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Regra de Três Simples Regra de Três Simples e Compostae Composta
Professor João GilbertoProfessor João Gilberto
Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais1) Regra de Três Simples1) Regra de Três Simples
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos por meio de um processo pratico, chamado regra de três simples.
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais1) Regra de Três Simples1) Regra de Três Simples
Um automóvel faz 180 km com 15l de álcool. Quantos litros de álcool
este automóvel gastaria para percorrer 210 km?
Exemplo 5
O problema envolve duas grandezas: distância percorrida e consumo
de álcool. As unidades empregadas para medir tais grandezas são,
respectivamente, quilômetros e litros.
Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais1) Regra de Três Simples1) Regra de Três Simples
Indicando por x o número de litros de álcool que serão consumidos, podemos montar a tabela a seguir:
As grandezas distância percorrida e consumo de álcool são diretamente proporcionais, se a distância percorrida aumenta, o consumo de álcool aumenta proporcionalmente, ou seja, se a distância dobra, triplica..., o consumo de álcool também dobra, triplica...
Logo, a razão entre as distâncias é igual a razão entre os consumos correspondentes.
Distância (em km)
Consumo (em litros)
180 15
210x
Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais1) Regra de Três Simples1) Regra de Três Simples
Assim, temos a proporção que nos leva ao valor de x:180 15
210 x
Portanto, esse automóvel levaria 17,5 litros para percorrer 210 km.
180 15
210 x
180x 15 210 180x 3150
3150
x180
,x 17 5
Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais1) Regra de Três Simples1) Regra de Três Simples
Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Exemplo 6
O problema envolve duas grandezas: área (m2) e energia (Wh). As unidades
empregadas para medir tais grandezas são, respectivamente, metros
quadrados e watts por hora.
Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais1) Regra de Três Simples1) Regra de Três Simples
Montando a tabela temos:
Área (em m2) Energia (em Wh)
1,2 400
1,5x
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais1) Regra de Três Simples1) Regra de Três Simples
Área (em m2) Energia (em Wh)
1,2 400
1,5x
,
,
1 2 400
1 5 x
, ,1 2x 1 5 400
,
600x
1 2
x 500
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais1) Regra de Três Simples1) Regra de Três Simples
Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h, Vânia gasta 4 horas para fazer
certo percurso. Quanto seria gasto para fazer o mesmo percurso, se Vânia
aumentasse a velocidade para 80 km/?
Exemplo 7
O problema envolve duas grandezas: velocidade em km/h e tempo em horas.
Indicando por x o número de horas, podemos montar a tabela a seguir:
Velocidade (em km/h)
Tempo (em horas)
60 4
80x
Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais1) Regra de Três Simples1) Regra de Três Simples
As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais, pois, ao
aumentar a velocidade, o tempo de percurso diminui proporcionalmente. Se, por
exemplo, a velocidade dobra, tempo ficará reduzido à metade.
Velocidade (em km/h)
Tempo (em horas)
60 4
80x
Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais1) Regra de Três Simples1) Regra de Três Simples
Neste caso, como as razões têm sentido contrários, devemos inverter uma das
razões e em seguida, aplicamos propriedade fundamental das proporções.
60 x
80 4
Portanto, Vânia gastaria 3 horas para percorrer o mesmo trajeto com a nova
velocidade.
80x 60 4
80x 240
240
x80
x 3
Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais2) Regra de Três Composta2) Regra de Três Composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas
grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Logo, se uma grandeza é proporcional a outras grandezas, então é
proporcional ao produto dessas outras.
De um modo geral, suponhamos que uma grandeza A dependa de duas
outras grandezas B e C. Se, fixando C, A é diretamente proporcional a
C, então A é diretamente proporcional ao produto de B e C.
Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais2) Regra de Três Composta2) Regra de Três Composta
Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Exemplo 8
Resolução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas
de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies
diferentes que se correspondem:
Tempo (horas)
Caminhões Volume (m3)
8 20 160
5x
125
Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais2) Regra de Três Composta2) Regra de Três Composta
Tempo (horas)
Caminhões Volume (m3)
8 20 160
5x
125
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número
de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima
na 1ª coluna).
Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais2) Regra de Três Composta2) Regra de Três Composta
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões.
Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna).
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
Tempo (horas)
Caminhões Volume (m3)
8 20 160
5x
125
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras
razões de acordo com o sentido das setas.
20 160 5
x 125 8
20 20
x 25 x 25
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais2) Regra de Três Composta2) Regra de Três Composta
Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Resolução: montando a tabela:
Exemplo 9
Homens CarrinhosTempo (dias)
8 20 5
4x
16
Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais2) Regra de Três Composta2) Regra de Três Composta
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos.
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta.
Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos
inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o
produto das outras razões.
20 8 5
x 4 16
20 1 5
x 4 2
160x
520 5
x 8 x 32