Escola de Engenharia
Universidade do Minho
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Órgãos de Máquinas II
7. Estudo Dinâmico de Engrenagens
Adaptado e adotado para a unidade curricular por
José R. Gomes / Departamento de Engenharia Mecânica
a partir de materiais de apoio pedagógico em texto e Powerpoint de A. Sousa Miranda.
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Trens de Engrenagens Estudo dinâmico de engrenagens
Capítulo 7 – Estudo dinâmico de engrenagens 7.1 – Análise das forças em jogo 7.2 – Cálculo dos dentes
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Trens de Engrenagens Estudo dinâmico de engrenagens
Forças no contacto dos dentes – caso geral Torna-se necessário conhecer as forças nos dentes para:
Dimensionamento dos dentes
Dimensionamento dos veios onde as rodas estão montadas
Dimensionamento dos apoios dos veios
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D n P = M = Ft 2 30
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Trens de Engrenagens Estudo dinâmico de engrenagens
Forças no contacto dos dentes – caso geral Sendo: - Potência transmitida, P [W]
- Binário transmitido, M [Nm]
- Velocidade de rotação, [rad/s]
ou n [rpm]
- Diâmetro primitivo, d [m]
A força total no contacto (F) tem três componentes: Ft – componente tangencial responsável
pela transmissão da potência
Fr – componente radial
Fa – componente axial
60 P Ft = D N
Ft [N]
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Trens de Engrenagens Estudo dinâmico de engrenagens
Forças no contacto dos dentes – engrenagens cilíndricas de dentado reto
Roda 3 (roda movida ou mandada)
Pinhão 2 (roda motora ou mandante)
3
2
Ft – calcula-se pela equação
Fr = Ft tg (componente radial)
Fa = 0 (componente axial, dentado reto)
(força total no contacto)
(binário aplicado)
F23
F32 60 P Ft = D N
Ft F = cos
D M = Ft
2
F23
3
2
F32
Diagrama de corpo livre do pinhão 2:
F32 F32
r
F32
t
Ft
Fr
M
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Trens de Engrenagens Estudo dinâmico de engrenagens
Forças no contacto dos dentes – engrenagens cilíndricas de dentado helicoidal Componentes da força atuante, F:
Cilindro primitivo
F
Ft
Fa Fr
r
F’
A inclinação dos dentes ( )
origina o aparecimento de
uma componente axial (Fa)
no contacto dos dentes
Notar que neste tipo de engrenagens,
1 = 2
Ft – calcula-se pela equação
Fr = Ft tg a (componente radial) Fa = Ft tg (componente axial)
60 P Ft = D N
Ft F = cos r cos
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Trens de Engrenagens Estudo dinâmico de engrenagens
Na determinação dos esforços nos veios e apoios das rodas cónicas considera-se toda a força concentrada no ponto médio do dente (centro do dente). Força transmitida, Ft: Dm – diâmetro médio da roda cónica
60 P Ft = Dm N
Forças no contacto dos dentes – engrenagens cónicas de dentado helicoidal A força resultante, F, tem 3 componentes
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Fr = Ft tg r cos
Fa = Ft tg r sin Ft F = cos r
x
y
z V
F
Ft
Fr Fa
Dm
2
r
Ft
tg r
Ft F r
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Forças no contacto dos dentes – engrenagens de parafuso sem fim
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Fz
Fx
y
x Hélice primitivo
Cilindro primitivo
Fy
F’ 1
x1 2
1
r
Atrito:
F sin 2
2
n1
Componentes da força no contacto: i) Não considerando o atrito Fx = F cos r sin 2 Fy = F sin r Fz = F cos r cos 2
ii) Considerando o atrito Fx = F (cos r sin 2 + cos 2) Fy = F sin r
Fz = F (cos r cos 2 - sin 2)
F
Fa = F
F cos 2
z
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Trens de Engrenagens Estudo dinâmico de engrenagens
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Fz
Fx
y
x Hélice primitivo
Cilindro primitivo
Fy
F’ 1
x1 2
1
r
Atrito:
F sin 2
2
Forças no contacto dos dentes – engrenagens de parafuso sem fim
n1
1
2
-F1t ; F2a
(1)
(2)
F2r
-F1r
-F1a
z
y
x
F Relação entre as forças no parafuso (1) e na roda (2):
F1t = Fx = - F2a
F1r = Fy = - F2r
F1a = Fz = - F2t
F cos 2
Fa = F
z
F2t
Eixo x: tangencial para o parafuso (1) axial para a roda (2)
Eixo y: radial para o parafuso (1) e roda (2)
Eixo z: axial para o parafuso (1) tangencial para a roda (2)
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Trens de Engrenagens Estudo dinâmico de engrenagens
Exercício de aplicação A figura representa uma engrenagem exterior de rodas cilíndricas de dentes helicoidais, em
que o pinhão é acionado por um motor de 2 kW e roda a 1500 rpm. O pinhão tem 19 dentes
e o dentado é normalizado. O ângulo de inclinação dos dentes é 30º e o módulo real 3 mm.
Faça um esquema tridimensional do veio da roda mandante e determine as forças que atuam
no pinhão, bem como as reações nos apoios A e B.
a
C
b
2
3
B
D
A
100 100
x
y
z
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Exercício de aplicação Resposta:
RAy = 44,59 N
RA
z = 193,7 N RB
x = 223,67 N RB
y = 118, 12 N RB
z = 193,7 N
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Cálculo dos dentes
Fatores que limitam a vida das engrenagens (Critérios de cálculo dos dentes): (i) Ruptura na base do dente (tensões de flexão) Critério: especificação de uma tensão normal admissível ( carga / potência admissível) (ii) Deterioração da zona de contacto dos dentes devido a fadiga superficial (desgaste por pitting) Critério: especificação de uma pressão de contacto admissível ( carga / potência admissível)
Notar que estes valores admissíveis são
diferentes em cada critério, e também
diferentes para a roda e o carreto.
Deve ser considerado o caso mais
desfavorável (roda ou carreto).
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Cálculo dos dentes
Fatores que determinam a resistência dos dentes das engrenagens:
- Materiais - Tratamentos térmicos (dureza)
- Geometria (tipo do dentado, módulo, largura do dente)
Fatores que determinam o nível de tensões em serviço:
- Nível de carga (potência transmitida)
- Fatores dinâmicos (existência ou não de choques, velocidade, nº de ciclos de carga/vida, condições de contacto)
Métodos de cálculo ISO, DIN, AGMA, …
(ligeiras diferenças, mesmos princípios base)
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M M M v M s Ft = = = = = · · · = (fatores de forma) wf I I 2 I b mr v
Cálculo dos dentes à ruptura
Tensão de flexão máxima (considerando a carga aplicada estaticamente)
(Tensão de flexão máxima v = s / 2); b – largura do dentado
Esta equação representa a tensão estática máxima (de flexão) na base do dente, originada pela força tangencial Ft (no círculo primitivo)
Deverá ser: adm
( adm para o material selecionado)
Pelo que:
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1 Ft adm = adm b mr (fatores de forma)
Ft
Secção
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Cálculo dos dentes à ruptura
Tensão de flexão máxima (situação dinâmica)
Os fatores dinâmicos atuam no sentido de diminuir Ftadm
Notar que:
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(fatores dinâmicos) Ft adm = adm b mr (fatores de forma)
Ft
Secção
D Padm = Ft adm 2
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Cálculo dos dentes à tensão superficial
Pressão de contacto nos dentes:
A pressão máxima no contato é calculada de acordo com a teoria de Hertz
A pressão é máxima quando o contacto ocorre na zona do ponto primitivo (onde a carga suportada por um par de dentes é máxima)
Pode chegar-se a uma equação do tipo,
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Ft adm = h adm b D1 (… fatores …) 2
Em que h adm é a tensão de contacto admissível para o material da roda.
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Cálculo dos dentes (Resumo)
As equações
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Ft adm = h adm b D1 (… fatores …) 2 (fatores dinâmicos) Ft adm = adm b mr (fatores de forma)
e
aplicadas a cada par de rodas conduzem a 4 valores de Ft adm
( 4 valores de potência admissível)
O menor destes 4 valores é que representa a Ft adm que a engrenagem pode transmitir (correspondente aos materiais da roda e do carreto, ao módulo seleccionado, à largura
do dente adoptada)
Se a força Ft aplicada é superior aquele valor Ft adm, então é preciso alterar o
material, a largura (b) ou o módulo (mr)