Preparação PROFMAT Encontro 1: Áreas de Triângulos 1. Um terreno quadrangular foi dividido em quatro lotes menores por duas cercas retas unindo os pontos médios dos lados do terreno. As áreas de três dos lotes estão indicadas em metros quadrados no mapa ao lado. Determine a área do quarto lote, em metros quadrados, representado pela região destacada no mapa?

2. No retângulo ABCD, M, N, P, Q são os pontos médios dos lados. Se a área do triângulo sombreado é 1, calcular a área do retângulo ABCD. 3. No triângulo ABC tem-se que M é o ponto médio do lado AB (isto é, os segmentos AM e MB têm o mesmo comprimento). N é o ponto médio de MC e R é o ponto médio de NA. O triângulo ABC tem área 2000 m2.Determine área do triângulo AMR, em m2. 4. Observe a figura ao lado:

Os triângulos ABC e MNP são equiláteros. Sendo M, N, P e Q os pontos médios dos segmentos AB, MQ, AM e AC, respectivamente. Qual a fração da área do triângulo ABC representa a área sombreada. 5. Seja P um ponto no interior de um triângulo ABC, dividindo-se em seis triângulos, quatro dos quais têm áreas 40, 30, 35 e 84, como mostra a figura. Calcule a área do triângulo ABC.

A

D

B

C

Q

M

P

N

6. P é um ponto interno do lado BC de um triângulo ABC. Prove que se AP é bissetriz interna relativa ao vértice A, então BP ABPC AC

(Teorema da Bissetriz Interna). 7. Na figura abaixo ABC é um triângulo de área 72 cm2 e M, N, P, Q são pontos médios. Determine a área da região sombreada.

8. No triângulo ABC, M é o ponto médio do lado AC, D é um ponto sobre o lado BC tal que AD é bissetriz do ângulo BÂC e P é o

ponto de interseção de AD e BM. Sabendo que a área de ABC é 100, AB 10 , AC 30 , calcule a área do triângulo APB.

9. Se AD, BE, CF são cevianas de um triângulo ABC concorrentes em ponto S, então AS AE AFSD EC FB

.

10. Sejam X, Y e Z pontos dos lados BC, CA e AB de um triângulo ABC de modo que os segmentos AX, BY e CZ concorram no mesmo ponto P interior ao triângulo conforme figura abaixo.

Prove que: PX PY PZ

1AX BY CZ

.

11. (Exame de Qualificação - PROFMAT) ABCD é um quadrado, M é o ponto médio do lado BC e N é o ponto médio do lado CD. Os segmentos AM e BN cortam-se em P.

(a) (5pts) Mostre que PB 2PN 3

= .

(b) (5pts) Calcule a razão PAPM

.

(c) (5pts) Se AB 1= calcule a área do quadrilátero PMCN. Obs: Para mostrar os itens (b) e (c) você pode usar o resultado do item (a) mesmo que não o tenha demonstrado. 12. (Exame de Qualificação - PROFMAT) No triângulo ABC assinale o ponto P do lado AC e o ponto Q do lado BC de forma que AP AC e BQ BC= = .

Seja J o ponto de interseção de AQ e BP.

(a) Mostre que JA 3JQ 4

= . Sugestão: Trace QL paralelo a BP e use semelhança de triângulos.

(b) Calcule a razão JBJP

.

(c) Decida se a área do triângulo BPQ é maior do que, menor do que ou igual à metade da área do triângulo ABC.