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Probabilidades 9º Ano
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Probabilidades 9º Ano
Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo) viajava com Pascal ( homem que estudava
religião e Matemática – inventor da máquina de calcular) e colocou-lhe a seguinte questão:
“ Eu e um amigo estávamos a jogar quando uma mensagem urgente nos obrigou a interromper o
jogo. Tínhamos colocado em jogo 30 pistolas cada um ( 1 pistola = 2,5 € ). Ganharia as 60 pistolas o primeiro que obtivesse 3 vezes o número que escolheu no lançamento de um
dado. Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido já tinha saído o 6 duas vezes. O
meu amigo tinha escolhido o 1 que apenas tinha saído uma vez”.
Como dividir as 60 pistolas?
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Probabilidades 9º Ano
Pascal interessou-se por este problema e iniciou uma correspondência com o seu amigo Fermat para analisar a situação. Essa correspondência
marca o início da Teoria das Probabilidades.
Blaise Pascal
Fermat
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Probabilidades 9º Ano
Importância do estudo da Teoria das Probabilidades
METEREOLOGIAÉ pouco provável que chova durante esta semana.
SEGUROSPorque é que um condutor com pouco tempo de carta paga mais seguro?
JOGOSPorque é que o totoloto tem 49 números e não 10 ou 20?
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Probabilidades 9º Ano
Termos e conceitosExperiências
• Lançamento de uma moeda• Lançamento de um dado• Totoloto• Estado do tempo para a semana• Extracção de uma carta • Tempo que uma lâmpada irá durar
• Furar um balão cheio• Deixar cair um prego num copo de água• Calcular a área de quadrado de lado 9 cm
À partida não sabemos o resultado
À partida já conhecemos o resultado
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Probabilidades 9º Ano
Termos e conceitos
Espaço de Resultados
Espaço de resultados é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória.
EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado
Espaço de resultados = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol
Espaço de resultados = S = {Vitória, Empate, Derrota }
EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Totoloto
Espaço de resultados = S = {1, 2, 3, ... ,47, 48, 49 }
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Probabilidades 9º Ano
Termos e conceitosAcontecimentos
Um acontecimento é um subconjunto do espaço de resultados.
EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado
Espaço de resultados = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Acontecimento A: “Sair um número par”
A = { 2, 4, 6 }
Acontecimento B: “ Sair um número maior que 2”
B = { 3, 4, 5, 6 }
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Probabilidades 9º Ano
Termos e conceitos
Acontecimento
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado
Espaço de resultados = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
ELEMENTAR COMPOSTO
A: “ Sair o nº 3 ”
A={ 3 }
Só tem um elemento
B: “ Sair o nº ímpar ”
B={ 1, 3, 5 }
Tem mais do que um elemento
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PROBABILIDADE DE UM ACONTECIMENTO
Lei de LAPLACE
1749 - 1827
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Lei de LAPLACE
EXPERIÊNCIA: Lançamento de uma moeda
E = { N, C }
A moeda tem duas faces: N – nacional; C - Comum
Qual é a probabilidade de sair N no lançamento de uma moeda?
( )P N =Número de casos favoráveisNúmero de casos possíveis
Nº casos favoráveis = 1
Nº casos possíveis = 2 ( ) 1P F = =0,5 =50%
2
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EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado
( )nº de casos f avoráveis 1
P A = =nº de casos possíveis 6
Calcula a probabilidade de cada um dos acontecimentos:
A: “ Sair o número 5 “1) Só há uma face “5”Um dado tem 6 faces
2)B: “ Sair um número maior que 2 “
Nº casos favoráveis = 4
Nº casos possíveis = 6
3
2
6
4BP
B = { 3, 4, 5, 6 }
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Num cesto de fruta há: 10 laranjas, 8 maçãs e 2 peras.Tira-se ao acaso uma peça de fruta do cesto. Qual a probabilidade de ser:
uma maçã
nº de casos favoráveis:
nº de casos possíveis:
P(sair maçã)
uma pêra
nº de casos favoráveis:
nº de casos possíveis:
P(sair pêra)
8
10+8+2=20
8
20
2
5 0,4 40%
2
10+8+2=20
2
20
1
10 0,1 10%
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uma laranja
nº de casos favoráveis:
P(sair laranja)
uma maçã ou uma pêra
nº de casos favoráveis:
P(sair pêra)
10
10
20
1
2 0,5 50%
Um limão
nº de casos favoráveis:
P(sair limão)
uma maçã ou uma pêra ou uma laranja
nº de casos possíveis:
P(sair ……)
0
0
20 0 0%
20
20
20 1 100%
10
10
20
1
2 0,5 50%
Acontecimento impossível
A probabilidade de sair um acontecimento impossível é 0
Acontecimento certo
A probabilidade de sair um acontecimento certo é 1
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De um modo geral
0 ( ) 1P A
0% ( ) 100% P A
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0% 25% 50% 75% 100%
Impossível
Improvável Pouco provável
Tão provável como
Provável Muito provável
Certo
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Actividade 1
Jogo das Moedas
Número de jogadores: Dois jogadores ou duas equipasMaterial: 2 moedas de um euro; papel e lápis Regras do jogo: Um dos jogadores será o A e o outro será o B.
Cada jogador, na sua vez, atira duas moedas ao ar. Se sair as duas faces comuns a todos os países da União Europeia, o B ganha um ponto; caso contrário, ganha o A um ponto.
O vencedor é aquele que obtiver maior pontuação ao fim de dez lançamentos.
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1. Representa por C a face comum a todos P a face portuguesa.
Completa o seguinte diagrama de árvore:
1ª moeda
2ª moeda
CP
PC
PP
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2. Os dois jogadores têm as mesmas hipóteses de ganhar? Porquê?
Não, porque as duas faces C saem uma vez, as outras saem três vezes
3. Se fosses tu a jogar, quem escolherias ser? 0 A ou o B?
CP PC PPCC
Escolhia o A.
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Probabilidades 9º Ano
Actividade 2EXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Qual é o espaço de resultados?
Qual é a probabilidade de
sair dois números maiores que 3?
9 1
36 4P
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Probabilidades 9º Ano
Cálculo de ProbabilidadesEXPERIÊNCIA: Ementa de restaurante
Arroz de frango Bife grelhado LampreiaSobremesa: Fruta da época Pudim
Prato:
Entrada: Sopa Canja
Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma entrada,
um prato e uma sobremesa? Entrada Prato Sobremesa Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
FPFPFP
FPFPFP
( S,A,F )( S,A,P )( S,B,F )( S,B,P )
( S,L,P )( S,L,F )
( C,A,F )( C,A,P )( C,B,F )( C,B,P )( C,L,F )
( C,L,P )
12 refeições
diferentes!
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Probabilidades 9º Ano
Cálculo de ProbabilidadesEntrada Prato Sobremesa Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
FPFPFP
FPFPFP
( S,A,F )( S,A,P )( S,B,F )( S,B,P )
( S,L,P )( S,L,F )
( C,A,F )( C,A,P )( C,B,F )( C,B,P )( C,L,F )( C,L,P )
Escolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade de
comer bife ou fruta?
3
2
12
8P
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Frequência relativae estimativa da probabilidade.
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Vamos recordar …
Frequência
absoluta?!?
A frequência absoluta de um acontecimento é o número de vezes que ele ocorre quando realiza a experiência um determinado número de vezes.
O que sabes sobre a frequência absoluta?
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Frequência relativa?!?!?!
...
A frequência relativa de um acontecimento é o quociente entre a frequência absoluta e o número de vezes que se repete a experiência.
E sobre a frequência relativa?
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28Total
2Boavista
3Sporting
9Benfica
14Porto
frequência relativa
(%)
frequência relativa
frequência absoluta (vitórias)
Clube
Tabela de frequências
14
0,5028
9
0,3228
3
0,1128
2
0,0728
1,00
50%
32%
11%
7%
100%
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Lei dos grandes números
Para um grande número de experiências a frequência relativa de um acontecimento A é um valor aproximado da sua probabilidade.
P(A) Freq. relativa de A
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Diagramas de Venn
Intersecção dos acontecimentos A e B é o acontecimento que se realiza se e só se A e B se realizam simultaneamente.
União dos acontecimentos A e B é o acontecimento que se realiza se e só se A ou B se realizam.
A B
A B
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FIM!!