Polinômios eequações algébricas
Fabricante de caixas
Uma empresa fabrica caixas de papelão. Para isso utiliza folhas quadradas de 20 cm de lado. O processo de fabricação aparece na figura.
20 cm
20 cm
xx x
x
xxx
x
Fabricante de caixas
A empresa acaba de receber uma encomenda de caixas como essa. Elas devem ter meio litro de capacidade, o que equivale a 500 cm3.
Qual deve ser o valor de x, lado dos quadradinhos a serem cortados, para que a caixa tenha o volume pedido?
Fabricante de caixas
Vamos, então, calcular o volume da caixa.
x
20 – 2x
20 – 2x
V = AB . h
AB = (20 – 2x)2= 400 – 80x + 4x2
V = (400 – 80x + 4x2).x
V = 4x3 – 80x2 + 400x
Deve ser V = 500,
4x3 – 80x2 + 400x = 500
4x3 – 80x2 + 400x – 500 = 0 (: 4)
x3 – 20x2 + 100x – 125 = 0
Polinômio devariável complexa
Monômio
Observe as seguintes expressões algébricas:
3x4 , –2ix6 , –13x , 4ix0 , 0x3 ,
Expressões como essas são chamadas de monômios. Elas têm alguns aspectos comuns.
Todas são o produto de uma constante complexa por uma variável, elevada a um expoente natural.
Monômio
Chamamos monômio de variável complexa toda expressão algébrica do tipo
axn x é a variável complexaa é a constante complexan é expoente natural
o complexo a é o coeficiente do monômio
se a ≠ 0, o expoente n da variável é o grau do monômio
se a = 0, o monômio é chamado monômio nulo. Seu grau não é definido.
Exemplos de monômios
–2x6
é monômio de grau 6 e coeficiente –2.
13x
é monômio de grau 1 e coeficiente 13.
4i ou 4ix0
é monômio de grau zero e coeficiente 4i.
0x3 ou 0x2 ou 0
são diferentes representações do monômio nulo.
Polinômio de variável complexa
Observe agora as seguintes expressões formadas por monômios de variável complexa:
p(x) = x2 – 5x + 2
q(x) = 6x + i
r(x) = 3x2
Expressões como essas são chamadas de funções polinomiais ou polinômios de variável complexa.
Polinômio de variável complexa
É toda expressão algébrica constituída de um monômio ou uma soma de monômios de variável complexa.
p(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–
1x + an
A forma geral:
Na forma geral, o polinômio tem apenas um termo de cada grau (ele é reduzido);
Os monômios são escritos na ordem decrescente de seus graus (ele é ordenado).
Polinômio de variável complexa
Em um polinômio, cada monômio é um termo. O termo de grau zero, que não tem a variável, é
o termo independente. Os coeficientes dos termos são chamados de
coeficientes do polinômio. O coeficiente do termo de maior grau é
chamado de coeficiente dominante do polinômio.
Um polinômio com 1, 2 ou 3 termos é chamado de monômio, binômio ou trinômio, respectivamente.
Exemplos de polinômios
p(x) = x2 – 5x + 2 é um trinômio.
Seus termos são x2, –5x e 2.
Os coeficientes são 1, –5 e 2. O termo independente é 2.
q(x) = 6x + i é um binômio.
Seus termos são 6x e i.
Os coeficientes são 6 e i. O termo independente é i.
r(x) = 3x2 é um monômio.
Seu único termo 3x2 de coeficiente 3.
Ele não tem termo independente.
Grau de um polinômio
O grau de um polinômio é o expoente de seu termo de maior grau, com coeficiente não-nulo. No caso, esse coeficiente é chamado de coeficiente dominante do polinômio.
p(x) = x3 – 5x + 2 é um polinômio de grau 3 (3º grau). Seu coeficiente dominante é 1.
q(x) = 0x2 + 6x + i é um polinômio de grau 1 (1º grau). Seu coeficiente dominante é 6.
r(x) = 5 é um polinômio de grau 0. Seu coeficiente dominante é 5.
Exemplo
Analisar, em função do parâmetro m, o grau do polinômio p(x) = (m2 – 1)x2 + (m + 1)x – 3.
1ª hipótese: o polinômio pode ser de 2º grau. Deve serm2 – 1 ≠
0⇒ m2 ≠ 1⇒ m ≠ ±
1 2ª hipótese: o polinômio pode ser de 1º
grau. Deve serm2 – 1 =
0m + 1 ≠
0
⇒ m2 = 1⇒ m = ± 1
⇒ m ≠ –1⇒ m = 1
Exemplo
Analisar, em função do parâmetro m, o grau do polinômio p(x) = (m2 – 1)x2 + (m + 1)x – 3.
3ª hipótese: o polinômio pode ser de grau 0. Deve serm2 – 1 =
0m + 1 =
0
⇒ m2 = 1⇒ m = ± 1
⇒ m = –1⇒ m = –1
Valor numérico e raiz de um polinômio
Vamos considerar, por exemplo, o seguinte polinômio
p(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2. Podemos atribuir à variável x qualquer valor complexo. Para x = 3, temos
p(3) = 33 – 5.32 + 7.3 – 2
= 27 – 45 + 21 – 2
= 1
Dizemos que o valor do polinômio p(x) para x = 3 é p(3) = 1.
Valor numérico e raiz de um polinômio
Vamos considerar, por exemplo, o seguinte polinômio
p(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2. podemos atribuir à variável x qualquer valor complexo. Para x = 2, temos
p(2) = 23 – 5.22 + 7.2 – 2
= 8 – 20 + 14 – 2
= 0
O valor de p(x) para x = 2 é p(2) = 0.
Dizemos que 2 é uma raiz ou um zero do polinômio p(x). A raiz anula o polinômio.
Polinômio nulo
O polinômio que tem todos os coeficientes iguais a zero, é chamado de polinômio nulo ou identicamente nulo.
p(x) = 0x3 + 0x + 0 e q(x) = 0x + 0 são duas representações do polinômio nulo.
Qual é o grau do polinômio nulo?
Não se define o grau do polinômio nulo.
Infinitas raízes.
Quantas raízes tem o polinômio nulo?
Polinômio nulo
De modo geral definimos:
p(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–
1x + an
p(x) é nulo ⇔ a0 = an–1 = an–2 = ... = an = 0
Às vezes indicamos que p(x) é polinômio identicamente nulo, escrevendo p(x) ≡ 0.
Exemplo
Calcular os valores das constantes a, b e c, para que
p(x) = ax(x – 3) + b(2x – 1) + x(x + 5) + c – 1 seja polinômio nulo.
Primeiro vamos escrever p(x) na forma geral
p(x) = ax2 – 3ax + 2bx – b + x2 + 5x + c – 1p(x) = (a + 1)x2 + (2b – 3a + 5)x + c – b – 1a + 1 =
02b + 5 – 3a = 0
c – b – 1 = 0
⇒ a = –1
⇒ 2b – 3(–1) + 5 = 0
⇒ b = –4⇒ c – (–4) – 1 =
0⇒ c = –
3
Polinômios idênticos
Observe os seguintes polinômios:
p(x) = x2 – 4(x – 1) – 1
q(x) = x(x – 4) + 3
r(x) = (x + 2)(x – 2) – 4x + 7
Escrevendo-os na forma geral, obtemos o mesmo polinômio: x2 – 4x + 3.
Dizemos, por isso, que p(x), q(x) e r(x) são polinômios idênticos.
Polinômios idênticos
Dois polinômios são idênticos, quando escrito na forma geral tem os coeficientes de um iguais aos coeficientes do termo de mesmo grau do outro.
p(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–
1x + an
q(x) = b0xn + b1xn–1 + b2xn–2 + ... + bn–
1x + bn p(x) é idêntico a q(x) ⇔ a0 = b0 , a1 = b1, ... an = bn.
Às vezes indicamos p(x) ≡ q(x), para dizer que p(x) é idêntico a q(x).
Exemplo
p(x) = (x + a)2 + b e q(x) = c(x + 2)(x – 4) são dois polinômios tais que p(k) = q(k) para todo complexo k. Calcular as constantes a e b.
Se p(k) = q(k) para todo k, então p(x) é idêntico a q(x).
p(x) = (x + a)2 + b q(x) = c(x + 2)(x – 4)1 = c
2a = –2c
a2 + b = –8c
⇒ c = 1
⇒ 2a = –2.1
⇒ a = –1⇒ (–1)2 + b = –
8.1 ⇒ b = –
9
= x2 + 2ax + a2 + b
= c(x2 – 2x – 8)
= cx2 – 2cx – 8c
Divisão de polinômios
Divisão de polinômios
Vamos efetuar a divisão de A(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1 por B(x) = x2 – 2x + 3, utilizando o método da chave.Primeiro vamos completar o dividendo A(x). Falta o termo de 2º grau
A(x) = 2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1
Divisão de polinômios
Vamos efetuar a divisão de A(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1 por B(x) = x2 – 2x + 3, utilizando o método da chave.
+ 11
–10x
+ 12
– 8x
4x2
– 1– 2x
– 4x2
– 3x
+ 2x2 – x3
– 1+ x–
6x2 x3
2x2
x2 – 2x + 3 +
x– 4
– 6x2
+ 4x3
–2x4
2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1
Divisão de polinômios
Na nossa divisão, temos:
A(x) = 2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1, é o dividendo; B(x) = x2 – 2x + 3, é o divisor; Q(x) = 2x4 + x – 4, é o quociente; R(x) = – 10x + 11, é o resto.
O grau de Q(x) é a diferença entre os graus de A(x) e B(x) e o grau de R(x) < grau B(x).
Divisão de polinômios
Dividir A(x) por B(x) é obter dois polinômios Q(x) e R(x), obedecendo às seguintes condições.
A(x) ≡ B(x).Q(x) + R(x)
grau de R(x) < grau de B(x) ou R(x) ≡ 0
A(x) é o dividendo, B(x) o divisor, Q(x) o quociente e R(x) o resto da divisão.
É importante observar que o grau do quociente é a diferença entre os graus do dividendo e do divisor.
Divisibilidade de polinômios
Veja a divisão de A(x) = x2 – 5x + 6 por B(x) = x – 2, utilizando o método da chave.
0
– 6 + 3x
+ 6 – 3x
x
x – 2– 3
+ 2x
–x2
x2 – 5x + 6
Nesse caso, o resto é polinômio nulo, R(x) ≡ 0. Dizemos, por isso, que A(x) é divisível por B(x).
Divisibilidade de polinômios
Em geral, se na divisão de A(x) por B(x) o resto é o polinômio nulo, dizemos que A(x) é divisível por B(x). No caso, sendo Q(x) o quociente,
A(x) ≡ B(x).Q(x)
A(x)
B(x) =
Q(x) ou
Exemplo
Sabe-se que p(x) = x3 – x2 + ax + b é divisível por b(x) = x2 + x – 2. Calcular a e b.
(a+4)x
+ 2x
2x2
+(a+2)x
– 2x2
x
x2 + x – 2 –
2– x2–x3
x3 – x2 + ax + b +
2x+ b
– 4 + b –
4
a + 4 = 0b – 4 = 0
⇒ a = – 4
⇒ b = 4
1282 234 xxxx 402 xx2x234 40 xxx
xxx 832 23
x2
xxx 802 23
1203 2 xx
3
1203 2 xx
0
Dividir P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 por D(x) = x2 + 4:
Logo: Q(x) = xQ(x) = x22 – 2x – 3 e – 2x – 3 e r(x) = 0r(x) = 0
Divisibilidade de polinômios
16000 234 xxxx 1x3x34 xx
23 0xx
2x
23 xx
xx 02
x
xx 2
16 x
Dividir P(x) = x4 – 16 por D(x) = x + 1.
Logo:
Q(x) = xQ(x) = x33 – x – x22 + x - 1 + x - 1
e e
r(x) = -15r(x) = -15
1
1x
15
Divisibilidade de polinômios
Divisor de 1º grau –caso particular
De grande importância no estudo dos polinômios e equações algébricas.
Teorema do resto
Vamos efetuar a divisão de p(x) = x2 – 3x + 5 por x – 2, utilizando o método da chave.
+ 3
– 2 + x
+ 5 – x
x
x – 2– 1
+ 2x
–x2
x2 – 3x + 5
Vamos calcular agora P(2), onde 2 é a raiz do divisor x – 2.
p(2) = 22 – 3.2 + 5
= 4 – 6 + 5
= 3
Teorema do resto – caso geral
Vamos obter o resto da divisão de p(x) por x – 3.Sendo o divisor de 1º grau, o resto deve ser o polinômio nulo ou um polinômio de grau 0. O resto é uma constante real, independente de x.
p(x) = (x – 3).q(x) + R
Se q(x) é o quociente, da definição de divisão podemos escrever
p(3) = (3 – 3).q(3) + R
= 0.q(x) + R
= R
Teorema do resto – caso geral
O resto da divisão de um polinômio p(x) por um divisor de 1º grau, do tipo ax + b, com a ≠ 0, é igual a p(–b/a). Onde –b/a é a raiz do divisor.
R = p(–b/a)
Exemplo
Calcular o resto da divisão de p(x) = x3 – 2x2 – 1 por x – 2.
O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 2.
R = p(2)
= 8 – 8 – 1
= –1= 23 – 2.22 – 1
Exemplo
O resto da divisão de p(x) = x4 – 4x3 – kx – 75 por (x – 5) é 10. Calcular o valor de k.
O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 5.
R = p(5) = 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10
⇒ 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10
⇒ 53 – 4.52 – k – 15 = 2
(: 5)
⇒ 125 – 100 – k – 15 = 2
⇒ 10 – k = 2
⇒ k = 8⇒ – k = 2 – 10
⇒ R = p(5) = 10
Teorema de D’Alembert
Conseqüência imediata do teorema do resto.
Um polinômio p(x) é divisível pelo polinômio ax + b de 1º grau (a ≠ 0) ⇔ p(–b/a) = 0.
Exemplo
Analisar se p(x) = x3 + x2 – 3x – 6 é divisível por 2x + 2 e por 3x – 6.
Os divisores são de 1º grau. Suas raízes são –1 e 2, respectivamente.
p(–1) = (–1)3 + (–1)2 – 3.(–1) – 6
= –3
= –1 + 1 + 3 – 6
p(2) = 23 + 22 – 3.2 – 6
= 0
= 8 + 4 + 6 – 6
Logo, p(x) não é divisível por 2x + 2, mas é divisível por 3x – 6.
Exemplo
Achar o valor de m, sabendo-se que o polinômio p(x) = 9x2 + mx – m + 3 é divisível por 3x – 1.O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 1/3. Segundo o teorema de D’Alembert, devemos ter p(1/3) = 0.
9.(1/3)2 + m.(1/3) – m + 3 = 0
⇒ 9.(1/9) + m/3 – m + 3 = 0
⇒ 1 + m/3 – m + 3 = 0
⇒ m/3 – m = – 4
(x 3)
⇒ m – 3m = –12
⇒ – 2m = –12⇒ m = 6
Dispositivo de Briot-ruffini
Processo prático para efetuar uma divisão de polinômios, quando o divisor é de 1º grau.
Dispositivo de Briot-Ruffini
Vamos efetuar a divisão de p(x) = 3x4 – 4x3 – 5x2 + 4x + 9 por x – 2, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini.Os cálculos a serem efetuados tem como ponto de partida, a raiz do divisor, no caso, a raiz é 2.
– 1
– 5
13 = R2232
94– 4 3+ + + +
xx
xx
q(x) = 3x3 + 2x2 – x + 2 e R(x) = 13
Exemplos
Na divisão de p(x) = x4 + 2x3 – x2 + k por x + 1, o resto é 4. Calcular k e o quociente da divisão.Dividindo p(x) por x + 1, pelo dispositivo de Briot-Ruffini.
–2
– 1
k – 221 1–1
k02 1+ + + +
xx
xx
q(x) = x3 + x2 – 2x + 2
e R = k – 2 = 4
⇒ k = 6
Exemplos
Provar pelo dispositivo de Briot-Ruffini que p(x) = x3 – 7x + 6 é divisível por (x + 2).(x – 3).
Primeiro vamos dividir p(x) por x + 2. Depois, o quociente obtido q(x) por x – 3.
–3
– 7
0 = R–2 1–2
60 1
Nos dois casos, obtivemos resto R = 0. Concluímos que p(x) é divisível por (x + 2).(x – 3).
0 = R1 13
Exemplos
Na equação x3 – 3x2 + x – 3 = 0, uma de suas raízes é 3. Obter as outras duas raízes.
Suponhamos p(x) = x3 – 3x2 + x – 3. Se 3 é raiz de p(x), p(3) = 0 e p(x) é divisível por x – 3.
1
1
0 = R0 13
– 3– 3 1
q(x) = x2 + 1
⇒ x2 + 1 = 0
⇒ x2 = – 1
⇒ x = i ou x = – i
Logo, as raízes da equação são 3, i e –i.