FATEC
Notas de Aulas de
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
Prof. Dr. Anderson Da Silva Vieira
2017
Sumario
Introducao 2
1 Matrizes 3
1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Tipos especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Operacoes com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Adicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Multiplicacao por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 Transposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.4 Multiplicacao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Determinantes 8
2.1 Desenvolvimento de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Sistema Lineares 14
3.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Sistemas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Sistemas Escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Respostas 19
Referencias 23
Capıtulo 1
Matrizes
1.1 Introducao
Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por:
Am×n =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
= [aij ]m×n.
Usaremos sempre letras maiusculas para denotar matrizes, e quando quisermos es-
pecificar a ordem de uma matriz A, ou seja, o numero de linhas e colunas, escreveremos
Am×n.
Definicao 1.1.1. Duas matrizes Am×n = [aij ]m×ne Br×s = [bij ]r×s
sao iguais, A = B, se
elas tem o mesmo numero de linhas(m = r) e colunas (n = s) e todos os elementos sao iguais
(aij = bij).
1.2 Tipos especiais de Matrizes
Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que denotamos por Am×n.
Matriz Quadrada e aquela que tem o mesmo numero de linhas e colunas (m = n).
Matriz Nula e aquela que tem aij = 0, para todo i e j. Denotaremos por 0.
1.3 Operacoes com Matrizes 4
Matriz-Coluna e aquela que tem apenas uma coluna (n = 1).
Matriz-Linha e aquela que tem apenas uma linha (m = 1).
Matriz Diagonal e uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para todo i 6= j, isto e, os
elementos que nao estao na ”diagonal”sao nulos.
Matriz Identidade Quadrada e aquela que aii = 1 e aij = 0, i 6= j. Denotaremos por I.
Matriz Triangular Superior e aquela onde todos os elementos abaixo da diagonal sao
nulos, isto e, m = n e aij = 0, para i > j.
Matriz Triangular Inferior e aquela onde todos os elementos acima da diagonal sao nulos,
isto e, m = n e aij = 0, para i < j.
Matriz Simetrica e aquela onde m = n e aij = aji.
1.3 Operacoes com Matrizes
1.3.1 Adicao
A soma de duas matrizes de mesma ordem, Am×n = [aij] e Bm×n = [bij ], e uma matriz
m × n, que denotaremos A + B, cujos elementos sao somas dos elementos correspondentes de
A e B, ou seja,
A + B = [aij + bij ]m×n.
Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m × n, temos
i) A + B = B + A (comutatividade)
ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade)
iii) A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula m × n.
1.3 Operacoes com Matrizes 5
1.3.2 Multiplicacao por escalar
Seja Am×n = [aij] e k ∈ R, entao definimos
k · Am×n = [kaij ]m×n.
Propriedades: Dadas as matrizes A e B de mesma ordem m × n e k, k1, k2 ∈ R,
temos
i) k(A + B) = kA + kB,
ii) (k1 + k2)A = k1A + k2A,
iii) 0 · A = 0,
iv) k1(k2A) = (k1k2)A.
1.3.3 Transposicao
Dada uma matriz A = [aij ]m×n, podemos obter uma outra matriz At = [bij ]n×m,
cujas linhas sao as colunas de A, ou seja, bij = aji. At e denotada a transposta de A.
1.3.4 Multiplicacao de Matrizes
Sejam A = [aij]m×n e B = [bij ]n×p. Definimos AB = [cuv]m×p, onde
cuv =n
∑
k=1
aukbkv = au1b1v + · · · + aunbnv.
Propriedades:
i) Em geral, AB 6= BA,
ii) AI = IA = A,
iii) A(B + C) = AB + AC, (distributiva a esquerda da multiplicacao, em relacao a soma)
1.4 Exercıcios 6
iv) (A + B)C = AC + BC, (distributiva a direita da multiplicacao, em relacao a soma)
v) (AB)C = A(BC), (assiciatividade)
vi) (AB)t = BtAt,
vii) 0 · A = A · 0 = 0.
1.4 Exercıcios
1. Sejam
A =
1 2 3
2 1 −1
; B =
−2 0 1
3 0 1
; C =
−1
2
4
e D =[
2 −1
]
.
Encontre:
(a) A + B
(b) A · C
(c) B · C
(d) C · D
(e) D · A
(f) D · B
(g) −A
(h) −D
2. Seja A =
2 x2
2x − 1 0
. Se A′ = A, entao determine o valor de x.
3. Se A e uma matriz simetrica, entao A − At = .
4. Se A e uma matriz diagonal, entao At = .
1.4 Exercıcios 7
5. Verdadeiro ou falso?
(a) (−At) = −(At)
(b) (A + B)t = Bt + At
(c) Se AB = 0, entao A = 0 ou B = 0.
(d) (k1A)(k2B) = (k1k2)AB
(e) (−A)(−B) = −(AB).
(f) Se A e B sao matrizes simetricas, entao AB = BA.
(g) Se A · B = 0, entao B · A = 0.
(h) Se podemos efetuar o produto A · A, entao A e uma matriz quadrada.
6. Se A2 = A · A, entao A =
−2 1
3 2
2
= .
7. Se A e uma matriz triangular superior, entao A2 e .
8. Determine os valores de x, y, z e w tal que
x y
z w
2 3
3 4
=
1 0
0 1
.
Capıtulo 2
Determinantes
Quando nos referirmos ao determinante, isto e, ao numero associado a uma matriz
quadrada A = [aij ] , escreveremos
det A ou |A| ou det[aij].
Entao
• det[a] = a
• det
a11 a12
a21 a22
= a11a22 − a12a21
• det
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33+a12a23a31+a13a32a21−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32.
Propriedades
i) Se todos os elementos de uma linha(coluna) de uma matriz sao nulos, det A = 0.
ii) det A = det At.
iii) Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multi-
plicado por esta constante.
iv) Uma vez trocada a posicao de duas linhas, o determinante troca de sinal.
2.1 Desenvolvimento de Laplace 9
v) O determinante de uma matriz que tem duas linhas(colunas) iguais e zero.
vi)
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∣
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∣
a11 . . . a1n
.... . .
...
bi1 + ci1 . . . bin + cin
.... . .
...
an1 . . . ann
∣
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=
∣
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∣
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∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 . . . a1n
.... . .
...
bi1 . . . bin
.... . .
...
an1 . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
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∣
∣
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∣
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+
∣
∣
∣
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∣
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∣
∣
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∣
∣
a11 . . . a1n
.... . .
...
ci1 . . . cin
.... . .
...
an1 . . . ann
∣
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∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
vii) O determinante nao se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por uma
constante.
viii) det(A · B) = det A · det B
2.1 Desenvolvimento de Laplace
Ja vimos
|A| = det
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21 − a13a22a31
−a12a21a33 − a11a23a32
= a11(a22a33 − a23a32) − a12(a21a33 − a23a31)
+a13(a32a21 − a22a31)
= a11 det
a22 a23
a32 a33
− a12 det
a21 a23
a31 a33
+ a13 det
a21 a22
a31 a32
= a11D11 − a12D12 + a13D13,
onde Dij e o determinante da submatriz da inicial, de onde a i-esima e a j-esima coluna
foram retiradas. Dij e chamada menor complementar do elemento aij . Se chamamos
complemento algebrico do elemento aij por Cij = (−1)i+jDij teremos
det A = a11C11 + a12C12 + a13C13,
2.1 Desenvolvimento de Laplace 10
assim para uma matriz de ordem n
det An×n =n
∑
j=1
aijCij .
Ao numero Cij chamamos cofator.
Com os cofatores podemos formar uma nova matriz A que sera chamada matriz dos
cofatores de A
A′ = [Cij].
Dada uma matriz quadrada A, chamaremos de matriz adjunta de A a transposta a
matriz dos cofatores de A
A = (A′)t.
Exemplo 2.1.1. Seja
B =
1 2 3
0 3 2
0 0 −2
.
Vamos calcular a adjunta de B.
B11 = (−1)1+1
3 2
0 −2
= −6, B12 = (−1)1+2
0 2
0 −2
= 0, B13 = (−1)1+3
0 3
0 0
= −0,
B21 = (−1)2+1
2 3
0 −2
= 4, B22 = (−1)2+2
1 3
0 −2
= −2, B23 = (−1)2+3
1 2
0 0
= 0,
B31 = (−1)3+1
2 3
3 2
= −5, B32 = (−1)3+2
1 3
0 2
= −2, B33 = (−1)3+3
1 2
0 3
= 3,
entao, a adjunta de B e
B = (B′)t =
−6 4 −5
0 −2 −2
0 0 3
.
Definicao 2.1.1. Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A
a uma matriz B tal que A · B = B · A = In, onde In e a matriz identidade de ordem n.
Escreveremos A−1 para a inversa de A.
2.1 Desenvolvimento de Laplace 11
Teorema 2.1.1. A · (A′)t = A · A = (det A)In.
Corolario 2.1.1.1. Seja An×n. Se det(A) 6= 0, entao
A−1 =1
det(A)A.
Exemplo 2.1.2. Seja
B =
1 2 3
0 3 2
0 0 −2
.
Vamos calcular a inversa B.
No Exemplo 2.1.1, ja calculamos sua adjunta, logo
B−1 =1
det(B)B =
1
−6.
−6 4 −5
0 −2 −2
0 0 3
=
1 −2
3
5
6
01
3
1
3
0 0 −1
2
.
Suponhamos que An×n tenha inversa: A · A−1 = In, entao
det A−1 =1
det A.
Logo, concluımos que se A tem inversa
i) det A 6= 0;
ii) det A−1 =1
det A.
Teorema 2.1.2. Uma matriz quadrada A admite uma inversa se, e somente se, det A 6= 0.
Para encontrar a matriz inversa podemos usar o seguinte procedimento: “Operamos
simultaneamente com as matrizes A e I, atraves de operacoes elementares:
(I) Permutar duas linhas de A;
2.2 Exercıcios 12
(II) Multiplicar uma das linhas de A por um numero real λ 6= 0;
(III) Somar a uma das linhas da matriz A uma outra linha dessa matriz multiplicada por
um numero real;
ate chegamos a matriz I na posicao correspondente a matriz A”:
(A : I) −→ (I : A−1).
2.2 Exercıcios
1. Calcule det
2 0 −1
3 0 2
4 −3 7
(a) pela definicao;
(b) em relacao a segunda coluna, usando o desenvolvimento de Laplace.
2. Dadas as matrizes A =
1 2
1 0
e B =
3 −1
0 1
, calcule
(a) det A + det B
(b) det(A + B)
3. Dada A =
2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 2
3 −1 −2 4
, calcule
(a) D23
(b) C23
(c) det A.
4. Calcule det A, onde
2.2 Exercıcios 13
(a) A =
3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0
(b) A =
3 0 0 0 0
19 18 0 0 0
−6 π −5 0 0
4√
2√
3 0 0
8 3 5 6 −1
5. Encontre A−1, onde
(a) A =
4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1
(b) A =
1 0 x
1 1 x2
2 2 x2
Capıtulo 3
Sistema Lineares
3.1 Definicoes
Definicao 3.1.1. Dados os numeros reais α1, · · · , αn, β, (n ≥ 1), a equacao
α1x1 + . . . + αnxn = β,
onde os xi sao variaveis em R, damos o nome de equacao linear sobre R nas incognitas
x1, . . . , xn.
Uma solucao dessa equacao e uma sequencia de n numeros reais1(nao necessariamente
distintos entre si), indicada por (b1, . . . , bn), tal que
α1b1 + . . . + αnbn = β
e uma frase verdadeira.
Definicao 3.1.2. Um sistema de m equacoes lineares com n incognitas (m, n ≥ 1) e conjunto
de m equacoes lineares, cada uma delas com n incognitas, consideradas simultaneamente. Um
1Tambem chamada de n-upla
3.2 Sistemas Equivalentes 15
sistema linear se apresenta do seguinte modo
S :
α11x1 + . . . + α1nxn = β1
α21x1 + . . . + α2nxn = β2
......
...
αm1x1 + . . . + αmnxn = βm
.
Uma solucao do sistema acima e uma n-upla (b1, . . . , bn) de numeros reais que e
solucao de cada uma das equacoes do sistema.
Definicao 3.1.3. Dizemos que um sistema linear S e incompatıvel se S nao admite nenhuma
solucao. Um sistema linear que admite uma unica solucao e chamado compatıvel determi-
nado. Se um sistema linear S admitir mais de uma solucao, ele recebe o nome de compatıvel
indeterminado.
Se βi = 0, 1 ≤ i ≤ m, o chamamos S de homogeneo. A n-upla (0, 0, . . . , 0) e
solucao de S neste caso e por isto todo sistema homogeneo e chamado compatıvel. Chamamos
(0, 0, . . . , 0) de solucao trivial.
Corolario 3.1.0.1 (Regra de Cramer). Se o sistema linear AX = B e tal que A e n × n e
invertıvel, entao a solucao do sistema e dada por
xj =det(Aj)
det(A), 1 ≤ j ≤ n,
em que Aj e a matriz que se obtem de A substituindo-se a sua j-esima coluna por B.
3.2 Sistemas Equivalentes
Seja S um sistema linear de m equacoes com n incognitas. Interessa-nos considerar
os sistemas que podem ser obtidos de S de uma das seguintes maneiras:
(I) Permutar duas das equacoes de S.
3.3 Sistemas Escalonados 16
(II) Multiplicar uma das equacoes de S por um numero real λ 6= 0.
(III) Somar a uma das equacoes do sistema uma outra equacao desse sistema multiplicada
por um numero real.
3.3 Sistemas Escalonados
Consideremos um sistema linear de m equacoes com n incognitas que tem o seguinte
aspecto:
S :
α1r1xr1
+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + α1nxn = β1
α2r2xr2
+ . . . . . . . . . . . . + α2nxn = β2
...
αkrkxrk
+ . . . + αknxn = βk
0xn = βk+1
,
onde αirixri
6= 0, 1 ≤ i ≤ k, e cada ri ≥ 1.
Se tivermos 1 ≤ r1 < r2 < . . . rn ≤ n diremos que S e um sistema linear escalonado.
Proposicao 3.1. Todo sistema linear S e equivalente a um sistema escalonado.
Suponhamos que um sistema tenha sido escalonado e ao retirar todas as equacoes
do tipo 0 = 0 restaram p equacoes com n incognitas.
(I) Se a ultima das equacoes restantes e
0x1 + . . . + 0xn = βp, βp 6= 0
entao o sistema e incompatıvel;
(II) Se p = n o sistema e compatıvel determinado;
(III) Se p < n, entao o sistema e compatıvel indeterminado.
3.4 Exercıcios 17
Definicao 3.3.1. Dadas uma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz escalonada equivalente a A.
O posto de A, denotado por p, e o numero de linhas nao nulas de B. A nulidade de A e o
numero n − p.
3.4 Exercıcios
1. Resolva o sistema de equacoes, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos
sistemas.
2x − y + 3z = 11
4x − 3y + 2z = 0
x + y + z = 6
3x + y + z = 4
2. Reduza as matrizes a forma escada reduzida por linhas.
(a)
1 −2 3 −1
2 −1 2 3
3 1 2 3
(b)
0 1 3 −2
2 1 −4 3
2 3 2 −1
(c)
0 2 2
1 1 3
3 −4 2
2 −3 1
3. Calcule o posto e a nulidade das matrizes da questao 3.
4. Determine k, para que o sistema admita solucao.
−4x + 3y = 2
5x − 4y = 0
2x − y = k
3.4 Exercıcios 18
5. Encontre todas as solucoes do sistema
x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 − 7x5 = 14
2x1 + 6x2 + x3 − 2x4 + 5x5 = −2
x1 + 3x2 − x3 + x5 = −1
.
6. Resolva o sistema, usando a Regra de Cramer:
x − 2y + z = 1
2x + y = 3
y − 5z = 4
.
Respostas
CAPITULO 1
1. (a)
−1 2 4
5 1 0
(b)
15
−4
(c)
6
1
(d)
−2 1
4 −2
8 −4
(e)[
0 3 7
]
(f)[
−7 0 1
]
(g)
−1 −2 −3
−2 −1 1
(h)[
−2 1
]
2. x = 1
3. Matriz nula
4. A
3.4 Exercıcios 20
5. (a) V
(b) V
(c) F,
1 0
0 0
.
0 0
0 1
=
0 0
0 0
(d) V
(e) F
(f) F. Dica: A =
1 1
1 1
, B =
0 0
0 1
(g) F. Dica: A =
1 1
0 0
, B =
1 −1
−1 1
(h) V
6.
7 0
0 7
7. Triangular superior.
8. x = −4, y = 3, z = 3, w = −2.
CAPITULO 2
1. (a) 21
(b) 21
2. (a) 1
(b) 3
3. (a) 36
(b) -36
(c) 0
3.4 Exercıcios 21
4. (a) 12
(b) 0
5. (a)
−1 −1 4 −2
−3 −4 12 −6
11 14 −43 22
10 14 −41 21
(b)
1 − 2
x1
x
−1 −x−2
xx−1
x
0 2
x2 − 1
x2
6. x =36
23, y = − 3
23, x = −19
23.
CAPITULO 3
1. x = −1, y = 2, z = 5
2. (a)
1 0 0 −4
0 1 0 −3
0 0 1 −1
(b)
1 0 −7
2
5
2
0 1 3 −2
0 0 0 0
(c)
1 0 2
0 1 1
0 0 0
0 0 0
3. (a) Posto: 3; Nulidade:0.
Indice Remissivo 22
(b) Posto: 2; Nulidade:1.
(c) Posto: 2; Nulidade:0.
4. k = −6
5. x1 = 1 − 3x2 − x5, x3 = 2 + x5, x4 = 3 + 2x5.
6. x = −6
7, y =
33
7, z =
1
7
Referencias
[1] J.L. Boldrini. Algebra linear. HARBRA, 1986.
[2] C. Henry Edwards and David E. Penney. Introducao a algebra linear. Prentice-Hall, 1988.
[3] Gelson Iezzi and Samuel Hazzan. Fundamentos de Matematica Elementar: Sequencias,
Matrizes, Determinantes e Sistemas, volume 4. Atual Editora, 8a edition, 2013.
[4] S.J. Leon. Algebra linear com aplicacoes. LTC, 1999.