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8/18/2019 Modelo Generalizado de Hanavan
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MODELO GENERALIZADO DE HANAVAN
Modelo creado por Ernest P. Hanavan,
capitán de la !er"a a#rea
estado!nidense en el a$o %&'(, para
descri)ir *ate*ática*ente el c!erpo
+!*ano, el *odelo divide el c!erpo en
% se-*entos representadas con
slidos -eo*#tricos )ásicos, estos
se-*entos son/
%. 0a)e"a1. 2orso s!perior3. 2orso inerior(. Mano derec+a. Mano i"4!ierda'. 5ra"o s!perior derec+o6. 5ra"o s!perior i"4!ierdo7. Ante)ra"o derec+o&. Ante)ra"o i"4!ierdo%8.Pierna s!perior derec+a
%%.Pierna s!perior i"4!ierda%1.Pierna inerior derec+a%3. Pierna inerior i"4!ierda%(.Pie derec+o%.Pie i"4!ierdo
Los slidos !tili"ados consisten en conos tr!ncados para )ra"os, piernas 9 pies,
elipses para *anos 9 ca)e"a 9 :nal*ente !n par de pol;-onos re-!lares para
las dos secciones del torso. Para reali"ar el *odelo para las piernas 9 los )ra"os
es necesario anali"ar el cono tr!ncado/
Figura 1. Modelo de Hanavan
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Figura 2. Análisis del cono recto circ!lar tr!ncado%.
0o*o pri*er paso para anali"ar el cono tr!ncado se de)en +acer al-!nas
consideraciones a partir de la >i-!ra 1, en donde/
h=h1−h
2 ?%@
h1
R=
h2
RR=
h
R− RR ?1@
e procede a despeBar cada !na de las alt!ras del cono de la >i-!ra 1a/
h1=
R h
R− RR ?3@
h2=
RR h
R− RR ?(@
Para calc!lar las *asas de los conos de alt!ras +% 9 +1 es necesario considerars! vol!*en 9 tener en c!enta la relacin *asa, densidad, vol!*en.
V =π r
2h
3 ?@
% >i-!ra adaptada por el a!tor, to*ada de ?Hanavan, %&'(@.
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V =m
ρ ?'@
m
ρ=
π r2
h
3 ?6@
m= ρπ r
2h
3 ?7@
Csando la ec!acin ?7@ se procede a calc!lar la *asa de cada !no de los
se-*entos/
M 1=
ρ π R2
h1
3 ?&@
M 2=
ρ π RR2
h 2
3 ?%8@
Ree*pla"ando las ec!aciones 3 9 ( en las ec!aciones 7 9 & respectiva*ente,
se o)tiene/
M 1=
ρ π R3
h
3 ( R− RR) ?%%@
M 2=
ρπ RR3
h
3 ( R− RR) ?%1@
Para calc!lar la *asa del cono tr!ncado se resta la *asa del cono de alt!ra +%
con la *asa del cono de alt!ra +1 dando co*o res!ltado/
M = M 1− M
2 ?%3@
M = ρ π h ( R3− RR3 )
3 ( R− RR) ?%(@
De)ido a 4!e el o)Betivo es encontrar !na or*a -eneral del *odelo de
Hanavan se despeBa !no de los radios, es este caso se procede a despeBar el
radio *enor RR/
Por dierencia de c!)os/
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M = ρ π h( R− RR )( R2+ R∗ RR+ RR2)
3 ( R− RR) ?%@
i*pli:cando 9 *!ltiplicando por %
3 M
ρ π h=( R2+ R∗ RR+ RR2 ) RR
2
RR2 ?%'@
3 M
ρ π h=( R
2
R R2+
R
RR+1) RR2 ?%6@
DespeBando RR
√ 3 M
ρ π h( R2
R R2+
R
RR+1)=
RR?%7@
Csando la ec!acin ?%7@ es posi)le calc!lar el radio *enor del cono tr!ncado
con el c!al se p!eden *odelar los )ra"os, las piernas 9 los pies se-n el
*odelo de Hanavan. Acorde a esto las varia)les serán/
ρ= Densidad total del cuerpo[ Kgc m3 ] h= Longitud de la secciónde cada extremidad [ cm ] M = Masa de la secciónde cada extremidad [ Kg ] RR= Radio menor del cono [ cm ]
R= Radio mayor del cono [ cm ]
Para reali"ar el cálc!lo del radio *a9or del cono es necesario reali"ar !n
análisis de proporcin en la pierna +!*ana, *ediante al-!nas *ediciones la
relacin entre el radio *a9or 9 *enor del *!slo, canilla 9 pie respectiva*ente
será/
R=1.54
RR ?%&@
La densidad del c!erpo o densidad pro*edio es !na varia)le 4!e está en
!ncin de la contet!ra del c!erpo ?so*atotipo@ 9 se p!ede calc!lar *ediante
las ec!aciones ?18@ 9 ?1%@ *odelo prop!esto por Drillis 9 0ontini ?%&''@
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c= h
w1/3 ?18@
ρ=0.69+0.9c
[
Kg
L
]?1%@
e-n este *odelo la densidad se
epresa en t#r*inos de c, lla*ado
el ;ndice ponderal o ;ndice de
corp!lencia, es !na *edida de
contet!ra calc!lada co*o la
relacin entre *asa 9 alt!ra en
donde + es la talla o alt!ra de la
persona en *etros 9 F es la *asa
de la persona en ilo-ra*os.De)ido a 4!e las !nidades
res!ltantes de la !ncin son de
ilo-ra*o ?-@ so)re litro ?L@ es
necesario, por eectos prácticos
para el cálc!lo de las di*ensiones
del cono en cent;*etros, pasar
estas !nidades a ilo-ra*os ?-@
so)re cent;*etro c!)ico ?c*3@.
ρ=0.69+0.9 c
1000
[ Kg
c m3
]?11@Para el cálc!lo de la lon-it!d de las etre*idades del c!erpo se !sa otro
*odelo plateado ta*)i#n por Drillis 9 0ontini ?%&''@ i-!ra 3@. e va a reerir a la alt!ra del individ!o co*o la talla,
representada en la >i-!ra 3 co*o H.
Para reali"ar el cálc!lo de la *asa de cada
se-*ento se !tili"a !n *odelo desarrolladod!rante a$os del c!al se crearon ta)las 4!e ponen la *asa de cada se-*ento
en !ncin de la *asa total del c!erpo. Por otra parte los centros de *asa se
p!eden !)icar !sando ta)las 4!e tienen pará*etros 4!e descri)en la !)icacin
de dic+o p!nto en !ncin de !na porcin de la lon-it!d total de la seccin,
esta se p!ede *edir respecto a dos p!ntos de reerencia el p!nto distal 9 el
proi*al. Estos son conceptos de distancia 4!e tienen co*o p!nto de
reerencia el pec+o, de all; las partes del c!erpo *ás aleBadas a dic+o p!nto se
gura 3. Desco*posicin de la lon-it!d
as piernas en !ncin de la alt!ra total.
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consideran distales 9 las *ás cercanas proi*ales, ta*)i#n se p!eden tener
otros p!ntos de reerencia en cada se-*ento co*o por eBe*plo, la *ano es
distal al +o*)ro, teniendo en c!enta esto las *edidas seleccionadas para el
cálc!lo serán las proi*ales.
Tabla I. Pará*etros para el cálc!lo de las *asas 9 centro de *asa de las
piernas
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M!slo o
pierna
s!perio
r
?A!tor@
+*Lon-it!d
del *!slo.
R*Radio
*a9or del
*!slo.
r*Radio *enor
del *!slo.
M*Masa del
*!slo.
0M*C)icacin
del centro de
*asa del *!slo
respecto al
proi*al.
hm=0.245∗Talla
Rm=1.54 rm
M m=0.1 M T
rm=
√ 3 M m
ρ π hm( R m2
rm2 +
Rm
rm+1)
CM m=0.433∗hm
0anilla
o
pierna
inerior
?A!tor@
+cLon-it!d de
la canilla.
RcRadio *a9or
de la canilla.
rcRadio *enor
del canilla.
McMasa del
*!slo.
0McC)icacin
del centro de
*asa de la
canilla respecto
al proi*al.
hc=0.246∗Talla
Rc=r c
M c=0.0465 M T
rc=
√ 3 M c
ρ π hc( Rc2
rc2 +
Rc
rc+1)
CM c=0.433∗hc
Pie
?A!tor@
+pLon-it!d del
pie.
RpRadio
*a9or del pie.
rpRadio *enor
del pie.
0MpC)icacin
del centro de
*asa del pie
respecto al
proi*al.
h p=0.152∗Talla
R p=0.5∗0.039∗Talla
M p=0.145 M T
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r p=
√ 3 M p
ρ π h p( R p2
r p2 +
R p
r p+1)
CM p=0.5∗h p
Cálculo de los momentos de inercia:
Para poder reali"ar el di*ensiona*iento de los *otores 4!e van a co*poner
las artic!laciones del eoes4!eleto es necesario calc!lar los *o*entos de
inercia de cada !na de las secciones de las etre*idades. De)ido a 4!e están
*odeladas todas con conos tr!ncados se )!scan los *o*entos de inercia
presentes en la :-!ra, 9a 4!e el *otor de cada !na de las partes de)e ser
capa" de soportar 9 *over la totalidad de *asa de la seccin es necesario
+allar los tensores de inercia en la )ase de cada !na de las or*as.
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Mediante el !so de la ec!acin ?%@ se procede a reali"ar otra -enerali"acin
de la r*!la de *asa/
M = ρ π h ( R− RR ) ( R2+ R∗ RR+ RR2)
3 ( R− RR ) ( R2
R2 )?13@
M =
ρ π h R2(1+ RR R + RR
2
R2 )
3
?1(@
Para reali"ar el cálc!lo de los *o*entos de inercia del cono de alt!ra + % 9 del
cono de alt!ra +1 es necesario epresar cada !na de s!s *asas en !ncin de
la *asa del cono tr!ncado con el :n de relacionarlos al :nal para +allar el*o*ento de inercia del cono tr!ncado/
M 1=
M R
(1+ RR R + RR2
R2 )( R− RR )
?1@
M 2=
M RR
(1+ RR R + RR
2
R2
)( R− RR )
( RR2
R2 )
?1'@
El *o*ento de inercia del cono de alt!ra +% pasando por el centro de *asa
respecto al eBe 0K0 será ?Ver :-!ra 1@/
I CC = 3
20 M
1( R2+ h12
4 )?16@
Aplicando el teore*a de eBes paralelos para los *o*entos de inercia/
I = I c g + M D2
?17@
Csando las ec!aciones ?16@ 9 ?17@ se o)tiene el *o*ento de inercia respecto al
eBe K/
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I !
" !
" 1= I CC + M 1 x1
2
?1&@
En donde/
x1=0.25h
1
?38@
El *o*ento de inercia del cono de alt!ra +1 pasando por el centro de *asa
respecto al eBe 5K5 será ?Ver :-!ra 1@/
I ##= 3
20 M
2( RR2+ h22
4 ) ?3%@Csando las ec!aciones ?3%@ 9 ?17@ se o)tiene el *o*ento de inercia respecto al
eBe K/
I !
" !
" 2= I ##+ M 2 ( x2+h )
2
?31@
En donde/
x2=0.25h
2 ?33@
a 4!e el análisis parte de los dos conos de alt!ras dierentes se p!ede calc!lar
el *o*ento de inercia respecto al eBe K del cono tr!ncado restando el
*o*ento de inercia del cono de alt!ra +% con el *o*ento de inercia del cono
+1 co*o se *!estra a contin!acin
I ! " ! "
= I ! " ! " 1
− I ! " ! " 2 ?3(@
I ! " ! "
= I CC + M 1 x12−( I ##+ M 2 ( x2+h )2 ) ?3@
Csando las ec!aciones ?3@, ?(@, ?%%@ 9 ?%1@ se procede a si*pli:car la ec!acin
dando co*o res!ltado/
I !
" !
" = M
[ 3 R
2
20(1+ RR R + RR2
R2 ) (
1+ RR R + RR
2
R2 + RR
3
R3 + RR
4
R4 )+
h2
10(1+ RR R + RR2
R2 ) (
1+3 RR R +6 RR
2
R2 )]
?3'@
El centroide del cono tr!ncado está dado por/
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x=h
4
R2+2 R ( RR )+3 R R2
R2+ R ( RR )+ R R2
?36@
Csando las ec!aciones ?17@, ?36@ 9 ?1(@ se o)tiene/
I !! = M [ 9 M 20 πρh (1+ RR
R +
RR2
R2 +
RR3
R3 +
RR4
R4 )
(1+ RR R + RR2
R2 )
2 +
3h2
80
(1+4 RR R +10 RR2
R2 +4
RR3
R3 +
RR4
R4 )
(1+ RR R + RR2
R2 )
2 ]?37@
El *o*ento de inercia respecto al eBe ZKZ pasando por el centro de *asa será/
I $$ =3 M
10 ( R5− R R5
R3− R R3 )
?3&@
Csando las ec!aciones ?1(@ 9 ?3&@ se p!ede o)tener el *o*ento de inercia
respecto a Z/
I $$ = 18 M
2
20 ρhπ
(1+ RR R + RR2
R2 +
RR3
R3 +
RR4
R4 )
(1+ RR
R +
RR2
R2 )
2
?(8@
El tensor de inercia estará dado por/
T =
I !! 0 0
0 I %% 0
0 0 I $$
?(%@
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[ M
[
9 M
20 πρh
(1+ RR R + RR2
R2 +
RR3
R3 +
RR4
R4 )
(1+
RR
R +
RR2
R
2
)
2 +
3 h2
80
(1+4 RR R +10 RR2
R2 +4
RR3
R3 +
RR4
R4 )
(1+
RR
R +
RR2
R
2
)
2
] 0
0 I %%
0 0 18 M
2
20 ρhπ
(1+
?(1@
Referencias