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Métodos Numéricos para EDO’s

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• Esta parte compreende métodos que aproximam uma equação diferencial por uma equação de diferenças.

– Uma equação de diferenças de ordem n é uma sequência de equações da forma

gk(yk+n, yk+n-1, … yk) = 0 k= 0, 1, 2, … (9)

yi = i i = 0, 1, 2, …, n-1

– Os gksão funções de n+1 variáveis e os valores i, i = 0(1)n-

1, são específicos. Uma solução de tal equação é uma sequência {y0, y1, y2, y3, …, yn-1, yn} que satisfaz a (9).

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• Note que determinar numericamente uma solução de uma equação diferencial é encontrar os valores y1, y2, …, yn através de

uma aproximação da equação de diferenças.– Essa aproximação introduz um erro de

truncamento e um erro de arredondamento

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• Os métodos de passos simples necessitam apenas dos resultados de yk , do passo

anterior, para determinar a aproximação de yk+1.

• Os métodos de passos múltiplos servem para determinar a aproximação yk+1 a qual

depende dos valores de yk, yk-1 . . .

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Métodos de Euler

• O método de Euler é um método mais simples que oferece solução para EDOs com condições iniciais.

• A simplicidade do método serve ilustrar técnicas usadas em outros métodos.

• Ele consiste em aproximar a solução y ( x ), no sentido de uma linearização, por meio de suas tangentes (vide próximo slide).

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Métodos de Euler

• Vamos resolver uma EDO de primeira ordem da forma y’(x)

= f(x,y) sujeita à condição inicial y(x0) = y0 .

• Suponha que y = F(x) e que a solução analítica seja a curva ilustrada abaixo.

y2

y1y0

x0 x1 x2

y = F(x)

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Métodos de Euler

• Para fazer uma estimativa de y1, vamos considerar que:

(dy/dx)|(x0, y0) = f(x0,y0)

• Disso resulta:

(y - y0)/(x - x0) = f(x0,y0)

y2

y1y0

x0 x1 x2

y = F(x)

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Métodos de Euler

• Considerando que se h = x1 - x0 tender a zero, teremos que a

ordenada do ponto Q, y tende a y1 e daí:

y = y0 + hf(x0,y0) ou

y1 y0 + hf(x0,y0)

y

y1

y0

x0 x1

P1 = (x1,y1)

Q = (x1,y)

Generalizando, obtemos a seguinte equação de diferenças:

yk+1 = yk + hf(xk,yk)

que é a expressão do Método de Euler.

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Métodos de Euler (2)

• Outra interpretação do método de Euler• Considere o problema

• i.e., são dados um ponto de partida, (x0,y0), e uma direção a ser tomada, f (x, y ). • Desejamos determinar y (z ).

00 )(

),(

yxy

yxfdx

dy

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Interpretação geométrica do Método de Euler

Figura 1

x

y

y0

x0 z = x1

y1

y ( x )

h

Considere a Figura 1. A interpretação geométrica da figura nos permite escrever a equação:

F ’(x 0 ) = y’ (x 0) = f (x 0 , y 0) Fazendo x1 – x0 = h

Obteremos y1 = y0 + h f (x 0 , y 0)

ou

F(x 1) F(x 0) + F ’(x 0) (x1 – x0 ) (Taylor).


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Interpretação geométrica do Método de Euler

Figura 1

x

y

y0

x0 z = x1

y1

y ( x )

h

F(x 1) F(x 0) + F ’(x 0) (x1 – x0 ) (Taylor).

Podemos dizer, portanto, que:y1 F(x 1) = F( z )

Note que estamos substituindo a função desconhecida y( x ) por, simplesmente uma reta em todo intervalo [x0; z] e calculando a imagem de z sobre ela o que pode ser uma aproximação ruim para y( z ).


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• Todavia, note que podemos melhorar esta aproximação. Para isso, devemos subdividir o intervalo [x0; z] em subintervalos de amplitude constante, genericamente chamada de h. • Como sabemos calcular a direção da função incógnita y(x) em cada ponto, bastar substituir essa função por um segmento de reta, em cada um destes subintervalos. • Note que estes segmentos terão a direção que ela (função) tem no início de cada dos subintervalos, (veja Figura 2). • Assim, obtemos: yi + 1 = yi + hf(xi, yi), i = 0, 1, 2, ...

que vem a ser o método de Euler.


Método de Euler considerando dois subintervalos

Figura 2

x

y

y0

x0 z = x2

y ( x )

y1

y2

x1

h h

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Exemplo : Considere o problema de valor inicial y ( 1 ) = 1 da equaçãodiferencial y’ = f ( x, y ) = 2x + 3. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 1, 2 e 4 partes sucessivamentee aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 2 ) para a equaçãodada.

Solução:Temos y’ = f ( x, y ) = 2x + 3, com y (1) = 1 ou seja, x 0 = 1 e y 0 = 1.Com uma divisão do intervalo, isto é, h = 1, obtemos: y1 = y0 + h f (x 0 , y 0 ) = 1 + 1 [ 2 x 1 + 3 ] = 1 + 5 = 6.Com duas divisões do intervalo, isto é, h = 0,5 , temosy1 = y0 + h f (x 0 , y 0 ) = 1 + 0,5 [ 2 x 1 + 3 ] = 1 + 2,5 = 3,5y2 = y1 + h f (x 1 , y 1) = 3,5 + 0,5 [ 2 x 1,5 + 3 ] = 3,5 + 3,0 = 6,5Finalmente, considerando quatro divisões, isto é, h = 0,25, temos y1 = y0 + h f (x 0 , y 0 ) = 1 + 0,25 [ 2 x 1 + 3 ] = 1 + 1,25 = 2,25 y2 = y1 + h f (x 1 , y 1 ) = 2,25 + 0,25 [ 2 x 1,25 + 3 ] = 2,25 + 1,375 = 3,625 y3 = y2 + h f (x 2 , y 2 ) = 3,625 + 0,25 [ 2 x 1,5 + 3 ] = 3,625+ 1,5 = 5,125 y4 = y3 + h f (x 3 , y 3 ) = 5,125 + 0,25 [ 2 x 1,75 + 3 ] = 5,125 + 1,625 = 6,75


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• Um problema que ocorre no método “simples” de Euler é que ele pressupõe que a função que está sendo aproximada mantém, em todo intervalo, a direção que ela tem no extremo “de partida” dele. • • O método modificado de Euler irá considerar também uma única direção para a função y ( x ), só que uma direção média entre aquela do “início” do intervalo e uma estimativa da direção no “final” dele.• • Para tanto, em primeiro lugar, usando o método “simples” de Euler, fazemos uma previsão de yi + 1, chamada yi+1.

Método Modificado de Euler

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Dessa forma,

Previsão : yi + 1 = yi + hf (xi , yi ).

Com esta previsão, podemos obter o valor aproximado da direção da curva y(x) no ponto (xi + 1, yi + 1) através de f(xi + 1, y i + 1).

Determina-se a chamada correção,

Correção :yi + 1 = yi + h/2[f(xi, yi) + f(xi + 1, yi + 1)] .


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Correção :yi + 1 = yi + h/2[f(xi, yi) + f(xi + 1, yi +

1)]

Esta expressão é conhecida como o método modificado de Euler.

Uma interpretação geométrica deste método pode ser vista na Figura 3.


Interpretação geométrica do Método modificado de Euler

Figura 3

x

y

x0 x1

y ( x )

h

( x1 ; y1 )

( x1 ;

y1 ) Direção média

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Exemplo - Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y’ = f (x, y ) = 2x + 3 com a condição de valor inicial y ( 1) = 1.

Dividindo o intervalo [1; 2 ] em apenas uma parte, i.e, fazendo h =1 e, aplicando o método de modificado de Euler, determine o valor aproximado de y(2) para a equação dada.


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Solução Sabendo que a cada aproximação é necessário fazer um processo de previsão – correção e, considerando h =1, temos yi + 1

Previsãoyi+1 = yi + hf(xi , yi )

no caso y1 = y0 + hf(x0, y0)

y1 = 1 + 1f(1, 1) = 1 + 1 (2x1 + 3) = 6


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Solução Correçãoyi+1 = yi + h/2[f(xi , yi ) + f(xi+1 , yi+1)]

y1 = 1 + ½[f(1, 1) + f(2, 6)]

y1 = 1 + 1/2[5 + 2x2+3] = 1 + 6 = 7.


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Referências

Ruggiero, M. A. G., Lopes, V. L. R., Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, Pearson/Markron Books, 2a. Edição, 1998.

Cláudio, D. M. e Martins, J. M., Cálculo Numérico Computacional, Ed. Atlas, 1987.

Barroso, L, Barroso, M.M.A., Campos Filho, F. F., Cálculo Numérico com Aplicações, Ed. Harbra, 1987.

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