O ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA POR MEIO DA HISTÓRIA: O despertar da Álgebra.
Rosana Cristina Rocha1
Profª ª Drª. Lucieli Maria Trivizoli2
Resumo
O presente trabalho objetivou a implementação de uma Proposta Pedagógica no Colégio Estadual Engenheiro José Faria Saldanha, no município de Munhoz de Mello PR. O estudo visou apresentar uma possibilidade metodológica para o ensino da álgebra por meio do uso da história da matemática, vendo nesta estratégia condições para que haja uma aprendizagem mais significativa do aluno. Optamos pela Álgebra por ser um conteúdo onde os alunos apresentam dificuldades relacionadas ao pensamento algébrico, conteúdo este que está presente em todos os programas curriculares. Sendo assim, a partir de estudos bibliográficos referentes à história da Álgebra, propomos desenvolver atividades pedagógicas que englobam a história do desenvolvimento algébrico, levando os alunos do 7º ano do Ensino Fundamental de uma escola da Rede Pública do Estado do Paraná a construir o conhecimento algébrico de forma que permita reflexões, análises, investigações e generalizações, proporcionando aos alunos o desenvolvimento de uma aprendizagem mais significativa e relevante. Palavras chaves: História da Matemática. Álgebra. Aprendizagem Significativa.
INTRODUÇÃO
A Álgebra é um dos ramos da Matemática que está presente em todos os
programas curriculares e consideramos ser um conteúdo onde os alunos
apresentam dificuldades na compreensão de problemas que envolvam pensamentos
algébricos. Muitas vezes, podemos identificar que o processo algébrico que o aluno
desenvolve torna-se mecânico em determinados momentos, e ele passa a usá-lo
sem compreender seu significado conceitual e sem estabelecer relações importantes
que as ideias algébricas envolvem.
Durante a trajetória escolar no ensino fundamental, os alunos se deparam
com o ensino de álgebra ocupando quase todo o tempo das aulas de matemática do
1Professora da Rede Estadual de Ensino do Paraná. Aluna pelo Programa de Desenvolvimento
Educacional – PDE. 2Orientadora. Professora Adjunta do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de
Maringá-UEM.
7º ano até o 9º ano, e lamentavelmente apenas uma pequena parte do conteúdo
parece ser apreendida pelos alunos.
No 7º ano a álgebra é apresentada utilizando letras para representar
números, surgindo uma nova linguagem. Nesta série o trabalho é dirigido às
equações, as letras são apreendidas e apresentadas com o objetivo de se referir a
um valor numérico desconhecido (incógnitas) ou para representar quantidades que
variam(variáveis). Percebemos que os alunos enfatizam a resolução isolada sem
qualquer contextualização passando despercebida a interpretação e a sua utilidade,
ignorando a formação da ideia de generalizações, abstrações e relações algébricas
e o conceito de variável em suas formas.
Diante dessas preocupações sobre as dificuldades dos alunos, sentimos a
necessidade de compreender o que é álgebra e quais são as suas funções para
buscarmos uma estratégia que nos permita proporcionar uma sequência significativa
na aprendizagem dos conceitos. Acreditamos que a história da matemática nos
permite conhecer aspectos históricos e filosóficos dos conceitos matemáticos e que
ela nos auxilia a tentar superar certas dificuldades de aprendizagem ao enfatizar
aspectos socioeconômicos, políticos e culturais da matemática ao invés da forma
desarticulada como é feita no ensino de álgebra atualmente.
Além disso, a história pode promover uma aprendizagem significativa, pois
propicia ao estudante entender que o conhecimento matemático é construído
historicamente a partir de situações concretas e necessidades reais como afirma
Miguel e Miorim (2004), levando o aluno a compreender a natureza da Matemática e
sua relevância na vida da humanidade.
1ALGUNS ASPECTOS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E DA HISTÓRIA DA
ÁLGEBRA
A matemática muitas vezes é considerada uma ciência exata, sendo a
abstração uma de suas características e tendo como um dos principais objetivos a
formação de conceitos de uma linguagem específica. Porém, sabemos que ela foi
construída a partir das necessidades da humanidade e de sua interação com o meio,
necessidades essas de contar, dividir terrenos, calcular área,organizar territórios,
etc.
O homem teve que aprender a contar e começou com a contagem simples
para auxiliar nos seus afazeres. Inicialmente, os homens faziam suas contagens
verbalmente e, além dos números falados, começaram a usar números digitais
(representados através dos dedos). Logo depois eles viram a necessidade de
registrar suas ideias a fim de efetuar contagens mais extensas.
Perto do final da Idade da Pedra ocorreu a criação da escrita: era necessário
registrar a época das enchentes e secas mantendo anotações escritas para ajudar
na produção agrícola. Com a agricultura se desenvolvendo os povos procuravam
lugares apropriados para o plantio.Os rios Nilo, na África, o Tigre e o Eufrates, na
Ásia Ocidental, são exemplos de rios que tornavam os solos às suas margens férteis
após as enchentes, exigindo um desenvolvimento tecnológico para um melhor
aproveitamento dessas terras, sendo assim pode se dizer que a matemática originou
da prática para auxiliar as atividades ligadas à agricultura.
A própria História da Matemática mostra que ela foi construída como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por problemas de ordem prática (divisão de terras, cálculo de créditos),por problemas vinculados a outras ciências (Física,Astronomia), bem como por problemas relacionados a investigações internas à própria matemática. (BRASIL,1998, p.40).
Ao pensar em álgebra vem à mente as fórmulas, equações e manipulações
de símbolos relacionados a números e letras, porém ela é muito mais que um jogo
de regras e símbolos. Segundo Berlinghoff e Gouvêa(2010, p.117) “um problema
algébrico, independentemente de como é escrito,é uma questão sobre operações
numéricas e relações nas quais uma quantidade desconhecida deve ser deduzida
de quantidades conhecidas”.
A palavra álgebra apareceu no século IX, escrito por Mohammed
EbnmusaAL-Kwarizmi por volta 825 d.C. e deriva da expressão al-jabr que significa
transposição ou seja, adicionar termos iguais aos dois lados de uma equação.
Porém, essa expressão só começa a ser usada a partir do século XI,quando foi
traduzida para o latim.
Segundo Eves (2008, p.61) perto do ano 2000 a.C a aritmética babilônica já
havia evoluído para uma álgebra retórica bem desenvolvida.
Os egípcios também traziam algum simbolismo em sua álgebra, isso por volta
de 1650 a.C, sendo encontrados no papiro Rhind alguns exemplos de símbolos para
os sinais de mais e menos e também símbolos para o sinal de igual e para a
incógnita.
As letras que utilizamos atualmente são recentes na história da matemática,
elas apareceram para auxiliar os cálculos propostos, facilitando a compreensão e
interpretação da resolução de problemas, todavia não foi sempre assim, os símbolos
algébricos mais antigos eram abreviações de palavras, elas economizavam tempo
de escrita e espaço, porém não havia um entendimento mais profundo das ideias
que expressavam.
Uma boa notação matemática é muito mais do que uma abreviação eficiente. Idealmente, ela deveria ser uma linguagem universal que esclarecesse ideias, revelasse padrões e sugerisse generalizações. Se inventarmos uma notação realmente boa, algumas vezes ela parece pensar por nós: alcançamos resultados apenas manipulando a notação. Nossa notação algébrica corrente está próxima do ideal, mas seu desenvolvimento foi longo, lento e, algumas vezes,confuso (BERLINGHOFF E GOUVÊA, 2010, p.118).
Hoje percebemos a dificuldade que os alunos têm em apropriar-se dessa
linguagem matemática (álgebra) ao nos deparamos com questões tais como: “Para
que estudar isso?”, “Para que serve este conteúdo?”, “Onde vamos utilizá-lo em
nosso dia a dia?”, entre outras.
Algumas metodologias têm sido pesquisadas e utilizadas a fim de auxiliar a
aprendizagem do aluno, dentre elas temos os Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCNs) que sugere como metodologias: a Resolução de Problemas, a História da
Matemática, as Tecnologias da Informação e os Jogos.
Destacamos a História da Matemática por ver nela a possibilidade de
propiciar um conhecimento que permite elaborar uma abordagem pedagógica que
auxilie no processo da construção, agindo como um elemento fundamental na
elaboração do conhecimento, na criação das situações problemas e na busca da
compreensão dos seus conceitos.
Com o uso da história, o aluno poderia reviver as descobertas matemáticas, o
que permitiria aumentar sua compreensão no que concerne ao conteúdo trabalhado,
ao invés de aceitá-lo memorizando-o.
Somente através de um conhecimento aprofundado e global de nosso passado é que poderemos entender nossa situação no presente e, a partir daí, ativar nossa criatividade com propostas que ofereçam ao mundo todo um futuro melhor. (D‟AMBROSIO, 2007, p.113)
Além disso, a história ajudará o aluno a perceber que a matemática não é
uma ciência isolada dos demais saberes.
Podemos entender ser possível buscar na história da Matemática apoio para atingir, com os alunos, objetivos pedagógicos que os levem a perceber, por exemplo: (1)a matemática como uma criação humana; (2) as razões pelas quais as pessoas fazem matemática; (3) as necessidades práticas, sociais, econômicas e físicas que servem de estímulo ao desenvolvimento das idéias matemáticas; (4) as conexões existentes entre matemática e filosofia, matemática e religião, matemática e lógica, etc.; (5) a curiosidade estritamente intelectual que pode levar à generalização e extensão de ideias e teorias; (6) as percepções que os matemáticos têm do próprio objeto da matemática, as quais mudam e se desenvolvem ao longo do tempo; (7) a natureza de uma estrutura, de uma axiomatização e de uma prova(MIGUEL E MIORIM, 2004, p.53).
A importância do uso da história no ensino de matemática, segundo Fauvel,
justifica-se pelos seguintes fatos:
1)A história aumenta a motivação para a aprendizagem da matemática; 2)Humaniza a matemática; 3)Mostra seu desenvolvimento histórico por meio da ordenação e apresentação de tópicos no currículo; 4)Os alunos compreendem como os conceitos se desenvolveram;5)Contribui para as mudanças de percepções dos alunos com relação à matemática, e 6)Suscita oportunidades para a investigação em matemática. (FAUVEL, apud BRITO E MENDES, 2005, p.9)
Com base nestes autores, pode-se ter na História da Matemática um
instrumento que auxilia o educador a desempenhar com eficiência seu papel no
processo de ensino e aprendizagem.
Proporcionar ao educando o conhecimento histórico, fazendo-o vivenciar as
necessidades do surgimento deste conhecimento, permite, além de compreender a
importância do conteúdo matemático, perceber que a matemática não surgiu pronta
e acabada advinda de algum pesquisador, masque ela é resultante de uma
necessidade histórica, social e cultural.
2A ABORDAGEM PEDAGÓGICA NA ESCOLA
Iniciamos nosso trabalho na escola divulgando o projeto de ação, onde
apresentamos uma metodologia quenos leva a conhecer aspectos históricos e
filosóficos dos conceitos matemáticos e nos auxilia a superar dificuldade de
aprendizagem ao enfatizar aspectos socioeconômicos, políticos e culturais da
matemática ao invés da forma desarticulada, como geralmente é feita no ensino de
álgebra atualmente.
Inicialmente apresentamos slides sobre a história da equação do 1º grau,
onde os alunos tiveram a oportunidade de conhecer melhor o processo pelo qual as
equações foram passando até chegarem à forma que conhecemos hoje. Esse
processo foi utilizado pelos hindus em certas competições públicas, em que cada
competidor apresentava um problema para o outro resolver.Apesar dos problemas
apresentados naquelas competições terem um caráter „matemático‟, não eram
utilizados nenhum tipo de símbolo como os que utilizamos hoje (+, - , x, :, entre
outros).Os poucos competidores que conseguiam resolver tais problemas eram
considerados sábios e em alguns casos demoravam dias e até meses para
encontrarem as respostas.
Hoje utilizamos uma linguagem algébrica que facilita a escrita e a
compreensão dos problemas e que nos ajudam a representá-los matematicamente.
Depois de apresentados os slides, a turma foi dividida em grupo para resolver
alguns problemas, como:
“Um aha mais 8 unidades é 19. Qual o valor de aha?”3
Foi pedido para que os alunos fizessem anotações do processo que eles
utilizaram para chegarem ao resultado de cada problema.Em seguida, cada grupo
apresentou a sua resolução na lousa.
O seguinte problema,também retirado do papiro Rhind, foi apresentado para
os alunos:
“um aha mais a sétima parte de aha é 19. Qual o valor de aha?”
Para este problema, os alunos apresentaram muita dificuldade precisando da
intervenção da professora.
Para finalizar a atividade, levantamos questionamentos do tipo: O que todas
essas resoluções tinham em comum? Como podemos representar o aha hoje?
Quais as dificuldades que vocês encontraram para resolver os problemas?Por que o
homem precisa das equações?O que é uma equação?Com base nas respostas dos
alunos a professora foi registrando no quadro as principais características de uma
3 Esse problema é semelhante a modelos que há no papiro Rhind.
equação percebida pelos alunos, fazendo, assim, uma relação entre as ideias
apresentadas para e construir a formalização de como seriam as equações e as
resoluções usando a linguagem algébrica atual.
Por fim foi entregue uma ficha, para que cada aluno escrevesse sua
conclusão referente ao significado e características de uma equação. E para a
surpresa da professora 90% dos alunos disseram que numa equação temos letras
(incógnitas) que são os valores desconhecidos e o sinal de igualdade. Disseram que
equações são muito importantes, pois facilitam o entendimento do cálculo e dos
problemas que envolvem certas situações.
Continuando o trabalho exploramos a parte histórica da álgebra através de
slides, onde foi relatado sobre o aparecimento da palavra álgebra, e que a mesma
foi escrita por Mohammed ebn-musa Alkwarizmi por volta 825 d.C. e deriva da
expressão al-jabr que significa adicionar termos iguais aos dois lados de uma
equação, demonstrando, assim, o fato de que tanto as equações do 1o grau quanto
as balanças estão associadas ao equilíbrio ou igualdade de quantidades.
Após breve exploração da história, os alunos foram levados para o laboratório
de informática da escola, onde puderam acessar o software “Resolvendo Equações
através da balança”. Os alunos foram organizados em duplas, pois não havia
computadores suficientes para todos.
Figura 1: balança Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?
Os alunos se mostraram motivados na realização da atividade. Foram
inventando símbolos para representar suas anotações: a maioria desenhou a própria
balança, porém, apareceram desenhos como equilibristas ou duas mãos segurando
objetos etc. Eles conseguiram compreender com facilidade cada questionamento
feito pela professora como:
“Depois de colocarem os seis tomates na balança o que aconteceu com a
mesma? - O que fazer para que ela volte a ficar equilibrada?,Que prato ficará na
posição mais alta se colocarmos 3 tomates no primeiro prato e 5 tomates no
segundo? O que devemos fazer para que a balança fique em equilíbrio?”.
Isto ficou bem claro com o preenchimento da tabela a seguir:
Tabela 1:. Fonte:http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=254
Após o preenchimento da tabela acima, foram realizados os seguintes
questionamentos:
Uma balança tem 5 tomates no primeiro prato e 5 no segundo prato. O que
acontecerá quando:
- Retirarmos um tomate do primeiro prato?
- Retirarmos 2 tomate de cada prato?
- Acrescentarmos dois tomates ao segundo prato?
- Acrescentarmos 2 tomates a cada prato?
- Multiplicarmos por 3 os tomates do primeiro prato?
- Multiplicarmos por 3 os tomates dos dois pratos ?
A ideia de direcionar as discussões foi no sentido de fazê-los concluir que, ao
trabalhar com os termos “retirar”, “acrescentar” e “multiplicar”, precisavam pensar
sobre „O que fazer para que a balança volte a ter equilíbrio?‟. Com isso, esperava
seque a turma percebesse, por exemplo, que a divisão é a operação inversa da
multiplicação.
Durante os questionamentos realizados pela professora, ficou claro que os
alunos perceberam que ocorria operação inversa em relação a adição e subtração,
porém, quando se tratava da multiplicação e divisão eles não conseguiamter a
mesma clareza, pois, não conseguiam perceber que para igualar a balança mesmo
se tratando da operação de multiplicação e divisão, era apenas realizar a operação
inversa daquela aque se referia o questionamento.Trabalhando da mesma maneira
em que eles estavam fazendo quando se tratava da adição e subtração,
percebemos então, que a maior dificuldade dos alunos era de realizar a operação e
não a interpretação da atividade. Esta dificuldade não aparecia, por exemplo, na
adição e subtração, já que eles possuem total domínio sobreessas operações.
Esta atividade finalizou-se com a continuação de slides sobre “História da
Álgebra”, nos quais comentava-se sobre a contribuição que al-Khowarizmi deu à
matemática, porém, al-Khowarizmi não conseguiu expressar as equações totalmente
em símbolos. Isso só aconteceu 700 anos depois, quando França e Espanha
estavam em guerra e os franceses e espanhóis usaram códigos em suas
mensagens para que seus planos não fossem descobertos. Os slides também
apresentaram sobre a contribuição de Fraçois Viéte em decifrar os códigos secretos
das mensagens espanholas durante a guerra. Sua contribuição foi de fundamental
importância para a matemática ao introduzir os símbolos na matemática,
substituindo palavras por símbolos, representando a incógnita por vogal, a palavra
„mais‟ pelo símbolo „p‟ e a palavra „menos‟ por „m‟, e mais tarde adotou o símbolo de
+ para substituir p e o símbolo – para substituir m, etc. Devido às suas contribuições,
Viéte ficou conhecido como o “Pai da Álgebra”.
Para a atividade seguinte, a turma foi dividida em equipes com quatro alunos,
e cada equipe recebeu uma ficha contendo um problema escrito utilizando o termo
„coisa‟ para representar a incógnita,por exemplo: “Cinco coisas adicionadas a nove
coisas resultam em vinte e oito. Quanto vale cada coisa”, e ainda expressões como
adicionando, tirando, acrescentando, entre outras para representar a soma e
subtração.
Foi solicitado que cada equipe reescrevesse o problema adotando símbolos
para representar a incógnita, as operações e a igualdade. Depois que todos
terminaram de reescrever a equação, a professora expôs no quadro as equações
escritas por cada uma das equipes afim de que os demais alunos tentassem decifrar
os problemas propostos.
A turma apresentou dificuldades na reescrita da atividade, pois se
atrapalharam com os termos, já que as mesmas não tinham costume de utilizá-las
em seu dia a dia, precisando assim da intervenção mais direta da professora. A
partir daí, a professora comentou sobre a necessidade da adoção universal de uma
única simbologia.
Foi também apresentado para a classe que,historicamente,a evolução da
álgebra ocorreu de forma lenta e com vários contratempos, pois além de serem
usados vários símbolos para um mesmo objetivo,muito ainda era apresentado de
forma escrita.Al-Khwarizmi utilizou a palavra „coisa‟, em seu livro Al-jabr, para
representar um valor desconhecido, e depois disso, muito da produção matemática
apresentava o termo„coisa‟ para representar a incógnita numa equação
matemática.Com o tempo e a necessidade de facilitar a escrita vários matemáticos
em momentos diferentes foram formalizando a notação com a utilização de
símbolos.
Dessa maneira, a partir dessas informações, ficou mais visível a necessidade
de uma utilização universal da simbologia matemática.
A atividade seguinte trabalhou também com a história das Olimpíadas.
Iniciou-se com uma discussão sobre a classificação dos países e contagem das
medalhas, para saber qual o entendimento da classe referente ao assunto medalhas
e pontuação:
“Qual país obterá melhor classificação nas Olimpíadas: aquele que conquista
três medalhas de ouro e uma de prata ou aquele que consegue oito medalhas de
bronze?”
Após a discussão sobre as opiniões dos alunos acerca do questionamento
anterior, foi proposto que a turma se organizasse em grupos com quatro integrantes
e realizassem a seguinte atividade: cada grupo deveria escolher um dos países para
representar. Numa cartolina, deveriam construir uma tabela correspondente ao país
escolhido e preencher os campos das duas últimas colunas da tabela “QUADRO DE
MEDALHAS CONQUISTADAS”.
Para preencher a coluna “PONTUAÇÃO DE CADA MEDALHA”, bastava
atribuir uma quantidade de pontos a cada tipo de medalha e para preencher a
coluna “TOTAL”, era preciso calcular a pontuação final do país correspondente.
QUADRO DE MEDALHAS CONQUISTADAS
PAÍS OURO PRATA BRONZE TOTAL DE
MEDALHAS
PONTUAÇÃO
DE CADA
MEDALHA
TOTAL
Tabela 2: Quadro de medalhas
Cada grupo fixou sua tabela no quadro negro e expôs suas soluções com os
devidos cálculos. Como os grupos atribuíram valores diferentes para cada tipo de
medalha (ouro, prata e bronze) discutimos sobre a impossibilidade de estabelecer
um ranking com pesos diferentes para cada medalha, e então estabelecemos uma
pontuação única para cada tipo de medalha e organizamos um novo ranking dos
países em questão. Com o objetivo de formalizar a ideia de “premiação” utilizada em
competições de um modo geral, foi proposto o seguinte questionamento:
“Considerando os aspectos abordados no estabelecimento do ranking no
momento anterior, é possível um país com nenhuma medalha de ouro ficar mais
bem colocado do que um país com uma medalha de ouro?”
Dessa maneira, também foi acordado que no ranking oficial das Olimpíadas o
valor de uma medalha de ouro não é superado por qualquer quantidade de
medalhas de prata ou de bronze.
Os alunos perceberam que da forma como eles fizeram era diferente da
maneira realizada nas olimpíadas atuais, pois, não possui uma regra fixa para seus
valores em relação a cada medalha, sendo assim, entenderam a necessidade de se
unificar valores para as medalhas de ouro, prata e bronze.
Então foi pedido para que eles fixassem um valor para cada medalha e
resolvessem novamente cada tabela. Neste momento, os estudantes não
apresentaram dificuldade na realização da atividade.
Quando foi proposta uma nova atividade contendo valores em que eles teriam
que encontrar o valor desconhecido da medalha de bronze, alguns alunos não
conseguiram chegar à resposta desejada, outros realizaram a atividade
mentalmente, sentindo dificuldade apenas quando tiveram que escrever os passos
para chegar ao resultado.
A seguir, foi feita uma competição envolvendo problemas históricos,
questionários e pesquisas, na qual a turma estava dividida em equipes com seis
alunos. Nesta competição, foram trabalhadas cinco atividades.
Na primeira atividade os alunos assistiram ao vídeo “O homem que
calculava”4. Logo após assistir ao vídeo foi entregue para cada equipe uma folha
impressa com o problema: “3 irmãos devem dividir 35 camelos da seguinte forma; 1
deles deverá receber metade dos camelos, o outro 1/3 e o último 1/9”.
Por conter frações no problema os alunos ficarem inseguros na hora da
resolução, optando por resolvê-lo através da tentativa e erro.
Para completar essa atividade, os alunos receberam um questionário sobre
Malba Tahan, no qual realizaram pesquisa na internet para respondê-las. Nesse
questionário os alunos verificaram que Malba Tahan era um professor de
matemática brasileiro, que seu nome verdadeiro era Júlio Cesar de Melo e Souza e
que seu livro mais famoso é intitulado “O Homem que calculava”.
Na segunda atividade foi passado o vídeo: “Diofante de Alexandria”5,, logo
após, os alunos receberam um problema. Esta atividade deveria ser realizada em
casa, com base em pesquisas e ajuda dos pais. Problema:No túmulo de Diofante
estava escrito o seguinte enigma:
“Caminhante! Aqui foram sepultados os restos de Diofante. E os números
podem mostrar – oh, milagre – quão longa foi a sua vida, cuja sexta parte
constituiu sua formosa infância. E mais um duodécimo pedaço de sua vida
havia transcorrido quando de pelos se cobriu o seu rosto. E a sétima parte de
sua existência transcorreu em um matrimônio sem filhos.Passou um
quinquênio mais e deixou-o muito feliz o nascimento de seu primeiro filho, que
entregou à terra seu corpo, sua formosa vida, que durou a metade da de seu
pai. E com profundo pesar desceu à sepultura, tendo sobrevivido apenas
quatro anos ao descenso de seu filho. Diga-me: quantos anos viveu Diofante
quando lhe chegou a morte?”
Somente uma equipe apresentou a resolução através de equações,
conseguindo argumentar corretamente a resposta. As outras equipes não
4 Disponível em <http://rafaelnink.com/blog/2009/06/30/video-o-homem-que-calculava/>.
5 Disponível em <http://www.youtube.com/watch?v=f1CxBY4eQGk>.
encontraram a resposta ou apresentaram a resposta através de operações, sem
utilizar a álgebra, apresentando dificuldades em sua argumentação. .
Na terceira atividade da competição, as equipes receberam um problema
originário do Manuscrito de Bakhshali:
“Oh sábio homem! Um certo rei deu a cinco cavaleiros 57 moedas. Cada
pessoa, por ordem, obteve o dobro e mais uma moeda do que o seu
antecessor. Quanto é que obteve o primeiro e cada um dos outros?”
Nesta etapa os alunos já estavam mais familiarizados com as equações, se
tornando mais simples a resolução algébrica, as equipes conseguiram realizá-la com
clareza.
Juntamente com o problema foi entregue também o questionário que
verificava conhecimentos sobre o manuscrito que foi encontrado na Índia,
aproximadamente entre o séc. III até o século XII d.C.O manuscrito foi descoberto
por um agricultor em algumas ruínas perto da aldeia de Bakhshali.
Na quarta atividade da competição, os alunos puderam perceber que
Bhaskara, um matemático hindu, redigia problemas de forma poética. Veja um
desses problemas:
“De um enxame de abelhas pretas, a raiz quadrada da metade voou para um
jasmineiro e oito nonos das abelhinhas ficaram para trás. Sobraram duas,uma
femeazinha voando em torno de uma flor de lótus, cuja fragrância acabou
capturando um zangão, que lá ficou a zunir. Então, diga-me tão encantadora garota,
quantas abelhas havia no enxame todo?”
Foi pedido para que as equipes elaborassem um problema poético em que
trouxesse um enunciado onde houvesse um número a ser descoberto.
Cada equipe apresentou seu problema com a devida solução. Não
encontraram dificuldade nesta atividade.
O quinto desafio consistia em resolver quatro problemas que poderiam ser
representados por uma equação e deveriam resolvê-los no menor tempo possível e
corretamente.
Para a realização das atividades durante a competição, foi utilizada a sala de
aula e o laboratório de informática, conforme a necessidade de cada atividade.
Todas as equipes cumpriram as tarefas propostas.
Os alunos participaram ativamente das atividades, encontraram algumas
dificuldades na resolução das mesmas, nem sempre chegaram à resposta correta,
porém, na maioria das vezes os argumentos utilizados pela equipe estavam dentro
do contexto, faltando apenas concluir a resposta. Podemos citar que também houve
participação da família na resolução de alguns problemas que foram levados para
casa para serem resolvidos.
Ao término da competição explicamos que independentemente da colocação
de cada equipe, todos os alunos ganharam, pois, todos aprenderam, apresentando
assim o resultado à classe.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho faz parte das atividades desenvolvidas no Programa de
Capacitação – PDE do governo do Paraná e favoreceu a realização de um trabalho
por meio do uso da história da matemática, vendo nesta estratégia condições para
que haja uma aprendizagem mais significativa do aluno.
A melhoria do ensino da Matemática envolve um processo de diversificação
metodológica. A proposta inicial era a de investigar a aplicação de atividades por
meio do uso metodológico da história da matemática. Verificou-se que, apesar de ter
sido necessário dispensar uma carga horária grande para o desenvolvimento do
trabalho, os alunos apresentaram maior interesse e disposição para a resolução das
atividades propostas, todas as aulas eram esperadas com ansiedade. Além disse,
percebeu-se didaticamente uma construção gradativa dos conceitos elaborados e
estabelecido pelos próprios alunos, o que fez com que sentissem inseridos na
construção teórica, não mais apenas meros espectadores.
A primeira parte das atividades, que tratavam da necessidade de se estipular
uma nomenclatura comum, que pudesse ser utilizada sempre que houvesse a
necessidade de se referir a um termo desconhecido, foi recebida naturalmente pelos
alunos, a introdução do termo “x”.Não trouxe inquietação nem mesmo insegurança,
normalmente percebidos quando apresentado tal conteúdo nos moldes
apresentados na maioria dos livros didáticos.
A utilização da operação inversa para solução de uma equação também
parece ter sido apreendida pelo aluno, apesar de no início as crianças apresentarem
dificuldades em compreender que a operação inversa da multiplicação é a divisão, e
a da divisão é a multiplicação, com o decorrer das atividades propostas os alunos se
mostraram receptivos, e as atividades que tratavam das balanças ajudaram a
consolidar os novos conhecimentos.
Analisando os resultados da aplicação da proposta pode se afirmar que os
objetivos estabelecidos foram alcançados. A utilização da história da matemática
favoreceu a realização de um trabalho centrado na atividade do aluno e, a reflexão
sobre as diversas estratégias de resolução, proporcionando aprendizagem. Esta
aprendizagem não se deu de forma homogênea, mas em diferentes graus de
compreensão. Porém, a maioria dos alunos demonstrou, em situações posteriores,
maior apropriação do conceito de álgebra e suas concepções.
Este trabalho permitiu verificar que na medida em que o professor
proporcionar ao aluno levantar hipóteses e permitir que ele exponha suas
conclusões, as aulas não só se tornarão mais prazerosas como também despertará
no aluno um desejo de participar ativamente na resolução das atividades, pois
perceberá como o conhecimento está sendo construído, não imposto.
REFERÊNCIAS
A ORIGEM das Equações do 1º grau. Disponível em:<http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=582,>. Acesso em: 27 nov. 2012
BERLINGHOFF, William P.; GOUVÊA, Fernando Q.. A Matemática através dos tempos.2 ª. ed. São Paulo: Blucher, 2010.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais (Ensino Médio): Matemática.
Brasília: MEC/SEF, 2004.
BRITO, Arlete de Jesus; MENDES, Iran Abreu. História da Matemática em atividade didática. Natal: EDUFRN: Editora da UFRN, 2005.
D‟AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da Teoria a Prática. 14a Ed.
Campinas – SP: Papirus, 2007. (Coleção Perspectiva em Educação Matemática).
DIOFANTE de Alexandria.[Vídeo:] Disponível em:<http://www.youtube.com/watch?v=f1CxBY4eQGk> acesso em: 10 nov. 2012.
EVES, Howad. Introdução à história da matemática. Trad. Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004.
HISTÓRIA das Olimpíadas. Disponível em:<http://www.mundoeducacao.com.br/educacao-fisica/historia-das-olimpiadas.htm>.Acesso em: 17 nov. 2012.
MIGUEL, Antonio; MIORIM, Maria Ângela. História na Educação Matemática:proposta e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2004.
O HOMEM que Calculava. [Vídeo:] Disponível em:<http://rafaelnink.com/blog/2009/06/30/video-o-homem-que-calculava/.>. Acesso em:05 out. 2012.
PAPIRO Rhind. Disponível em: <http://www.fisica-interessante.com/image-files/egitorhind1.jpg>. Acesso em: 10 out. 2012.
PROBLEMA Histórico. Disponível em:<http://www.cursoraizes.com.br/resources/10575428032012Historia_da_Matematica_Aula_5.pdf>. Acesso em: 25 nov. 2012.
PROBLEMAS. Disponível em:<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=25434>. Acesso em:05 out. 2012.
RESOLVENDO equações através de balança. Disponível em:<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=254>. Acesso em: 05out. 2012.
SECRETARIA ESTADUAL DE EDUCAÇÃO. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica – SEED. Curitiba, 2008.
SÍMBOLOS olímpicos. Disponível em: <http://www.skatecultura.com/2011/05/skatenas-olimpiadas-do-rio.html>. Acesso em: 17 nov. 2012.