...............Unidade 2 Campo Magnéti co Estacionário................
André Luis Lapoll i
Campo Magnético EstacionárioObjetivo:
•Definir corrente elétrica e densidade de correte•Definir a Lei de Biot-Savart•Definir a Lei de Ampère•Calcular o campo magnético a partir da Lei de Biot-Savart•Calcular o campo magnético através da Lei de Ampère
• Introdução
• Corrente e densidade de correte elétrica
• Lei de Biot-Savart
• Lei Circuital de Ampère
• Lei Circuital de Ampère na Forma Pontual.
Hayt – cap 8
André Luis Lapolli – URL:http://www.lapolli.pro.br
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EqF
• IntroduçãoA carga elétrica pode produzir dois tipos de campo:
Campo Elétrico: Basta a sua presença.Campo Magnético: Gerado apenas quando a carga está em
movimento
Isto foi descoberto por Oersted na experiência que verificou o movimento de uma agulha magnética na presença de um fio percorrido por uma corrente elétrica.
Força elétrica sobre uma carga na presença de um campo elétrico é dada por
Força magnética sobre uma carga na presença de um campo magnético é dada por
BvqF
)(/
teslaTsCm
NB
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• Introdução
LocalUnidade T
(tesla)
Estrela de neutrons 108
Eletroimã 1,5
Barra imantada 10-2
Superfície da terra 10-4
espaço 10-10
Menor valor de blindagem
10-14
Intensidade do campo magnético em alguns locais do universo.
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q – carga do elétronn - número de portadores de carga por unidade de
volume.V- Volume do cilindro J - Densidade de corrente (corrente/Área (A)v - velocidade de arrastamento dos elétronsDt - intervalo de tempo que os elétrons levam para
atravessar o comprimento l delimitado
• Corrente e densidade de correte elétricaCorrente elétrica é a quantidade de cargas que atravessa a secção transversal de um condutor por unidade de tempo.
DQ
l
t
Qi
)(ampéreAs
Ci nqVQ Carga total
lAV t
Qi
t
nqlAi
=vnqvAi
vnqJ
nqvA
i
Velocidade de derivaVelocidade de migração A
iJ JAi AdJi
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• Lei de Biot-Savart
A lei de Biot-Savart define que o campo magnético gerado por uma carga elétrica que se desloca em uma direção é diretamente proporcional à carga e a velocidade da mesma, perpendicular ao plano da carga e ponto, à uma certa distância, satisfazendo a regra da mão direita e inversamente proporcional ao quadrado da distância sendo que a constante de proporcionalidade é 1/4p.
24 R
avqH R
Onde:H – Campo magnéticoq – carga elétrica.v – velocidade da cargaR – distância da carga ao ponto onde se deseja calcular o
campo magnético.
[H]=A/m (ampère/metro)
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• Lei de Biot-Savart
Força magnética entre duas cargas pontuais.
2
)(´´
4
1´´
R
avvqqHvqF R
Lembrando que B é o vetor indução magnética ou densidade de fluxo.
[B]=Wb/m2 (weber/ metro quadrado)
HB
Constante de permeabilidade
mA
Wb
.10.4 7
0 Permeabilidade no vácuo.
HvqF
24 R
avqH R
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• Lei de Biot-Savart
24 R
avdqdHd R
Usando a Memória:
dt
ldvd
dtvdld
.
24 Rdt
aldqdHd R
24 R
alIdHd R
24 R
avqH R
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• Lei de Biot-Savart
A lei de Biot-Savart define que o campo magnético gerado por um elemento de carga que se desloca em uma direção é diretamente proporcional à carga perpendicular ao plano da carga e ponto satisfazendo a regra da mão direita e inversamente proporcional ao quadrado da distância sendo que a constante de proporcionalidade é 1/4p.
24 R
aLIdHd R
Onde:dH – Campo magnético elementarI – corrente elétrica.dL – comprimento elementar do filamentoR – distância do elemento de carga IdL ao ponto onde se
deseja calcular o elemento de campo magnético.
[H]=A/m (ampére/metro)
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• Lei de Biot-Savart
I1
PdL1
aR12
R12
dH2
212
12112 4 R
aLdIHd R
Não é possível resolver experimentalmente
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Portanto vamos nos restringir ao caso estacionário onde a corrente é constante no tempo e, portanto a densidade de cargas não varia em função do tempo.
• Lei de Biot-Savart
tJ
Lembrando a equação da continuidade.
Como a densidade de cargas não varia no tempo.
0 J
Aplicando-se o teorema do divergente: v a
adAA
0 v A
AdJJ
0A
AdJ
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• Lei de Biot-Savart
A corrente total que atravessa qualquer superfície fechada é zero, e esta condição pode ser satisfeita somente pela consideração de um fluxo de corrente em um percurso fechado.É esta corrente fluindo em um circuito fechado que deve ser a nossa fonte de experiência e não o elemento diferencial
24
ˆ
R
aLIdH R
A Lei de Biot-Savart pode ser expressa como fontes distribuídas como densidade de corrente J e densidade de corrente superficial K.
[J]= A/m2 – corrente que flui em uma camada de espessura infinitesimal.
[K]=A/m – densidade de corrente superficial.
LId
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• Lei de Biot-Savart
Se K for uniforme então I, corrente total na largura b é dada por:
KbI Medida perpendicular ao fluxo da corrente
Para o caso não uniforme: KdnI
Elemento infinitesimal de caminho atravessado pela corrente que está fluindo
dvJdsKlId
São os elementos de corrente do filamento, da superfície e do volume.
Consequentemente podemos escrever a lei de Biot-Savart das outras duas formas
s
R
R
dSaKH
24
ˆ
v
R
R
dvaJH
24
ˆ
I
b
dn
K
dsK
dvJ
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• Lei de Biot-Savart
Exemplo 1:O campo magnético produzido por um filamento infinitamente longo de corrente I a uma distância r perpendicular ao mesmo é:
r H
x
y
z
lId
da
R
24
ˆ
R
alIdH R
dzald zˆ
22
22
ˆˆˆ
ˆˆ
z
aaz
R
Ra
zR
aazR
zR
z
0 3
ˆˆˆ
4
2dz
R
aazaIH zz
0 2/3222
ˆ
z
dzaIH
0 2/3
2
22
12
ˆ
z
dzaIH
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• Lei de Biot-Savart
0 2/3
2
22
12
ˆ
z
dzaIH
y
z
z
)(sec1)(
)(sec)(
22
2
tg
ddztgz
2/
0 2/32
2
2)(sec
)(sec
2
ˆ
daI
H
022
ˆ
2
ˆ
cos2
ˆ
)sec(2
ˆ
2/
0
2/
0
2/
0
sensenaI
HsenaI
H
daI
HdaI
H
a
IH
2
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• Lei de Biot-Savart
y
z
12ˆ4
cosˆ4
2
1
sensenaI
H
daI
H
x
2
1
Para o caso em que o elemento de corente seja finito:
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• Lei de Biot-Savart
Exemplo 2:O campo magnético produzido por uma espira de corrente I a uma distância perpendicular z do plano da espira.
r
IdL
dH
I
x
y
z
z rr
dld
dald
ddl
ddl
ˆ
22
22
ˆˆˆ
ˆˆ
z
aza
r
ra
zr
azar
zR
z
Aplicando a lei de Biot-Savart
2
02/3222
)ˆˆ(ˆ
44
ˆ
z
azaadI
r
alIdH zR
2
0
2
02/322
2
02/322
ˆˆ4
)ˆˆ(
4dazda
z
I
z
azadIH z
z
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• Lei de Biot-Savart
2
0
2
02/322
2
02/322
ˆˆ4
)ˆˆ(
4dazda
z
I
z
azadIH z
z
0 (zero)Pois a soma vetorial em torno do plano xy é nula. za
z
IH ˆ
4
22/322
2
2
zaI
H ˆ2
No centro da espira quando z=0
Observa-se que o campo magnético é sempre perpendicular ao plano da espira e no eixo de simetria, ou seja, eixo central.
zaz
IH ˆ
22/322
2
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• Lei Circuital de Ampère
Análoga à Lei de Gauss, a Lei circuital de Ampère permite o cálculo de campos magnéticos para casos de simetria.
Esta lei estabelece que a integral de linha de H em qualquer percurso fechado é exatamente igual a corrente enlaçada pelo percurso.
enlIldH
Corrente envolvida pelo percurso.
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• Lei Circuital de Ampére
Exemplo 1:O campo magnético a uma distância r de um filamento que conduz uma corrente estacionária I.
rfdl H
I
x
y
z IldH
rdf dl
dald
ddl
ddl
ˆ
2
2
ˆ
2
0
IH
IH
IdH
IdaH
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Exemplo 2: Verificação da validade da lei de Ampère.Lei de Ampère aplicada a uma espira circular de raio r que conduz uma corrente estacionária I.
• Lei Circuital de Ampère
r
dl
I
x
y
z
z
D C
BA
dl
dl
dl
IldH
z
z
x
x
Lei de Ampère
H
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• Lei Circuital de Ampère
A
D
D
C
C
B
B
A
ldHldHldHldHldH
Lei de Ampère
Os lados AB, BC e CD possuem campos desprezíveis.
0 D
C
C
B
B
A
ldHldHldH
Restou o caminho DA. Lembrando que dl=dzaz.
dzaHldH zˆ
Utilizando o resultado de H da espira calculado no Exemplo 2 de lei de Biot-Savart:
zaz
IH ˆ
22/322
2
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• Lei Circuital de Ampère
2/322
2 ˆˆ
2 z
dzaaIldH zz
É uma integral de resolução
trigonométrica.
2/3
2
2
12
z
dzI
y
z
z )(sec1)(
)(sec)(
22
2
tg
ddztgz
2/
2/
2/
2/
2/
2/2/32
2
cos2sec2sec
sec
2
dIdIdI
II
sensenI
senI
)11(
22222
2/
2/
Provado a Lei de Ampère!!!!! IldH
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• Lei Circuital de Ampère
Para que se satisfaça a Lei de Ampère é necessário que se satisfaça as seguintes condições:1. Para cada ponto do circuito, H deve ser tangencial ou normal
ao percurso.2. H possui o mesmo módulo em todos os ponto ao longo do
percurso onde é tangencial.
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• Lei Circuital de Ampère
Para o percurso de raio r onde a<r<b:
I é uniforme para o condutor central;-I é uniforme para o condutor externo.
2
IH
Se r<a então: 2
2
aIIenl
Onde a corrente calculada é:2
2
aJI
JI
AdJI
enl
enl
2
2
aJ
J
I
Ienl
2
2
a
IIenl
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• Lei Circuital de Ampère
Para r<a: 2
2
22 a
IIH enl
22 a
IH
Se r>c a corrente total é nula e portanto .0H
Finamente se b<r<c:
´IIIenl )(
)(´22
22
bcJI
bJI
)(
)(´
)(
)(´
22
22
22
22
bc
bII
bcJ
bJ
I
I
)(
)(
)(
)(1
)(
)(´
22
22
22
22
22
22
bc
cII
bc
bI
bc
bIIIII
enl
enl
)(
)(
2
2
22
22
bc
cIH
IH enl
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• Lei Circuital de Ampère
Corrente elétrica que flui sobre uma superfície.
z
x
yna
ld
ld
ld
L0 L
1xHld
1 1’
2 2’
3 3’
2xH
zyaKK ˆ
enlIldH
Partindo da Lei de Ampère e utilizando o caminho :
1-1’-2’-2-1.
LKLHLH
dlHdlHldH
yxx
L x
L
x
)0()0( 21
0
20 1
yxxyxx KHHLKLHLH 2121
0z 0z
Para o caminho: 3-3’-2’-2-3.
yxx KHH 23
13 xx HH
O campo magnético possui mesmo módulo tanto acima como abaixo da lâmina e possuem sentidos opostos.
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• Lei Circuital de Ampère
Matematicamente: 12 xx HH 2
2 yxyx
KHKH
02
1
02
1
zKH
zKH
yx
yx Considerando-se o vetor unitário aN
vetor normal à superfície, pode-se determinar o campo magnético pela seguinte expressão.
NaKH ˆ2
1
Colocando-se uma segunda superfície com corrente em sentido oposto tem-se:
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• Lei Circuital de Ampère
K1 = -Ky ay
K2 = -Ky ay
Hx1 (z < -d/2 )
Hx1 (-d /2 < z < d/2 )Hx2 (-d /2 < z < d/2 )
Hx2 (z < -d/2 )
Hx1 (z > d/2 )Hx2 (z > d/2 )
H = K x aN (-d/2 < z < d/2 )
Entre os planos de corrente elétrica os campos magnéticos, produzido por cada conjunto de filamentos, se somam vetorialmente.
Acima ou abaixo, externamente aos planos, o campo total é nulo
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• Lei Circuital de Ampère
Aplicação da Lei de Ampère a um solenoide infinitamente longo de raio a e densidade de corrente K=Kaaf.
IldH
zHld
a
b
c
dld
ld
ld
ld
IldHldH
ldHdlHldH
a
d
d
c
c
b
b
a z
0
00
LKLHdlHldH az
b
a z
zaaKH ˆ
a0H
a
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• Lei Circuital de Ampère
Solenoide formado de n espira e comprimento d e raio a. O procedimento de cálculo e semelhante ao caso anterior a despeito da corrente filamentar.
IldH
IldHldH
ldHdlHldH
a
d
d
c
c
b
b
a z
0
00
zH
c
dld
ld
ld
ld
a
b
nidHdlH z
b
a z zad
niH ˆ No interior do solenoide. É
bom lembrar que este resultado é aproximado.
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• Lei Circuital de Ampère
Campo magnético produzido pelos tóroides.
aa
KH a ˆ0
No interior do toróide.
a
niH ˆ
2
Externamente o campo magnético para ambos os casos é nulo.
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Lembrando a Lei de Ampère:
• Lei Circuital de Ampère na Forma Pontual
enlIldH
Corrente enlaçada.
Ad
ld
Circulação de H
A
AdJldH
A
AdFldFLembrando o Teorema de Stokes.
AA
AdJAdH
JH
2ª equação de Maxwell aplicada à condições estáticas.
É possível chegar à mesma conclusão partido da Lei de Biot-Savart. Isto fica como exercício para os alunos.
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• Lei Circuital de Ampère na Forma Pontual
Nas mesmas condições
0ldE 0 E
Portanto 3ª equação de Maxwell
aplicada à condições estáticas.
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