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MÉTODOS QUANTITATIVOS MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE APLICADOS A GESTÃO DE
NEGÓCIOSNEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – Prof. Msc. Fábio Maia – [email protected]@hotmail.com
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O que é Estatística?O que é Estatística?A Estatística basicamente se divide em 3 partes, a
saber:
• Estatística Descritiva: Essa parte da Estatística utiliza números para descrever fatos. Compreende a coleta, a organização, o resumo e, em geral, a simplificação de informações que podem ser muito complexas.
• Probabilidade: É utilizada para analisar situações que envolvem o acaso.
• Inferência: Diz respeito a coleta, redução, análise e interpretação de dados amostrais, a partir do que, tira-se conclusões sobre a população na qual os dados (amostra) foram obtidos.
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EstatísticaEstatística
Resumidamente, podemos dizer que a estatística é uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados, para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.
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23
24
734217
22 3335
36
3021
18
29
28
28
17
2222
28
33
2822
2918
18
Distribuição das idades dos funcionários
idadenúm
ero
de funcio
nários
0
2
4
6
8
10
12
14
10 20 30 40 50 60 70
A estatística envolve técnicas para coletar, organizar, descrever, analisar e interpretar dados, ou provenientes de experimentos, ou vindos de estudos
observacionais.
A EstatísticaA Estatística
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Etapas da Analise Estatística
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Em Estatística, variável é atribuição de um número a cada característica da unidade experimental de uma amostra ou população.
Tipos de VariáveisTipos de Variáveis
Vários tipos de variáveis são encontradas no dia-a-dia, sendo importante a distinção entre as mesmas.Quando uma característica ou variável é não-numérica, denomina-se variável qualitativa ou atributo.
Quando a variável é expressa numericamente, denomina-se variável quantitativa.
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Aula1. Acurácia e Precisão
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Distribuição de FreqüênciaDistribuição de Freqüência
Com uma massa grande de dados é conveniente agrupá-los em classes com suas freqüências, a fim de extrair informações. Isto é denominado distribuição de freqüências. Embora se perca alguma informação a respeitos dos dados, a distribuição é útil na investigação das características da variável em estudo.
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Alguns conceitos importantes:Alguns conceitos importantes:
Dados Brutos: são os valores numéricos obtidos após a crítica dos dados.
Rol: é o arranjo dos dados brutos em ordem de freqüência crescente ou decrescente.
Amplitude total ou “range” ( R ): é a diferença entre o maior e o menor valor observados.
Freqüência ( Fi ): é o número de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o número de elementos pertencentes a uma mesma classe.
Número de classes ( K ): não há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes, mas as duas maneiras mais usuais são:
2
a) k = 5 para n 5 e k 25, para n > 25 .
b) Fórmula de Sturges k 1+3,22logn ,em que n=tamanho da amostra.
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Amplitude das classes ( h ): é a amplitude total ( R ) dividida pelo número de classes:. Assim como no caso do número de classes ( k ), a amplitude das classes ( h) deve ser aproximada para o maior inteiro.
Limites das classes: são os extremos de cada classe e existem diversas maneiras de representá-los:
Exemplos:15 ├─ 20: compreende todos os valores entre 15 e 20,
excluindo o 2015 ├─┤ 20: compreende todos os valores entre 15 e 20.15 ── 20: limite aparente, limite real 14,5 ── 19,5.15 ─┤ 20: compreende os valores entre 15 e 20, excluindo o
15.
Pontos médios das classes (xi ): é a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe. Estes pontos estão representando cada um dos dados pertencentes à classe.
Assim: se a classe for 12 ├─ 20, teremos: 16 como ponto médio da classe.
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Freqüência acumulada ( Fac): é a soma das freqüências das classes.
Freqüência relativa (fi): é a porcentagem de um valor na amostra e é dada por fi=Fi/n.
Representação de uma distribuição de freqüência:
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GráficosGráficos Para representar graficamente dados agrupados em
uma distribuição de freqüências, podemos utilizar um “histograma”, um “polígono de freqüências “ou um “polígono de freqüências acumuladas.
Observações:
Os gráficos facilitam a visualização dos valores que são amplamente usados na apresentação de dados estatísticos.
Cabe destacar que os gráficos perdem informações, porque não mostram as observações originais.
Ao inferir sobre uma população a partir de gráficos, deve-se ter bastante cuidado.
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HistogramaHistograma
É a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de retângulos justapostos, de tal forma que:
As bases estão sobre um eixo ( eixo x ) com centro no ponto médio dos intervalos de classe e as larguras iguais às amplitudes dos intervalos das classes.
A área de um histograma é proporcional a soma das freqüências das classes.
A altura do histograma ( eixo y) deve corresponder a aproximadamente 70% do eixo x.
Para a construção do histograma, colocamos no eixo dos x os limites de cada intervalo de classe e em y as freqüências das classes. Para construção da primeira classe, devemos deixar antes no eixo dos x um espaço ( no mínimo) igual ou superior a amplitude de classe.
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ALTURA DOS ALUNOS DA ESCOLA A
0
5
10
15
20
Fi
150 154 158 162 166 170 174 178 classes
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Polígono de FreqüênciaPolígono de Freqüência
É a representação gráfica de uma distribuição por meio de um polígono. Para a construção do polígono de freqüência partimos do histograma e projetamos os pontos médios de cada retângulo os quais estavam localizados sobre o eixo dos x no topo do retângulo.
Devemos também aqui , tomar o cuidado de deixar no eixo dos x, um espaço correspondente a uma classe, tanto para a esquerda como para a direita.
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VARIAÇÃO DO RAIO DE PEÇAS MECÂNICAS
0
2
4
6
8
10
12
1 3 5 7 9 11 12
F
raio
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1. Medidas de Posição Central
Definição: representam os fenômenos pelos seus valores médios , em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados.
Dentre todas as medidas de tendência central, veremos:◦1.1 Média; ◦1.2 Mediana;◦1.3 Moda
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1.1 MédiaDefinição: é o valor médio de uma
distribuição, determinado segundo uma regra estabelecida a priori e que se utiliza para representar todos os valores da distribuição. Representada por
Pode ser:
◦Aritmética;◦Ponderada;◦Harmônica;◦Geométrica.
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Média AritméticaÉ a mais utilizada dentre todas as médias.É dada pela fórmula:
Onde: n é o número de valores em uma amostra;xi é cada variável que representa os valores
individuais dos dados.
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Média AritméticaMédia AritméticaExemplo: um aluno tirou as notas 5, 7, 9 e
10 em 4 provas. Sua média será: = (5 + 7 + 9 + 10)/4 = 7,75
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Média Aritmética para Dados Média Aritmética para Dados AgrupadosAgrupadosÉ calculada quando a informação
disponível é o valor médio do intervalo i (Xi) e a frequência de intervalo i (f i):
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ExemploExemplo
12,58
12,97
13,45
13,53
13,59
13,61
13,62
13,78
13,97
14,21
14,47
14,51
14,53
14,58
14,65
14,78
14,83
14,97
15,06
15,13
15,17
15,23
15,29
15,37
15,40
15,45
15,51
15,62
15,67
15,73
15,83
15,98
16,01
16,11
16,17
16,23
16,35
16,43
16,49
16,52
16,67
16,83
16,97
17,05
17,13
17,22
17,30
17,48
17,80
18,47
Considere os seguintes dados:
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...continuando...continuando
Intervalos de classes Frequência absoluta
12,51 a 13,50 3
13,51 a 14,50 8
14,51 a 15,50 15
15,51 a 16,50 13
16,51 a 17,50 9
17,51 a 18,50 2
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Média PonderadaMédia Ponderada
Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa ou pesos relativos diferentes. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada.
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Média Ponderada
É dada por:
wi é o peso de cada xi .
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Média PonderadaMédia Ponderada
Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas onde as duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. Um candidato com notas 70, 75 e 90 terá média final:
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1.2 Mediana
Definição: é um número que caracteriza as observações de uma determinada variável de tal forma que este número de um grupo de dados ordenados separa a metade inferior da amostra, população ou distribuição de probabilidade, da metade superior. Representada por ou Md.
Isto é, 1/2 da população terá valores inferiores ou iguais à mediana e 1/2 da população terá valores superiores ou iguais à mediana. (a média não garante essa propriedade)
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1.2 MedianaPara valores ordenados crescentemente,
dois modos de calcular:
◦Se n é ímpar, mediana é o valor central:Na amostra 30 32 35 48 76 a mediana é 35
◦Se n é par, mediana é a média simples entre os dois valores centrais:
Na amostra 30 32 35 48 76 81 a mediana é 35 + 48 = 41,5
2
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1.2 Mediana para dados agrupados
◦ 1º: Calcula-se n/2;
◦ 2º: Achar qual das classes esse valor se encontra a partir das freqüências absolutas;
◦ 3º: Usar a fórmula
Limite inferior da classe
Amplitude da classe da mediana
Freqüência da classe da mediana
Soma das freqüências anteriores a classe
da mediana
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ExemploExemploIntervalos de
classeFreqüência
absolutaFreqüência acumulada
12,51 a 13,50 3 3
13,51 a 14,50 8 11
14,51 a 15,50 15 26
15,51 a 16,50 13 39
16,51 a 17,50 9 48
17,51 a 18,50 2 501. Calcula-se n/2 50/22. Identifica-se a classe da mediana
Terceira classe
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...continuando...continuando
3. Utiliza-se a fórmula:
=
=
=
=
14,51
11
0,99
15
= 13,4
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1.3 ModaÉ o valor que ocorre com mais freqüência.
Representada por Mo.Numa amostra, Mo pode não existir ou ser
múltipla.Exemplos:
Na amostra 21 24 27 27 28 28 31 31 31 Mo = 31
Na amostra 45 46 49 52 52 60 60 76 79 tem moda 52 e 60
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Moda para Dados AgrupadosModa para Dados AgrupadosUtiliza-se a seguinte fórmula:
• - Limite inferior da classe modal = 14,51
• - Diferença entre a freqüência da classe e a
anterior = 7
• - Diferença entre a freqüência da classe e a
posterior = 2
• - Amplitude da classe modal = 0,99
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Moda para Dados AgrupadosModa para Dados Agrupados
• Determinar a classe modal pela maior freqüência absoluta. Na tabela, a terceira, utilizando a fórmula:
Notas Número de Alunos
0 |-- 20 2
20 |-- 40 7
40 |-- 60 23
60 |-- 80 16
80 |-- 100 3
Total 51
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...continuando...continuando
Onde:
• - Limite inferior da classe modal = 40
• - Diferença entre a freqüência da classe e a
anterior = 16
• - Diferença entre a freqüência da classe e a
posterior = 7
• - Amplitude da classe modal = 20
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ComparaçãoPara distribuições simétricas, a média,
mediana e moda são aproximadamente iguais;
Para assimétricas, observa-se o seguinte:
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2. Medidas de DispersãoDefinição: é um valor que busca
quantificar o quanto os valores da amostra estão afastados ou dispersos relativos à média amostral;
As medidas utilizadas para representar dispersão são:
◦2.1 Amplitude Total◦2.2 Desvio Padrão;◦2.3 Variância;◦2.4 Amplitude Inter-quartílica.
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Relações Empíricas entre Média, Moda e Relações Empíricas entre Média, Moda e MedianaMedianaExemplo: A relação entre média e
mediana para as amostras a seguir é:
A Distribuição Simétrica 10 12 14 16 18
B Distribuição Assimétrica à direita
10 12 14 16 23
C Distribuição Assimétrica à esquerda
05 12 14 16 18
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2.1 Amplitude Total
Definição: também chamado simplesmente de Amplitude, é a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados.
Amplitude = (maior valor)-(menor valor);
A amplitude é muito fácil de ser calculada, mas como depende apenas dos valores maior e menor, não é tão útil quanto as outras medidas de variação que usam todos os valores.
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Amplitude TotalAmplitude Total
Exemplo: 8,5 8,7 8,9 10,1 10,5 10,7 11,5 11,9
A amplitude é total: R = 11,9 – 8,5 = 3,4
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É a média aritmética dos desviosconsiderados em módulos (valor absoluto).
Desvio Médio Absoluto
.
n
xxDMA
n
ii
1
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2.3 VariânciaDefinição: é uma medida da variação
igual ao quadrado do desvio padrão. Representada por s2 ou σ2;
Para a amostral:
Para a populacional:
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2.2 Desvio Padrão
Definição: é uma medida da variação dos valores em torno da média em um conjunto de valores amostrais. Representado por s (para amostral) e σ (para populacional);
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2.2 Desvio PadrãoPara achar o desvio padrão de uma população,
usa-se a expressão:
Para uma amostra de n observações, x1, ..., xn, o desvio padrão S é definido como:
n é o número total de variáveis na amostra; xi é o valor de cada variável; x é a média amostral;
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Desvio PadrãoDesvio Padrão Exemplo: para a amostra 10 12 14 16 18 A média é 14 e o desvio-padrão é calculado: Os desvios de cada valor em relação à média totalizam zero, pois
a média é o valor central:
◦ 10-14=-4◦ 12-14=-2◦ 14-14=0◦ 16-14=+2◦ 18-14=+4
S = = 3,16
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Desvio padrão: dados Desvio padrão: dados agrupadosagrupadosConsidere os seguintes
dados:
Intervalos de Classe
Freqüência Absoluta
12,50 a 13,50 3
13,51 a 14,50 8
14,51 a 15,50 15
15,51 a16,50 13
16,51 a 17,50 9
17,51 a 18,50 2
Ponto médio do intervalo
S =
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Coeficiente de VariaçãoDefinição: para um conjunto de dados
amostrais ou populacionais, expresso como um percentual, descreve o desvio padrão relativo à média, e é dado pelo seguinte:
População Amostra
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Coeficiente de VariaçãoÉ uma medida dimensional, útil para
comparar resultados de amostras ou populações cujas unidades podem ser diferentes;
Uma desvantagem do coeficiente de variação é que ele deixa de ser útil quando a média é próxima de zero.
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TEORIA DAS TEORIA DAS PROBABILIDADESPROBABILIDADES
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Exemplos:1. Resultado no lançamento de um dado;
2. Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula;
3. Condições climáticas do próximo domingo;
4. Taxa de inflação do próximo mês;
5. Tipo sangüíneo de um habitante escolhido ao acaso.
Experimento AleatórioExperimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes
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Espaço Amostral (Espaço Amostral ()): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
4. Tempo de duração de uma lâmpada. = {t: t 0}
1. Lançamento de um dado. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Exame de sangue (tipo sangüíneo) . = {A, B, AB, O}
3. Hábito de fumar. = {Fumante, Não fumante}
Exemplos:
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Notação: A, B, C ...
(conjunto vazio): evento impossível
: evento certo
Alguns eventos:
A: sair face par A = {2, 4, 6}
B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6} C: sair face 1 C = {1}
EventosEventos: subconjuntos do espaço amostral
Exemplo: Lançamento de um dado.
Espaço amostral: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Experiência
• Lançamento de uma moeda• Lançamento de um dado• Totoloto• Estado do tempo para a semana• Extracção de uma carta • Tempo que uma lâmpada irá durar
• Furar um balão cheio• Deixar cair um prego num copo de água• Calcular a área de quadrado de lado 9 cm
À partida o resultado é desconhecido
À partida já conhecemos o resultado
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Chamamos de probabilidade de um evento A (A C S) o número real P(A), tal que:
Onde n(A) é o número de elementos de A;
n(S) é o número de elementos de S.
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um conjunto equiprovável.
Sn
AnAP
Exemplo: Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”, temos:
S = {Ca, Co} n(S)=2
A={Ca} n(A)=1
2
1AP
Sn
AnAP
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Eventos Complementares
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (fracasso), para um mesmo evento existe sempre a relação:
p + q = 1
Assim, se a probabilidade de se realizar o evento é p=1/5, a probabilidade de que ele não ocorra é q=4/5.
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Dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. A probabilidade de que dois eventos se realizem simultaneamente é dada por P(x) = p1 x p2
Ex. Lançamos dois dados. A probabilidade de obter 1 no 1º dado é : p1= 1/6. A probabilidade de obtermos 5 no 2º dado é p2= 1/6.
Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no 1º e 5 no 2º é : p = 1/6 x 1/6 = 1/36.
Eventos Independentes
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FACENSA – Estatística –(aula DIST. NORMAL) Prof. Neide Pizzolato Angelo
DISTRIBUIÇÃO NORMALDISTRIBUIÇÃO NORMAL
A distribuição normal é uma das distribuições fundamentais da moderna teoria estatística.
A vantagem da distribuição normal reside na facilidade de defini-la com apenas dois parâmetros, a média e o desvio padrão da distribuição.
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FACENSA – Estatística –(aula DIST. NORMAL) Prof. Neide Pizzolato Angelo
DISTRIBUIÇÃO NORMALDISTRIBUIÇÃO NORMAL
Uma das características importantes é que a partir desses dois parâmetros será possível calcular, por exemplo, a percentagem de valores que deverão estar acima ou abaixo de um determinado valor da variável aleatória, ou entre esses dois valores definidos etc.
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DIST. NORMAL (Gráfico e Equação)DIST. NORMAL (Gráfico e Equação)
21
21( ) e
2
x
f x
Se X ~ N( ; 2), X
Z
definimos
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o gráfico é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média , chamada de curva normal ou de Gauss.
A curva normal é assintótica, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo .
P(X ≥ ) = P(X ≤ ) = 0,5.
CARACTERISTICA DA DIST. NORMAL
• pode assumir todo e qualquer valor real.
• A área total é igual a 1.
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USO DA TABELA NORMAL PADRÃO
Denotamos : A(z) = P(Z z), para z 0.
Tabela
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Exemplo: Seja Z ~ N (0; 1), calcular
a) P(Z 0,32)
P(Z 0,32) = A(0,32) = 0,6255.
Tabela
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Encontrando o valor na Tabela N(0;1):
z 0 1 2
0,0 0,5000 0,5039 0,5079
0,1 0,5398 0,5437 0,5477
0,2 0,5792 0,5831 0,5870
0,3 0,6179 0,6217 0,6255
Tabela
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b) P(0 < Z 1,71)
P(0 < Z 1,71) = P(Z 1,71) – P(Z 0)
= 0,9564 - 0,5 = 0,4564.
Obs.: P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0,5.Tabela
= A(1,71) – A(0)
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c) P(Z 1,5)
P(Z > 1,5) = 1 – P(Z 1,5) = 1 – A(1,5)
= 1 – 0,9332 = 0,0668.
Tabela
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Análise de RegressãoAnálise de Regressão
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Análise de RegressãoAnálise de Regressão
Sempre que desejamos estudar determinada variável em função de outra fazemos uma análise de regressão.
A análise de regressão tem por objetivo descrever, através de um modelo matemático, a relação entre duas variáveis, partindo de n observações das mesmas.
A variável a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de variável dependente e a outra recebe o nome de variável independente.
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Ajustamento da RetaAjustamento da Reta
Supondo X a variável independente e Y a dependente, vamos procurar determinar o ajustamento de uma reta à relação entre essas variáveis, ou seja, vamos obter uma função definida por:
Y = aX + b,
onde a e b são parâmetros.
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Ajustamento da RetaAjustamento da Reta
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Ajustamento da RetaAjustamento da RetaSejam duas variáveis X e Y, entre as quais exista uma correlação acentuada, embora não perfeita, como as que formam a tabela a seguir:
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Ajustamento da RetaAjustamento da Reta
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![Page 75: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/552fc0f9497959413d8b740f/html5/thumbnails/75.jpg)
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![Page 77: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/552fc0f9497959413d8b740f/html5/thumbnails/77.jpg)
Conceitos Básicos
de
Matemática Financeira
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Fatores Necessários para Fatores Necessários para Calcular o Valor dos JurosCalcular o Valor dos Juros Capital, principal ou valor presente: quantia de dinheiro
envolvida numa operação financeira, que será emprestada ou aplicada numa data inicial (data 0). Para a HP-12C, será simbolizado por PV (valor presente).
Taxa de Juros: é a unidade de medida de juros, ou seja, o custo ou remuneração paga pelo uso de dinheiro durante determinado tempo.
Tempo, prazo ou período: prazo em determinada unidade de tempo (dias, meses, anos etc.) que o capital foi empregado à determinada taxa de juros.
Regime de capitalização: refere-se ao processo de formação dos juros, que poderão ser simples ou compostos, conforme será visto a seguir.
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Diferenças entre Juros Simples Diferenças entre Juros Simples e Compostose Compostos
Onde:
J = valor dos juros simples ($).
P = valor presente, principal ou capital da operação.
i = taxa de juros simples.
n = prazo ou número de períodos da operação.
J = P x i x n
FV = P . (1 + i . n)
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Diferenças entre Juros Simples Diferenças entre Juros Simples e Compostose CompostosAbaixo é apresentada a fórmula geral para o cálculo dos juros compostos.
Os juros crescem linearmente ao longo do tempo no regime de capitalização simples, sendo seu valor constante durante os períodos;
Os juros crescem exponencialmente ao longo do tempo no regime de capitalização composto, sendo que o montante calculado até o período anterior serve como base de cálculo para os juros do próximo período.
FV = P . (1 + i)n
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Conceito de Fluxo de CaixaConceito de Fluxo de Caixa
Qualquer problema de matemática financeira pode ser facilmente demonstrado por meio de um diagrama de fluxo de caixa, que consiste na representação gráfica das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo. Observe a sua representação básica:
PVn
iFV
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Conceito de Fluxo de CaixaConceito de Fluxo de Caixa
Onde:
A linha horizontal representa a linha do tempo, em que são destacadas as entradas e saídas de dinheiro;
Uma entrada de caixa é representada por uma seta para cima e seu sinal, para efeitos de convenção, é positivo;
Toda saída de caixa é representada por uma seta para baixo e seu sinal será negativo.
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Capitalização Simples –Capitalização Simples –
Juros SimplesJuros Simples
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JUROS SIMPLESJUROS SIMPLES
O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES.
◦ A TAXA DE JUROS INCIDE SOMENTE SOBRE O VALOR INICIAL (EMPRESTADO OU APLICADO).
EX: Ci = $ 100,00 aplicados a 5% ao período.primeiro período: 100 x 0,05 = $ 5,00segundo período: 100 x 0,05 = $
5,00terceiro período : 100 x 0,05 = $ 5,00n-éssimo período: 100 x 0,05 = $ 5,00
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Juros em RCSJuros em RCS
J = VP x i x nJ = VP x i x nOnde:
j = Juros ( $ )
VP = Valor Presente ( $ )
i = Taxa ( unitária/período )
n = períodos
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Exemplo 1Exemplo 1
Um capital de $ 500,00 foi aplicado a taxa de 5% a.m. no RCS. Qual o valor dos juros mensais?
J = VP x i x n
J = 500 x 0,05 x 1 $ 25,00
J = VP x i x n
J = 500 x 0,05 x 1 $ 25,00
Na HP12C:
500 (ENTER) 5 % 25,00000 (visor)
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Taxa (i) e Número de Períodos (n) devem estar sempre na mesma base.
SUGESTÃOSUGESTÃO::
Altere sempre Altere sempre nn e evite alterar e evite alterar ii
IMPORTANTEIMPORTANTEIMPORTANTEIMPORTANTE
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Na HP12C:
120 (ENTER) 4 % 7 X 33,600000 (visor)
Exemplo 2Exemplo 2
Um capital de $ 120,00 foi aplicado a taxa de 4% a.m. no RCS por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação?
J = VP x i x n
J = 120 x 0,04 x 7 $ 33,60
J = VP x i x n
J = 120 x 0,04 x 7 $ 33,60
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MONTANTE OU VALOR MONTANTE OU VALOR FUTUROFUTURO
VF = VP + j
VF = VP + (VP x i x n)
VF = VP x (1 + i x n)VF = VP x (1 + i x n)
j = VP x i x ne
SENDO:
MONTANTE OU VALOR FINAL
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Exemplo 3Exemplo 3
Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestado para pagar dentro de cinco meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a. m. Calcule o valor futuro dessa operação?
VF = VP x (1 + i x n)
VF = 3.000 x (1 + 0,06 x 5) $ 3.900,00
VF = VP x (1 + i x n)
VF = 3.000 x (1 + 0,06 x 5) $ 3.900,00
Na HP12C:
3000 (ENTER) 6 % 5 x + 3.900,00000
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DERIVAÇÃO DA DERIVAÇÃO DA FÓRMULA DO FÓRMULA DO
MONTANTE NO RCS.MONTANTE NO RCS.
VF = VP (1 + i x n)
n = [(VF / VP) - 1] / i
i = [(VF / VP) - 1] / n
VP = VF / (1 + i x n)
![Page 92: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/552fc0f9497959413d8b740f/html5/thumbnails/92.jpg)
Exemplo 4Exemplo 4
Uma aplicação feita no RCS rendeu um montante igual a $ 750,00 após cinco meses, a taxa de 10% a. m. Qual o capital inicial da operação?
VP = VF / (1 + i x n)
VP = 750 / (1 + 0,1 x 5) $ 500,00
VP = VF / (1 + i x n)
VP = 750 / (1 + 0,1 x 5) $ 500,00
Na HP12C: 750 (ENTER) 1 (ENTER) 0,1 (ENTER) 5 x + 500,00000 (visor)
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Exemplo 5Exemplo 5
O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. Sabendo que o regime de capitalização era o simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação?
i = [(VF / VP) - 1] / n
i = [(400 / 200) - 1] / 5
$ 0,20 ou 20% a. m.
i = [(VF / VP) - 1] / n
i = [(400 / 200) - 1] / 5
$ 0,20 ou 20% a. m.
Na HP12C: 400 (ENTER) 200 / 1 – 5 0,200000 (visor)
![Page 94: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/552fc0f9497959413d8b740f/html5/thumbnails/94.jpg)
Exemplo 6Exemplo 6
A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa de 2% a. m. no RCS. Qual a duração da operação?
n = [(VF / VP) - 1] / i
n = [(134 / 68) - 1] / 0,02 48,53 meses
n = [(VF / VP) - 1] / i
n = [(134 / 68) - 1] / 0,02 48,53 meses
Na HP12C: 134 (ENTER) 68 1 – 0,02 (visor) 48,52941175 meses
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Taxa (i) e Número de Períodos (n) devem estar sempre na mesma base.
SUGESTÃO:
Altere sempre n e evite alterar i
IMPORTANTEIMPORTANTEIMPORTANTEIMPORTANTE
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Na HP12C:
120 (ENTER) 4 % 7 X 33,600000 (visor)
Exercício nº 5Exercício nº 5
Um capital de $ 120,00 foi aplicado a taxa de 4% a.m. no RCS por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação?
J = VP x i x n
J = 120 x 0,04 x 7 $ 33,60
J = VP x i x n
J = 120 x 0,04 x 7 $ 33,60
![Page 97: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/552fc0f9497959413d8b740f/html5/thumbnails/97.jpg)
MONTANTE OU VALOR MONTANTE OU VALOR FUTUROFUTURO
VF = VP + j
VF = VP + (VP x i x n)
VF = VP x (1 + i x n)VF = VP x (1 + i x n)
j = VP x i x ne
SENDO:
MONTANTE OU VALOR FINAL
![Page 98: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/552fc0f9497959413d8b740f/html5/thumbnails/98.jpg)
Exercício nº 6Exercício nº 6
Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestado para pagar dentro de cinco meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a. m. Calcule o valor futuro dessa operação?
VF = VP x (1 + i x n)
VF = 3.000 x (1 + 0,06 x 5) $
3.900,00
VF = VP x (1 + i x n)
VF = 3.000 x (1 + 0,06 x 5) $
3.900,00
Na HP12C:
3000 (ENTER) 6 % 5 x + 3.900,00000
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DERIVAÇÃO DA DERIVAÇÃO DA FÓRMULA DO FÓRMULA DO MONTANTE NO RCS.MONTANTE NO RCS.
VF = VP (1 + i x n)
n = [(VF / VP) - 1] / i
i = [(VF / VP) - 1] / n
VP = VF / (1 + i x n)
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Exercício nº 7Exercício nº 7
Uma aplicação feita no RCS rendeu um montante igual a $ 750,00 após cinco meses, a taxa de 10% a. m. Qual o capital inicial da operação?
VP = VF / (1 + i x n)
VP = 750 / (1 + 0,1 x 5) $
500,00
VP = VF / (1 + i x n)
VP = 750 / (1 + 0,1 x 5) $
500,00
Na HP12C: 750 (ENTER) 1 (ENTER) 0,1 (ENTER) 5 x + 500,00000 (visor)
![Page 101: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/552fc0f9497959413d8b740f/html5/thumbnails/101.jpg)
Exercício nº 8Exercício nº 8
O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. Sabendo que o
regime de capitalização era o simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a
operação?
i = [(VF / VP) - 1] / n
i = [(400 / 200) - 1] / 5
$ 0,20 ou 20% a. m.
i = [(VF / VP) - 1] / n
i = [(400 / 200) - 1] / 5
$ 0,20 ou 20% a. m.
Na HP12C: 400 (ENTER) 200 / 1 – 5 0,200000 (visor)
![Page 102: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/552fc0f9497959413d8b740f/html5/thumbnails/102.jpg)
Exercício nº 9Exercício nº 9
A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa de 2% a. m. no RCS. Qual a duração da operação?
n = [(VF / VP) - 1] / i
n = [(134 / 68) - 1] / 0,02 48,53 meses
n = [(VF / VP) - 1] / i
n = [(134 / 68) - 1] / 0,02 48,53 meses
Na HP12C: 134 (ENTER) 68 1 – 0,02 (visor) 48,52941175 meses
![Page 103: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/552fc0f9497959413d8b740f/html5/thumbnails/103.jpg)
Operações com Operações com Séries UniformesSéries Uniformes
![Page 104: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/552fc0f9497959413d8b740f/html5/thumbnails/104.jpg)
Séries UniformesSéries UniformesObjetivos:Objetivos:
◦discutir os principais aspectos associados àsdiscutir os principais aspectos associados àsséries uniformes diferenciar séries antecipadas, séries uniformes diferenciar séries antecipadas, postecipadas e diferidas.postecipadas e diferidas.
![Page 105: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/552fc0f9497959413d8b740f/html5/thumbnails/105.jpg)
Conceito de Séries UniformesConceito de Séries UniformesConsistem em uma seqüência de Consistem em uma seqüência de
recebimentos ou pagamentos cujos recebimentos ou pagamentos cujos valores são iguais.valores são iguais.
Genericamente, as séries uniformes Genericamente, as séries uniformes podem ser representadas de acordo com a podem ser representadas de acordo com a figura seguinte.figura seguinte.
![Page 106: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/552fc0f9497959413d8b740f/html5/thumbnails/106.jpg)
![Page 107: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/552fc0f9497959413d8b740f/html5/thumbnails/107.jpg)
Classificação das sériesClassificação das sériesAntecipadas
◦Com entrada◦Exemplos … 1 + 2, 1 + 5, 1 + …
Postecipadas◦Sem entrada◦Exemplos … 2x, 5x, 6x …
![Page 108: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/552fc0f9497959413d8b740f/html5/thumbnails/108.jpg)
Valor PresenteValor Presente
nn Pagamentos Periódicos Pagamentos PeriódicosSem EntradaSem Entrada
0
PostecipadaPostecipada
Séries PostecipadasSéries Postecipadas
PMT
O pagamento ocorreO pagamento ocorreao final do primeiroao final do primeiro
períodoperíodo
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A geladeira nova de PedroA geladeira nova de PedroPedro quer comprar uma
geladeiraNa loja, $1.000,00 a vistaOu … em quatro iguais
mensais, sem entrada
Valores Valores nominaisnominaisiguaisiguais
SériesSériesUNIFORMESUNIFORMES
+$1.000,00+$1.000,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
Taxa da loja?Taxa da loja?
i= 4% a.m.i= 4% a.m.Como obterComo obterPMT?PMT?
ÁlgebraÁlgebraTabelasTabelasHP 12CHP 12C
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Usando o bom sensoUsando o bom sensoPagamentos em 1, 2, 3 e 4Prazo médio
igual a 2,5
+$1.000,00+$1.000,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
i= 4% a.m.i= 4% a.m.n = 2,5n = 2,5
Supondo JSSupondo JS
VFVF
VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)
VF = 1000 (1+0,04.2,5)VF = 1000 (1+0,04.2,5)
VF = 1100VF = 1100Como são feitos quatro pagamentosComo são feitos quatro pagamentos
Pagamento = 1100/4 = $275,00Pagamento = 1100/4 = $275,00
Cuidado!Cuidado!ValorValoraproximado aproximado por jurospor jurossimplessimples
Valor exato Valor exato com juros com juros compostoscompostos
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Usando a álgebraUsando a álgebra
n
n
inii
ia
1
11,
VP = aVP = an,in,i.PMT.PMT
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Usando a tabelaUsando a tabelaN iN i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091
2 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355
3 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869
4 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699
5 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908
6 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553
7 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684
8 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349
9 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590
10 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446
aan,in,i=3,6299=3,6299
Pagamento = 1000/3,6299 = $275,49Pagamento = 1000/3,6299 = $275,49
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Usando a HP 12CUsando a HP 12C
[n]: calcula o número de períodos[i]: calcula a taxa de juros[PV]: calcula o valor presente[PMT]: calcula a prestação[FV]: calcula o valor futuro[CHS]: troca o sinal
g Begg Beg g Endg Endouou
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Na HP 12CNa HP 12C
7BEGBEG
8ENDEND
BegBegin = Começo
Antecipado
Com entrada
Flag no visorFlag no visor
End = Final
Postecipado
Sem entrada
Sem FlagSem Flag
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Exemplo na HP 12CExemplo na HP 12C[f] [Reg]1000 [PV]4 [n]4 [i]
+$1.000,00+$1.000,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
i= 4% a.m.i= 4% a.m.
Sem entrada Sem entrada ouou
POSTECIPADAPOSTECIPADA
em inglêsem inglês
ENDEND
[g] [END][g] [END]
$275,49$275,49
[PMT][PMT]
Com JS, $275,00Com JS, $275,00
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Valor PresenteValor Presente
N Pagamentos PeriódicosN Pagamentos PeriódicosCom EntradaCom Entrada
0
AntecipadaAntecipada
Séries AntecipadasSéries Antecipadas
PMT
O pagamento ocorreO pagamento ocorreno início do primeirono início do primeiro
períodoperíodo
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E se os pagamentos fossem …E se os pagamentos fossem …
Com entrada
…
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Usando o bom sensoUsando o bom sensoPagamentos em 0, 1, 2 e 3Prazo médio
igual a 1,5
+$1.000,00+$1.000,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
i= 4% a.m.i= 4% a.m.n = 1,5n = 1,5
Supondo JSSupondo JS
VFVF
VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)
VF = 1000 (1+0,04.1,5)VF = 1000 (1+0,04.1,5)
VF = 1060VF = 1060Como são feitos quatro pagamentosComo são feitos quatro pagamentos
Pagamento = 1060/4 = $265,00Pagamento = 1060/4 = $265,00
Cuidado!Cuidado!ValorValoraproximado aproximado por jurospor jurossimplessimples
Valor exato Valor exato com juros com juros compostoscompostos
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A geladeira nova de PedroA geladeira nova de PedroPedro quer comprar uma
geladeiraNa loja, $1.000,00 a vistaOu … em quatro iguais
mensais, com entrada
+$1.000,00+$1.000,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
i= 4% a.m.i= 4% a.m.
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Usando a álgebraUsando a álgebra
1
1
,11
11
n
n
inii
ia
VP = (aVP = (an-1,in-1,i+1).PMT+1).PMT
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Usando a tabelaUsando a tabelaN iN i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091
2 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355
3 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869
4 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699
5 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908
6 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553
7 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684
8 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349
9 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590
10 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446
aan-1,in-1,i=2,7751=2,7751
Pagamento = 1000/(1+2,7751) = $264,89Pagamento = 1000/(1+2,7751) = $264,89
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Na HP 12CNa HP 12CCom entradaCom entradaANTECIPADAANTECIPADAem inglêsem inglêsBEGINBEGIN
[f] [Reg][f] [Reg]
1000 [PV]1000 [PV]
4 [n]4 [n]
4 [i]4 [i][g] [BEG] [PMT][g] [BEG] [PMT]
$264,89$264,89
7BEGBEG
BegBegin = Começo
Antecipado
Com entrada
Flag no visorFlag no visor
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Exemplo AExemplo AUm televisor é anunciado
por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações supondo um plano do tipo:
4 x sem entrada
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Analisando o DFC: 4xAnalisando o DFC: 4x
+600,00+600,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
Taxa igual a 2% a.m.
Sem entrada
Na HP 12C: g END
[f] [Reg][f] [Reg]600 [PV]600 [PV]4 [n]4 [n]g [END]g [END]2 [i]2 [i][PMT][PMT]
--157,574157,57433
![Page 125: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/552fc0f9497959413d8b740f/html5/thumbnails/125.jpg)
Exemplo BExemplo BUm televisor é anunciado
por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações supondo um plano do tipo:
1 + 3 x
![Page 126: MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia – maia1970@hotmail.com](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062303/552fc0f9497959413d8b740f/html5/thumbnails/126.jpg)
Analisando o DFC: 4xAnalisando o DFC: 4x
+600,00+600,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
Taxa igual a 2% a.m.
Com entrada
Na HP 12C: g BEG
[f] [Reg][f] [Reg]600 [PV]600 [PV]4 [n]4 [n]g [BEG]g [BEG]2 [i]2 [i][PMT][PMT]
--154,484154,48466
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VP = Valor PresenteVP = Valor Presente
PMT = Prestações ou PagamentosPMT = Prestações ou Pagamentos
0
n = número de pagamentos iguaisn = número de pagamentos iguaisCarênciaCarência
mm + 1 + 1
Séries DiferidasSéries Diferidas
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E se os pagamentos fossem …E se os pagamentos fossem …
Diferidos…
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A geladeira nova de PedroA geladeira nova de PedroPedro quer comprar uma geladeiraNa loja, $1.000,00 a vistaOu … em quatro iguais mensais,
com primeiro pagamento após seis meses
+$1.000,00+$1.000,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
i= 4% a.m.i= 4% a.m.
7755 66 9988
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Convertendo a diferidaConvertendo a diferida
+$1.000,00+$1.000,00
2200 11 4433
-PMT-PMT
i= 4% a.m.i= 4% a.m.
7755 66 9988
É preciso capitalizar os $1.000,00 para a É preciso capitalizar os $1.000,00 para a data cinco data cinco
VF = VP(1+i)VF = VP(1+i)nn = 1000.(1,04) = 1000.(1,04)55 = $1.216,65 = $1.216,65
+$1.216,65+$1.216,65
Após a capitalização temos uma série Após a capitalização temos uma série postecipada convencional!postecipada convencional!
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Exemplo na HP 12CExemplo na HP 12C[f] [Reg]1216,65 [PV]4 [n]4 [i]
+$1.216,65+$1.216,65
2200 11 4433
-PMT-PMT
i= 4% a.m.i= 4% a.m.
Sem entrada Sem entrada ouou
POSTECIPADAPOSTECIPADA
em inglêsem inglês
ENDEND
[g] [END][g] [END]
$335,17$335,17
[PMT][PMT]
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Sistemas de amortização – Conceitos geraisSistemas de amortização – Conceitos gerais
Prestação = amortização + jurosou
PMT = A + J
O processo de quitação de um empréstimo consiste em efetuar pagamentos periódicos (prestações) de modo a liquidar o saldo devedor.Tais prestações são formadas por duas parcelas: a amortização (A) e os juros (J), correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não amortizados
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Sistemas de amortização – Conceitos geraisSistemas de amortização – Conceitos gerais
Prestação é o valor pago pelo devedor e consiste em duas parcelas: a amortização e os juros correspondentes ao saldo do devedor do empréstimo não reembolsado.
Amortização é o pagamento do capital, efetuado por meio de parcelas pagas periodicamente. É a devolução do capital emprestado.
Os Juros são calculados sobre o saldo devedor do período anterior e também denominados “serviço da dívida”.
Entre os principais e mais utilizados sistemas de amortização de empréstimos cabe destacar:• O sistema frânces de amortização (Tabela PRICE).• O sistema de amortização constante (SAC).
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Nesse sistema de amortização, o mais utilizado pelas instituições financeiras e o comércio em geral, o devedor obriga-se a devolver o principal acrescido de juros em prestações iguais e consecutivas (séries uniformes de pagamento).Como os juros incidem sobre o saldo devedor, que por sua vez decresce à medida que as prestações são quitadas, eles serão decrescentes, e portanto as amortizações do principal serão crescentes.Exemplos: - Crédito Direto ao Consumidor - Financiamento de automóveis - Sistema Financeiro da Habitação
Sistemas de Amortização Francês - Tabela Sistemas de Amortização Francês - Tabela PRICEPRICE
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Exemplo: Um empréstimo de R$ 100.000,00 será pago pelo sistema de amortização francês em cinco prestações mensais postecipadas (END). Se a taxa de juros for de 5% a.m., veja como ficará a planilha de amortização: (calcular PMT na HP-12C)
Sistemas de Amortização Francês - Tabela Sistemas de Amortização Francês - Tabela PRICEPRICE
Mês Saldo Devedor Prestação Juros Amortização
(n) (SDn = SDn-1 - An) (PMT) (Jn = SDn-1 x i) (An = PMTn - Jn)
0 R$ 100.000,00 --- --- ---
1 R$ 81.902,52 R$ 23.097,48 R$ 5.000,00 R$ 18.097,48
2 R$ 62.900,17 R$ 23.097,48 R$ 4.095,13 R$ 19.002,35
3 R$ 42.947,70 R$ 23.097,48 R$ 3.145,01 R$ 19.952,47
4 R$ 21.997,60 R$ 23.097,48 R$ 2.147,38 R$ 20.950,10
5 R$ 0,00 R$ 23.097,48 R$ 1.099,88 R$ 21.997,60
--- --- --- R$ 100.000,00
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Ou seja, para um determinado período, os juros serão calculados sobre o saldo devedor do empréstimo no início desse período: a amortização será calculada pela diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros do período; e o saldo devedor será calculado pela diferença entre o saldo devedor do período anterior subtraído do valor amortizado no respectivo período
Sistemas de Amortização Francês - Tabela Sistemas de Amortização Francês - Tabela PRICEPRICE
Jn = SDn-1 * i
An = PMTn - Jn
SDn = SDn-1 -
An
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Nesse sistema de amortização, as prestações são decrescentes, as amortizações crescentes e os juros decrescentes. Calcula-se a amortização dividindo o principal pelo número de períodos de pagamento (An = SD0 / n).Exemplos: - Empréstimos de longo prazo do BNDES.- Empréstimos do Banco Interamericano de Desenvolvimento (BID).- Empréstimos do Banco Mundial.
Sistemas de Amortização Constante - Sistemas de Amortização Constante - SACSAC
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Exemplo: Um empréstimo de R$ 100.000,00 será pago pelo sistema de amortização constante em cinco prestações mensais postecipadas. Se a taxa de juros for de 5% a.m., veja como ficará a planilha de amortização:
Mês Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
(n) (SDn = SDn-1 - An) (An = SD0 / n) (Jn = SDn-1 x i) (PMT = A + J)
0 R$ 100.000,00 --- --- ---
1 R$ 80.000,00 R$ 20.000,00 R$ 5.000,00 R$ 25.000,00
2 R$ 60.000,00 R$ 20.000,00 R$ 4.000,00 R$ 24.000,00
3 R$ 40.000,00 R$ 20.000,00 R$ 3.000,00 R$ 23.000,00
4 R$ 20.000,00 R$ 20.000,00 R$ 2.000,00 R$ 22.000,00
5 R$ 0,00 R$ 20.000,00 R$ 1.000,00 R$ 21.000,00
--- R$ 100.000,00 --- ---
Sistemas de Amortização Constante - SACSistemas de Amortização Constante - SAC
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Nesse sistema, a prestação inicial é superior à prestação (fixa) do sistema francês, que era de R$ 23.097,48, ao passo que a última prestação é menor. Em suma, no início paga-se mais, porém termina-se pagando uma prestação menor que a do sistema frânces.
An = SD0 / n
SDn = SDn-1 - An
Jn = SDn-1 x i
PMT = A + J
Sistemas de Amortização Constante - SACSistemas de Amortização Constante - SAC
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Período de PAYBACKPeríodo de PAYBACK
É o período de recuperação de um investimento e consiste em identificar qual o prazo em que o montante do dispêndio de capital efetuado num projeto, seja recuperado, através dos FC líquidos de um projeto.
O Payback original, ou prazo de recuperação do capital, é encontrado somando-se os valores dos fluxos de caixa positivos ( e negativos, se houver) até que se atinja o montante dispendido no investimento.
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Payback Simples (PBS)Payback Simples (PBS)
É o método de avaliação que mede o prazo de retorno do investimento realizado.
Exemplo: Aquisição de uma Copiadora moderna - Estimativa de economia Período (ano) Fluxo de Caixa (R$) Saldo (R$) Payback
0 (35.000) (35.000)1 10.000 (25.000)2 10.000 (15.000)3 10.000 ( 5.000)4 10.000 5.0005 10.000 15.000
Calcula-se o PBS por interpolação: 5.000 - (-5.000) 4 - 3
= 10.0001 = 12 meses
= 833,33
5.000 = 6 meses833,33
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Payback Descontado (PBD)Payback Descontado (PBD)É o método de avaliação que mede o prazo de retorno do investimento realizado. Considera o custo de capital da empresa. O fluxo de caixa de cada período trazido a valor presente, ou seja, calculado o valor de cada fluxo na data zero.Exemplo: Uma determinada pretende recuperar o capital investido de R$ 60.000,00 no máximo em 03 anos. Considerando que os fluxos líquidos de caixa deste investimento sejam de R$ R$ 24.000,00 por ano a uma taxa mínima de atratividade de 15% ao ano, como segue:
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Payback Descontado (PBD)Payback Descontado (PBD)
Conclusão:
a) Pelo visual a empresa terá recuperado o seu investimento no 4º ano, pois ao final do
3º ano falta apenas R$ 5.102,46.
b) Portanto para saber-se o prazo exato.
c) Basta dividir o saldo a recuperar do 3º ano pelo Fluxo Líquido de Caixa do 4º ano,
período onde o investimento ficará positivo, e será totalmente recuperado, como
segue:
R$ 5.202,46 = 0,379 X 360 dias = 136 dias + 3 anos = 3,379 anos R$ 13.722,08
3,379 anos é o tempo que o investimento será integralmente recuperado,
portanto também aceito pela empresa.
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Valor Presente Líquido (VPL) Valor Presente Líquido (VPL) ou Valor Atual Líquido (VALou Valor Atual Líquido (VAL))
(Na HP-12C tecla NPV)
NPV = FC0 + FC1 + FC2 + FC3 + ... + FCn
(1+ i)0 (1+ i)1 (1+ i)2 (1+ i)3 (1+ i)n
VPL = VAEC - IL
Onde:
VPL = valor presente líquido
VAEC = valor atual das Entradas de Caixa
IL = Investimento Líquido
Onde:
NPV = net present value
FC = Fluxos de Caixa
i = custo de oportunidade
(taxa de atratividade)
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Critério de “DecisãoCritério de “Decisão””
É o critério utilizado na análise de investimentos, capaz de aceitar ou não determinado projeto.
VPL > = 0 ACEITA-SE O PROJETO
VPL < 0 REJEITA-SE O PROJETO
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Exemplo : Investimento do Exemplo : Investimento do “Seu” Zé“Seu” Zé
Vamos usar o exemplo do “seu" Zé:Zé pretende se aposentar e está estudando um investimento a ser feito com suas economias. O projeto consiste na compra de um táxi (e contratação de um motorista) para trabalhar no mercado nos próximos 5 anos. Levantou as seguintes informações:a)preço de um veículo novo = R$15.000,00; b)b) licença + placa comercial = R$10.000,00;c) despesas gerais com o veículo no 1° ano estimadas em R$6.000,00, prevendo-se um aumento de R$1.000,00 a cada ano. O faturamento anual é da ordem de R$24.000,00 e o salário anual para contratar um motorista é de R$6.000,00. Ao final do empreendimento, o Zé pretende vender a placa pelo mesmo valor de aquisição e o veículo por um valor residual de 40%.
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Estrutura do Projeto do Estrutura do Projeto do exemploexemplo
Ano Investimento Receitas Despesas Salários do Fluxo decom veículo motorista Caixa Líquido
0 -25.000 -25.0001 24.000 -6.000 -6.000 12.0002 24.000 -7.000 -6.000 11.0003 24.000 -8.000 -6.000 10.0004 24.000 -9.000 -6.000 9.0005 16.000 24.000 -10.000 -6.000 24.000
1 2 3 4
-25.000
12.000 11.000 10.000 9.000 24.000
5
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Cálculo do VPLCálculo do VPL
EC Fator Valor atual
Co = VAEC1= 12.000 x 1/(1,15)1 = 10.434,78
Co = VAEC2= 11.000 x 1/(1,15)2 = 8.317,58
Co = VAEC3= 10.000 x 1/(1,15)3 = 6.575,16
Co = VAEC4= 9.000 x 1/(1,15)4 = 5.145,78
Co = VAEC5= 24.000 x 1/(1,15)5 = 11.932,24VAECt= 42.405,55
IL= -25.000,00VPL= 17.405,55
Usando matemática financeira e entendendo que o Zé quer uma taxa mínima de 15% de atratividade:
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Cálculo do VPLCálculo do VPL
Usando teclas financeiras da HP-12C:
-25.000,00 tecla g Cfo12.000,00 tecla g Cfj11.000,00 tecla g Cfj10.000,00 tecla g Cfj9.000,00 tecla g Cfj24.000,00 tecla g Cfj
15 tecla itecla f NPV 17.405,54
Entrada dos dados e Resposta
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Interpretação do VPLInterpretação do VPL
O projeto é viável, pois o VPL > 0;
Se o VPL fosse igual a zero, seria ainda igualmente viável. O projeto, além de devolver o investimento, proporcionou um ganho exatamente igual ao mínimo esperado, atingindo a taxa de atratividade requerida de 15%;
O VPL encontrado significa que o Zé, além de atingir o mínimo de 15% de retorno, teve um ganho em $ de R$17.405,55.
O valor encontrado para o VPL do projeto do “seu” Zé foi de R$17.405,55, que significa:
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Taxa Interna de Retorno (TIR)Taxa Interna de Retorno (TIR)
S0 + S1 + ....... + Sn = FC0 + FC1 + ... + FCn
(1+ i)0 (1+ i)1 (1+ i)n (1+ i)0 (1+ i)1 (1+ i)n
Uma das formas possíveis de pensar a TIR é:
Onde:
Sj = saída de caixa j.
FCj = entrada de caixa j.
i = taxa de juros usada para atualizar os FC e S = TIR
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Outra forma de representar a Outra forma de representar a TIRTIR
Outra forma de representar a TIR seria:
"ZERO" = NPV = FC0 + FC1 + FC2 + FC3 + ... + FCn
(1+ TIR)0 (1+ TIR)1 (1+ TIR)2 (1+ TIR)3 (1+ TIR)n
Onde:
FC0 = saída de caixa.
FCj = entrada de caixa j.
i = taxa de juros usada para atualizar os FC e S = TIR
Portanto: a TIR é a taxa que “zera” o VPL!
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Critério de “Decisão”Critério de “Decisão”
É o critério utilizado na análise de investimentos, capaz de aceitar ou não determinado projeto.
TIR > = K ACEITA-SE O PROJETO
TIR < K REJEITA-SE O PROJETO
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Cálculo da TIR (“IRR” na Cálculo da TIR (“IRR” na HP-12C)HP-12C)
Não há solução algébrica no conjunto dos números reais, para a equação que faz VPL=zero. Na verdade, é aqui que o uso da calculadora financeira mais se justifica. O cálculo seria então:
-25.000,00 tecla g Cfo12.000,00 tecla g Cfj11.000,00 tecla g Cfj10.000,00 tecla g Cfj9.000,00 tecla g Cfj24.000,00 tecla g Cfj
tecla f IRR 39,19%
Entrada dos dados e Resposta
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Interpretação da TIRInterpretação da TIRO valor encontrado para a TIR do projeto do “seu”
Zé foi de 39,19%, que significa:
• O projeto é viável, pois o TIR(39,19%) > K(15%)• Se a TIR fosse (=15%) igual a K, seria ainda
igualmente viável. O projeto, além de devolver o investimento, proporcionou um ganho exatamente igual ao mínimo esperado, atingindo a taxa de atratividade requerida de 15%
• O excedente encontrado em relação à taxa de atratividade (K) (39,19% - 15% = 24,19%) não tem significado na análise de investimentos. Só indica que riqueza está sendo agregada
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Referências BibliográficasReferências BibliográficasCOSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira., Estatística São Paulo, Edgard Blucher, 2002MARTINS, Gilberto de Andrade., Estatística Geral e Aplicada São Paulo, Atlas, 2001MORETTIN, Luiz Gonzaga., Estatística Básica São Paulo, Makron Books, 1999 KAZMIER, L. Estatística aplicada à Economia e Administração. São Paulo: McGraw-hill, 1982. 376p.FONSECA, J.S. da & MARTINS, G. de A. Curso de estatística. São Paulo: Atlas, 6.ed, 1996.320p._________. Estatística aplicada, São Paulo: Atlas, 2.ed., 1995.267p.SILVA, Ermes Medeiros da. Et al. Estatística: para cursos de economia, administração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 1999. v. 1.