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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
ÁREA TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURA
MECANICA RACIONAL
GUIA UNIDAD I y II
PROFESORES:
José Contreras
Giovanny Galoti
Joan Gil
ABRIL 2010
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Una partícula se mueve en el espacio de tal forma que:
r=2a t2 ; θ=πt ; z=5 t 2
Donde r y z están en metros, en radianes y t en seg. Determine los vectores velocidad y aceleración en el instante en que la componente radial de la aceleración a rsub r es 0
v=? a=?−−−−→ Para t=?cuando ar=0
v=vr er+vθ eθ+vz e z
r = 2at 2 θ=πt z=5 t 2
r = 4at θ=π z=10 tr = 4a θ=0 z=10
vr=r=4 at
vθ=r θ=(2a t 2 ) . ( π )=2πa t 2
vz= z=10 t
Para cuando ar=0−−→t=?
ar=r−θ r2=0 4a−(2a t2 ) .(π )2=0 4 a−2π2 a t2=0
t=√ 4a2 π2 a
t=√ 2π2 t=√2
π
Sustituyendo en las componentes de la velocidad:
vr=4 √2a
π
vθ=2πa (√2π)
2
=4a /π
vz=10 √2/ π
v=4√2aπ
er+4 aπ
eθ+10 √2π
e z
a=ar er+aθ e θ+az e z
ar=0
aθ=(r θ+2 r θ )=2a t 2 .0+4atπ=8πataz= z=10
Evaluando apara t=√2π
seg .
ar=0
aθ=8√2a
az=10
a=0e r+8√2aeθ+10e z
2. La aceleración de un cohete durante un intervalo breve la da la ecuación
a=45−3 t+2t 2. Al principio del intervalo, la posición y la velocidad del cohete son 275 pies y 110 pies/s; respectivamente. Determine la posición, la velocidad y la aceleración del cohete cuando t=4 seg.
SoluciónDatos:
a=45−3 t+2t 2 Para t = 0 seg so = 275 pies y vo = 110 pies/segs , v , a, = ? t = 4 seg
La aceleración para el tiempo t = 4 seg será:
a t=4=45−3 (4 )+2(4 )2 pies/seg2 a t=4=65 pies /seg2
La velocidad se obtiene integrando la ecuación de aceleración
v=∫¿
tf
adt v=∫¿
tf
adt v f−v o=∫¿
tf
45−3 t+2 t 2dt pies /seg
v t=4−v t=0=45 t−3 /2 t 2+2/3t 3 40
pies / seg
v t=4−110=45 (4 )−3 /2(4)2+2/3(4)3 pies /seg
v t=4=110+180−24+42.67 pies/seg v t=4=308 ,67 pies /seg
La posición del cohete para t = 4 seg puede obtenerse integrando la ecuación de velocidad
s=∫¿
tf
v dt s=∫¿
tf
v dt sf−so=∫¿
tf
45 t−3 /2 t 2+2/3 t 3 dt pies
st=4−s t=0=45/2 t2−1 /2 t 3+1/6 t 4 40
pies
st=4−275=45 /2(4 )2−1/2(t)3+1/6( t)4 pies
st=4=275+360−32+42.67 pies st=4=645,67 pies
3. La aceleración de una partícula en movimiento rectilíneo esta expresada por la ecuación a=−0.15 v2 pulg/seg2. Si So = 0 y Vo = 36 pulg/seg cuando t = 0 seg, determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t=5 seg.
SoluciónDatos:
a=−0.15 v2 Para t = 0 seg so = 0 pies y vo = 36 pulg/segs , v , a, = ? t = 5 seg
a) Calculo de la velocidad de la partícula
Sia=dvdt
entoncesdv=adt
Sustituyendo y agrupando dv=(−0.15 v2 )dt=¿ dv
v2=−0.15dt
Integrandoambos lados de la ecuación∫vo
v f
dv
v2=∫
to
t f
−0.15dt
−1v
v f
v o
=−0.15 t t f
t o
1v f
− 1vo
=0.15 tf
+0.15 t o=¿ 1v f
=0.15 tf
+0.15 t o+1vo
v f=1
0.15 t f+0.15 t o+1vo
Evaluando en t = 5 seg
v t=5=1
0.15 (5 )+0.15 (0 )+ 1(36)
pulg /seg v t=5=1
0.15 (5 )+ 136
pulg /seg
v t=5=1.29 pulg /seg
b) Calculo de la posición de la partícula para t 5 seg
Sia=vdvdx
entonces dx= v dva
Sustituyendodx= v dv
−0.15v2
Integrandoambos lados de la ecuación∫xo
x f
dx=∫vo
v f −10.15 v
dv
x x f
xo
= −10.15
ln(v )v f
vo
x f−x i=−10.15
ln (v f )+1
0.15ln (v i )=¿ x t=5=
−10.15
ln (v5 )+1
0.15ln (v0 ) pulg
Evaluando en t = 5 seg
x t=5=−10.15
ln (1.29 )+ 10.15
ln (36 ) pulg v t=4=22.19 pulg
c) La aceleración de la partícula a los 5 seg se obtiene al sustituir el valor obtenido de velocidad a los 5 seg en la ecuación a=−0.15 v2
a=−0.15 (1.29 )2 pulg / seg2 a=−0.25 pulg / seg2
4. El movimiento curvilíneo de una partícula se describe por las ecuaciones:
x=2−7 t2 ; y=−4 t+5 t 3 en las cuelas x e y están en pies y t en segundos. Determine las magnitudes y direcciones de los vectores de posición, velocidad y aceleración cuando t 4seg.
Solución
Datos:
x=2−7 t2
y=−4 t+5 t3 Magnitudes y direcciones de r , v y a=?> t 4 seg.
Se obtienen las derivadas de las ecuaciones:
x=2−7 t2
x=−14 t
x=−14
y=−4 t+5 t3
y=−4+15t 2
y=30 t
La magnitud derserá: r=√x2+ y2 r=√(2−7 t2)2+(−4 t+5t 3)2 pies
Para t=4 segr=√(2−7(4)2)2+(−4 (4)+5 (4)3)2r=323.28 pies
La dirección der puede darse a través del ángulo que forman x e y
θ=tan−1( yx )θ=tan−1(−4 t+5 t3
2−7 t 2 )θ=tan−1(−4 (4)+5(4)3
2−7(4)2 )θ=−70,10
r=323,28 pies70,10
La magnitud devserá:v=√ x2+ y2 v=√(−14 t)2+(−4+15 t2)2 pies / seg
Para t=4 segr=√(−14 (4 ))2+(−4+15(4 )2)2 v=242,55 pies/ seg
La dirección dev puede darse a través del ángulo que forman x e y
θ=tan−1( yx )θ=tan−1(−4+15 t2
−14 t )θ=tan−1(−4+15 (4 )2
−14(4) )θ=−76,65
v=242,55 pies /seg76,65
La magnitud deaserá:a=√ x2+ y2 a=√(−14)2+(30 t)2 pies/seg2
Para t=4 seg a=√(−14)2+(30(4))2a=120,81 pies /seg2
La dirección dea puede darse a través del ángulo que forman xe y
θ=tan−1( yx )θ=tan−1( 30 t
−14 )θ=tan−1(30 (4)
−14 )θ=−83.35
a=120,81 pies /seg283,35
5. La rotación de la barra OA con respecto de O está definida por la relación θ=2t 2, donde se expresa en radianes y t en segundos. El collarín B resbala por la barra de tal forma que su distancia desde O es r=60 t2−20 t 3, donde r se expresa en pulgadas y t en segundos. Cuando t=¿ 1 s determínense a) su velocidad, b) su aceleración total. Utilice sistema de coordenadas tangenciales y normales
Solución
Datos
r=60 t2−20 t 3
θ=2t 2
v y a=? parat=1 seg
Del Mov. Curvilineo :s=rθ s=r θ s=r θ
ω=θ α=θ
Adoptando sistema de coordenadas tangenciales y normalesv=s e t
a=√ ( s et )2+( s2/ ρen)
2
a) La velocidad será:v=s e t v=r θ e t v=(60 t 2−20 t3 ) . (4 t ) et
Para t 1 seg
v=(60 (1 )2−20 (1 )3 ) . (4 (1))et v=160e t pulg / seg
b)a t= s e t a t=r θ e t at=(60 t 2−20 t 3 ) ( 4 )e t at=160e t pulg /seg2
an= s2/ ρ en ; donde ρ=r an=¿
an=¿¿
an=640en pulg /seg2
a=(160 et ,640en) pulg /seg
La Aceleración total será: a=√ (160e t )
2+(640en)2 pulg /seg2 a=659.69 pulg /seg2
6. La trayectoria de una partícula P es un caracol. El movimiento de la partícula está definido por las relaciones r = b(2 + cost) y =t, donde t y se expresan en segundos y radianes respectivamente. Determine a) La velocidad y aceleración de la partícula cuando t = 2 seg b) el valor de para el cual la velocidad es máxima. Resolver utilizando sistema de coordenadas radiales y transversales
Solución
Datos:
r = b(2 + cost) =tv y a ? Cuando t 2 seg =? Cuando v=max
a) Para obtener la velocidad y aceleración mediante coordenadas polares se debe diferenciar r y θ en función del tiempo
r=b (2+cos (t)) ¿ t
r=−bπ sen (πt)
r=−b π2cos (πt)
=¿
=0
Para t 2 seg cos t=1 y sent=0
Por tanto:r=3b
r=0
r=−b π2
¿2π
˙=¿
¨=0
vr=r=0vθ=r θ=3bπ
v=3bπ eθ
ar=r−r θ2=−b π2−3bπ2 vθ=r θ+2 r θ=0
ar=−4 π2 b
a=−4π 2ber
b) Valores de cuando v=¿ máximo
vr=r=−bπ sen πt vθ=r θ=bπ (2+cos t )
v2=(−bπ sen(πt ))2+¿¿
v2=(−bπ sen(πt ))2+¿¿
v2=π 2b2¿
v2=π 2b2(sen2 (πt )+4+4 cos (πt )+cos (πt )2)
v2=π 2b2(5+4 cos (πt ))
v2es unmaximo cuando : cos (πt )=1 Siendo πt=2π ,4 π ,6 π
Pero θ=πt por lo que v2es unmaximo cuandoθ=2 Nπ, donde N es 0,1,2,3,4…
7. Conforme gira la leva A, la rueda B del seguidor gira sin resbalar sobre la cara de la leva. Sabiendo que las coordenadas normales de la aceleración en el punto de contacto C de la leva A y de la rueda B son 26 in/seg2 y 267 in/seg2 respectivamente. Determine el diámetro de la rueda del seguidor.
Datos:
an (A )=26∈¿ seg2
an (B )=267∈¿ seg2
∅=? ρ=2.6∈¿ v t=ctte=¿>at=0
a2=at2+an
2 an=v2/ ρ
Para la leva
v2=an∗ρ v2=26 ¿seg2∗2.6∈v=√67.6 ¿2
seg2 v=8.22∈¿ seg
La velocidad tangencial de la leva es la misma que la rueda del seguidor en el punto de contacto.
an=v2
ρ=¿ ρ= v2
an
ρ=8.222
267ρ=0.253∈¿
∅ B=2r r=ρ
∅ B=2 ( 0.253 )∈∅ B=0.506∈¿
8. La velocidad de las lanchas A y C son las indicadas y la velocidad relativa de la lancha b respecto de A es vB /A=4 pies∢ s
Determinase:a. vA /C=¿ ?
b. vC/B=?
c. El cambio en la posición de B con respecto a C durante un intervalo de 10 seg. Demuéstrese también que para cualquier movimiento vB /A+vC /B+v A /C=0
Datos:vB /A=4 pies /seg∡50 ° vC=5 pies /seg vB=? vA=6 pies/ seg
Calculo de V A /C(Movimientode A respecto aC )
Suma vectorial=¿ v A=vC+v A /C
vcj=5 cos30 °=4.33 vci=5 sen 30°=−2.5
vc=−2.5 i+4.33 j Pies /seg v A=6 i Pies /seg
v A /C=6 i+2.5 i−4.33 j pies /seg v A /C=8.5i−4.33 j pies /seg
|v A /C|=√(8.5)2+¿¿
θ=tan−1(−4.338.5 )=27 °
Calculo de V C /B(Movimiento deC respecto aB)
Suma vectorial=¿ vC=vB+vC /B
vB=? Para determinar la velocidad de B podemos analizar el movimiento de B respecto a A
Calculo de la Velocidad de B
vB /A=4 P ies /seg∡50 ° vB /A=4 cos50 ° i+4 sen50 ° j vB /A=2.57 i+3.06 j pies /seg vB=v A+vB /A vB=6 i+2.57 i+3.06 j pies/seg vB=8.57 i+3.06 j pies/ seg
|vB|=√(8.57)2+¿¿
φB= tan−1( 3.068.57 )=19.65 °
Ahora calculamos vC/B ya conocida vB
vC/B= (−2.5i+4.33 j )−(8.57 i+3.06 j)
vC/B=−11.07 i+1.27 j
|vB /C|=√(−11.07 )2+¿¿
β=tan−1( 1.27−11.07 )=6.54 °
Cambio de la posición de B respecto a C
v=∆r∆ t
v ∆ t=∆r ∆r=(11.143piesseg
)(10 seg)
∆r=111.43 pies /seg
9. En el instante mostrado, los automóviles A y B están viajando con velocidades de 55 y 40 mi/h, respectivamente. Si B está incrementando su rapidez en
1200 mi
h2 , mientras que A mantiene una rapidez constante, determine la velocidad y la
aceleración de B con respecto a A. El automóvil B se mueve por una curva que tiene un radio de curvatura de 0.5 millas.
Solución:
Paso n° 1: Ubicar sistema fijo y sistema móvil.
El enunciado del problema nos indica que el auto observado es el B, mientras que en el auto A hay un observador que en este caso es un observador móvil. En cuanto al sistema fijo, lo más adecuado es ubicarlo siempre que sea posible en el mismo punto que el sistema móvil, por lo tanto, el sistema móvil quedara ubicado sobre el auto A y el sistema fijo por debajo del auto A coincidiendo en posición en el instante de tiempo estudiado.
Paso n°2: Agrupar datos e incógnitas según el elemento al que pertenecen.
Sistema móvil (auto A) Partícula (auto B)
r A= 0 ρB= 0,5 mi
vA= -55 i mi/h vB=( -40 cos 30° i + 40 sen 30° j) mi/h
a A= 0 (Velocidad constante) a tB= ( -1200 cos 30° i + 1200 sen 30° j) mi
h2
anB=v2
ρ=( 402
0,5 )=3200 mi
h2
anB= ( 3200 sen 30° i + 3200 cos 30° j) mi
h2
aB= ( -1200 cos 30° i + 1200 sen 30° j) mi
h2 + ( 3200 sen 30° i
+ 3200 cos 30° j) mi
h2
Paso n°3: Aplicar las ecuaciones y resolver las incógnitas.
vB= v A+ v BA
v BA
=¿ 28.5 mi/h, θ=44.5°
aB= aA+ a BA
a BA
= 3418 mi
h2 , θ=80.6°
Ejercicios Propuestos
1. Una partícula está restringida a moverse hacia arriba y hacia la derecha a lo largo de la trayectoria:
2 y2=13
x3+160x e y encms
La coordenada x de la partícula en cualquier momento es:
x=5 t2
2−5
2t+10
Encuentre la componente “y” de la velocidad y la aceleración cuando x = 15 cms
2. Un automóvil recorre a velocidad constante la curva parabólica ACB, cuya ecuación es
de la forma y=ao x2 con ao = constante. Determine la aceleración total para cuando
s= 1,20m; L =60m y v = 27m/seg; en la posición mostrada:
3. La mecha de un cohete que se lanza verticalmente hacia arriba está siendo seguida por medio de un radar situado a una distancia de 1.2 km de la plataforma de lanzamiento. Los datos de rastreo indican que la velocidad angular es de 0.2 rad/seg y la aceleración angular es de 0.1 rad/seg2 cuando θ=45
Determine la velocidad y la aceleración del cohete en esta posición:
4. El vector posición de una partícula se mueve a lo largo de una curva que se desarrolla en tres dimensiones esta dado por r=¿ en donde θ=π t 2 rad. Describir su posición, velocidad y aceleración en coordenadas cilíndricas.
5. Un avión recorre una trayectoria parabólica vertical. Cuando se encuentra en el punto A va con una rapidez de 200 m/seg que se incrementa a un ritmo de 0.8 m/seg 2. Determine la magnitud de la aceleración del avión cuando se encuentra en el punto A. Resolver mediante sistema de coordenadas tangenciales y normales.
6. La aceleración de una partícula esta expresada por la ecuación a=4−3 s2 en el cual a está en m/s2 y s e m. Si So = 0 y vo = 0 cuando t = 0 seg, determine a) la posición S en donde la velocidad es máxima y b) la velocidad cuando S 2 m.
7. Un automóvil y un camión viajan a una velocidad constante de 54 km/h; el automóvil está 30 m por detrás del camión. El conductor del automóvil quiere rebasar al camión, esto es, desea colocar su auto en B, 30 m por delante del camión, y después regresar a la velocidad de 54 km/h. La aceleración máxima del automóvil es de 2 m/s2 y la máxima desaceleración obtenida al aplicar los frenos es de 8 m/s2 ¿Cuál es el tiempo más corto en el que el conductor del automóvil puede completar la operación de rebase si en ningún momento sobrepasa la velocidad de 90 km/h? Trace la curva v-t.
8. La aceleración de una partícula en movimiento rectilíneo esta expresada por la ecuación a=−0.15 v2 pulg/seg2. Si So = 0 y vo = 36 pulg/seg cuando t = 0 seg, determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t=5 seg.
9. Una niña lanza una pelota desde el punto A con velocidad inicial Vo a un ángulo 3 con la horizontal. Si una pelota golpea la pared en el punto B determine, a) la magnitud de la velocidad inicial, b) El radio de curvatura mínimo de la trayectoria
10. La rotación de la varilla OA alrededor de O se define por medio d la relación = 0.5e-0.8t sen 3t, donde se expresa en radianes y t en segundos, respectivamente. El collarín se desliza a lo largo de la varilla de manera que su distancia desde O es r = 1 + 2t - 6t2 + 8t3 , donde r esta en pies y t en segundos . En t= 0.5 seg determine a) la velocidad del collarín b) la aceleración del collarín c) la aceleración del collarín relativa a la varilla. Utilice sistema de coordenadas radiales y transversales.
11. Las velocidades de los trenes A y B son como se indican en la figura. Si la velocidad de cada tren es constante y B alcanza el cruce 10 minutos después de que A lo hizo, determine: a) La velocidad relativa de B respecto a A, b) la distancia entre los frentes de las maquinas 3 minutos después de haber pasado A por el cruce.
12. En el instante mostrado, los automóviles A y B están viajando con rapidez de 30 y 20
mi/h, respectivamente. Si A está incrementando su rapidez a 400 mi
h2 , mientras que la
rapidez de B está disminuyendo a 80 mi
h2 , determine la velocidad y la aceleración de B
respecto a A.
13. En el instante mostrado, el ciclista en A está viajando a 7 m/s alrededor de la curva de
la pista mientras incrementa su rapidez en 0,5 m
s2 . El ciclista en B está viajando a 8,5
m/s a lo largo de una porción recta de la pista e incrementa en 0,7 m
s2 . Determine la
velocidad relativa y la aceleración relativa de A con respecto a B en este instante.
Parte II Cinemática del Cuerpo Rígido
Problemas Resueltos
1. Un motor da al disco “A” una aceleración angular de α A= (0.6 t 2+0.75 )
rad/seg2. donde t esta en segundos. Si la velocidad angular inicial del disco ωo=6 rad/seg.
Determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración del bloque “B” cuando t 2 seg.
Datos:
α A= (0.6 t 2+0.75 ) rad/seg2
ωo=6 rad/seg
vB ? Para t 2 seg.aB ?
a t A=at Bv A=vBat A=αA∗r A
a t A=(0.6 t 2+0.75 )∗0.15m
a t A=0.09 t2+0.113 m /seg2 a t A=0.09(2)2+0.113m /seg2 a t A=0.473m /seg2
ωA=ωo+αc A∗t
Donde α c A=¿ Aceleración Constante
α c A=(0.6 t2+0.75 )rad /seg2 α c A=(0.6(2)2+0.75 )rad / seg2 α c A=3.153 rad /seg2 ωA=6 rad /seg+3.153 rad /seg2∗2 seg ωA=12.30 rad /seg vA=ωA∗r A vA=12.30 rad / seg∗0.15m vA=1.84 m /seg
2. El engrane A esta acoplado con el engrane B como se muestra en la figura.
Si A parte del reposo y tiene una aceleración angular constante de α A=2 rad/seg2.
Determine el tiempo necesario para que B alcance una velocidad angular de ωB= 50
rad/seg
Datos:
r A=0.025m
r B=0.1m
α A=2rad /seg2
ωoB=0 rad / seg , Parte del reposo
ωB=50rad /seg
t = ?
a t A=at Bv A=vBat A=αA∗r A
ωB=ωoB+α cB∗t ωB=αcB∗t
a t A=2 rad /seg2∗0.025m a t A=at B=0.05m /seg2 vB=ωB∗r B vA=50 rad / seg∗0.1m vA=5m /seg
a tB=αB∗rB
αB=at B
rB
αB=0.05m / seg2
0.1mαB=0.5 rad / seg2
ωB=αc B∗t 50 rad /seg=0.5 rad / seg2∗t
t= 50 rad / seg0.5 rad /seg2
t=100 seg
3. El collar C mostrado en la figura se mueve hacia abajo con velocidad de
2 m/seg. Determine las velocidades angulares de CB y AB en este instante.
Datos:
Vc = 2 m/seg
ωCB=?
ωAB=?
vc=(0 i−2 j+0k)
ωBC=(0 i+0 j+ωBC k)
vB=vc+vB /C
vB=vc+ωBC∗r BC
r BC=B=(0.2 i+0 j+0k )mrBC=(−0.2 i+0.2 j+0k )
C=(0 i+0.2 j+0k ) m
vB=(0 i−2 j+0k )+| i j k0 0 ωBC
−0.2 0.2 0 |r ad / segm
vB=( 0i−2 j+0k )+(−0.2ωBC i−0.2ωBC j+0k )m /seg
Haciendo : vBj=0−2 j−0.2ωBC j = 0
ωBC=−20.2
m / seg|ωBC|=10rad /seg
vBi=−0.2ωBC i v Bi=−0.2 (10 rad /seg ) vBi=−2 i
|vB|=2m /seg
vB=ωAB∗r AB
r AB=A=(0.2 i+0.2 j+0k )
B=(0.2 i+0 j+0k )
r AB=(0 i+0.2 j+0k )
vB=|i j k0 0 ωAB
0 0.2 0 |rad /segm
vB=(−0.2ωAB+0 j+0k )
vBi=−0.2ωAB i−2 i=−0.2ωABi
ωAB=2
0.2|ωAB|=1 0 rad / seg
4. Partiendo del reposo s=0, la polea A recibe una aceleracion angular α=6θ
rad/seg2, donde θesta en radianes. Determine la rapidez del bloque B cuando se ha
levantado s = 6m. La polea tiene un cubo interior D que esta fijo a C y gira con él.
Datos:
α=6θ rad/seg2
s = 6m
A y C estan unidas por las mismas correas, por tanto tienen las mismas
componentes de v y a t
D y C estan sobre el mismo eje.
α A∗dθ=ωA∗dω∫0
θ
αA dθ=∫0
ω
ωA∗dω
∫0
θ
6θ dθ=∫0
ω
ωA∗dω62
θ| θ¿o
=12
ω2
ω2=2∗3θ2ω=√6θ2 ω=2.45θ (Ecu1)
s=θD∗rD
6m=θD∗0.075m
θD=80 rad
Sustituyendo en (Ecu1 )ωD=2.45∗80rad ωD=196 rag /seg
vBloque=vD=196 rad /seg∗0.075mv Bloque=14.7m / seg
5. Determine la velocidad del bloque deslizable ubicado en C en el instante
=45o, si el eslabon AB esta girando a 4 rad/seg.
Datos:
vc=? paraθ=45o
ωAB=4 rad /se g=¿ωAB=(0 i+0 j+4k )rad / seg
vC=v B+v B/C
vB=v A+vB /A vB=v A+vB / A vB=ωAB∗r AB
Determinando; r AB
cos 45o=x i
0.3mx i=0.21m
sen45o=y i
0.3my i=0.21m
r AB=(0.21i+0.3 j+0k )m
vB=| i j k0 0 4
0.21 0.21 0|rad /segm
v B=(−0.84 i+0.84 j+0k )m /seg
cos 45o=x i
0.125mx i=0.088 m
sen45o=y i
0.125my i=0.088m
r BC=(−0.088 i+0.088+0k )m
vC=(−0.84 i+0.84 j+0k ) rad / seg+| i j k0 0 ωBC
−0.088 0.088 0 |rad / segm
vB=¿
vC j=0 0.84 j−0.088ωBC j=0ωBC=0.84
0.088
ωBC=9.54 rad /seg
vC i=−0.84 j−0.088 ( 9.54 ) j vC i=−1.68m /seg|vC|=1.68m /seg
6. Si la velocidad angular del eslabon AB es ωAB=¿ 3 rad/seg. Determine la
velocidad del bloque en el punto C y la velocidad angular del eslabon conector CB en el
instante θ=45o y ∅=30o
Datos:
ωAB=¿ 3 rad/seg
vC=?
ωAB=?
θ=45o
Puntos de Ubicación
pies
pies
pies
∅=30o
vC=v B+v B/C
vC=ωAB∗r AB+ωBC∗rBC
cos∅= x2 pies
x=1.73 pies
sen∅= y2 pies
y=1 pie
r AB=(−1.73i+−1 j+0 k ) pies
vB=| i j k0 0 3
−1.73 −1 0|rad / segm
vB= (3 i−5.19 j+0k ) pies /seg
cosθ= x3 pies
x=2.1 pies
senθ= y3 pies
y=2.1 pies
r BC=(2.1i+2.1 j+0 k ) pies
vc=(3i−5.19 j+0k )+| i j k0 0 ωBC
2.1 2.1 0 |rad / segm
vB=(3 i−5.19 j+0k ) pies /seg+ (−2.1ωBC i+2.1ωBC j+0k ) pies/ seg
vc j=0−5.19 j+2.1ωBC j=0
ωBC=5.192.1
ωBC=2.47 rad /seg
vC i=3 i−2.1 (2.47 ) pies /seg vC i=−2.19 pies /seg
|vC|=2.19m / seg
7. En el instante mostrado, los automóviles A y B están viajando con velocidades de 55 y 40 mi/h, respectivamente. Si B está incrementando su rapidez en
1200 mi
h2 , mientras que A mantiene una rapidez constante, determine la velocidad y la
aceleración de A con respecto a B. El automóvil B se mueve por una curva que tiene un radio de curvatura de 0.5 millas y la posición relativa de A con respecto a B en el instante estudiado es de ( -3,42 i - 9,40 j) mi
Solución:
Paso n° 1: Ubicar sistema fijo y sistema móvil.
El enunciado del problema nos indica que el auto observado es el A, mientras que en el auto B hay un observador que en este caso es un observador móvil. En cuanto al sistema fijo, lo más adecuado es ubicarlo siempre que sea posible en el mismo punto que el sistema móvil, por lo tanto, el sistema móvil quedara ubicado sobre el auto B y el sistema fijo por debajo del auto B coincidiendo en posición en el instante de tiempo estudiado.
Paso n°2: Agrupar datos e incógnitas según el elemento al que pertenecen.
Sistema móvil (auto A) Partícula (auto B)
r A= 0 ρB= 0,5 mi
r AB
= ( -3,42 i - 9,40 j) mi vB=( -40 cos 30° i + 40 sen 30° j) mi/h
vA= -55 i mi/h a tB= ( -1200 cos 30° i + 1200 sen 30° j) mi
h2
a A= 0 (Velocidad constante) anB=
v2
ρ=( 402
0,5 )=3200 mi
h2
anB= ( 3200 sen 30° i + 3200 cos 30° j) mi
h2
aB= ( -1200 cos 30° i + 1200 sen 30° j) mi
h2 + ( 3200 sen 30° i
+ 3200 cos 30° j) mi
h2
Ω = 40/0,5 ; Ω=−80 k rad/seg
Ω= 1200/0,5 ; Ω=−2400 k radseg
Paso n°3: Aplicar las ecuaciones y resolver las incógnitas.
vA= vB+(Ω x r AB
)+ v AB
a A= aB+(Ω x r AB )+(Ωx (Ω x r A
B ))+2(Ωx v AB )+ a A
B
Problemas Propuestos
1. (CIR) debido al desplazamiento, los puntos A y B sobre el borde del disco tienen
las velocidades mostradas. Determine las velocidades del punto central C y del
Punto E en ese instante
Resp. Vc = 2.50 pies/seg Ve = 7.91 pies /seg
2. (CIR) La placa cuadrada esta confinada dentro de las ranuras en los puntos
A y B cuando = 30º, el punto A se esta moviendo a VA = 8 m/seg. Determine la
velocidad del punto D en ese instante.
Resp. VD = 5.72 m/seg
3. El carro de uno de los juegos de un parque de diversiones gira alrededor del eje A con una velocidad angular constante Waf, la cual es medida respecto al segmento AB. Al mismo tiempo el segmento AB gira alrededor del eje principal de soporte B con una velocidad angular constante Wf. Determine la Velocidad y Aceleración de un pasajero que se encuentra en el puesto C en el instante mostrado. Datos:Waf= 2rad/segWf= 1rad/sega= 15 mb= 8 mθ = 30º
4. El “Scambler” es un juego que consiste en tres brazos principales que giran con rapidez angular constante W1 = 12 rpm respecto a un eje pivote central fijo Ō y en tres conjuntos de cuatro brazos secundarios que giran con rapidez angular absoluta constante W2 = 15 rpm respecto a un punto pivote móvil O en el extremo de cada brazo principal. Cada brazo secundario lleva una banca que puede acomodar hasta tres pasajeros. La configuración inicial en el tiempo t = 0 es θ1= 0 y θ2 = 0. Observe que θ1 y θ2 tienen sentidos opuestos.Suponga que el pasajero en A está en el extremo exterior de la banca, con r = 13 pies, a = 4 pies, b = 6 pies. Determine la aceleración experimentada por el pasajero.
5. Una partícula de agua se está moviendo hacia afuera y a lo largo del aspa impulsora de una bomba centrífuga de agua, con una velocidad tangencial de 50 m/seg; y una aceleración tangencial de 30 m/seg2, ambas relativas al extremo del aspa. El rotor del aspa tiene un radio de 8 cm, mientras que las aspas tienen una longitud y un radio de 40 cm y 15 cm respectivamente. Dado que el aspa gira con una aceleración constante de 5 rpm2 en el sentido de las manecillas del reloj, determinar la velocidad y la aceleración de la partícula de agua en el instante en que abandona el aspa, cuando
ésta gira con una rapidez de 200 rpm en el sentido de las manecillas del reloj.
P