PROFESSOR RICARDINHO
P. G.
a2 = a1 . q a8 = a1 . q7 a10 = a1 . q9 an = a1 . q n – 1
q...aa
aa
2
3
1
2
a1, a2, a3, ……., an P. A.a2 – a1 = a3 – a2 = ra2 = a1 + r a8 = a1 + 7r a10 = a1 + 9r an = a1 + (n – 1).r
PROGRESSÕES....
3 TERMOS EM P.G. xqx;;qx3 TERMOS EM P.A.
x – r, x, x + r SOMA DOS TERMOS
Sn = (a1 + an). n2
1q1).(qaS
n1
n
SOMA DOS TERMOS
q-1aSlimite 1
y = f(x) = ax2 + bx + c
Vértice
(0,c)
xV
yV
x1 x2
Vértice
(0,c)
xV
yV
x1 x2
y
x x
y
a > 0 a < 0
2 4V Vbx e ya a
FUNÇÃO DO 2º GRAU....
Uma fábrica de determinado componente eletrônico tem a receita financeira dada pela função R(x) = 2x2 + 20x – 30 e o custo da produção dada pela função C(x) = 3x2 – 12x + 30, em que a variável x representa o número de componentes fabricados e vendidos. Se o lucro é dado pela receita financeira menos o custo de produção, o número de componentes que deve ser fabricado e vendido para que lucro seja máximo é:
xCxRxL
60322 xxxL
abxV 2
232
Vx
16Vx
30202 2 xxxR 30123 2 xxxC
logB A = x A = Bx
CASOS PARTICULARESlogB 1 = 0 logA A = 1
PROPRIEDADESlogC (A.B) = logc A + logc BlogC (A/B) = logc A – logc B
logA Am = m
Logaritmos....
A > 0 1 ≠ B > 0
logC Am = m.logc A
A solução da equação
log 2x + log (1 + 2x) = log 6 é:
log 2x + log (1 + 2x) = log 6
log [(2x (1 + 2x)] = log 6
2x (1 + 2x) = 6 y (1 + y) = 6 y + y2 = 6 y2 + y – 6 = 0
Incógnita auxiliar:
2X = y
y’ = 2 y’’ = - 3
2x = 2x = 1
MUDANÇA DE BASE
BlogAlogAlog
c
cB
MATRIZ QUADRADA (An)
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
DIAGONAL PRINCIPAL
i = j
DIAGONAL SECUNDÁRIA
i + j = n + 1
TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ
049132A2x3 = At
3x2 =
014392
085813532
A =
SIMÉTRICA
A = At
08-5803-5-30
A =
ANTI SIMÉTRICA
A = - At
Matrizes....
MATRIZ IDENTIDADE (In)
100010001
I3 =
NEUTRA NA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
A.I = AB.I = BC.I = C
PRODUTO DE MATRIZES
pxmpxnnxm CB.A nn
Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A 0 B 0.
.0011
1010 0 0
0 0
Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou seja, geralmente A.B B.A . A.I = I.A = A A2 = A.A
DeterminantesCÁLCULO – 2ª ORDEM
a11 a12
a21 a22= a11 . a22 – a12 . a21
CÁLCULO – 3ª ORDEMa11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22
a31 a32
Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32
– a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33
det(A.B) = detA.det B (Teorema de Binet)
CUIDADO: det(A + B) ≠ detA + det B
vale lembrar que:det (k.A) = kn. det A
k R, n é a ordem da matriz
A . A-1 = In
detA1detA 1
• Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível.
• Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular.
dcba
A
acbd1-A
A deta
Adetc-
A detb-
A detd
1-A
5712
A
251-A7
1
32
37-
31-
35
1-A
det A =3
Matriz Inversa
REGRA DE CRÄMER
x = y = z = xs
ys
zs
Sistemas Lineares
POSSÍVEL
IMPOSSÍVEL
Admite solução
Não admite solução
DETERMINADO
s 0
s = 0 x = 0 y = 0
s = 0 x 0 ou y 0
INDETERMINADO
RETA - FORMAS DE OBTENÇÃO
01yx1yx1yx
BB
AA
Dados 2 pontos
AxBxAyBy
m
m = tg
Dados 1 ponto e o coef. angular
y – yo = m(x – xo)
2b2a
|cPb.yPa.x| d
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
CIRCUNFERÊNCIA
(x – )2 + (y – )2 = R2
x2+y2+Ax+By+C = 0
A = - 2 B = - 2 C = 2 + 2 – R2
2AB
2ABAB )y(y)x(xd
x
y
C
x
y P
x -
y - R
DISTÂNCIA ENTRE 2 PONTOS
EQUAÇÃO REDUZIDA
EQUAÇÃO GERAL
Geometria Analítica....
EQUAÇÃO GERAL
ax + by + c = 0EQUAÇÃO REDUZIDA
y = mx + n
Coef. angular
Coef. linear
PARALELAS: mr = ms
PERPENDICULARES: mr . ms = – 1
Determinar a distância do centro da circunferência x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0 ao ponto de intersecção das retas r: 3x + 2y = 29 e s: x – 2y = - 9
A(2,3)
Dividir por (- 2)
B(5,7)
sistema
2)AyB(y2)AxB(xABd
23)(7225ABd
2(4)23ABd
5d
Geometria Analítica....