542 75
25126
% %
% %%.
↔↔
→ = ⋅ =x
x
B ) Gabarito. O percentual ideal de gasolina corresponde a 42 25
7542 75
25126
% %
% %%.
↔↔
→ = ⋅ =x
x Logo, deve-se acrescen-
tar 126% de gasolina para que a quantidade de álcool atinja o limite de 25%. A quantidade de gasolina equivale a
58%. Em relação a este valor, 126% representa V ⋅ ⋅ ⋅ =( , ) , %0 93100 126
58217 27 da quantidade de gasolina presente
no reservatório. Logo, deve ser aumentado 117,2%.C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o percentual ideal de gasolina corresponde a
42 100
171700
4240 4
% %
% %, %.
↔↔
→ = =x
x
D ) O percentual ideal de gasolina corresponde a 42 25
7542 25
7514
% %
% %%.
↔↔
→ = ⋅ =x
x
E ) O percentual ideal de gasolina corresponde a 42 25
7542 25
7514
% %
% %%.
↔↔
→ = ⋅ =x
x Logo, deve-se acrescentar 14%
de gasolina para que a quantidade de álcool atinja o limite de 25%. A quantidade de gasolina equivale a 58%. Em
relação a este valor, 14% representa 100 14
5824 1
⋅ = , % da quantidade de gasolina presente no reservatório.
15Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Competência ENEM: 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
Habilidade ENEM: 16 – resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Questão Matemática25
Gabarito: E
Comentários:A ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve o crescimento percentual da dívida externa pública.
120 83
83
37
830 4457 44 57
− = = =, , %.
B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o crescimento percentual da dívida externa privada equivale
a 235 95
235
140
2350 5957 59 57
− = = =, , %.
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o crescimento percentual é dado por x = =21500
31867 61, %.
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o crescimento percentual é dado por 318 215
318
103
3180 3238 32 38
− = = =, , %.
E ) Gabarito. O crescimento percentual é dado por 318 215
215
103
2150 4790 47 9
− = = =, , %.
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 3 – resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
Questão Matemática26
Gabarito: A
Comentários:A ) Gabarito. O valor do PIB em 2003 corresponde a
21500
38 8,= 554,12 bilhões de dólares.
B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o valor do PIB em 2003 equivale a 31800
13 92 287 76
,,= bilhões
de dólares.
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o valor do PIB em 2003 equivale a 21500
61 2351 30
,,= bilhões
de dólares.
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o valor do PIB em 2003 equivale a 31800
86 1369 33
,,= bilhões
de dólares.
E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o valor do PIB em 2003 equivale a 9 500
38 8224 84
,,= bilhões
de dólares.
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 3 – resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
16 3a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Questão Matemática27
Gabarito: B
Comentários:
A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o crescimento percentual do PIB é equivalente a 38 8 13, , , .− =9 24 9
B ) Gabarito. O valor do PIB em 2003 é equivalente a 21500
38 8,= 554,12 bilhões de dólares. Em 2013, o PIB equivale a
31800
13 92287 76
,,= bilhões de dólares. Logo, o crescimento percentual é igual a
2287 7 554 12
554 12
1733 58
554 123 128 312 8
, ,
,
,
,, , %.
− = = =
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o crescimento percentual do PIB é equivalente a 2287 7 554 12
2287 7
1733 58
2287 70 7577 75 77
, ,
,
,
,, , %.
− = = =
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno subtraiu 215 de 318.
E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o crescimento percentual do PIB equivale a 1,139 . 1,388 = 1,5809, concluindo que o aumento foi de 0,5809 = 58,09%
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 3 – resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
Questão Matemática28
Gabarito: C
Comentários:
A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o foco é uma das raízes da função y.
B ) Para chegar a esse resultado, o aluno não interpretou que deveria apresentar a solução na ordem dada.
C ) Gabarito. A equação da parábola pode ser representada por 40 40 40 40 40 20 400
40 400 20
2 2 2
2
y x x y x x y x
y x
= − + →− = − →− = − −
− + = − →−
( )
( ) 440 10 20 2( ) ( ) .y x− = −Comparando esta equação com a equação geral da parábola, cuja diretriz é paralela ao eixo x com foco da diretriz
x x p y y−( ) = − −( )( )0
2
02 , em que o vértice é (x0, y
0) o foco é x y
p0 0 2, −
, tem-se que p x y= = =20 20 100 0; ; .
Logo, a equação da reta diretriz, as coordenadas do foco e do vértice equivalem respectivamente a y = 20; (20,0) e (20,10).
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a reta diretriz é tangente à parábola e paralela ao eixo x.
E ) Para chegar a esse resultado, o aluno inverteu as coordenadas do vértice e não apresentou a solução na ordem solicitada.
17Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de Argu-mentação.
Questão Matemática29
Gabarito: D
Comentários:
A ) O aluno julgou que a afirmação III é verdadeira, não atentando para o fato de que os pontos que representam as extremidades dos eixos maior e menor indicam uma elipse com eixo maior sobre o eixo x, enquanto que a equação indica que a elipse possui o eixo maior sobre o eixo y.
B ) O aluno julgou que a afirmação III é verdadeira, não atentando para o fato de que os pontos que representam as extremidades dos eixos maior e menor indicam uma elipse com eixo maior sobre o eixo x, enquanto que a equação indica que a elipse possui o eixo maior sobre o eixo y.
C ) O aluno julgou que a afirmação III é verdadeira, não atentando para o fato de que os pontos que representam as extremidades dos eixos maior e menor indicam uma elipse com eixo maior sobre o eixo x, enquanto que a equação indica que a elipse possui o eixo maior sobre o eixo y.
D ) Gabarito. O centro é o ponto médio entre os focos. Como o ponto médio entre os focos dados equivale a 0,
tem-se que o centro é a origem do sistema cartesiano. Se a equação da elipse equivale a x y2 2
25 161+ = , então
a = 5 e b = 4. Pelo teorema de Pitágoras, tem-se que c = 3 e a excentricidade da elipse é ec
a= = =3
50 6, . A afirma-
ção III é falsa pois os pontos que representam as extremidades dos eixos indicam uma elipse com eixo maior sobre o eixo x, enquanto que a equação indica que a elipse possui eixo maior sobre o eixo y.
E ) O aluno interpretou que a afirmação II é falsa, obtendo que a excentricidade é 9
250 36= , .
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de Argumentação.
Questão Matemática30
Gabarito: E
Comentários:
A ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve apenas o valor de b e não multiplicou por 2.
B ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve o valor de a e não multiplicou por 2.
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve o valor de c e multiplicou o resultado por 2: ( ).a b c c c c2 2 2 169 144 5 2 10= + → − = → = → =
18 3a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o comprimento horizontal é dado por 2b, como b vale 12, tem-se que o comprimento equivale a 24.
E ) Gabarito. Se a equação da elipse é x y2 2
169 1441+ = . Então, o valor de a equivale a 13. Multiplicando esse valor por
2, obtém-se o comprimento horizontal.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão Matemática31
Gabarito: A
Comentários:
A ) Gabarito. O valor de a é 10 e o valor de b é 8. Assim, a área da região iluminada é igual a πab = ⋅ ⋅ =3 14 10 8 251 2, , .
B ) Para chegar a esse resultado, o aluno multiplicou 100 por 3,14.
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno multiplicou 64 por 3,14.
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno realizou o seguinte cálculo: 100 64 3 14 113 04−( )⋅ =, , .
E ) Para chegar a esse resultado, o aluno inverteu os valores de a e c, fazendo que a área equivale a 8 6 48 3 14 150 72⋅ ⋅ = ⋅ =π , , .
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão Matemática32
Gabarito: B
Comentários:
A ) Para chegar a esse resultado, o aluno utilizou a terceira relação de Girard de maneira equivocada, interpretan-
do que a b ca
a⋅ ⋅ = = =1
3
1400
11400.
B ) Gabarito. A capacidade total é dada por a . b . c, em que a, b e c representam as raízes do polinômio
x x x3 277 1400 2 500− + − . Utilizando a terceira relação de Girard, tem-se que a b ca
am⋅ ⋅ = − =0
3
32 500 . Como o
centro de treinamento da Vila Olímpica possui uma piscina, tem-se que a capacidade total de água que pode ser armazenada equivale a 2 500 m³.
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno observou que 2 é uma raiz do polinômio x x x3 277 1400 2 500− + − e utilizou o método de Briot-ruffini
2 1 –77 1 400 –2 500
1 –75 1 250 0
Concluindo que o volume do reservatório equivale a 1 250 m³.
19Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno observou que 2 é uma raiz do polinômio x x x3 277 1400 2 500− + − e utilizou o método de Briot-ruffini
2 1 –77 1400 –2500
1 –75 1250 0
E interpretou que o volume é dado pela soma dos coeficientes 1, –75 e 1 250, obtendo 1 176.
E ) Para chegar a esse resultado, o aluno observou que 2 é uma raiz do polinômio x x x3 277 1400 2 500− + − e fez
que o volume a . b . c é dado por 1400
2700= .
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-
-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão Matemática33
Gabarito: C
Comentários:
A ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve a área total do paralelepípedo reto-retângulo, 2 2 800( ) .ab ac bc+ + =B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a área total é dada por
( ) .ab ac bc+ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =50 25 50 2 25 2 1400
C ) Gabarito. A área total é dada por 2( )ab ac bc+ + , em que a, b e c representam as raízes do polinômio x x x3 277 1400 2 500− + − . Se uma das raízes vale 2, então pelo método de Briot-ruffini, tem-se que as outras duas raízes são raízes do polinômio x² – 75x + 1250, ou seja, equivalem a 25 e 50.
2 1 –77 1 400 –2 500
1 –75 1 250 0
Logo, a área interna da piscina ocupada pelos azulejos corresponde a 2 50 25 2 50 25 50 2 25 2 50 25 2 800 1250 1550( ) ( )ab ac bc m+ + − ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ = − = 22 .
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve as raízes e as multiplicou, obtendo 2 500.
E ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve a área total e interpretou que a parte que fica sem azulejo correspon-de a 50 . 2 = 100. Logo, concluiu que a área revestida por azulejos corresponde a 2 700 m².
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
20 3a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Questão Matemática34
Gabarito: D
Comentários:
A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o polinômio fatorado equivale a 2 7 10 2 7 102⋅ − + = ⋅ − +( ) ( )( ).x x x x
B ) Para chegar a esse resultado, o aluno não subtraiu o comprimento ocupado por cada porta, ou seja, não subtraiu 6.
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno calculou que x x x x x x2 2 2 27 7 26 6 2 20 2 20− + − + − = + = +( ).
D ) Gabarito. O perímetro da casa onde haverá vegetação é dado por x x x x x x
x x x x
2 2 2
2
7 7 26 6 2 14 20
2 7 10 2 2 5
− + − + − = − +
= − + = ⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( ).E ) Para chegar a esse resultado, o aluno não subtraiu o comprimento ocupado por cada porta, ou seja, não subtraiu
6 e concluiu que o polinômio fatorado equivale a 2 7 13 2 7 132⋅ − + = − −( ) ( )( ).x x x x
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática35
Gabarito: E
Comentários:
A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que secπt
6
é igual a –1.
L tt
( )sec
= +
= −10 000
1000
6
10π
000 1000 = 9 000.
B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que secπt
6
é igual a 1.
L tt
( )sec
= +
=10 000
1000
6
10π
000 + 1000 = 11000.
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno substituiu cosπ3
por 2
2.
L tt
L
L
( )sec
( ) cos= +
→ = + ⋅ ⋅
10 0001000
6
2 10 000 10002
6ππ
(( ) cost
L
= + ⋅
→ ⋅ = ⋅10 000 1000
310
2
210 2
π000 + 1000 000 + 500
(( )2 10 05 10= =000 + 7 705.
21Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a secante é a relação inversa do seno.
L tt
L sen( )sec
( )= +
→ = + ⋅ ⋅
10 0001000
6
2 10 000 10002
6
ππ
LL t sen( )= + ⋅
→ ⋅ =10 000 1 000
310
3
210 000 + 1 000 000 +
π5500
000 + 850.
⋅
= =
3
2 10 850 10L( )
E ) Gabarito. Para calcular o lucro, em reais, no mês de fevereiro, basta substituir t por 2.
L tt
L
L
( )sec
( ) cos= +
→ = + ⋅ ⋅
10 0001000
6
2 10 000 10002
6ππ
(( ) cos
(
t
L
= + ⋅
→ ⋅ =10 000 1 000
310
1
210 000 + 1000 000 + 500
π
22 10)= 500.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão Matemática36
Gabarito: B
Comentários:
A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a afirmação II é verdadeira, fazendo
1 12 2
2 2
2
2
+ + + =
+
+
+cot
cot
cos
cos
cosg
g
tg
tg
sensen
sen
senθ
θθ
θ
θ θθθθ
θ 22
2
2 2
1 1 1 1
θθθθ
θθθ θ
θθ θ
cos
cos
cos cos
cos
cos
sen
sen
sen
sen sen⋅ + ⋅ = +
θθ θ θ=
⋅= =
1
1
13
33
9
33 3
sen cos
.
22 3a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
B ) Gabarito. Pelo teorema de Pitágoras, o segmento PS vale 2 2 . Aplicando as relações trigonométricas no triângulo
retângulo OPS, tem-se que senθ2
1
3
= e cos
θ2
2 2
3
= .
cosseccos
θθ θ θ
= =
⋅
=
⋅ ⋅= =1 1
22 2
1
213
2 23
1
4 29
9
4 2sen sen== 9 2
8.
seccos cos
.θθ θ θ
= =
−
=
−= =1 1
2 2
189
19
179
9
72 2sen
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que cossec .θθ
= = =1 113
3sen
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que cossecθθ
= = =1 113
3sen
e que
seccos
.θθ
= = = =1 1
33
3
33
E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que seccos
.θθ
= = = =1 1
33
3
33 e fez que
1 12 2
2 2
2
2
+ + + =
+
+
+cot
cot
cos
cos
cosg
g
tg
tg
sensen
sen
senθ
θθ
θ
θ θθθθ
θ 22
2
2 2
1 1 1 1
θθθθ
θθθ θ
θθ θ
cos
cos
cos cos
cos
cos
sen
sen
sen
sen sen⋅ + ⋅ = +
θθθ θθ θ
= +
+
⋅=
+
=+( )
⋅ = +
sen
sen
cos
cos
.
13
33
13
33
1 333
1 3
3
3
1
3 3
3
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
23Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Questão Matemática37
Gabarito: A
Comentários:A ) Gabarito. A quantidade será máxima quando cossec
πt
12
for igual a 1, ou seja, quando sentπ
12
for igual a
1. Como o senπ2
1
= , tem-se que
π πtt
12 26= → = . Como t = 0 representa o mês de janeiro, tem-se que t = 6
representa o mês de julho.
B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que t = 6 representa o mês de junho.
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou a cossecante é a relação inversa do cosseno, a quantidade máxi-
ma ocorre quando o cosseno vale 1, ou seja, cos . , .π π π( ) = = → =112
12Logot
t
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que senπ4
1
= , concluindo que
π πtt
12 43= → = que representa
o mês de abril.
E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que senπ4
1
= , concluindo que
π πtt
12 43= → = que representa
o mês de março.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão Matemática38
Gabarito: E
Comentários:A ) Para chegar a esse resultado, o aluno obteve o módulo igual a cos30
2 3
2
2 4 3
3° = → = → =
ρ ρρ e argumento
igual a 6
π e não multiplicou esse resultado por 2
B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o argumento equivale a 6
π e não multiplicou esse resultado por 2.
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o argumento equivale a 6
π.
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno não multiplicou o argumento por 2.
E ) Gabarito. O módulo do número complexo é cos302 3
2
2 4 3
3° = → = → =
ρ ρρ e o argumento é dado por
180 30 2107
6°+ ° = ° = π
. O quadrado desse número é | | cos( ) ( ) cos .z i sen i sen2 2 216
3
7
3
7
3θ θ π π+ ⋅[ ]= + ⋅
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
24 3a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Questão Matemática39
Gabarito: C
Comentários:
A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o argumento do número complexo é 3
π.
B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o módulo do número complexo é ρ ρ2 2 23 1 10= + → = .C ) Gabarito.
O módulo do número complexo é dado por ρ ρ22
23 1 2= ( ) + → = . O argumento θ é 270 60 33011
6°+ ° = ° =
π.
Logo, a forma trigonométrica do número complexo z é z i sen= + ⋅
211
6
11
6cos .
π π
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o argumento do número complexo é 3
π, e que o módulo do
número complexo é ρ ρ2 2 23 1 10= + → = .
E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o argumento é igual a 3 1 22
2 2( ) = + → =ρ ρ .
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática40
Gabarito: D
Comentários:
A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o número complexo z1 é igual a –2 + 2i, e o número
complexo z2 é igual a 1 3+ ⋅i . A expressão i z i z⋅ + −( )+1 23 1 2 equivale a
i i i i i i i i⋅ − + + − ⋅ −( )+ = − + + − − + = − − +( ) .2 2 3 1 3 1 2 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 4
B ) Para chegar a esse resultado, o aluno não obteve o conjugado do número complexo z2.
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o número complexo z1 é igual a –2 + 2i e o número
complexo z2 é igual a 3 + i . A expressão i z i z⋅ + −( )+1 23 1 2 equivale a
i i i i i i i i i i⋅ − + + − −( )+ = − − + − + − + = − − +( ) .2 2 3 3 1 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3
D ) Gabarito. O número complexo z1 é igual a –2 + 2i e o número complexo z
2 é igual a 1 3+ ⋅i . A expressão
i z i z⋅ + −( )+1 23 1 2 equivale a i i i i i i i i⋅ − + + − ⋅ −( )+ = − − + + − + = − +( ) .2 2 3 1 3 1 2 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3
E ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o número complexo z1 é igual a –2 + 2i e o número
complexo z2 é igual a 3 + i . A expressão i z i z⋅ + −( )+1 23 1 2 equivale a
i i i i i i i i i⋅ − + + + −( )+ = − − + − − + = − − +( ) .2 2 3 3 1 2 2 2 3 3 3 3 2 5 3 3 3
25Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática41
Gabarito: A
Comentários:A ) Gabarito. Como –2 é raiz de P(x), utilizando o método de Briot-ruffini para divisão de polinômios, tem-se que
–2 2 15 40 40 0 –16
–2 2 11 18 4 –8 0
–2 2 7 2 –4 0
–2 2 3 –2 0
Logo, a multiplicidade da raiz –2 é 4, pois divide o P(x) quatro vezes. B ) Para chegar a esse resultado, o aluno analisou o grau do polinômio e interpretou que –2 divide P(x) 5 vezes.C ) Para chegar a esse resultado, o aluno aplicou o método de Briot-ruffini para divisão de polinômios duas vezes. D ) Para chegar a esse resultado, o aluno aplicou o método de Briot-ruffini para divisão de polinômios três vezes.E ) Para chegar a esse resultado, o aluno aplicou o método de Briot-ruffini para divisão de polinômios uma vez.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática42
Gabarito: C
Comentários:A ) Para chegar a esse resultado, o aluno observou que a sequência de triângulos é 1, 3, 9, 27, e assim sucessivamente,
e concluiu que o perímetro total sempre aumenta 3 = 300% em relação ao perímetro total anterior.B ) Para chegar a esse resultado, o aluno observou que a sequência de triângulos é 1, 3, 9, 27, e assim sucessivamente,
e concluiu que o perímetro total sempre aumenta 3% em relação ao perímetro total anterior. C ) Gabarito. O triângulo original possui perímetro igual a 3. Após uma iteração (repetição), restam três triângulos
equiláteros cujos lados equivalem à metade do lado do triângulo original, ou seja, o perímetro total destes três
triângulos é 31
23 3
1
22⋅ ⋅ = ⋅ . Após duas iterações (repetições), restam 9 triângulos equiláteros cujos lados medem
1
4 do lado do triângulo retângulo original, ou seja, o perímetro total destes 9 triângulos é igual a 3
1
23
2⋅ . Assim,
pode-se concluir que a cada repetição, o perímetro total representa 3
2 do perímetro original, ou seja, houve um
aumento de 50%.
26 3a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, como o lado do triângulo sempre será dividido ao meio, o perímetro total aumenta 150% em relação ao perímetro total anterior.
E ) Para chegar a esse resultado, o aluno não converteu o número decimal 3
2 em porcentagem.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática43
Gabarito: D
Comentários:
A ) Para chegar a esse resultado, o aluno observou que a sequência de triângulos é 1, 3, 9, 27, e assim sucessivamente, e concluiu que a área total sempre aumenta 3% em relação ao perímetro total anterior.
B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, após duas iterações (repetições), restam 9 triângulos equi-
láteros cujos lados medem 1
4 do lado do triângulo retângulo original, ou seja, a área total destes 9 triângulos
representa 25% da área total anterior.
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que, como o lado do triângulo sempre será dividido ao meio e a área total ficará multiplicada por 4, representando um aumento de 4% em relação à área total anterior.
D ) Gabarito. O triângulo original possui lado igual 1 e área igual a 3
4. Após uma iteração (repetição), restam três
triângulos equiláteros, cujos lados equivalem à metade do lado do triângulo original, ou seja, a área total desses
três triângulos é 3 3
42. Após duas iterações (repetições), restam 9 triângulos equiláteros cujos lados medem
1
4
do lado do triângulo retângulo original, ou seja, a área total destes 9 triângulos é igual a 3 3
4
2
3. Assim, pode-se
concluir que a cada repetição, a área total é 3
4 da área original, ou seja, representa 75% da mesma.
E ) Para chegar a esse resultado, o aluno não converteu o número decimal 3
4 em porcentagem.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
27Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Questão Matemática44
Gabarito: B
Comentários:
A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o polinômio P(x) equivale a ( )( ) ( )x x x x2 3 1 3 1+ − − + + e fez que P(–2) é igual a ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )x x x x2 3 1 3 1 4 6 1 2 3 2 1 3 5 1 15 1+ − − + + = − − − − + − + = − − − = − =114.
B ) Gabarito. O polinômio P(x) equivale a ( )( ) ( )x x x x2 3 1 1 3+ − + + − . Logo, o resto da divisão de P(x) por x + 2 é igual a P(–2), ou seja, ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )x x x x2 3 1 1 3 4 6 1 2 1 2 3 3 1 5 3 5+ − + + − = − − − + + − − = − − − = − = −22.
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o polinômio P(x) equivale a ( ) ( ) ( )x x x x2 3 1 1 3+ − + + + − . Logo, o resto da divisão de P(x) por x + 2 é igual a P(–2), ou seja, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x2 3 1 1 3 4 6 1 2 1 2 3 3 1 5 9+ − + + + − = − − + − + + − − = − + − − = − ..
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou corretamente que polinômio P(x) equivale a ( )( ) ( )x x x x2 3 1 1 3+ − + + − . Porém, fez que o resto da divisão de P(x) por x + 2 é igual a P(2), ou seja, ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) .x x x x2 3 1 1 3 4 6 1 2 1 2 3 9 3 1 27 1 26+ − + + − = + − + + − = − = − =
E ) (Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o polinômio P(x) equivale a ( )( ) ( )x x x x2 3 1 3 1+ − − + + e fez que P(2) é igual a ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) .x x x x2 3 1 3 1 4 6 1 2 3 2 1 9 1 3 9 3 6+ − − + + = + − − + + = − + = − + = −
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática45
Gabarito: E
Comentários:
A ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que estão assinalados apenas três números com exceção da origem.
B ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que a trajetória representa uma reta decrescente.
C ) Para chegar a esse resultado, o aluno interpretou que o segmento com extremidades (0,0) e (4,4) possui ponto médio, concluindo que o valor da ordenada é igual a metade do valor da abscissa.
D ) Para chegar a esse resultado, o aluno analisou o ponto (4,4) e (2,2), concluindo que o extremo (4,4) é o dobro do ponto médio.
E ) (E) Gabarito. A trajetória passa pelos pontos (1,1); (2,2); (3;3). Assim, o valor da ordenada é igual ao valor da abscissa.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico- -científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
28 3a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Anotações
29Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Anotações
30 3a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Anotações
CARTÃO-RESPOSTA
SIMULADO ENEM 2014 – 3a. SÉRIE – VOLUME 2
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Nome da Escola: _______________________________________________________________
Aluno(a): _____________________________________________________________________
Série: ______________________ Turma: ___________________________________
Data: ______________________ Assinatura: ________________________________
1A
E
C
B
D
24A
E
C
B
D
13A
E
C
B
D
36A
E
C
B
D
2A
E
C
B
D
25A
E
C
B
D
14A
E
C
B
D
37A
E
C
B
D
3A
E
C
B
D
26A
E
C
B
D
15A
E
C
B
D
38A
E
C
B
D
4A
E
C
B
D
27A
E
C
B
D
16A
E
C
B
D
39A
E
C
B
D
5A
E
C
B
D
28A
E
C
B
D
17A
E
C
B
D
40A
E
C
B
D
6A
E
C
B
D
29A
E
C
B
D
18A
E
C
B
D
41A
E
C
B
D
7A
E
C
B
D
30A
E
C
B
D
19A
E
C
B
D
42A
E
C
B
D
9A
E
C
B
D
32A
E
C
B
D
21A
E
C
B
D
44A
E
C
B
D
23A
E
C
B
D
45A
E
C
B
D
11A
E
C
B
D
34A
E
C
B
D
8A
E
C
B
D
31A
E
C
B
D
20A
E
C
B
D
43A
E
C
B
D
22A
E
C
B
D
10A
E
C
B
D
33A
E
C
B
D
12A
E
C
B
D
35A
E
C
B
D
GABARITO
2000.56896