O Pêndulo de Torção
Suspensão por Barra de Torção
Ponteiro, disco suspenso por fio metálico e recipiente com líquido o viscoso.
2
2
dt
dI
dt
dLzz
Torque de um disco.
kfioz Torque do fio.
Torque.
Para pequenas oscilações vale a lei de Hooke F = -k xNeste caso o atrito viscoso é com o ar e será desprezado.
kI
)tcos()t( max 0
I
k0
Freqüência angular para oscilações livres.
Robert Hooke
)tcos(A)t(
)t(senAdt
)t(d
)tcos(Adt
)t(d
22
2
)t(kdt
)t(dIkI
2
2
)tcos(kA)tcos(IA 2
kI 2
Vamos testar uma solução com a função cosseno!
Solução da equação do movimento:
Derivamos a função cosseno.
Substituimos na equação:
Obtemos a relação: A solução final será:
)tI
kcos()t( max
Para t=0 a constante A =max
Medida da constante elástica do fio.
I
k
T
00
2
2
0
02
2
TIk
TIk
Freqüência angular com dissipação desprezível.
Propagação dos erros na determinação de k.
Oscilações livres com amortecimento viscoso proporcional a velocidade angular.
kbI
)tcos(e)t( tmax 1
2
11 2
2
I
b
I
k
T
dt
db.visc
z
Torque da força viscosa
Freqüência angular com dissipação viscosa.
I
b
2 é o atrito viscoso.
)t(kdt
)t(db
dt
)t(dIkbI
2
2
xtAxedt
)t(d
xteAxdt
)t(d 22
2
xtAe)t(
xtxtxt kAebAxeeIAx 2
02 kbxIxI
k
I
b
I
bx
2
22
Vamos testar uma solução com a função:
As suas respectivas derivadas são:
Que, substituídas na equação resulta:
Solução da Equação do Movimento com Atrito Viscoso
a solução para x será:
tI
b
I
ki
I
b
eAe)t(
2
22
tI
k
I
b
I
b
Ae)t(
2
22
I
k quemenor muito é
I
b2
2
2
21
I
b
I
k
2
112
titiI
bee
Ae)t(
A solução fica na forma:
Mas! então o termo da raiz é complexo!
Escrevendo a raiz na forma:
Uma solução parcial será:
Observe que temos duas soluções possíveis!
e fazendo:
I
b
2
)tcos(e)t( max 1
2
21
I
b
I
k
A solução final tem a forma:
O termo de atrito viscoso é:
2
11
1
titi eetcos
Usando-se a relação de Euler:
A freqüência angular desta oscilação será:
Obs.: Algumas aproximações e simplificações na busca da soluçãoda equação do movimento com atrito viscoso foram feitas e devemser discutidas com o seu professor de teoria.
21
20
112
TT
A determinação de gamaLembre-se! Aqui a função exponencialdescreve apenas a dissipação do sistema.
Atenção! O termo exponencial não corresponde a função envoltória da função cossenoidal!
2
11 2
2
I
b
I
k
T
I
k
T
00
2
Revendo o caso não amortecido e amortecido crítico.
)tcos(e)t( tmax 1
)tcos()t( max 0
I
b
2