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Matemtica e Suas Tecnologias Matemtica 1
Mdulo 1 Unidade 10
Teorema de PitgorasPara incio de conversa...
Certamente, voc j deve ter ouvido falar no Teorema de Pitgoras.
Pois bem, nesta unidade, ele ser o centro das atenes, mas vamos tentar
fazer isso da forma mais natural possvel, afinal esse famoso teorema uti-
lizado em muitas situaes prticas. A ideia apresentar, discutir e utilizar
o teorema de Pitgoras para resolver problemas e relacion-lo a algumas
atividades de trabalho, como na situao abaixo:
Observe o trabalhador, preparando a estrutura de um telhado:
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Mdulo 1 Unidade 102
Para que no haja falhas na construo, necessrio que se calculem as medidas das
peas com preciso. Qual a sua sugesto para determinarmos a medida correta da pea de
ligao, mostrada na figura acima?
Objetivos de aprendizagem Definir o conceito de ngulo reto;
Reconhecer tringulos retngulos.
Aplicar o Teorema de Pitgoras.
Seo 1O ngulo Reto e o Tringulo Retngulo
Voc j ouviu falar de um tringulo retngulo? Lembra-se dele? Tringulos retngulos
so aqueles que possuem um ngulo de 90, o chamado ngulo reto.
Figura 1: Os tringulos retngulos so aqueles que apresentam um de seus ngulos com 90.
O Teorema de Pitgoras vlido para qualquer tringulo retngulo. Antes, portanto,
de falarmos nele, vamos lembrar o que caracteriza um tringulo retngulo. Comecemos com
a questo do ngulo. Imagine uma formiguinha andando sobre um aro circular. Imagine tam-
bm que voc estivesse no centro do aro e pudesse olhar este deslocamento a partir desse
ponto de vista, como no desenho:
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Matemtica e Suas Tecnologias Matemtica 3
Figura 2: Os trs crculos representam voc observando a trajetria circular de uma pequena formigui-nha andando sobre um aro.
Ao realizar o movimento de giro com a cabea para acompanhar o movimento da
formiguinha, voc est executando uma variao do seu ngulo de viso. Ao percorrer todo o
aro, a formiguinha ter dado uma volta de 360. Sendo assim, se ela percorrer metade do aro
ter percorrido metade do caminho, ou mudado sua direo em 180.
Se percorrer 1/4 da volta, ter formado um ngulo de 90. Este ngulo conhecido como
ngulo reto. Voc j utilizou esse conceito, quando trabalhou com retas perpendiculares.
Observe ao seu redor e veja as formas que possuem ngulos retos. Perceba que o n-
gulo reto muito utilizado pelo homem em suas construes, em mveis e na arte.
Agora que voc j relembrou o ngulo reto, voltemos para o tringulo retngulo.
Como foi dito, trata-se de um tringulo que possui o ngulo de 90.
Alguns instrumentos podem ser utilizados para medir e traar ngulos de 90; um de-
les o esquadro.
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Mdulo 1 Unidade 104
Figura 3: diferentes tipos de esquadros, utilizados para se desenhar um ngulo de 90
Observe que, apesar de servirem a propsitos semelhantes, o esquadro de desenho e
o de pedreiro possuem certa diferena. Os esquadros de desenho encontrados no mercado
possuem a forma de tringulo retngulo. Os lados deste tipo de tringulo possuem nomes
especiais (veja a figura).
Figura 4: esquema de um tringulo retngulo com os nomes de seus lados
As propriedades deste tipo de tringulo foram estudadas pelos povos antigos. Voc
j ouviu falar sobre a relao estabelecida por Pitgoras e seus discpulos, envolvendo as
medidas dos catetos e da hipotenusa de um tringulo retngulo? Isto ocorreu h mais de
2000 anos na Grcia e voc vai estudar essa relao na seo 2. Antes, porm, vamos nossa
situao-problema inicial.
Situaoproblema
O seguinte problema foi retirado de um manuscrito alemo de Peter van Halle, escrito
em 1568. Ns o transcrevemos, adaptando suas unidades de medida para nossas medidas
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atuais. Esta uma tpica situao-problema que envolve, para a sua soluo, a aplicao do
Teorema de Pitgoras.
H uma torre com 10 metros de altura e em volta da torre h um canal com 3 metros de largura.
Algum precisa fazer uma escada que passe por cima da gua at ao topo da torre.
A pergunta : que comprimento deve ter a escada?
Citado por Marjolein Kool
Adaptado de Fonte: www.malhatlantica.pt/mathis/Problemas/Pitagoras/Pitagoricos.htm .
Voc consegue perceber o tringulo retngulo na situao-problema acima?
Aprofundaremos agora o estudo do Teorema de Pitgoras para que voc consiga solu-
cionar a situao-problema proposta!
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Mdulo 1 Unidade 106
Seo 2O Teorema de Pitgoras
A demonstrao do teorema sobre tringulos retngulos atribuda a Pitgoras. Esse
teorema diz que o quadrado sobre a hipotenusa de um tringulo retngulo igual soma dos
quadrados sobre os catetos. Na verdade, esse teorema j era conhecido pelos babilnios mais
de um milnio antes, mas sua primeira demonstrao pode ter sido dada por Pitgoras e, por
isso, o teorema leva seu nome. Embora no se tenha certeza sobre o mtodo utilizado por ele,
algumas evidncias indicam que pode ter sido feita por decomposio, da seguinte maneira:
Denotemos por a e b os catetos e por c a hipotenusa de um tringulo retngulo.
Consideremos dois quadrados de lados a + b:
Decompe-se o primeiro quadrado em cinco partes da seguinte forma (veja a figura
a seguir):
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quatro tringulos retngulos com mesmas medidas que o tringulo dado, e
um quadrado de lado c (sobre as hipotenusas dos tringulos):
Decompe-se o segundo quadrado em seis partes: quatro tringulos retngulos com
mesmas medidas ao tringulo dado, um quadrado de lado a (sobre um dos catetos) e um
quadrado de lado b (sobre o outro cateto), conforme a figura a seguir:
Tnhamos dois quadrados geometricamente iguais (de lados a+b). Ambos contm
quatro tringulos geometricamente iguais ao tringulo retngulo dado. Se retirarmos esses
quatro tringulos dos dois quadrados iniciais, o que sobra de rea em um ser igual ao que
sobra de rea no outro.
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Mdulo 1 Unidade 108
Isto significa que a rea do quadrado de lado c igual a soma das reas dos quadrados
de lado a e b. Logo:
c2 = a2 + b2
Resumindo!
Seja um tringulo retngulo qualquer com medidas a, b e c, como mostra o desenho:
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Na construo de alguns telhados, podem ser encontradas estruturas, chama-
das tesouras, como as da figura a seguir.
Observe um esquema de uma tesoura e responda as perguntas a seguir:
a) Quantos tringulos retngulos podem ser observados?
b) Se a pea A (inteira) mede 8m e a pea B mede 1,8m , possvel que a pea C mea 5m, sabendo que o ngulo formado pelas peas A e B reto? Justi-fique.
c) Calcule a medida da pea C.
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Mdulo 1 Unidade 1010
Resolva agora um problema parecido com o de Per Van Halle, apresentado na
situao-problema desta seo. Uma escada possui 6 metros e dever ser posicionada
de tal forma que fique afastada 2 metros de uma torre. Qual a altura mxima que a
escada dever atingir na torre?
Um pedreiro, quando precisa de um ngulo reto, na maioria de vezes para fazer
a locao de uma obra, utiliza linhas e estacas da seguinte maneira:
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a) Como se pode garantir que o tringulo assim construdo retngulo? Justi-fique sua resposta matematicamente.
b) Se o pedreiro modificar as medidas das linhas para: EF=90cm e EG=1,20m, qual deve ser a distncia entre as estacas F e G para que ele tenha certeza de haver construdo um ngulo reto?
Momento de reflexo
Qualquer tringulo retngulo que possui lados com medidas 3, 4 e 5 para seus dois
catetos e hipotenusa, respectivamente, retngulo. Na verdade, essa afirmativa no verda-
deira apenas para essas medidas, mas para qualquer combinao dessas trs medidas, multi-
plicadas por qualquer nmero. Por exemplo, se multiplicamos essas medidas por 2, teremos
6, 8 e 10, e temos tambm um tringulo retngulo. Experimente para outras multiplicaes
e veja se realmente isso verdade. Aproveite para registrar suas concluses e suas dvidas.
Momentode
reflexo
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Mdulo 1 Unidade 1012
Momentode
reflexo
Voltando conversa inicial...
Os conceitos de ngulo, ngulo reto e rea foram trabalhados nesta unidade com o in-
tuito de entendermos um teorema famoso da Matemtica, o Teorema de Pitgoras. Pudemos
verificar concretamente que esse teorema - apresentado, na maioria das vezes, com uma lin-
guagem estritamente algbrica: a2 = b2 + c2 - possui uma interpretao geomtrica que relacio-
na a rea dos quadrados que esto sobre os lados do tringulo retngulo - a rea do quadrado
sobre a hipotenusa igual soma das reas dos quadrados que esto sobre os catetos.
A importncia do Teorema de Pitgoras d-se pelas
muitas questes que ele permite resolver em nosso dia a
dia, como o caso mostrado no problema inicial desta uni-
dade. Para relembrar, a ideia era calcular a medida da pea
de ligao da estrutura do telhado.
Poderamos calcular a medida, fazendo:
a2 = b2 + c2
Onde a a medida da pea de ligao (hipotenusa
do tringulo retngulo) e b e c so as medidas dos catetos,
150cm e 200cm, respectivamente. Assim teremos:
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Matemtica e Suas Tecnologias Matemtica 13
a2 = 1502 + 2002
a2 = 22500 + 40000
a2 = 62500
a 62500=
a = 250cm
O barato de Pitgoras
Conta a histria que Pitgoras nasceu na Ilha de Samos, no mar Egeu, e criou uma
sociedade mstica secreta, denominada Escola Pitagrica, cujos membros tentavam explicar
racionalmente o mundo. Na Filosofia dos membros dessa Escola, os nmeros tinham um pa-
pel fundamental.
No site Domnio Pblico, voc poder assistir ao vdeo O barato de Pitgoras. Assim,
poder ampliar o que j sabe sobre o assunto.
Veja o endereo:
(http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_
action=&co_obra=146434)
Referncias
Imagens
http://www.sxc.hu/photo/789420
http://www.sxc.hu/browse.phtml?f=download&id=1220957 IvanProle.
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Mdulo 1 Unidade 1014
Bibliografia consultada
IMENES, M. Luiz; LELIS, M. Descobrindo o Teorema de Pitgoras. So Paulo: Scipione. 2000.
PAIVA, M. A. V.; FREITAS, R. C. O. Matemtica. In: SALGADO, Maria Umbelina Caiafa; AMA-RAL, Ana Lcia.. (Org.). ProJovem. Ed. Brasilia DF: Governo Federal/Programa Nacional de Incluso de Jovens, 2006, v. 1,2,3,4
PAIVA, M. A. V.; FREITAS, R. C. O. Matemtica. In: SALGADO, Maria Umbelina Caiafa; AMA-RAL, Ana Lcia.. (Org.). ProJovem Urbano. Ed. Brasilia DF: Governo Federal/Programa Na-cional de Incluso de Jovens, 2008, v. 1,2,3,4,5,6.
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Matemtica e Suas Tecnologias Matemtica 15
Anexo Mdulo 1 Unidade 10
O que perguntam por a?
Exerccio 01
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Anexo Mdulo 1 Unidade 1016
Exerccio 02
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Matemtica e Suas Tecnologias Matemtica 17
Situao-problema
A escada medir aproximadamente 208,8 ps.
Pergunte aos alunos se sabem quanto vale a medida 1 p. Peam que investi-
guem e socializem com seus colegas.
1 p = 12 polegadas.
1 polegada = 2,54 centmetros, aproximadamente.
Logo, 1 p = 12 x 2,54 cm = 30,48 centmetros, aproximadamente
Atividade 1
a) 6 tringulos retngulos
b) S possvel se a pea B no estiver exatamente no meio. Se estiver no meio no poder. Observe:
52 = 25; 42 = 16; 1,82 = 3,24. 16 + 3,24 = 19,24, este valor menor que 25; logo,
o tringulo no pode ser retngulo, podendo at afirmar que ele ser obtusngulo.
c) A pea C medir aproximadamente 4,4m, considerando que a pea B est no meio da pea A.
Atividade 2
A torre mede 5,66 m, aproximadamente.
Atividade 3
a) 1002 = 802 + 602
Logo, o tringulo retngulo e o ngulo mede 90.
b) As estacas F e G devero estar 150cm (1,20m) distantes uma da outra.
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Anexo Mdulo 1 Unidade 1018
Anexo Exerccio 01
Resposta: Letra D.
Anexo Exerccio 02
Resposta: Letra B.