Quaterniões hiperbólicos

Na matemática, um quaternião hiperbólico(português europeu) ou quatérnio hiperbólico (português brasileiro)

é um conceito matemático sugerido primeiramente porAlexander MacFarlane em 1891 em um discurso naAssociação Americana para o Avanço da Ciência. Aidéia foi criticada por sua falha em adaptar-se à associ-atividade da multiplicação. Os quaterniões hiperbólicossão uma extensão dos números complexos hiperbólicos.

1 Estrutura algébrica

Como os quaterniões, o conjunto dos quaterniões hiper-bólicos dá forma a um espaço vetorial sobre os númerosreais de dimensão 4. Uma combinação linearq = a+ bi+ cj + dk

é um quaternião hiperbólico quando a , b , c , e d sãonúmeros reais e o conjunto da base { 1, i, j, k } tem estesprodutos:ij = k = −ji

jk = i = −kj

ki = j = −ik

i2 = j2 = k2 = 1

Ao contrário dos quaterniões de Hamilton, de que estessão um forma modificada, os quaterniões hiperbólicosnão são associativos. Por exemplo, (ij)j = kj = −i, quando i(jj) = i . As primeiras três relações mostramque os produtos dos elementos (não-reais) da base são an-ticomutativos. Embora esse conjunto da base não formeum grupo, o conjunto{ 1, i, j, k,−1,−i,−j,−k }forma um quasigrupo. Note também que todo o subplanodo conjunto M de quaterniões hiperbólicos que conte-nham o eixo real forma um plano de números complexoshiperbólicos. Seq∗ = a− bi− cj − dk

é o conjugado de q , então o produto q(q∗) = a2 − b2 −c2 − d2

é a forma quadrática usada na teoria do espaço-tempo. Aforma bilinear chamada de produto interno deMinkowskisurge como a parte real com o sinal invertido do produtodos quaterniões hiperbólicos pq∗ :−p0q0 + p1q1 + p2q2 + p3q3 .Note que o conjunto das unidades U = { q : qq∗ ̸= 0 }

não é fechado sob a multiplicação.

2 Ver também• Quaterniões

• Número complexo

• Número complexo hiperbólico

3 Referência• MacFarlane (1891) “Principles of the Algebra ofPhysics” Proceedings of the American Associationfor the Advancement of Science 40:65-117.

• MacFarlane (1900) “Hyperbolic Quaternions” Pro-ceedings of the Royal Society at Edinburgh, 1899-1900 session, pp. 169–181.

• Alexander Macfarlane and the Ring of HyperbolicQuaternions

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2 4 FONTES, CONTRIBUIDORES E LICENÇAS DE TEXTO E IMAGEM

4 Fontes, contribuidores e licenças de texto e imagem

4.1 Texto• Quaterniões hiperbólicos Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Quaterni%C3%B5es%20hiperb%C3%B3licos?oldid=38496899 Contri-buidores: Camponez, Salgueiro, Rei-bot, Alchimista, Albmont, Jaime D., Orelhas, Burmeister, Luckas-bot, Lucia Bot, Algébrico, HugoDionizio Santos, EmausBot, Stuckkey e Anónimo: 8

4.2 Imagens• Ficheiro:Question_book.svg Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/97/Question_book.svg Licença: CC-BY-SA-3.0 Contribuidores: ? Artista original: ?

4.3 Licença• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0