Download - Pilares - Dimensionamento
-
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP
FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil
Disciplina: 2323 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II
NOTAS DE AULA
PILARES DE CONCRETO ARMADO
Prof. Dr. PAULO SRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.feb.unesp.br/pbastos)
Bauru/SP
Agosto/2015
-
APRESENTAO
Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina
2323 Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade Estadual Paulista UNESP, Campus de Bauru/SP.
O texto apresenta parte das prescries contidas na NBR 6118/2014 (Projeto de estruturas de concreto Procedimento verso corrigida) para o dimensionamento de pilares de Concreto Armado. O dimensionamento dos pilares feito com base nos mtodos do pilar padro com curvatura e rigidez
aproximadas. Outros mtodos constantes da norma no so apresentados, e so estudados os pilares de
seo retangular e somente os de ns fixos (contraventados), com ndice de esbeltez at 90.
A apresentao do dimensionamento dos pilares feita em funo da classificao que os
individualiza em pilares intermedirios, de extremidade e de canto. Vrios exemplos numricos esto
apresentados para cada um deles.
O item 2 (Cobrimento da Armadura) no especfico dos pilares, porm, foi inserido no texto
porque muito importante no projeto, e contm alteraes em relao verso anterior da norma (2003).
No item 4 (Conceitos Iniciais) so apresentadas algumas informaes bsicas iniciais e os conceitos
relativos ao chamado Pilar Padro, cujo modelo utilizado pela NBR 6118 para a determinao aproximada do momento fletor de segunda ordem. Por ltimo so apresentados exemplos numricos de
dimensionamento de pilares de um edifcio baixo e com planta de frma simples.
O autor agradece aos estudantes que colaboraram no estudo dos pilares, Antonio Carlos de Souza
Jr., Caio Gorla Nogueira, Joo Paulo Pila DAloia, Rodrigo Fernando Martins e ao tcnico derson dos Santos Martins, pela confeco de desenhos.
Crticas e sugestes so bem-vindas.
-
SUMRIO
1 INTRODUO ........................................................................................................................... 1 2 AGRESSIVIDADE DO AMBIENTE ......................................................................................... 1 3 QUALIDADE DO CONCRETO DE COBRIMENTO ............................................................... 1 4 ESPESSURA DO COBRIMENTO DA ARMADURA .............................................................. 2 5 CONCEITOS INICIAIS .............................................................................................................. 4
5.1 Solicitaes Normais ........................................................................................................... 4 5.2 Flambagem .......................................................................................................................... 4 5.3 No-linearidade Fsica e Geomtrica .................................................................................. 5 5.4 Equao da Curvatura de Elementos Fletidos ..................................................................... 6 5.5 Compresso Axial ............................................................................................................... 8 5.6 Pilar-Padro ......................................................................................................................... 9
6 NOES DE CONTRAVENTAMENTO DE ESTRUTURAS ............................................... 11 6.1 Estruturas de Ns Fixos e Mveis ..................................................................................... 12 6.2 Elementos Isolados ............................................................................................................ 14
7 EXCENTRICIDADES .............................................................................................................. 14 7.1 Excentricidade de 1a Ordem .............................................................................................. 14 7.2 Excentricidade Acidental................................................................................................... 14 7.3 Excentricidade de 2a Ordem .............................................................................................. 15 7.4 Excentricidade Devida Fluncia ..................................................................................... 16
8 NDICE DE ESBELTEZ ........................................................................................................... 17 9 DETERMINAO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2a ORDEM ................................................ 19
9.1 Mtodo do Pilar-Padro com Curvatura Aproximada ....................................................... 19 9.2 Mtodo do Pilar-Padro com Rigidez Aproximada ....................................................... 21
10 SITUAES BSICAS DE PROJETO ............................................................................... 22 10.1 Pilar Intermedirio ......................................................................................................... 22 10.2 Pilar de Extremidade ..................................................................................................... 23 10.3 Pilar de Canto ................................................................................................................ 24
11 DETERMINAO DA SEO SOB O MXIMO MOMENTO FLETOR ...................... 25 12 SITUAES DE PROJETO E DE CLCULO ................................................................... 26
12.1 Pilar Intermedirio ......................................................................................................... 27 12.2 Pilar de Extremidade ..................................................................................................... 27 12.3 Pilar de Canto ................................................................................................................ 28
13 CLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXLIO DE BACOS ........... 29 13.1 Flexo Composta Normal .............................................................................................. 29 13.2 Flexo Composta Oblqua ............................................................................................. 30
14 RELAO ENTRE A DIMENSO MNIMA E O COEFICIENTE DE PONDERAO31 15 CLCULO DOS PILARES INTERMEDIRIOS ............................................................... 32
15.1 Roteiro de Clculo ......................................................................................................... 32 15.2 Exemplos Numricos..................................................................................................... 33
15.2.1 Exemplo 1 .................................................................................................................. 33 15.2.2 Exemplo 2 .................................................................................................................. 37
16 CLCULO DOS PILARES DE EXTREMIDADE .............................................................. 40 16.1 Roteiro de Clculo ......................................................................................................... 40 16.2 Exemplos Numricos..................................................................................................... 41
16.2.1 Exemplo 1 .................................................................................................................. 41 16.2.2 Exemplo 2 .................................................................................................................. 46 16.2.3 Exemplo 3 .................................................................................................................. 51 16.2.4 Exemplo 4 .................................................................................................................. 54
17 CLCULO DOS PILARES DE CANTO ............................................................................. 58
-
17.1 Roteiro de Clculo ......................................................................................................... 58 17.2 Exemplos Numricos..................................................................................................... 58
17.2.1 Exemplo 1 .................................................................................................................. 59 17.2.2 Exemplo 2 .................................................................................................................. 62 17.2.3 Exemplo 3 .................................................................................................................. 66
18 DISPOSIES CONSTRUTIVAS ...................................................................................... 70 18.1 Armadura Longitudinal de Pilares ................................................................................. 71
18.1.1 Dimetro Mnimo ...................................................................................................... 71 18.1.2 Distribuio Transversal ............................................................................................ 71 18.1.3 Armadura Mnima e Mxima..................................................................................... 71 18.1.4 Detalhamento da Armadura ....................................................................................... 72 18.1.5 Proteo contra Flambagem ....................................................................................... 72
18.2 Armadura Transversal de Pilares ................................................................................... 73 18.3 Pilares-Parede ................................................................................................................ 74
19 ESTIMATIVA DA CARGA VERTICAL NO PILAR POR REA DE INFLUNCIA ..... 74 20 PR-DIMENSIONAMENTO DA SEO TRANSVERSAL DO PILAR ......................... 75 21 DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE UMA EDIFICAO DE BAIXA ALTURA . 76
21.1 Pilar Intermedirio P8.................................................................................................... 78 21.2 Pilar de Extremidade P5 ................................................................................................ 83 21.3 Pilar de Extremidade P6 ................................................................................................ 89 21.4 Pilar de Canto P1 ........................................................................................................... 93
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
1
1 INTRODUO
Pilares so Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as foras normais de compresso so preponderantes. (NBR 6118/20141, item 14.4.1.2).
Pilares-parede so Elementos de superfcie plana ou casca cilndrica, usualmente dispostos na vertical e submetidos preponderantemente compresso. Podem ser compostos por uma ou mais
superfcies associadas. Para que se tenha um pilar-parede, em alguma dessas superfcies a menor
dimenso deve ser menor que 1/5 da maior, ambas consideradas na seo transversal do elemento
estrutural. (item 14.4.2.4). O dimensionamento dos pilares feito em funo dos esforos externos solicitantes de clculo, que
compreendem as foras normais (Nd), os momentos fletores (Mdx e Mdy) e as foras cortantes (Vdx e Vdy) no
caso de ao horizontal.
A NBR 6118, na verso de 2003, fez modificaes em algumas das metodologias de clculo das
estruturas de Concreto Armado, como tambm em alguns parmetros aplicados no dimensionamento e
verificao das estruturas. Especial ateno dada questo da durabilidade das peas de concreto.
Particularmente no caso dos pilares, a norma introduziu vrias modificaes, como no valor da
excentricidade acidental, um maior cobrimento de concreto, uma nova metodologia para o clculo da
esbeltez limite relativa considerao ou no dos momentos fletores de 2a ordem e, principalmente, com a
considerao de um momento fletor mnimo, que pode substituir o momento fletor devido excentricidade
acidental. A verso de 2014 mantm essas prescries, e introduziu que a verificao do momento fletor
mnimo pode ser feita comparando uma envoltria resistente, que englobe a envoltria mnima com 2
ordem.
No item 17.2.5 (Processo aproximado para o dimensionamento flexo composta oblqua) a NBR 6118 apresenta um mtodo simplificado para o projeto de pilares sob flexo composta normal e
oblqua, que no ser apresentado neste texto.
Os trs itens seguintes (2,3 e 4) foram inseridos no texto porque so muito importantes no projeto
de estruturas de concreto, especialmente o cobrimento da armadura pelo concreto.
2 AGRESSIVIDADE DO AMBIENTE
Segundo a NBR 6118 (item 6.4.1), A agressividade do meio ambiente est relacionada s aes fsicas e qumicas que atuam sobre as estruturas de concreto, independentemente das aes mecnicas,
das variaes volumtricas de origem trmica, da retrao hidrulica e outras previstas no
dimensionamento das estruturas. Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental deve ser classificada de acordo
com o apresentado na Tabela 1 e pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condies de exposio
da estrutura ou de suas partes (item 6.4.2).
Conhecendo o ambiente em que a estrutura ser construda, o projetista estrutural pode considerar
uma condio de agressividade maior que aquelas mostradas na Tabela 1.
3 QUALIDADE DO CONCRETO DE COBRIMENTO
Conforme a NBR 6118 (item 7.4), a ... durabilidade das estruturas altamente dependente das caractersticas do concreto e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura.
Ensaios comprobatrios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e classe de agressividade prevista em projeto devem estabelecer os parmetros mnimos a serem atendidos. Na falta
destes e devido existncia de uma forte correspondncia entre a relao gua/cimento e a resistncia
compresso do concreto e sua durabilidade, permite-se que sejam adotados os requisitos mnimos
expressos na Tabela 2. O concreto utilizado deve cumprir com os requisitos contidos na NBR 12655 e diversas outras
normas (item 7.4.3). Para parmetros relativos ao Concreto Protendido consultar a Tabela 7.1 da NBR
6118.
1 ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. Projeto de estruturas de concreto Procedimento, NBR 6118. ABNT, 2014, 238p.
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
2
Tabela 1 Classes de agressividade ambiental CAA. (Tabela 6.1 da NBR 6118).
Classe de
agressividade
Ambiental
Agressividade
Classificao geral do
tipo de ambiente
para efeito de Projeto
Risco de deteriorao da
estrutura
I Fraca Rural
Insignificante Submersa
II Moderada Urbana1, 2 Pequeno
III Forte Marinha1
Grande Industrial1, 2
IV Muito forte Industrial1, 3
Elevado Respingos de mar
NOTAS: 1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (uma classe
acima) para ambientes internos secos (salas, dormitrios, banheiros, cozinhas e reas de servio de
apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com
argamassa e pintura).
2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (uma classe acima) em obras em regies
de clima seco, com umidade mdia relativa do ar menor ou igual a 65 %, partes da estrutura
protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regies onde raramente chove.
3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em
indstrias de celulose e papel, armazns de fertilizantes, indstrias qumicas.
Tabela 2 Correspondncia entre classe de agressividade ambiental e qualidade do Concreto Armado. (Tabela 7.1 da NBR 6118).
Concreto Classe de agressividade ambiental (CAA)
I II III IV
Relao
gua/cimento
em massa
0,65 0,60 0,55 0,45
Classe de concreto
(NBR 8953) C20 C25 C30 C40
4 ESPESSURA DO COBRIMENTO DA ARMADURA
Define-se cobrimento de armadura a espessura da camada de concreto responsvel pela proteo
da armadura num elemento. Essa camada inicia-se a partir da face mais externa da barra de ao e se
estende at a superfcie externa do elemento em contato com o meio ambiente. Em vigas e pilares comum
a espessura do cobrimento iniciar na face externa dos estribos da armadura transversal, como mostrado na
Figura 1.
nom
nom
Estribo
C
C
Figura 1 Espessura do cobrimento da armadura pelo concreto.
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
3
A NBR 6118 (item 7.4.7.1) define o cobrimento mnimo da armadura como o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado.
Para garantir o cobrimento mnimo (cmn), o projeto e a execuo devem considerar o cobrimento
nominal (cnom), que o cobrimento mnimo acrescido da tolerncia de execuo (c). As dimenses das armaduras e os espaadores devem respeitar os cobrimentos nominais.
ccc mnnom Eq. 1
Nas obras correntes o valor de c deve ser maior ou igual a 10 mm. Esse valor pode ser reduzido para 5 mm quando houver um controle adequado de qualidade e limites rgidos de tolerncia da variabilidade das medidas durante a execuo das estruturas de concreto, informado nos desenhos de projeto.
A Tabela 3 (NBR 6118, item 7.4.7.2) apresenta valores de cobrimento nominal com tolerncia de
execuo (c) de 10 mm, em funo da classe de agressividade ambiental.
Tabela 3 Correspondncia entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal
para c = 10 mm (Tabela 7.2 da NBR 6118).
Tipo de
estrutura
Componente ou
elemento
Classe de agressividade ambiental (CAA)
I II III IV2
Cobrimento nominal (mm)
Concreto
Armado4
Laje1 20 25 35 45
Viga/Pilar 25 30 40 50
Elementos estruturais
em contato com o
solo3 30 40 50
Notas: 1) Para a face superior de lajes e vigas que sero revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento, como
pisos de elevado desempenho, pisos cermicos, pisos asflticos e outros tantos, as exigncias desta tabela
podem ser substitudas pelas de 7.4.7.5, respeitado um cobrimento nominal 15 mm. 2) Nas superfcies expostas a ambientes agressivos, como reservatrios, estaes de tratamento de gua e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes qumica e intensamente
agressivos, devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV. 3) No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundao, a armadura deve ter
cobrimento nominal 45 mm. 4) Para parmetros relativos ao Concreto Protendido consultar a Tabela 7.2 da NBR 6118. No caso de elementos estruturais pr-fabricados, os valores relativos ao cobrimento das armaduras (Tabela 7.2)
devem seguir o disposto na ABNT NBR 9062.2 (item 7.4.7.7).
Para concretos de classe de resistncia superior ao mnimo exigido, os cobrimentos definidos na
Tabela 3 podem ser reduzidos em at 5 mm.
A NBR 6118 (itens 7.4.7.5 e 7.4.7.6) ainda estabelece que o cobrimento nominal de uma
determinada barra deve sempre ser:
nc
c
nfeixenom
barranom
Eq. 2
A dimenso mxima caracterstica do agregado grado (dmx) utilizado no concreto no pode
superar em 20 % a espessura nominal do cobrimento, ou seja:
nommx c2,1d Eq. 3
2 ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. Projeto e execuo de estruturas de concreto pr-moldado. NBR
9062, ABNT, 2001, 36p.
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
4
5 CONCEITOS INICIAIS
5.1 Solicitaes Normais
Os pilares podem estar submetidos a foras normais e momentos fletores, gerando os seguintes
casos de solicitao:
a) Compresso Simples
A compresso simples tambm chamada compresso centrada ou compresso uniforme. A
aplicao da fora normal Nd no centro geomtrico (CG) da seo transversal do pilar, cujas tenses na
seo transversal so uniformes (Figura 2).
CG
N N
N
d d
d
Figura 2 Solicitao de compresso simples ou uniforme.
b) Flexo Composta
Na flexo composta ocorre a atuao conjunta de fora normal e momento fletor sobre o pilar. H
dois casos:
- Flexo Composta Normal (ou Reta): existe a fora normal e um momento fletor em uma direo,
tal que Mdx = e1x . Nd (Figura 3a);
- Flexo Composta Oblqua: existe a fora normal e dois momentos fletores, relativos s duas
direes principais do pilar, tal que M1d,x = e1x . Nd e M1d,y = e1y . Nd (Figura 3b).
ex x
y y
N
N
d
d
e1x 1xe
e1y
a) normal; b) oblqua.
Figura 3 Tipos de flexo composta.
5.2 Flambagem
Flambagem pode ser definida como o deslocamento lateral na direo de maior esbeltez, com fora menor do que a de ruptura do material ou como a instabilidade de peas esbeltas comprimidas. A
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
5
runa por efeito de flambagem repentina e violenta, mesmo que no ocorram acrscimos bruscos nas
aes aplicadas.
Uma barra comprimida feita por alguns tipos de materiais pode resistir a cargas substancialmente
superiores carga crtica (Ncrt), o que significa que a flambagem no corresponde a um estado-limite
ltimo. No entanto, para uma barra comprimida de Concreto Armado, a flambagem caracteriza um estado-
limite ltimo.
5.3 No-linearidade Fsica e Geomtrica
No dimensionamento de alguns elementos estruturais, especialmente os pilares, importante
considerar duas linearidades que ocorrem, uma relativa ao material concreto e outra relativa geometria do
pilar.
a) no-linearidade fsica
Quando o material no obedece Lei de Hooke, como materiais com diagramas x mostrados na Figura 4b e Figura 4c. A Figura 4a e a Figura 4d mostram materiais onde h linearidade fsica.
O concreto simples apresenta comportamento elastoplstico em ensaios de compresso simples,
com um trecho inicial linear at aproximadamente 0,3fc .
= E(HOOKE)
a) elstico linear
CARGA
DESCARGA
RUPTURA
b) elstico no-linear
CARGA
RUPTURA
DESC
AR
GA
(CONCRETO)
c) elastoplstico
d) elastoplstico ideal
Figura 4 Diagramas x de alguns materiais.
b) no-linearidade geomtrica
Ocorre quando as deformaes provocam esforos adicionais que precisam ser considerados no
clculo, gerando os chamados esforos de segunda ordem, como o momento fletor M = F . a (Figura 5).
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
6
F
a) posio inicial
y
F
r
a
y
x
b) posio final
Figura 5 No-linearidade geomtrica originando esforos de segunda ordem.
5.4 Equao da Curvatura de Elementos Fletidos
O deslocamento local de 2a ordem aquele que ocorre em um lance3 do pilar, como os
deslocamentos horizontais da barra indicada na Figura 5b. A NBR 6118 comumente usa os termos efeitos locais de 2a ordem, onde, entre outros, o principal efeito o momento fletor de segunda ordem (M2), gerado a partir do deslocamento lateral da barra, igual a F . a no caso da barra da Figura 5b.
A determinao dos efeitos locais de 2a ordem em barras comprimidas pode ser feita por mtodos
aproximados, entre eles o do pilar-padro com curvatura aproximada, como preconizado na NBR 6118
(item 15.8.3.3.2). Com o intuito de subsidiar o entendimento do pilar-padro, apresentado adiante, e da
expresso para clculo do momento fletor de 2a ordem, apresenta-se agora a equao da curvatura de
elementos fletidos.4
Considerando a Lei de Hooke ( = E . ), a equao da curvatura de peas fletidas, como aquela mostrada na Figura 6, tem a seguinte deduo:
dx
dx
Edx
dx
Eq. 4
Aplicando yI
M na Eq. 4 fica:
yIE
M
dx
dx
dx
IE
M
y
dx
O comprimento dx pode ser escrito: dx = r d
dxIE
M
y
dx
r
dxd
Eq. 5
3 Lance a parte (comprimento) de um pilar relativa ao trecho entre dois pavimentos de uma edificao. 4 A equao da curvatura geralmente estudada na disciplina Resistncia dos Materiais.
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
7
Rearranjando os termos da Eq. 5 chega-se a equao da curvatura:
IE
M
r
1
dx
d
Eq. 6
x
v
y > 0
d
dx
dx + dx
1
2
r
Figura 6 Curvatura de uma pea fletida.
Do clculo diferencial tem-se a expresso exata da curvatura (linha elstica):
2/32
2
2
dx
dy1
dx
yd
r
1
Eq. 7
Para pequenos deslocamentos (pequena inclinao) tem-se
2
dx
dy
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
8
s
1
2 c
1/r
hd
Figura 7 Relao entre as deformaes nos materiais e a curvatura.
Para o Concreto Armado a Eq. 10 torna-se:
dr
1 cs Eq. 11
com: s = deformao na armadura tracionada;
c = deformao no concreto comprimido; d = altura til da pea.
A NBR 6118 aplica esta equao no clculo do momento fletor de 2a ordem (M2), com as
deformaes s e c substitudas por valores numricos (ver Eq. 19).
5.5 Compresso Axial
Este item apresenta a deduo da equao simplificada da curvatura de uma barra comprimida (Eq.
16), necessria ao dimensionamento de pilares.
Considere a barra comprimida como mostrada na Figura 8. Como definida na Eq. 8, a equao
simplificada da curvatura :
2
2
dx
yd
r
1
y
F
r
a
y
x
Figura 8 Curvatura de uma barra comprimida engastada na base e livre no topo.
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
9
O momento fletor externo solicitante Mext = F . y. Considerando a Eq. 9 (IE
M
dx
yd2
2
), com
material elstico linear, e fazendo o equilbrio entre o momento fletor externo e o momento fletor interno
(Mext = Mint) tem-se:
ykyIE
F
dx
yd 22
2
0ykdx
yd 22
2
com k2 = F/EI.
A soluo geral para a equao diferencial tem a forma:
y = C1 sen k x + C2 cos k x Eq. 12
As condies de contorno para definio das constantes C1 e C2 so:
a) para x = 0 y = 0 C1 . 0 + C2 . 1 = 0 C2 = 0
A Eq. 12 simplifica-se para:
y = C1 sen k x Eq. 13
b) para x = 0dx
dy
0kcosCkxkcosCkdx
dy1x1
x
Eq. 14
Para barra fletida, a constante C1 na Eq. 14 deve ser diferente de zero, o que leva a:
cos k = 0 k = /2 k = /2
A Eq. 13 toma a forma:
x2
senCy 1
Eq. 15
Para x = , o deslocamento y igual ao valor a (ver Figura 8). Portanto, aplicando a Eq. 15:
a2
senCy 1
, donde resulta que C1 = a.
Sendo 2 = e (e = comprimento de flambagem) e com a determinao da constante C1 , define-se a equao simplificada para a curvatura da barra comprimida:
e
xsenay
Eq. 16
5.6 Pilar-Padro
O pilar-padro uma simplificao do chamado Mtodo Geral5, o qual Consiste na anlise no linear de 2a ordem efetuada com discretizao adequada da barra, considerao da relao momento-
curvatura real em cada seo e considerao da no linearidade geomtrica de maneira no aproximada.
O mtodo geral obrigatrio para > 140. (NBR 6118, 15.8.3.2).
5 O Mtodo Geral no geralmente estudado em profundidade em curso de graduao.
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
10
O pilar-padro uma barra engastada na base e livre no topo, com uma curvatura conhecida
(Figura 9). importante salientar que o mtodo do pilar-padro aplicvel somente a pilares de seo
transversal constante e armadura constante em todo o comprimento do pilar.
A verificao da segurana feita arbitrando-se deformaes c e s tais que no ocorra o estado limite ltimo de ruptura ou alongamento plstico excessivo na seo mais solicitada da pea. (FUSCO, 1981).
x
y
Nd
e2
Figura 9 Pilar-padro.
Como simplificao a linha elstica pode ser tomada pela funo senoidal definida na Eq. 16, onde
a considerada igual a e2 (deformao de 2a ordem), conforme mostrado na Figura 9:
e2
xseney
A primeira e a segunda derivada da equao fornecem:
xcosedx
dy
ee2
yx
senedx
yd2
e
2
e2
2
e2
2
Considerando a Eq. 8 (2
2
dx
yd
r
1 ), da segunda derivada surge o valor para y em funo da curvatura
1/r:
r
1y
dx
yd2
e
2
2
2
r
1y
2
2e
Tomando y como o mximo deslocamento e2 tem-se:
r
1e
2
2e
2
Com 2 10 e sendo 1/r relativo seo crtica (base), o deslocamento no topo da barra :
base
2e
2r
1
10e
Eq. 17
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
11
O deslocamento mximo e2 chamado excentricidade de 2a ordem e ser considerado no dimensionamento dos pilares, como se ver adiante. Devido excentricidade local e2 surge o momento
fletor de segunda ordem:
M2d = Nd . e2 =base
2e
dr
1
10N
Eq. 18
Tomando a Eq. 11, o ao CA-50, s = 1,15 e c = 3,5 = 0,0035, pode-se determinar o valor da curvatura 1/r na base (seo crtica) do pilar-padro:
dr
1 cs =
d
00557,0
d
0035,000207,0
d
0035,021000
15,1/50
d
0035,0E
f
s
yd
A NBR 6118 (item 15.8.3.3.2) toma uma expresso aproximada para a curvatura na base, como:
h005,0
5,0h
005,0
r
1
Eq. 19
com (ni) sendo um valor adimensional relativo fora normal (Nd):
cdc
d
fA
N Eq. 20
onde: h = altura da seo na direo considerada;
Ac = rea da seo transversal;
fcd = resistncia de clculo do concreto compresso (fck/c).
Aplicando a Eq. 19 na Eq. 18 tem-se o mximo momento fletor de segunda ordem local, a ser
aplicado no dimensionamento de pilares pelo mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada:
5,0h
005,0
10NM
2e
dd2
Eq. 21
6 NOES DE CONTRAVENTAMENTO DE ESTRUTURAS
Os edifcios devem ser projetados de modo a apresentarem a necessria estabilidade s aes
verticais e horizontais, ou seja, devem apresentar a chamada estabilidade global. Os pilares so os elementos destinados estabilidade vertical, porm, necessrio projetar outros elementos mais rgidos
que, alm de tambm transmitirem as aes verticais, devero garantir a estabilidade horizontal do edifcio
ao do vento e de sismos (quando existirem). Ao mesmo tempo, so esses elementos mais rgidos que
garantiro a indeslocabilidade dos ns dos pilares menos rgidos.
Com essas premissas classificam-se os elementos verticais dos edifcios em elementos de
contraventamento e elementos (pilares) contraventados.
Define-se o sistema de contraventamento como o conjunto de elementos que proporcionaro a estabilidade horizontal do edifcio e a indeslocabilidade ou quase-indeslocabilidade dos pilares
contraventados, que so aqueles que no fazem parte do sistema de contraventamento. A NBR 6118 (item 15.4.3) diz que, Por convenincia de anlise, possvel identificar, dentro da estrutura, subestruturas que, devido sua grande rigidez a aes horizontais, resistem maior parte dos esforos decorrentes
dessas aes. Essas subestruturas so chamadas subestruturas de contraventamento. Os elementos que
no participam da subestrutura de contraventamento so chamados elementos contraventados. Os elementos de contraventamento so constitudos por pilares de grandes dimenses (pilares-
parede ou simplesmente paredes estruturais), por trelias ou prticos de grande rigidez, ncleos de rigidez,
etc., como mostrados na Figura 10.
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
12
As lajes dos diversos pavimentos do edifcio tambm podem participar da estabilidade horizontal,
ao atuarem como elementos de rigidez infinita no prprio plano (o que se chama diafragma rgido),
fazendo a ligao entre elementos de contraventamento formados por prticos, por exemplo.
Segundo SSSEKIND (1984, p. 175), Toda estrutura, independentemente do nmero de andares e das dimenses em planta, deve ter seu sistema de contraventamento estudado e adequadamente
dimensionado.
Pilares ou Elementos de Contraventamentos
Pilares Contraventados
Figura 10 Pilares contraventados e elementos de contraventamento (FUSCO, 1981).
6.1 Estruturas de Ns Fixos e Mveis
No item 15.4.2 a NBR 6118 define o que so, para efeito de clculo, estruturas de ns fixos e de
ns mveis. A Figura 12 e a Figura 13 ilustram os tipos.
a) Estruturas de ns fixos
So aquelas quando os deslocamentos horizontais dos ns so pequenos e, por decorrncia, os efeitos globais de 2a ordem so desprezveis (inferiores a 10 % dos respectivos esforos de 1a ordem),
Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2a ordem. No item 15.4.1 a NBR 6118 apresenta definies de efeitos globais, locais e localizados de 2a
ordem: Sob a ao das cargas verticais e horizontais, os ns da estrutura deslocam-se horizontalmente. Os esforos de 2a ordem decorrentes desses deslocamentos so chamados efeitos globais de 2a ordem. Nas
barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos no se mantm retilneos, surgindo a
efeitos locais de 2a ordem que, em princpio, afetam principalmente os esforos solicitantes ao longo delas.
Em pilares-parede (simples ou compostos) pode-se ter uma regio que apresenta no retilinidade
maior do que a do eixo do pilar como um todo. Nessas regies surgem efeitos de 2a ordem maiores,
chamados de efeitos de 2a ordem localizados (ver Figura 15.3). O efeito de 2a ordem localizado, alm de
aumentar nessa regio a flexo longitudinal, aumenta tambm a flexo transversal, havendo a necessidade
de aumentar a armadura transversal nessas regies. (ver Figura 11).
Figura 11 Efeitos de 2a ordem localizados (NBR 6118).
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
13
b) Estruturas de ns mveis
So aquelas onde os deslocamentos horizontais no so pequenos e, em decorrncia, os efeitos globais de 2a ordem so importantes (superiores a 10 % dos respectivos esforos de 1a ordem). Nessas
estruturas devem ser considerados tanto os esforos de 2a ordem globais como os locais e localizados. As subestruturas de contraventamento podem ser de ns fixos ou de ns mveis, de acordo com as
definies acima (Figura 12).
Para verificar se a estrutura est sujeita ou no a esforos globais de 2a ordem, ou seja, se a
estrutura pode ser considerada como de ns fixos, lana-se mo do clculo do parmetro de instabilidade
(NBR 6118, item 15.5.2) ou do coeficiente z (item 15.5.3). Esses coeficientes sero estudados na disciplina Estruturas de Concreto IV.
Para mais informaes sobre a estabilidade global dos edifcios devem ser consultados FUSCO
(2000) e SSSEKIND (1984).
Pilares
Contraventados Elementos de Contraventamento
ns mveis ns fixos
Figura 12 Pilares contraventados e elementos de contraventamento (FUSCO, 1981).
a) Estrutura deslocvel b) Estrutura indeslocvel
Figura 13 Estruturas de ns fixos e mveis (FUSCO, 1981).
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
14
6.2 Elementos Isolados
A NBR 6118 (item 15.4.4) define que so considerados elementos isolados os seguintes:
a) elementos estruturais isostticos;
b) elementos contraventados;
c) elementos que fazem parte de estruturas de contraventamento de ns fixos;
d) elementos das subestruturas de contraventamento de ns mveis, desde que, aos esforos nas
extremidades, obtidos em uma anlise de 1a ordem, sejam acrescentados os determinados por anlise
global de 2a ordem. Nesta apostila so apresentados somente os chamados elementos (pilares) contraventados.
7 EXCENTRICIDADES
Neste item so apresentadas outras excentricidades alm da excentricidade de 2a ordem, que
podem ocorrer no dimensionamento dos pilares: excentricidade de 1a ordem, excentricidade acidental e
excentricidade devida fluncia.
7.1 Excentricidade de 1a Ordem
A excentricidade de 1a ordem (e1) devida possibilidade de ocorrncia de momentos fletores
externos solicitantes, que podem ocorrer ao longo do comprimento do pilar, ou devido ao ponto terico de
aplicao da fora normal no estar localizado no centro de gravidade da seo transversal, ou seja,
existncia da excentricidade inicial a, como indicada na Figura 14.
Considerando a fora normal N e o momento fletor M (independente de N), a Figura 14 mostra os
casos possveis de excentricidade de 1a ordem.
N suposta
centrada e M = 0
N suposta aplicada
distncia a do CG,M = 0
N suposta
centrada
N suposta aplicada
distncia a do CG
1e = aM
e = 1e = a +1
M
1e = 0
aa
MM
y y y y
x x x x
NN
N
N
N
N
Figura 14 Casos de excentricidade de 1a ordem.
7.2 Excentricidade Acidental
No caso do dimensionamento ou verificao de um lance de pilar, dever ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar [...]. Admite-se que, nos casos usuais de
estruturas reticuladas, a considerao apenas da falta de retilinidade ao longo do lance de pilar seja
suficiente. (NBR 6118, 11.3.3.4.2). A imperfeio geomtrica pode ser avaliada pelo ngulo 1 :
H100
11 Eq. 22
com: H = altura do lance, em metro, conforme mostrado na Figura 15;
1mn = 1/300 para estruturas reticuladas e imperfeies locais;
mx1 = 1/200
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
15
H
pilar de
contraventamentopilar
contraventado
Hi/2
ea
ea
1
1 1 1i
elemento de
travamento
a) Elementos de travamento b) Falta de retilinidade c) Desaprumo do pilar
(tracionado ou comprimido) no pilar
Figura 15 Imperfeies geomtricas locais.
A excentricidade acidental para um lance do pilar resulta do ngulo 1 :
2
He 1a Eq. 23
7.3 Excentricidade de 2a Ordem
A anlise global de 2a ordem fornece apenas os esforos nas extremidades das barras, devendo ser realizada uma anlise dos efeitos locais de 2a ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas, de
acordo com o prescrito em 15.8. Os elementos isolados, para fins de verificao local, devem ser
formados pelas barras comprimidas retiradas da estrutura, com comprimento e , de acordo com o estabelecido em 15.6, porm aplicando-se s suas extremidades os esforos obtidos atravs da anlise
global de 2a ordem. (NBR 6118, item 15.7.4). Conforme a NBR 6118 (15.8.2), Os esforos locais de 2a ordem em elementos isolados podem ser
desprezados quando o ndice de esbeltez for menor que o valor-limite 1 [...]. O valor de 1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes so:
- a excentricidade relativa de 1a ordem e1 /h na extremidade do pilar onde ocorre o momento de 1a ordem
de maior valor absoluto;
- a vinculao dos extremos da coluna isolada;
- a forma do diagrama de momentos de 1a ordem.
O valor-limite 1 :
b
1
1h
e5,1225
Eq. 24
com: 35 1 90, onde: e1 = excentricidade de 1a ordem (no inclui a excentricidade acidental ea);
h/e1 = excentricidade relativa de 1a ordem.
No item 15.8.1 da NBR 6118 encontra-se que o pilar deve ser do tipo isolado, e de seo e
armadura constantes ao longo do eixo longitudinal, submetidos flexo-compresso. Os pilares devem ter ndice de esbeltez menor ou igual a 200 ( 200). Apenas no caso de elementos pouco comprimidos com fora normal menor que 0,10fcd Ac , o ndice de esbeltez pode ser maior que 200. Para pilares com ndice
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
16
de esbeltez superior a 140, na anlise dos efeitos locais de 2a ordem, devem-se multiplicar os esforos
solicitantes finais de clculo por um coeficiente adicional n1 = 1 + [0,01( 140)/1,4].
O valor de b deve ser obtido conforme estabelecido a seguir (NBR 6118, 15.8.2):
a) para pilares biapoiados sem cargas transversais:
4,0M
M4,06,0
A
Bb Eq. 25
sendo: 0,4 b 1,0
MA e MB so os momentos de 1a ordem nos extremos do pilar, obtidos na anlise de 1a ordem no
caso de estruturas de ns fixos e os momentos totais (1a ordem + 2a ordem global) no caso de estruturas
de ns mveis. Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o
sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA , e negativo, em caso contrrio.
b) para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura:
1b
c) para pilares em balano:
85,0M
M2,08,0
A
Cb Eq. 26
sendo: 0,85 b 1,0, MA = momento de 1a ordem no engaste;
MC = momento de 1a ordem no meio do pilar em balano.
d) para pilares biapoiados ou em balano com momentos menores que o momento mnimo estabelecido em
11.3.3.4.3:
1b
O fator b consta do ACI 318 (1995) com a notao Cm (item 10.12.3.1). Porm, ao contrrio da NBR 6118, que tambm considera a excentricidade relativa e1/h, tanto o ACI como o Eurocode 2 (1992) e
o MC-90 (1990) do CEB, calculam a esbeltez limite em funo da razo entre os momentos fletores ou
entre as excentricidades nas extremidades do pilar.
7.4 Excentricidade Devida Fluncia
A considerao da fluncia deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com ndice de
esbeltez > 90 e pode ser efetuada de maneira aproximada, considerando a excentricidade adicional ecc dada a seguir: (NBR 6118, 15.8.4)
1718,2eN
Me sge
sg
NN
N
asg
sgcc Eq. 27
2e
ccie
IE10N
Eq. 28
onde: ea = excentricidade devida a imperfeies locais;
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
17
Msg e Nsg = esforos solicitantes devidos combinao quase permanente;
= coeficiente de fluncia; Eci = mdulo de elasticidade tangente;
Ic = momento de inrcia;
e = comprimento de flambagem.
8 NDICE DE ESBELTEZ
O ndice de esbeltez a razo entre o comprimento de flambagem e o raio de girao, nas direes
a serem consideradas (NBR 6118, 15.8.2):
i
e Eq. 29
com o raio de girao sendo: A
Ii
Para seo retangular o ndice de esbeltez :
h
3,46 e Eq. 30
onde: e = comprimento de flambagem; i = raio de girao da seo geomtrica da pea (seo transversal de concreto, no se
considerando a presena de armadura);
I = momento de inrcia;
A = rea da seo;
h = dimenso do pilar na direo considerada.
O comprimento de flambagem de uma barra isolada depende das vinculaes na base e no topo,
conforme os esquemas mostrados na Figura 16.
EngasteA. Simples
A. Simples
A. Simples
Engaste
Engaste
E. Elstico
E. Elstico
E. MvelLivre
F FF
F
e = 0,7 Le = 0,5 L
e 0,5 L < < L e = 2 L = Le
F
B
A A
B
A
B
A
B
B
A
L
Figura 16 Comprimento de flambagem.
Em edifcios, a linha deformada dos pilares contraventados apresenta-se como mostrada na Figura
17a. Uma simplificao pode ser feita como indicada na Figura 17b.
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
18
1
2
FUNDAO
1 TETO
2 TETO
n TETO
n2 TETO
1 TETO
FUNDAO
n
n TETO
() en
2e
23 1e
2
1
a) situao real; b) situao simplificada.
Figura 17 Situao real e simplificada de pilares contraventados de edifcios (SSSEKIND, 1984).
Nas estruturas de ns fixos, o clculo pode ser realizado considerando cada elemento comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que
ali concorrem, onde se aplicam os esforos obtidos pela anlise da estrutura efetuada segundo a teoria de
1a ordem. (NBR 6118, 15.6).
Assim, o comprimento equivalente (e), de flambagem, do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores:
hoe Eq. 31
com: o = distncia entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar (Figura 18);
h = altura da seo transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo;
= distncia entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar est vinculado.
h
h+
Figura 18 Valores de o e .
Para casos de determinao do comprimento de flambagem mais complexos recomenda-se a
leitura de SSSEKIND (1984, v.2).
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
19
Em funo do ndice de esbeltez, os pilares podem ser classificados como:
a) Pilar curto se 35;
b) Pilar mdio se 35 < 90;
c) Pilar medianamente esbelto se 90 < 140;
d) Pilar esbelto se 140 < 200.
Eq. 32
Os pilares curtos e mdios representam a grande maioria dos pilares das edificaes. Os pilares
medianamente esbeltos e esbeltos so bem menos frequentes.
9 DETERMINAO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2a ORDEM
De acordo com a NBR 6118 (15.8.3), o clculo dos efeitos locais de 2a ordem pode ser feito pelo
Mtodo Geral ou por mtodos aproximados. O Mtodo Geral obrigatrio para elementos com > 140. A norma apresenta diferentes mtodos aproximados, sendo eles: mtodo do pilar-padro com
curvatura aproximada (item 15.8.3.3.2), mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada (15.8.3.3.3), mtodo do pilar-padro acoplado a diagramas M, N, 1/r (15.8.3.3.4) e mtodo do pilar-padro para
pilares de seo retangular submetidos flexo composta oblqua (15.8.3.3.5). Sero agora apresentados
os mtodos do pilar-padro com curvatura aproximada e com rigidez aproximada, que so simples de
serem aplicados no dimensionamento. O pilar-padro foi apresentado no item 5.6.
9.1 Mtodo do Pilar-Padro com Curvatura Aproximada
Conforme a NBR 6118 (15.8.3.3.2), o mtodo pode ser empregado apenas no clculo de pilares com 90, com seo constante e armadura simtrica e constante ao longo de seu eixo. A no linearidade geomtrica considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformao da barra seja
senoidal. A no linearidade fsica considerada atravs de uma expresso aproximada da curvatura na
seo crtica. A equao senoidal para a linha elstica foi definida na Eq. 16, que define os valores para a
deformao de 2a ordem (e2) ao longo da altura do pilar. A no linearidade fsica com a curvatura
aproximada foi apresentada na Eq. 11 e na Eq. 19.
O momento fletor total mximo no pilar deve ser calculado com a expresso:
A,d1
2e
dA,d1btot,d Mr
1
10NMM
Eq. 33
onde: b = parmetro definido no item 7.3; Nd = fora normal solicitante de clculo;
e = comprimento de flambagem. 1/r = curvatura na seo crtica, avaliada pela expresso aproximada (Eq. 19):
h
005,0
)5,0(h
005,0
r
1
A fora normal adimensional () foi definida na Eq. 20:
cdc
d
f.A
N
Embora o item 15.8.3.3.2 da verso de 2014 da NBR 6118, diferentemente da verso de 2003, no
apresente diretamente, deve-se considerar que:
M1d,A M1d,mn Md,tot M1d,mn
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
20
com: M1d,A = valor de clculo de 1a ordem do momento MA , como definido no item 7.3;
M1d,mn = momento fletor mnimo como definido a seguir;
Ac = rea da seo transversal do pilar;
fcd = resistncia de clculo compresso do concreto (fcd = fck /c); h = dimenso da seo transversal na direo considerada.
Na verso de 2003, a NBR 6118 introduziu um parmetro novo no clculo dos pilares: o momento
fletor mnimo, o qual consta no cdigo ACI 318 (1995) como equao 10-15 e: a esbeltez levada em considerao aumentando-se os momentos fletores nos extremos do pilar. Se os momentos atuantes no
pilar so muito pequenos ou zero, o projeto de pilares esbeltos deve se basear sobre uma excentricidade
mnima, dada pelo momento mnimo. Na verso de 2014 da NBR 6118 (11.3.3.4.3), como na verso de 2003, consta que o efeito das
imperfeies locais nos pilares e pilares-parede pode ser substitudo, em estruturas reticuladas, pela
considerao do momento mnimo de 1a ordem dado a seguir (item 11.3.3.4.3):
)h03,0015,0(NM dmn,d1 Eq. 34
com h sendo a altura total da seo transversal na direo considerada, em metro (m).
A NBR 6118 ainda informa que ao se considerar o momento fletor mnimo pode-se desconsiderar
a excentricidade acidental ou o efeito das imperfeies locais, e que ao momento mnimo devem ser
acrescidos os momentos de 2a ordem.
A rigor, o momento fletor total mximo deve ser calculado para cada direo principal do pilar. Ele
leva em conta que, numa seo intermediria onde ocorre a excentricidade mxima de 2a ordem, o
momento fletor mximo de 1a ordem seja corrigido pelo fator b. Isto semelhante ao que se encontra no
item 7.5.4 de FUSCO (1981), com a diferena de que novos parmetros foram estabelecidos para b . Se o momento fletor de 1a ordem for nulo ou menor que o mnimo, ento o momento fletor mnimo, constante
na altura do pilar, deve ser somado ao momento fletor de 2a ordem.
Ainda no item 11.3.3.4.3 da NBR 6118: Para pilares de seo retangular, pode-se definir uma envoltria mnima de 1 ordem, tomada a favor da segurana, conforme mostrado na Figura 19.
1M
M
M
M2
yy,mn,d1
y,mn,d1
2
xx,mn,d1
x,mn,d1
Eq. 35
M1d,mn,xx = Nd (0,015 + 0,03h)
M1d,mn,yy = Nd (0,015 + 0,03b)
sendo: M1d,mn,xx e M1d,mn,yy = componentes em flexo composta normal;
M1d,mn,x e M1d,mn,y = componentes em flexo composta oblqua.
Figura 19 Envoltria mnima de 1 ordem (NBR 6118).
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
21
Neste caso, a verificao do momento mnimo pode ser considerada atendida quando, no dimensionamento adotado, obtm-se uma envoltria resistente que englobe a envoltria mnima de 1
ordem. Quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2 ordem em alguma das direes do
pilar, a verificao do momento mnimo deve considerar ainda a envoltria mnima com 2 ordem,
conforme 15.3.2. No item 15.3.2 a norma reapresenta o diagrama da Figura 19, mas com a envoltria mnima
acrescida dos efeitos da 2a ordem, e mostrando tambm a envoltria resistente (Figura 20). Para pilares de seo retangular, quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2 ordem, a verificao
do momento mnimo pode ser considerada atendida quando, no dimensionamento adotado, obtm-se uma
envoltria resistente que englobe a envoltria mnima com 2 ordem, cujos momentos totais so calculados
a partir dos momentos mnimos de 1 ordem e de acordo com item 15.8.3. A considerao desta envoltria
mnima pode ser realizada atravs de duas anlises flexo composta normal, calculadas de forma
isolada e com momentos fletores mnimos de 1 ordem atuantes nos extremos do pilar, nas suas direes
principais.
Figura 20 Envoltria mnima com 2 ordem (NBR 6118).
9.2 Mtodo do Pilar-Padro com Rigidez Aproximada
Conforme a NBR 6118 (15.8.3.3.3), o mtodo pode ser empregado apenas no clculo de pilares com 90, com seo retangular constante e armadura simtrica e constante ao longo de seu eixo. A no linearidade geomtrica deve ser considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformao da
barra seja senoidal. A no linearidade fsica deve ser considerada atravs de uma expresso aproximada
da rigidez.
O momento total mximo no pilar deve ser calculado a partir da majorao do momento de 1a
ordem pela expresso:
A,d12
A,d1btot,Sd M
/1201
MM
Eq. 36
sendo o valor da rigidez adimensional dado aproximadamente pela expresso:
d
tot,Rdaprox
N.h
M5132 Eq. 37
Em um processo de dimensionamento, toma-se MRd,tot = MSd,tot . Em um processo de verificao, onde a armadura conhecida, MRd,tot o momento resistente calculado com essa armadura e com Nd = NSd
= NRd .
As variveis h, , M1d,A e b so as mesmas definidas anteriormente. A varivel representa o
ndice de esbeltez e o coeficiente adimensional relativo fora normal (Eq. 20).
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
22
Substituindo a Eq. 37 na Eq. 36 obtm-se uma equao do 2o grau til para calcular diretamente o
valor de MSd,tot , sem a necessidade de se fazer iteraes:
0cMbMa tot,Sd2
tot,Sd Eq. 38
A,d1b2
d
A,d1b
2ed
d2
MhNc
Mh5320
NNhb
h5a
Eq. 39
a2
ac4bbM
2
tot,Sd
Eq. 40
O clculo do momento fletor total pode ser feito aplicando as trs equaes acima (Eq. 38, Eq. 39 e
Eq. 40), ou tambm com a equao do segundo grau (com Md,tot ao invs de MSd):
0MNh3840M)M19200NhNh3840(M19200 A,d1dbtot,dA,d1bd2
d2
tot,d Eq. 41
10 SITUAES BSICAS DE PROJETO
Para efeito de projeto, os pilares dos edifcios podem ser classificados nos seguintes tipos: pilares
intermedirios, pilares de extremidade e pilares de canto. A cada um desses tipos bsicos corresponde uma
situao de projeto diferente.
10.1 Pilar Intermedirio
Nos pilares intermedirios (Figura 21) considera-se a compresso centrada na situao de projeto,
pois como as lajes e vigas so contnuas sobre o pilar, pode-se admitir que os momentos fletores
transmitidos ao pilar sejam pequenos e desprezveis. No existem, portanto, os momentos fletores MA e MB
de 1a ordem nas extremidades do pilar, como descritos no item 7.3.
y
x
Nd
Figura 21 Arranjo estrutural e situao de projeto dos pilares intermedirios.
PLANTA
SITUAO DE PROJETO
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
23
10.2 Pilar de Extremidade
Os pilares de extremidade, de modo geral, encontram-se posicionados nas bordas das edificaes,
sendo tambm chamados pilares laterais ou de borda. O termo pilar de extremidade advm do fato do pilar ser extremo para uma viga, aquela que no tem continuidade sobre o pilar, como mostrado na Figura
22. Na situao de projeto ocorre a flexo composta normal, decorrente da no continuidade da viga.
Existem, portanto, os momentos fletores MA e MB de 1a ordem em uma direo do pilar, como descritos no
item 7.3.
O pilar de extremidade no ocorre necessariamente na borda da edificao, ou seja, pode ocorrer
na zona interior de uma edificao, desde que uma viga no apresente continuidade no pilar.
Nas sees de topo e base ocorrem excentricidades e1 de 1a ordem, na direo principal x ou y do
pilar:
d
AA,1
N
Me e
d
BB,1
N
Me Eq. 42
dN
x
y
e1
Figura 22 Arranjo estrutural e situao de projeto dos pilares de extremidade.
Os momentos fletores MA e MB so devidos aos carregamentos verticais sobre as vigas, e obtidos
calculando-se os pilares em conjunto com as vigas, formando prticos planos, ou, de uma maneira mais
simples e que pode ser feita manualmente, com a aplicao das equaes j apresentadas em BASTOS
(2015).6 Conforme a Figura 23, os momentos fletores, nos lances inferior e superior do pilar, so:
vigasupinf
infenginf
rrr
rMM
Eq. 43
vigasupinf
supengsup
rrr
rMM
Eq. 44
6 BASTOS, P.S.S. Vigas de Concreto Armado. Disciplina 2123 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, jun/2015, 56p.
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm
PLANTA
SITUAO DE PROJETO
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
24
com: Meng = momento fletor de engastamento perfeito na ligao entre a viga e o pilar;
r = I/ = ndice de rigidez relativa; I = momento de inrcia da seo transversal do pilar na direo considerada;
= vo efetivo do tramo adjacente da viga ao pilar extremo, ou comprimento de flambagem do pilar.
Na determinao dos momentos fletores de 1a ordem que ocorrem nos pilares de edifcios de
pavimentos deve-se considerar a superposio dos efeitos das vigas dos diferentes nveis (Figura 23).
Considerando-se por exemplo o lance (tramo) do pilar compreendido entre os pavimentos i e i + 1, os
momentos fletores na base e no topo do lance so:
1iinf,isup,base M5,0MM
isup,1iinf,topo M5,0MM
Eq. 45
Se os pavimentos i e i + 1 forem pavimentos tipo, ou seja, idnticos, os momentos fletores na base
e no topo sero iguais e:
Msup,i = Minf,i+1
Mbase = Mtopo = 1,5 Msup,i = 1,5 Minf,i+1
Eq. 46
+ 12 MM
inf
tramo extremo
sup,i-1
+ 12 Msup,i-1M inf,i nvel (i - 1)
inf,i
viga
infM
M
12 M sup
supM
pilar de extremidade
+ 12 M
+ 12 MM sup,i
M inf,i+1
inf,i+1 nvel i
sup,i nvel (i + 1)
Figura 23 Momentos fletores nos pilares de extremidade provenientes da ligao com a
viga no contnua sobre o pilar (FUSCO, 1981).
Os exemplos numricos apresentados no item 21 mostram o clculo dos momentos fletores
solicitantes por meio da Eq. 43 a Eq. 46.
10.3 Pilar de Canto
De modo geral, os pilares de canto encontram-se posicionados nos cantos dos edifcios, vindo da o
nome, como mostrado na Figura 24. Na situao de projeto ocorre a flexo composta oblqua, decorrente
da no continuidade das vigas apoiadas no pilar. Existem, portanto, os momentos fletores MA e MB de 1a
ordem, nas suas duas direes do pilar, ou seja, e1x e e1y . Esses momentos podem ser calculados da mesma
forma como apresentado nos pilares de extremidade.
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
25
Nd
e1,x
y
x
e1
,y
Figura 24 Arranjo estrutural e situao de projeto dos pilares de canto.
11 DETERMINAO DA SEO SOB O MXIMO MOMENTO FLETOR
Sendo constante a fora normal (Nd) ao longo da altura do pilar, no dimensionamento deve ser
analisada qual seo do pilar, ao longo de sua altura, estar submetida ao maior momento fletor total,
segundo as direes principais do pilar. Normalmente basta verificar as sees de extremidade (topo e
base) e uma seo intermediria C, que aquela correspondente ao mximo momento fletor de 2a ordem
(M2d).
A Figura 25 mostra alguns casos diferentes de atuao dos momentos fletores de 1a ordem (M1d,A e
M1d,B), e mostra tambm os momentos fletores mnimo e de 2a ordem. No caso de momento fletor de 1a
ordem varivel ao longo da altura (lance) do pilar, o valor maior deve ser nomeado M1d,A , e considerado
positivo. O valor menor, na outra extremidade, ser nomeado M1d,B , e considerado negativo se tracionar a
fibra oposta de M1d,A . O momento fletor de 1a ordem existente deve ser comparado ao momento fletor
mnimo (M1d,mn), e adotado o maior.
-
+
++
+
C
(M >1d,A M )1d,B
+
M1d,mn1d,AM
OU
0
M1d,A
1d,BM
1d,AM
1d,BM
1d,AM = M1d,B
M 2,mx
B
A A
B
base
topo
1d,CM
seo
intermediria
+
OU OU OU
Figura 25 Momentos fletores de 1a ordem com o de 2a ordem nas sees do lance do pilar.
PLANTA
SITUAO DE PROJETO
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
26
Na determinao do mximo momento fletor total, da base ao topo do pilar, em cada direo, e
considerando as sees de extremidade e a seo intermediria C, tem-se:
a) Sees de extremidade (topo ou base)
mn,d1
A,d1
tot,dM
MM Eq. 47
b) Seo intermediria (C)
d2mn,d1
d2C,d1
tot,dMM
MMM Eq. 48
Com o momento de 1a ordem M1d,C avaliado como:
A,d1
B,d1A,d1
C,d1M4,0
M4,0M6,0M Eq. 49
A Eq. 49 tem os coeficientes 0,6 e 0,4 relativos varivel b , definida no item 7.3.
12 SITUAES DE PROJETO E DE CLCULO
O clculo dos pilares pode ser feito diretamente dos valores da fora normal e do momento fletor
total solicitante no pilar, sem se explicitar as excentricidades da fora Nd . Por outro lado, clculo tambm
pode ser feito explicitando as excentricidades, que so funo dos momentos fletores.
No dimensionamento dos pilares, conforme a antiga NB 1/78, o clculo era feito considerando-se
as excentricidades. J a NBR 6118 de 2003 introduziu o momento fletor mnimo e a equao do momento
fletor total (Md,tot), direcionando de certa forma o clculo via momentos fletores e no via as
excentricidades. Claro que o clculo correto, em funo dos momentos fletores ou das excentricidades,
conduz aos mesmos resultados. Nos itens seguintes procura-se ilustrar os dois modos de clculo, deixando-
se ao estudante a escolha do modo a aplicar.
Nos itens seguintes esto mostradas as excentricidades que devem ser consideradas no
dimensionamento dos pilares, em funo do tipo de pilar (intermedirio, de extremidade ou de canto) e
para mx 90. As excentricidades a serem consideradas so as seguintes:
a) Excentricidade de 1a ordem
d
A,d1A,1
N
Me
d
B,d1B,1
N
Me Eq. 50
b) Excentricidade mnima
e1,mn = 1,5 + 0,03 h , com h em cm Eq. 51
c) Excentricidade de 2a ordem
h5,00005,0
e2
e2
Eq. 52
com definido na Eq. 20.
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
27
d) Excentricidade de 1a ordem na seo intermediria C
A,1
B,1A,1
C,1e4,0
e4,0e6,0e Eq. 53
12.1 Pilar Intermedirio
A Figura 26 mostra a situao de projeto (S.P.) e as situaes de clculo (s.c.) dos pilares
intermedirios com mx 90. Na 1a s.c. esto indicadas as excentricidades que ocorrem na direo x, e na 2a s.c. as excentricidades na direo y.
Como no se considera a existncia de momentos fletores de 1a ordem, a situao de projeto de
Compresso Simples (ou Uniforme). Se o pilar tiver 1 nas duas direes, tem-se que e2x = 0 e e2y = 0, e as excentricidades de 2a ordem mostradas na Figura 26 no existiro. Neste caso basta considerar a
excentricidade mnima em cada direo. Por outro lado, se > 1 em uma ou ambas as direes, a excentricidade de 2a ordem deve ser somada excentricidade mnima. A excentricidade mnima
corresponde ao momento fletor mnimo, apresentado no item 9.1 (Eq. 34).
1 s.c.S.P.
Nd
e
2 s.c.
1y,mn
Nd
e
x
y
Nd
1x,mn
x
e
e 2yeye
2x
Figura 26 Situao de projeto e situaes de clculo de pilares intermedirios com mx 90.
Para cada situao de clculo deve ser determinada uma armadura longitudinal, considerando-se,
porm, o mesmo arranjo (posicionamento) das barras da armadura na seo transversal. Isso importante
porque a armadura final deve atender s situaes de clculo existentes. A armadura final a maior entre
as calculadas.
12.2 Pilar de Extremidade
No pilar de extremidade ocorre a Flexo Composta Normal na situao de projeto, com existncia
de excentricidade de 1a ordem em uma direo do pilar. As sees de extremidade (topo e base) devem
sempre ser analisadas (Figura 27). A seo intermediria C deve ser analisada somente na direo em que
ocorrer excentricidade de 2a ordem (Figura 28).
Na base e topo do pilar, devido aos apoios (vnculos), no ocorre deslocamento horizontal, de
modo que a excentricidade de 2a ordem zero. Nas sees ao longo da altura do pilar ocorrem
excentricidades de 2a ordem, mas se 1 , as excentricidades so pequenas e podem ser desprezadas. Por
outro lado, se ocorrer > 1 , a mxima excentricidade de 2a ordem (e2x ou e2y na seo intermediria C) deve ser considerada, e a excentricidade de 1a ordem deve ser alterada de e1x,A para e1x,C (ou de e1y,A para
e1y,C) na situao de projeto (Figura 28).
Do mesmo modo como no pilar intermedirio, para cada situao de clculo deve ser calculada
uma armadura, considerando-se o mesmo arranjo (posicionamento) das barras na seo transversal, e a
armadura final ser a maior entre as calculadas.
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
28
1x,A
x
y
2 s.c.
Nde1y,mn
e e{ 1x,mn
1x,Ae
dN dN
S.P. 1 s.c.
Figura 27 Situao de projeto e de clculo para as sees de extremidade (topo e base) dos pilares de extremidade.
e2x
1y,mne
e y
dN
2 s.c.
e2y
1x,Ce
x
1x,mn
1x,C{ee
e
S.P. 1 s.c.
Nd Nd
Figura 28 Situao de projeto e situaes de clculo para a seo intermediria
dos pilares de extremidade.
12.3 Pilar de Canto
No pilar de canto a solicitao de projeto a flexo composta oblqua, com a existncia de
excentricidade de 1a ordem nas duas direes principais do pilar. Na seo de extremidade A, como
mostrado na Figura 29, apenas uma situao de clculo suficiente, comparando-se as excentricidades de
1a ordem com as excentricidades mnimas em cada direo.
Na seo intermediria C as excentricidades de 1a ordem alteram-se de e1,A para e1,C , como
apresentado na Figura 30. Existindo as excentricidades de 2a ordem, elas devem ser acrescentadas s
excentricidades de 1a ordem, segundo a direo em que existir.
A armadura final do pilar ser a maior calculada entre as situaes de clculo, considerando-se as
barras distribudas de modo idntico no clculo das armaduras.
1x,A
1y,A
e
ee
1y,A
1y,mne{
1x,A
1x,mn
e{ed
N
S.P. 1 s.c.
Nd
y
x
Figura 29 Situao de projeto e de clculo para as sees de extremidade dos pilares de canto.
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
29
2 s.c.S.P. 1 s.c.
dN d
N
dN
e 2ye y
e{e
1y,mn
1y,C
e{e
1x,mn
1x,C
e1x,C
e1y,C
ex
y
x
2x
e
1x,C
1x,mn
e{e
1y,C
1y,mn
e
{e
Figura 30 Situao de projeto e situaes de clculo para a seo intermediria dos pilares de canto.
13 CLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXLIO DE BACOS
No dimensionamento dos pilares feito manualmente, os bacos so imprescindveis, porque
permitem a rpida determinao da taxa de armadura, sem necessidade de aplicar as equaes tericas da
Flexo Composta Normal ou Oblqua. Alm disso, os bacos proporcionam a fcil escolha de diferentes
arranjos de armadura na seo transversal.
Nesta apostila sero aplicados os bacos de VENTURINI (1987)7 para a Flexo Composta Normal
e de PINHEIRO (1994)8 para a Flexo Composta Oblqua. Esses bacos devem ser aplicados apenas no
dimensionamento de pilares com concretos do Grupo I de resistncia (fck 50 MPa), porque foram desenvolvidos com alguns parmetros numricos que no se aplicam aos concretos do Grupo II .
Para cada caso de solicitao, bacos diferentes podem ser utilizados, no entanto, o baco deve ser
escolhido de modo a resultar na menor armadura, e assim a mais econmica.
13.1 Flexo Composta Normal
A Figura 31 mostra a notao aplicada na utilizao dos bacos de VENTURINI (1987) para a
Flexo Composta Normal (ou Reta). A distncia d paralela excentricidade (e), entre a face da seo e o
centro da barra do canto. De modo geral tem-se d = c + t + /2, com c = cobrimento de concreto, t =
dimetro do estribo e = dimetro da barra longitudinal.
Nd
d
h/2
h/2
d
e
b
Figura 31 Notao para a Flexo Composta Normal (VENTURINI, 1987).
7 VENTURINI, W.S. Dimensionamento de peas retangulares de concreto armado solicitadas flexo reta. So
Carlos, Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de So Carlos USP, 1987. Disponvel em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm 8 PINHEIRO, L.M. ; BARALDI, L.T. ; POREM, M.E. Concreto Armado: bacos para flexo oblqua. So Carlos,
Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de So Carlos USP, 1994. Disponvel em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
30
As equaes para a construo dos bacos foram apresentadas na publicao de VENTURINI
(1987). A determinao da armadura longitudinal iniciada pelo clculo dos esforos adimensionais (ni)
e (mi). O valor adimensional foi definido na Eq. 20:
cdc
d
f.A
N
O valor de , em funo do momento fletor ou da excentricidade, :
cdc
tot,d
fAh
M , ou Eq. 54
h
e Eq. 55
com: Nd = fora normal de clculo;
Ac = rea da seo transversal do pilar;
fcd = resistncia de clculo do concreto compresso (fck/c); Md,tot = momento fletor total de clculo;
h = dimenso do pilar na direo considerada;
e = excentricidade na direo considerada.
Escolhida uma disposio construtiva para a armadura no pilar, determina-se o baco a ser
utilizado, em funo do tipo de ao e do valor da relao d/h. No baco, com o par e , obtm-se a taxa
mecnica . A armadura calculada pela expresso:
yd
cdcs
f
fAA
Eq. 56
13.2 Flexo Composta Oblqua
A Figura 32 mostra a notao aplicada na utilizao dos bacos de PINHEIRO et al. (1994) para a
Clexo Composta Oblqua. As distncias dx e dy tm o mesmo significado de d, porm, cada uma em uma direo do pilar.
M
h
xMd
yd
d
x
yh
dN
x
yd
Figura 32 Flexo Composta Oblqua (PINHEIRO, 1994).
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
31
A determinao da armadura iniciada pelo clculo dos esforos adimensionais e , com segundo as duas direes principais do pilar:
cdc
d
f.A
N
x
x
cdcx
x,tot,dx
h
e
fAh
M Eq. 57
y
y
cdcy
y,tot,dy
h
e
fAh
M Eq. 58
Escolhida uma disposio construtiva para a armadura no pilar, determina-se o baco a ser
utilizado, em funo do tipo de ao e dos valores das relaes dx/hx e dy/hy . No baco, com o trio (, x ,
y), obtm-se a taxa mecnica . A armadura calculada com a Eq. 56:
yd
cdcs
f
fAA
14 RELAO ENTRE A DIMENSO MNIMA E O COEFICIENTE DE PONDERAO
Os pilares com seo transversal retangular so diferenciados dos pilares-parede em funo da
relao entre os lados, conforme a regra (Figura 33):
h 5 b pilar
h > 5 b pilar-parede Eq. 59
b
h
Figura 33 Classificao dos pilares e pilares-parede de seo retangular.
A NBR 6118 (item 13.2.3) impe que A seo transversal de pilares e pilares-parede macios, qualquer que seja a sua forma, no pode apresentar dimenso menor que 19 cm. Em casos especiais,
permite-se a considerao de dimenses entre 19 cm e 14 cm, desde que se multipliquem os esforos
solicitantes de clculo a serem considerados no dimensionamento por um coeficiente adicional n , de acordo com o indicado na Tabela 13.1 e na Seo 11. Em qualquer caso, no se permite pilar com seo
transversal de rea inferior a 360 cm2., o que representa a seo mnima de 14 x 25,7 cm. A Tabela 4 apresenta o coeficiente adicional. importante salientar que o texto indica que todos os esforos
solicitantes atuantes no pilar devem ser majorados por n , ou seja, a fora normal e os momentos fletores que existirem.
Tabela 4 Coeficiente adicional n para pilares e pilares-parede (Tabela 13.1 da NBR 6118).
b 19 18 17 16 15 14
n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25
Nota: O coeficiente n deve majorar os esforos solicitantes finais de clculo quando de seu dimensionamento.
n = 1,95 0,05 b b = menor dimenso da seo transversal (cm).
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
32
15 CLCULO DOS PILARES INTERMEDIRIOS
Apresenta-se o roteiro de clculo dos chamados pilares intermedirios, com a aplicao do
Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada e do Mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada. Em seguida so apresentados dois exemplos numricos de aplicao.
15.1 Roteiro de Clculo
No pilar intermedirio, devido continuidade das vigas e lajes sobre o pilar, tem-se que os
momentos fletores de 1a ordem so nulos em ambas as direes do pilar (MA = MB = 0), portanto, e1 = 0.
a) Esforos solicitantes
A fora normal de clculo pode ser determinada como:
Nd = n . f . Nk Eq. 60
onde: Nk = fora normal caracterstica do pilar;
n = coeficiente de majorao da fora normal (Tabela 4);
f = coeficiente de ponderao das aes no ELU (definido na Tabela 11.1 da NBR 6118).
b) ndice de esbeltez (Eq. 29 e Eq. 30)
i
e , A
Ii para seo retangular:
h
3,46 e
c) Momento fletor mnimo (Eq. 34)
M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h) , com h = dimenso do pilar, em cm, na direo considerada.
d) Esbeltez limite (Eq. 24)
b
1
1
h
e12,5 25
, com 35 1 90
e1 = 0 para pilar intermedirio.
1 no considera-se o efeito local de 2 ordem na direo considerada;
> 1 considera-se o efeito local de 2 ordem na direo considerada.
e) Momento de 2a ordem
e1) Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada
Determina-se Md,tot com a Eq. 33:
mn,d1
A,d12e
dA,d1btot,dM
M
r
1
10NM.M
, e M1d,A M1d,mn
e2) Mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada Determina-se Md,tot com a Eq. 41:
0MNh3840M)M19200NhNh3840(M19200 A,d1dbtot,dA,d1bd2
d2
tot,d
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
33
15.2 Exemplos Numricos
Os exemplos numricos a seguir so de pilares intermedirios, biapoiados na base e no topo, de
ns fixos (contraventados) e sem foras transversais atuantes. Os clculos sero feitos em funo dos
momentos fletores solicitantes e, a ttulo de exemplo, sero feitos tambm em funo das excentricidades,
segundo as sees de extremidade e intermediria, como mostrado no item 11.
Os seguintes dados so comuns em todos os exemplos: concreto C20; ao CA-50 ;
d = 4,0 cm ; coeficientes de ponderao: c = f =1,4 e s = 1,15.
15.2.1 Exemplo 1
Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado na Figura 34, sendo conhecidos:
Nk = 785,7 kN ; seo transversal 20 x 50 (Ac = 1.000 cm2)
comprimento equivalente (de flambagem): ex = ey = 280 cm
=
280 c
mey
ey
=
280 c
m
dN
x
y
h = 50 cmx
h =
20 c
my
Figura 34 Posio do pilar em relao s vigas, vnculos na base e no topo nas direes x e y, dimenses da seo transversal e situao de projeto.
RESOLUO
Embora a armadura longitudinal resultar do clculo segundo a direo de menor rigidez do pilar
(dir. y), a ttulo de exemplo ser demonstrado tambm o clculo segundo a direo x.
a) Esforos solicitantes
A fora normal de clculo (Eq. 60): Nd = n . f . Nk = 1,0 . 1,4 . 785,7 = 1.100 kN
com n determinado na Tabela 4, em funo da largura da seo transversal do pilar. Tratando-se de um pilar intermedirio, no existem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem em ambas as direes do
pilar.
b) ndice de esbeltez (Eq. 30)
O ndice de esbeltez deve ser calculado para as direes x e y, conforme os eixos mostrados na
Figura 34. A fim de padronizar e simplificar a notao, aqui considera-se a direo, e no o eixo do pilar, o
que pode ser diferente de consideraes adotadas em outras disciplinas.
4,1950
28046,3
h
46,3
x
exx
4,4820
28046,3
h
46,3
y
eyy
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
34
c) Momento fletor mnimo
O momento fletor mnimo, em cada direo, calculado com a Eq. 34:
M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h) , com h em cm.
Dir. x: M1d,mn,x = 50.03,05,11100 = 3.300 kN.cm ; e1x,mn = 1100
33003,00 cm
Dir. y: M1d,mn,y = 20.03,05,11100 = 2.310 kN.cm ; e1y,mn = 1100
23102,10 cm
Esbeltez limite (Eq. 24)
b
1
1
h
e12,5 25
, com 35 1 90
Nos pilares intermedirios no ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem, da e1 =
0 e b = 1,0 (ver item 7.3). Assim:
1,x = 1,y = 25 35 1,x = 1,y = 35
Desse modo:
x = 19,4 < 1,x no so considerados os efeitos locais de 2 ordem na direo x;
y = 48,4 > 1,y so considerados os efeitos locais de 2 ordem na direo y.
Em pilares retangulares correntes, geralmente h a necessidade de considerar a excentricidade de
2a ordem na direo da largura do pilar.
e) Momento de 2a ordem
O momento de 2a ordem ser avaliado pelos mtodos do pilar-padro com curvatura aproximada e
do pilar-padro com rigidez aproximada.
e1) Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada (Eq. 33)
mn,d1
A,d12e
dA,d1btot,dM
M
r
1
10NMM
, e M1d,A M1d,mn
Fora normal adimensional (Eq. 20): 77,0
4,1
0,21000
1100
f.A
N
cdc
d
Curvatura na direo y sujeita aos momentos fletores de 2a ordem (Eq. 19):
1-41-4 cm 10.5,2
20
005,0cm 10.9685,1
5,077,020
005,0
50,0h
005,0
r
1
ok!
A excentricidade mxima de 2a ordem na direo y (Eq. 17):
54,110.9685,110
280
r
1
10e 4
22e
y2 cm
Com b = 1,0 e fazendo M1d,A = M1d,mn em cada direo, tem-se os momentos fletores totais em cada direo principal do pilar:
Dir. x: Md,tot,x = M1d,mn,x = 3.300 kN.cm
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
35
Dir. y: 008.410.9685,110
28011002310.0,1M 4
2
y,tot,d kN.cm
Md,tot,y = 4.008 kN.cm M1d,mn,y = 2.310 kN.cm ok!
O clculo de dimensionamento da armadura longitudinal do pilar pode seguir aps determinados os
momentos fletores totais, como mostrados na Figura 35. No entanto, a ttulo de exemplo, so mostradas
tambm as excentricidades (Figura 36), calculadas em funo dos momentos fletores. O valor admensional
pode ser calculado em funo do momento fletor ou da excentricidade, como feito na sequncia.
Dir. x Dir. y
1d,mn,xM
3.300 2.310
M1d,mn,y
1.698
+
2d,mx,yM
Figura 35 Momentos fletores atuantes no pilar, nas direes x e y.
Nd
e 1x,mn
y
x
Nd
S.P.
e = 3,64y
1y,mne = 2,10
2ye = 1,54
Nd
1 s.c.a 2 s.c.a
3,00
Figura 36 Situao de projeto e situaes de clculo do pilar intermedirio.
A anlise dos momentos fletores totais e das excentricidades permite observar que a direo crtica
do pilar a direo y, dado que o maior momento fletor total (Md,tot,y de 4.008 kN.cm) relativo menor
dimenso do pilar (largura hy = 20 cm). A 2 s.c., com a maior excentricidade total, na direo da largura
do pilar, tambm mostra o fato, comprovado pelo clculo da armadura longitudinal. A armadura pode ser
calculada apenas para a direo crtica y, porm, com o objetivo de ilustrar os cuidados que devem ser
tomados, a armadura calculada para as duas direes principais do pilar.
Com = 0,77 e utilizando os bacos de VENTURINI (1987)9 para Flexo Reta, faz-se o clculo de
(Eq. 54 ou Eq. 55) e d/h, segundo as direes x e y: Dir. x:
9 Os bacos podem ser encontrados em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
36
= cdcx
x,tot,d
f.A.h
M = 05,0
4,1
0,21000.50
3300 ou 05,0
50
00,377,0
h
e
x
x
x
x
h
'd =
50
0,4 = 0,08 0,10 com o baco A-25: = 0,05
Outros bacos diferentes do A-25 podem ser utilizados, no entanto, este baco interessante
porque no fixa o nmero de barras a serem dispostas na seo transversal, fixa apenas as faces do pilar
que devem alojar as barras. Neste caso, o baco A-25 proporciona que as barras sejam distribudas no lado
maior do pilar.
Observe que o baco A-25 tem a armadura posicionada na direo paralela excentricidade e (ver figura no baco) da fora normal Nd , portanto, na direo horizontal paralela excentricidade e1x,mn
da 1a s.c., coincidente com o lado maior do pilar.
Dir. y:
= cdcy
y,tot,d
f.A.h
M=
4,1
0,21000.20
4008 0,14 ou 14,0
20
64,377,0
h
e
y
y
y
y
h
'd =
20
0,4 = 0,20 com o baco A-4: = 0,38
Para a solicitao na direo y o baco A-4 compatvel com o baco A-25 da direo x, pois
proporciona o mesmo arranjo de barras do baco A-25 na seo transversal, ou seja, as barras distribudas
ao longo do lado maior do pilar. Isso mostrado na figura do baco A-4, onde a armadura posicionada na
direo perpendicular excentricidade da fora normal Nd , portanto, na direo horizontal perpendicular
excentricidade total da 2a s.c., e coincidente com o lado maior do pilar.
A maior armadura resulta do maior valor de , de 0,38 da 2a s.c., como esperado:
As = yd
cdc
f
fA = 49,12
15,1
50
4,1
0,21000.38,0
cm2
e2) Mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada
Aplicando a Eq. 41 numericamente para a direo y, com M1d,A = M1d,mn, tem-se:
0MNh3840M)M19200NhNh3840(M19200 A,d1dbtot,dA,d1bd2
d2
tot,d
02310.1100.20.0,1.3840M)2310.0,1.192001100.20.4,481100.20.3840(M19200 tot,d22
tot,d
010.951488,1M11408320M19200 11tot,d2
tot,d
010164000M2,594M tot,Sd2
tot,d
A raiz positiva da equao de 2o grau :
Md,tot = 3.500 kN.cm M1d,mn,y = 2.310 kN.cm ok!
Com = 0,77 e utilizando os bacos de VENTURINI (1987) para Flexo Reta:
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
37
= cdcy
y,tot,d
f.A.h
M=
4,1
0,21000.20
3500 = 0,12
y
y
h
'd =
20
0,4 = 0,20 com o baco A-4: = 0,30
As = yd
cdc
f
fA = 86,9
15,1
50
4,1
0,21000.30,0
cm2
15.2.2 Exemplo 2
Este segundo exemplo (Figura 37) igual ao primeiro, com exceo da maior fora normal de
compresso. So conhecidos:
Nk = 1.071 kN
seo transversal 20 x 50 (Ac = 1.000 cm2)
comprimento de flambagem:
ex = ey = 280 cm
coeficientes de ponderao:
c = f = 1,4 ; s = 1,15
dN
x
y
h = 50 cmx
h =
20 c
my
Figura 37 Dimenses da seo transversal e posio da fora normal.
RESOLUO
a) Esforos solicitantes
A fora normal de clculo : Nd = n . f . Nk = 1,0 . 1,4 . 1071 = 1.500 kN, com n da Tabela 4.
b) ndice de esbeltez
4,1950
28046,3
h
46,3
x
exx
4,4820
28046,3
h
46,3
y
eyy
c) Momento fletor mnimo
O momento fletor mnimo em cada direo :
M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h) , com h em cm.
Dir. x: M1d,mn,x = 50.03,05,11500 = 4.500 kN.cm ; e1x,mn = 1500
5004 3,00 cm
Dir. y: M1d,mn,y = 20.03,05,11500 = 3.150 kN.cm ; e1y,mn = 1500
50312,10 cm
-
UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado
38
d) Esbeltez limite
b
1
1
h
e12,5 25
, com 35 1 90
Tem-se que b = 1,0 e e1 = 0, portanto, do mesmo modo como no exemplo anterior:
1,x = 1,y = 25 35 1,x = 1,y = 35
Desse modo:
x = 19,4 < 1,x no so considerados os efeitos locais de 2 ordem na direo x;
y = 48,4 > 1,y so considerados os efeitos locais de 2 ordem na direo y.
e) Momento de 2a ordem
O momento de 2a ordem ser avaliado pelos mtodos do pilar-padro com curvatura aproximada e
do pilar-padro com rigidez aproximada.
e1) Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada
mn,d1
A,d12e
dA,d1btot,dM
M
r
1
10NMM
, e M1d,A M1d,mn
Fora normal adimensional: 05,1
4,1
0,21000
1500
f.A
N
cdc
d
Curvatura na direo y sujeita a momentos fletores de 2a ordem:
1-41-4 cm 10.5,2
20,0
005,0cm 10.6129,1
5,005,120
005,0
50,0h
005,0
r
1
ok!
A excentricidade mxima de 2a ordem na direo y :
r
1
10e
2e
y2
26,110.6129,1
10
280 42
cm
Fazendo M1d,A M1d,mn em cada direo, tem-se os momentos totais mximos:
Dir. x: Md,tot,x = M1d,mn,x = 4.500 kN.cm
Dir. y: 047.510.6129,110
28015003150.0,1M 4
2
y,tot,d kN.cm
Md,tot,y = 5.047 kN.cm M1d,mn,y = 3.150 kN.cm ok!
Os momentos fletores atuantes no pilar, nas direes x e y, esto indicados na Figura 38. A
situao de projeto e as situaes de clculo esto mostradas na Figura 39.
-
UNESP, Bauru/SP