professor ricardinho. p. g. a 2 = a 1. q a 8 = a 1. q 7 a 10 = a 1. q 9 a n = a 1. q n – 1 a 1, a...

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PROFESSOR RICARDINHO

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PROFESSOR RICARDINHO

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P. G.

a2 = a1 . q a8 = a1 . q7 a10 = a1 . q9 an = a1 . q n – 1

q...aa

aa

2

3

1

2

a1, a2, a3, ……., an P. A.a2 – a1 = a3 – a2 = ra2 = a1 + r a8 = a1 + 7r a10 = a1 + 9r an = a1 + (n – 1).r

PROGRESSÕES....

3 TERMOS EM P.G. xqx;;qx3 TERMOS EM P.A.

x – r, x, x + r SOMA DOS TERMOS

Sn = (a1 + an). n2

1q1).(qaS

n1

n

SOMA DOS TERMOS

q-1aSlimite 1

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y = f(x) = ax2 + bx + c

Vértice

(0,c)

xV

yV

x1 x2

Vértice

(0,c)

xV

yV

x1 x2

y

x x

y

a > 0 a < 0

2 4V Vbx e ya a

FUNÇÃO DO 2º GRAU....

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Uma fábrica de determinado componente eletrônico tem a receita financeira dada pela função R(x) = 2x2 + 20x – 30 e o custo da produção dada pela função C(x) = 3x2 – 12x + 30, em que a variável x representa o número de componentes fabricados e vendidos. Se o lucro é dado pela receita financeira menos o custo de produção, o número de componentes que deve ser fabricado e vendido para que lucro seja máximo é:

xCxRxL

60322 xxxL

abxV 2

232

Vx

16Vx

30202 2 xxxR 30123 2 xxxC

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logB A = x A = Bx

CASOS PARTICULARESlogB 1 = 0 logA A = 1

PROPRIEDADESlogC (A.B) = logc A + logc BlogC (A/B) = logc A – logc B

logA Am = m

Logaritmos....

A > 0 1 ≠ B > 0

logC Am = m.logc A

A solução da equação

log 2x + log (1 + 2x) = log 6 é:

log 2x + log (1 + 2x) = log 6

log [(2x (1 + 2x)] = log 6

2x (1 + 2x) = 6 y (1 + y) = 6 y + y2 = 6 y2 + y – 6 = 0

Incógnita auxiliar:

2X = y

y’ = 2 y’’ = - 3

2x = 2x = 1

MUDANÇA DE BASE

BlogAlogAlog

c

cB

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MATRIZ QUADRADA (An)

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

DIAGONAL PRINCIPAL

i = j

DIAGONAL SECUNDÁRIA

i + j = n + 1

TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ

049132A2x3 = At

3x2 =

014392

085813532

A =

SIMÉTRICA

A = At

08-5803-5-30

A =

ANTI SIMÉTRICA

A = - At

Matrizes....

MATRIZ IDENTIDADE (In)

100010001

I3 =

NEUTRA NA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

A.I = AB.I = BC.I = C

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PRODUTO DE MATRIZES

pxmpxnnxm CB.A nn

Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A 0 B 0.

.0011

1010 0 0

0 0

Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou seja, geralmente A.B B.A . A.I = I.A = A A2 = A.A

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DeterminantesCÁLCULO – 2ª ORDEM

a11 a12

a21 a22= a11 . a22 – a12 . a21

CÁLCULO – 3ª ORDEMa11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12

a21 a22

a31 a32

Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32

– a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33

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det(A.B) = detA.det B (Teorema de Binet)

CUIDADO: det(A + B) ≠ detA + det B

vale lembrar que:det (k.A) = kn. det A

k R, n é a ordem da matriz

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A . A-1 = In

detA1detA 1

• Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível.

• Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular.

dcba

A

acbd1-A

A deta

Adetc-

A detb-

A detd

1-A

5712

A

251-A7

1

32

37-

31-

35

1-A

det A =3

Matriz Inversa

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REGRA DE CRÄMER

x = y = z = xs

ys

zs

Sistemas Lineares

POSSÍVEL

IMPOSSÍVEL

Admite solução

Não admite solução

DETERMINADO

s 0

s = 0 x = 0 y = 0

s = 0 x 0 ou y 0

INDETERMINADO

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RETA - FORMAS DE OBTENÇÃO

01yx1yx1yx

BB

AA

Dados 2 pontos

AxBxAyBy

m

m = tg

Dados 1 ponto e o coef. angular

y – yo = m(x – xo)

2b2a

|cPb.yPa.x| d

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

CIRCUNFERÊNCIA

(x – )2 + (y – )2 = R2

x2+y2+Ax+By+C = 0

A = - 2 B = - 2 C = 2 + 2 – R2

2AB

2ABAB )y(y)x(xd

x

y

C

x

y P

x -

y - R

DISTÂNCIA ENTRE 2 PONTOS

EQUAÇÃO REDUZIDA

EQUAÇÃO GERAL

Geometria Analítica....

EQUAÇÃO GERAL

ax + by + c = 0EQUAÇÃO REDUZIDA

y = mx + n

Coef. angular

Coef. linear

PARALELAS: mr = ms

PERPENDICULARES: mr . ms = – 1

Page 13: PROFESSOR RICARDINHO. P. G. a 2 = a 1. q a 8 = a 1. q 7 a 10 = a 1. q 9 a n = a 1. q n – 1 a 1, a 2, a 3, ……., a n P. A. a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = r a 2

Determinar a distância do centro da circunferência x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0 ao ponto de intersecção das retas r: 3x + 2y = 29 e s: x – 2y = - 9

A(2,3)

Dividir por (- 2)

B(5,7)

sistema

2)AyB(y2)AxB(xABd

23)(7225ABd

2(4)23ABd

5d

Geometria Analítica....