Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Matematica e Arte: Comorepresentar textos, sons e
imagens de formaeficiente?
Prof. Marco CabralInstituto de Matematica
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 1 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Introducao
Aplicacoes da Matematica na Arte: Literatura, Musica eImagem.
Texto: como compactar? TXT, ZIP.O que e Serie de Fourier.Aplicacoes em Imagem:
tif, JPG.compactando (com perda) e aplicando efeitos.formato vetorial: PDF, XFIG.filmes.
Aplicacoes em Musica: compactando e aplicandoefeitos. MP3, WAV.Formato Aberto: sua importancia.Matematica Aplicada e o Ensino.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 2 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Introducao
Aplicacoes da Matematica na Arte: Literatura, Musica eImagem.
Texto: como compactar? TXT, ZIP.O que e Serie de Fourier.Aplicacoes em Imagem:
tif, JPG.compactando (com perda) e aplicando efeitos.formato vetorial: PDF, XFIG.filmes.
Aplicacoes em Musica: compactando e aplicandoefeitos. MP3, WAV.Formato Aberto: sua importancia.Matematica Aplicada e o Ensino.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 2 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Introducao
Aplicacoes da Matematica na Arte: Literatura, Musica eImagem.
Texto: como compactar? TXT, ZIP.O que e Serie de Fourier.Aplicacoes em Imagem:
tif, JPG.compactando (com perda) e aplicando efeitos.formato vetorial: PDF, XFIG.filmes.
Aplicacoes em Musica: compactando e aplicandoefeitos. MP3, WAV.Formato Aberto: sua importancia.Matematica Aplicada e o Ensino.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 2 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Introducao
Aplicacoes da Matematica na Arte: Literatura, Musica eImagem.
Texto: como compactar? TXT, ZIP.O que e Serie de Fourier.Aplicacoes em Imagem:
tif, JPG.compactando (com perda) e aplicando efeitos.formato vetorial: PDF, XFIG.filmes.
Aplicacoes em Musica: compactando e aplicandoefeitos. MP3, WAV.Formato Aberto: sua importancia.Matematica Aplicada e o Ensino.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 2 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Introducao
Aplicacoes da Matematica na Arte: Literatura, Musica eImagem.
Texto: como compactar? TXT, ZIP.O que e Serie de Fourier.Aplicacoes em Imagem:
tif, JPG.compactando (com perda) e aplicando efeitos.formato vetorial: PDF, XFIG.filmes.
Aplicacoes em Musica: compactando e aplicandoefeitos. MP3, WAV.Formato Aberto: sua importancia.Matematica Aplicada e o Ensino.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 2 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Introducao
Aplicacoes da Matematica na Arte: Literatura, Musica eImagem.
Texto: como compactar? TXT, ZIP.O que e Serie de Fourier.Aplicacoes em Imagem:
tif, JPG.compactando (com perda) e aplicando efeitos.formato vetorial: PDF, XFIG.filmes.
Aplicacoes em Musica: compactando e aplicandoefeitos. MP3, WAV.Formato Aberto: sua importancia.Matematica Aplicada e o Ensino.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 2 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Introducao
Aplicacoes da Matematica na Arte: Literatura, Musica eImagem.
Texto: como compactar? TXT, ZIP.O que e Serie de Fourier.Aplicacoes em Imagem:
tif, JPG.compactando (com perda) e aplicando efeitos.formato vetorial: PDF, XFIG.filmes.
Aplicacoes em Musica: compactando e aplicandoefeitos. MP3, WAV.Formato Aberto: sua importancia.Matematica Aplicada e o Ensino.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 2 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Armazenar um Texto?
Texto armazenado em formato ASCII:caracter = 0000 0000 (0) e 1111 1111 (255):a = 0001 1110 (30)
b = 0001 1111 (31)A = 0100 0010 (66)0 = 0110 0100 (100)1 = 0110 0101 (101)c = ... e = .... CR = ...
Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 3 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Armazenar um Texto?
Texto armazenado em formato ASCII:caracter = 0000 0000 (0) e 1111 1111 (255):a = 0001 1110 (30)
b = 0001 1111 (31)A = 0100 0010 (66)0 = 0110 0100 (100)1 = 0110 0101 (101)c = ... e = .... CR = ...
Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 3 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Armazenar um Texto?
Texto armazenado em formato ASCII:caracter = 0000 0000 (0) e 1111 1111 (255):a = 0001 1110 (30)
b = 0001 1111 (31)A = 0100 0010 (66)0 = 0110 0100 (100)1 = 0110 0101 (101)c = ... e = .... CR = ...
Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 3 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Armazenar um Texto?
Texto armazenado em formato ASCII:caracter = 0000 0000 (0) e 1111 1111 (255):a = 0001 1110 (30)
b = 0001 1111 (31)A = 0100 0010 (66)0 = 0110 0100 (100)1 = 0110 0101 (101)c = ... e = .... CR = ...
Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 3 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Armazenar um Texto?
Texto armazenado em formato ASCII:caracter = 0000 0000 (0) e 1111 1111 (255):a = 0001 1110 (30)
b = 0001 1111 (31)A = 0100 0010 (66)0 = 0110 0100 (100)1 = 0110 0101 (101)c = ... e = .... CR = ...
Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 3 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Armazenar um Texto?
Texto armazenado em formato ASCII:caracter = 0000 0000 (0) e 1111 1111 (255):a = 0001 1110 (30)
b = 0001 1111 (31)A = 0100 0010 (66)0 = 0110 0100 (100)1 = 0110 0101 (101)c = ... e = .... CR = ...
Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 3 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Armazenar um Texto?
Texto armazenado em formato ASCII:caracter = 0000 0000 (0) e 1111 1111 (255):a = 0001 1110 (30)
b = 0001 1111 (31)A = 0100 0010 (66)0 = 0110 0100 (100)1 = 0110 0101 (101)c = ... e = .... CR = ...
Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 3 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Armazenar um Texto?
Texto armazenado em formato ASCII:caracter = 0000 0000 (0) e 1111 1111 (255):a = 0001 1110 (30)
b = 0001 1111 (31)A = 0100 0010 (66)0 = 0110 0100 (100)1 = 0110 0101 (101)c = ... e = .... CR = ...
Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 3 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Armazenar um Texto?
Texto armazenado em formato ASCII:caracter = 0000 0000 (0) e 1111 1111 (255):a = 0001 1110 (30)
b = 0001 1111 (31)A = 0100 0010 (66)0 = 0110 0100 (100)1 = 0110 0101 (101)c = ... e = .... CR = ...
Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 3 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Armazenar um Texto?
Texto armazenado em formato ASCII:caracter = 0000 0000 (0) e 1111 1111 (255):a = 0001 1110 (30)
b = 0001 1111 (31)A = 0100 0010 (66)0 = 0110 0100 (100)1 = 0110 0101 (101)c = ... e = .... CR = ...
Assim um texto e traduzido numa sequencia de 8 bits(dıgitos na base 2), = 1 byte.Por Exemplo:Este texto ...00101010 10100010 11110001 11001111 ...
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 3 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Compactar Texto?
Princıpio Geral de Compactacao: Buscar repeticoes.Para Texto: quais caracteres mais comuns em umtexto?Normalmente a, e, espaco, b.Fazer nova tabela (em bits):a = 1 e = 01, espaco = 001, b = 0001
abea aeba1 0001 01 1 001 1 01 0001 1 (19 bits)No formato ASCII: 9 caracteres x 8 bits= 72 bits.Reducao de 19/72 = 26%. MAS, tem que se colocarno inicio tabela de conversao.Este e o formato ZIP.Texto desta palestra: 18K para 6K: 33%.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 4 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Compactar Texto?
Princıpio Geral de Compactacao: Buscar repeticoes.Para Texto: quais caracteres mais comuns em umtexto?Normalmente a, e, espaco, b.Fazer nova tabela (em bits):a = 1 e = 01, espaco = 001, b = 0001
abea aeba1 0001 01 1 001 1 01 0001 1 (19 bits)No formato ASCII: 9 caracteres x 8 bits= 72 bits.Reducao de 19/72 = 26%. MAS, tem que se colocarno inicio tabela de conversao.Este e o formato ZIP.Texto desta palestra: 18K para 6K: 33%.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 4 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Compactar Texto?
Princıpio Geral de Compactacao: Buscar repeticoes.Para Texto: quais caracteres mais comuns em umtexto?Normalmente a, e, espaco, b.Fazer nova tabela (em bits):a = 1 e = 01, espaco = 001, b = 0001
abea aeba1 0001 01 1 001 1 01 0001 1 (19 bits)No formato ASCII: 9 caracteres x 8 bits= 72 bits.Reducao de 19/72 = 26%. MAS, tem que se colocarno inicio tabela de conversao.Este e o formato ZIP.Texto desta palestra: 18K para 6K: 33%.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 4 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Compactar Texto?
Princıpio Geral de Compactacao: Buscar repeticoes.Para Texto: quais caracteres mais comuns em umtexto?Normalmente a, e, espaco, b.Fazer nova tabela (em bits):a = 1 e = 01, espaco = 001, b = 0001
abea aeba1 0001 01 1 001 1 01 0001 1 (19 bits)No formato ASCII: 9 caracteres x 8 bits= 72 bits.Reducao de 19/72 = 26%. MAS, tem que se colocarno inicio tabela de conversao.Este e o formato ZIP.Texto desta palestra: 18K para 6K: 33%.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 4 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Compactar Texto?
Princıpio Geral de Compactacao: Buscar repeticoes.Para Texto: quais caracteres mais comuns em umtexto?Normalmente a, e, espaco, b.Fazer nova tabela (em bits):a = 1 e = 01, espaco = 001, b = 0001
abea aeba1 0001 01 1 001 1 01 0001 1 (19 bits)No formato ASCII: 9 caracteres x 8 bits= 72 bits.Reducao de 19/72 = 26%. MAS, tem que se colocarno inicio tabela de conversao.Este e o formato ZIP.Texto desta palestra: 18K para 6K: 33%.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 4 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Compactar Texto?
Princıpio Geral de Compactacao: Buscar repeticoes.Para Texto: quais caracteres mais comuns em umtexto?Normalmente a, e, espaco, b.Fazer nova tabela (em bits):a = 1 e = 01, espaco = 001, b = 0001
abea aeba1 0001 01 1 001 1 01 0001 1 (19 bits)No formato ASCII: 9 caracteres x 8 bits= 72 bits.Reducao de 19/72 = 26%. MAS, tem que se colocarno inicio tabela de conversao.Este e o formato ZIP.Texto desta palestra: 18K para 6K: 33%.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 4 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Compactar Texto?
Princıpio Geral de Compactacao: Buscar repeticoes.Para Texto: quais caracteres mais comuns em umtexto?Normalmente a, e, espaco, b.Fazer nova tabela (em bits):a = 1 e = 01, espaco = 001, b = 0001
abea aeba1 0001 01 1 001 1 01 0001 1 (19 bits)No formato ASCII: 9 caracteres x 8 bits= 72 bits.Reducao de 19/72 = 26%. MAS, tem que se colocarno inicio tabela de conversao.Este e o formato ZIP.Texto desta palestra: 18K para 6K: 33%.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 4 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Compactar Texto?
Princıpio Geral de Compactacao: Buscar repeticoes.Para Texto: quais caracteres mais comuns em umtexto?Normalmente a, e, espaco, b.Fazer nova tabela (em bits):a = 1 e = 01, espaco = 001, b = 0001
abea aeba1 0001 01 1 001 1 01 0001 1 (19 bits)No formato ASCII: 9 caracteres x 8 bits= 72 bits.Reducao de 19/72 = 26%. MAS, tem que se colocarno inicio tabela de conversao.Este e o formato ZIP.Texto desta palestra: 18K para 6K: 33%.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 4 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Compactar Texto?
Princıpio Geral de Compactacao: Buscar repeticoes.Para Texto: quais caracteres mais comuns em umtexto?Normalmente a, e, espaco, b.Fazer nova tabela (em bits):a = 1 e = 01, espaco = 001, b = 0001
abea aeba1 0001 01 1 001 1 01 0001 1 (19 bits)No formato ASCII: 9 caracteres x 8 bits= 72 bits.Reducao de 19/72 = 26%. MAS, tem que se colocarno inicio tabela de conversao.Este e o formato ZIP.Texto desta palestra: 18K para 6K: 33%.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 4 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Compactar Texto?
Princıpio Geral de Compactacao: Buscar repeticoes.Para Texto: quais caracteres mais comuns em umtexto?Normalmente a, e, espaco, b.Fazer nova tabela (em bits):a = 1 e = 01, espaco = 001, b = 0001
abea aeba1 0001 01 1 001 1 01 0001 1 (19 bits)No formato ASCII: 9 caracteres x 8 bits= 72 bits.Reducao de 19/72 = 26%. MAS, tem que se colocarno inicio tabela de conversao.Este e o formato ZIP.Texto desta palestra: 18K para 6K: 33%.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 4 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
O que e a Serie de Fourier?
Podemos representar uma funcao “qualquer” numintervalo [a,b] como uma soma de senos e cossenos:
f (x) =∞∑
j=0
bj cos(jx) +∞∑
j=1
aj sin(jx).
Existe bijecao: {funcoes} ←→ {coeficientes aj ,bj}.Chamada serie de Fourier.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 5 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
O que e a Serie de Fourier?
Podemos representar uma funcao “qualquer” numintervalo [a,b] como uma soma de senos e cossenos:
f (x) =∞∑
j=0
bj cos(jx) +∞∑
j=1
aj sin(jx).
Existe bijecao: {funcoes} ←→ {coeficientes aj ,bj}.Chamada serie de Fourier.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 5 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
O que e a Serie de Fourier?
Podemos representar uma funcao “qualquer” numintervalo [a,b] como uma soma de senos e cossenos:
f (x) =∞∑
j=0
bj cos(jx) +∞∑
j=1
aj sin(jx).
Existe bijecao: {funcoes} ←→ {coeficientes aj ,bj}.Chamada serie de Fourier.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 5 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Exemplos de Serie de Fourier
Exemplo Onda quadrada.
Exemplo Onda triangular.
Exemplo Animacao.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 6 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Exemplos de Serie de Fourier
Exemplo Onda quadrada.
Exemplo Onda triangular.
Exemplo Animacao.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 6 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Exemplos de Serie de Fourier
Exemplo Onda quadrada.
Exemplo Onda triangular.
Exemplo Animacao.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 6 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Serie de Fourier no computador
No computador, sabemos f (x) para um numero finitode x (taxa de amostragem).A soma de senos e cossenos sera finita.F sera a FFT (Fast Fourier Transform), base detecnologia (chips fazem isto).Carregamos no bolsoesta FFT sem saber!Assim F levara valores (espaco fısico) em frequencias(espaco espectral).F : {espaco fısico} → {espaco espectral}.Fixado j , coeficientes aj e bj representarao aintensidade da frequencia j na funcao f .Fazemos grafico de frequencias (espectro) da funcao.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 7 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Serie de Fourier no computador
No computador, sabemos f (x) para um numero finitode x (taxa de amostragem).A soma de senos e cossenos sera finita.F sera a FFT (Fast Fourier Transform), base detecnologia (chips fazem isto).Carregamos no bolsoesta FFT sem saber!Assim F levara valores (espaco fısico) em frequencias(espaco espectral).F : {espaco fısico} → {espaco espectral}.Fixado j , coeficientes aj e bj representarao aintensidade da frequencia j na funcao f .Fazemos grafico de frequencias (espectro) da funcao.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 7 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Serie de Fourier no computador
No computador, sabemos f (x) para um numero finitode x (taxa de amostragem).A soma de senos e cossenos sera finita.F sera a FFT (Fast Fourier Transform), base detecnologia (chips fazem isto).Carregamos no bolsoesta FFT sem saber!Assim F levara valores (espaco fısico) em frequencias(espaco espectral).F : {espaco fısico} → {espaco espectral}.Fixado j , coeficientes aj e bj representarao aintensidade da frequencia j na funcao f .Fazemos grafico de frequencias (espectro) da funcao.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 7 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Serie de Fourier no computador
No computador, sabemos f (x) para um numero finitode x (taxa de amostragem).A soma de senos e cossenos sera finita.F sera a FFT (Fast Fourier Transform), base detecnologia (chips fazem isto).Carregamos no bolsoesta FFT sem saber!Assim F levara valores (espaco fısico) em frequencias(espaco espectral).F : {espaco fısico} → {espaco espectral}.Fixado j , coeficientes aj e bj representarao aintensidade da frequencia j na funcao f .Fazemos grafico de frequencias (espectro) da funcao.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 7 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Serie de Fourier no computador
No computador, sabemos f (x) para um numero finitode x (taxa de amostragem).A soma de senos e cossenos sera finita.F sera a FFT (Fast Fourier Transform), base detecnologia (chips fazem isto).Carregamos no bolsoesta FFT sem saber!Assim F levara valores (espaco fısico) em frequencias(espaco espectral).F : {espaco fısico} → {espaco espectral}.Fixado j , coeficientes aj e bj representarao aintensidade da frequencia j na funcao f .Fazemos grafico de frequencias (espectro) da funcao.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 7 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Serie de Fourier no computador
No computador, sabemos f (x) para um numero finitode x (taxa de amostragem).A soma de senos e cossenos sera finita.F sera a FFT (Fast Fourier Transform), base detecnologia (chips fazem isto).Carregamos no bolsoesta FFT sem saber!Assim F levara valores (espaco fısico) em frequencias(espaco espectral).F : {espaco fısico} → {espaco espectral}.Fixado j , coeficientes aj e bj representarao aintensidade da frequencia j na funcao f .Fazemos grafico de frequencias (espectro) da funcao.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 7 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Serie de Fourier no computador
No computador, sabemos f (x) para um numero finitode x (taxa de amostragem).A soma de senos e cossenos sera finita.F sera a FFT (Fast Fourier Transform), base detecnologia (chips fazem isto).Carregamos no bolsoesta FFT sem saber!Assim F levara valores (espaco fısico) em frequencias(espaco espectral).F : {espaco fısico} → {espaco espectral}.Fixado j , coeficientes aj e bj representarao aintensidade da frequencia j na funcao f .Fazemos grafico de frequencias (espectro) da funcao.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 7 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Algumas Aplicacoes de Fourier
O que tem de igual (e diferente) o do de um piano,flauta, etc.? Exemplo Instrumentos musicais.
Como saber composicao da atmosfera deAlfa-Centauro?Exame de Sangue (Calcio, Potassio).Efeitos em som (mudanca ou correcao de tom).
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 8 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Algumas Aplicacoes de Fourier
O que tem de igual (e diferente) o do de um piano,flauta, etc.? Exemplo Instrumentos musicais.
Como saber composicao da atmosfera deAlfa-Centauro?Exame de Sangue (Calcio, Potassio).Efeitos em som (mudanca ou correcao de tom).
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 8 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Algumas Aplicacoes de Fourier
O que tem de igual (e diferente) o do de um piano,flauta, etc.? Exemplo Instrumentos musicais.
Como saber composicao da atmosfera deAlfa-Centauro?Exame de Sangue (Calcio, Potassio).Efeitos em som (mudanca ou correcao de tom).
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 8 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Algumas Aplicacoes de Fourier
O que tem de igual (e diferente) o do de um piano,flauta, etc.? Exemplo Instrumentos musicais.
Como saber composicao da atmosfera deAlfa-Centauro?Exame de Sangue (Calcio, Potassio).Efeitos em som (mudanca ou correcao de tom).
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 8 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Algumas Aplicacoes de Fourier
O que tem de igual (e diferente) o do de um piano,flauta, etc.? Exemplo Instrumentos musicais.
Como saber composicao da atmosfera deAlfa-Centauro?Exame de Sangue (Calcio, Potassio).Efeitos em som (mudanca ou correcao de tom).
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 8 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Armazenar Imagem?
Formato bruto (raw format): BMP (BitMap). Exemplobitmap.Problema: Ocupa muito espaco.ASCII esta para texto assim como BMP esta paraimagem.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 9 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Armazenar Imagem?
Formato bruto (raw format): BMP (BitMap). Exemplobitmap.Problema: Ocupa muito espaco.ASCII esta para texto assim como BMP esta paraimagem.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 9 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Armazenar Imagem?
Formato bruto (raw format): BMP (BitMap). Exemplobitmap.Problema: Ocupa muito espaco.ASCII esta para texto assim como BMP esta paraimagem.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 9 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato JPG
Buscar repeticoes: numa imagem tıpica existe o fundo,de cor unica ou variando pouco.Divida imagem em blocos e analise cada blocoseparadamente.Aplicar Fourier e eliminar frequencias altas = pequenasvariacoes imperceptıveis.
Exemplo jpg-Castelo: JPG os blocos e os tamanhos(82Kb para 33Kb).
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 10 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato JPG
Buscar repeticoes: numa imagem tıpica existe o fundo,de cor unica ou variando pouco.Divida imagem em blocos e analise cada blocoseparadamente.Aplicar Fourier e eliminar frequencias altas = pequenasvariacoes imperceptıveis.
Exemplo jpg-Castelo: JPG os blocos e os tamanhos(82Kb para 33Kb).
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 10 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato JPG
Buscar repeticoes: numa imagem tıpica existe o fundo,de cor unica ou variando pouco.Divida imagem em blocos e analise cada blocoseparadamente.Aplicar Fourier e eliminar frequencias altas = pequenasvariacoes imperceptıveis.
Exemplo jpg-Castelo: JPG os blocos e os tamanhos(82Kb para 33Kb).
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 10 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato JPG
Buscar repeticoes: numa imagem tıpica existe o fundo,de cor unica ou variando pouco.Divida imagem em blocos e analise cada blocoseparadamente.Aplicar Fourier e eliminar frequencias altas = pequenasvariacoes imperceptıveis.
Exemplo jpg-Castelo: JPG os blocos e os tamanhos(82Kb para 33Kb).
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 10 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato JPG: mais detalhes
E um formato com perda de informacao, ao contrariodo ZIP. Deve-se usar formatos que nao geram perda(BMP, PNG) para imagens medicas por exemplo.Compressao tıpica de 10:1.Olho percebe cor menos do que intensidade.A magnitude dos aj e bj de alta frequencia saoarmazenados com menos precisao do que os de baixafrequencia.Toda a estrutura e zipada.Problema: Perda de qualidade quando ampliamosimagem.Uma Solucao: Formatos Vetoriais.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 11 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato JPG: mais detalhes
E um formato com perda de informacao, ao contrariodo ZIP. Deve-se usar formatos que nao geram perda(BMP, PNG) para imagens medicas por exemplo.Compressao tıpica de 10:1.Olho percebe cor menos do que intensidade.A magnitude dos aj e bj de alta frequencia saoarmazenados com menos precisao do que os de baixafrequencia.Toda a estrutura e zipada.Problema: Perda de qualidade quando ampliamosimagem.Uma Solucao: Formatos Vetoriais.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 11 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato JPG: mais detalhes
E um formato com perda de informacao, ao contrariodo ZIP. Deve-se usar formatos que nao geram perda(BMP, PNG) para imagens medicas por exemplo.Compressao tıpica de 10:1.Olho percebe cor menos do que intensidade.A magnitude dos aj e bj de alta frequencia saoarmazenados com menos precisao do que os de baixafrequencia.Toda a estrutura e zipada.Problema: Perda de qualidade quando ampliamosimagem.Uma Solucao: Formatos Vetoriais.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 11 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato JPG: mais detalhes
E um formato com perda de informacao, ao contrariodo ZIP. Deve-se usar formatos que nao geram perda(BMP, PNG) para imagens medicas por exemplo.Compressao tıpica de 10:1.Olho percebe cor menos do que intensidade.A magnitude dos aj e bj de alta frequencia saoarmazenados com menos precisao do que os de baixafrequencia.Toda a estrutura e zipada.Problema: Perda de qualidade quando ampliamosimagem.Uma Solucao: Formatos Vetoriais.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 11 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato JPG: mais detalhes
E um formato com perda de informacao, ao contrariodo ZIP. Deve-se usar formatos que nao geram perda(BMP, PNG) para imagens medicas por exemplo.Compressao tıpica de 10:1.Olho percebe cor menos do que intensidade.A magnitude dos aj e bj de alta frequencia saoarmazenados com menos precisao do que os de baixafrequencia.Toda a estrutura e zipada.Problema: Perda de qualidade quando ampliamosimagem.Uma Solucao: Formatos Vetoriais.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 11 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato JPG: mais detalhes
E um formato com perda de informacao, ao contrariodo ZIP. Deve-se usar formatos que nao geram perda(BMP, PNG) para imagens medicas por exemplo.Compressao tıpica de 10:1.Olho percebe cor menos do que intensidade.A magnitude dos aj e bj de alta frequencia saoarmazenados com menos precisao do que os de baixafrequencia.Toda a estrutura e zipada.Problema: Perda de qualidade quando ampliamosimagem.Uma Solucao: Formatos Vetoriais.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 11 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato JPG: mais detalhes
E um formato com perda de informacao, ao contrariodo ZIP. Deve-se usar formatos que nao geram perda(BMP, PNG) para imagens medicas por exemplo.Compressao tıpica de 10:1.Olho percebe cor menos do que intensidade.A magnitude dos aj e bj de alta frequencia saoarmazenados com menos precisao do que os de baixafrequencia.Toda a estrutura e zipada.Problema: Perda de qualidade quando ampliamosimagem.Uma Solucao: Formatos Vetoriais.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 11 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato JPG: mais detalhes
E um formato com perda de informacao, ao contrariodo ZIP. Deve-se usar formatos que nao geram perda(BMP, PNG) para imagens medicas por exemplo.Compressao tıpica de 10:1.Olho percebe cor menos do que intensidade.A magnitude dos aj e bj de alta frequencia saoarmazenados com menos precisao do que os de baixafrequencia.Toda a estrutura e zipada.Problema: Perda de qualidade quando ampliamosimagem.Uma Solucao: Formatos Vetoriais.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 11 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato Vetorial
Aplicacao de Geometria Analıtica.
xfig: Exemplo circulo-retangulo.
Exemplo Comparar qualidade (ampliar figuras) etamanhos de arquivos pdf (4K) jpg (20k) tif (400k)
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 12 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato Vetorial
Aplicacao de Geometria Analıtica.
xfig: Exemplo circulo-retangulo.
Exemplo Comparar qualidade (ampliar figuras) etamanhos de arquivos pdf (4K) jpg (20k) tif (400k)
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 12 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato Vetorial
Aplicacao de Geometria Analıtica.
xfig: Exemplo circulo-retangulo.
Exemplo Comparar qualidade (ampliar figuras) etamanhos de arquivos pdf (4K) jpg (20k) tif (400k)
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 12 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Curvas de Bezier (splines)
Sabemos que por tres pontos (x distintos entre si)dados passa uma unica parabola. (Porque?)Como passar uma curva suave por n pontos?Poderıamos passar um polinomio de grau n − 1 mas ecaro fazer isto.podemos passar de tres em tres pontos com curva deBezier do 3o grau: grau a mais permite igualarderivadas (encaixe suave)Exemplo xfig spline.fig. Mover pontos.
Exemplo Betty Boop. Ver shift-z (zoom) roupas, olhoscomo sao feitos.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 13 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Curvas de Bezier (splines)
Sabemos que por tres pontos (x distintos entre si)dados passa uma unica parabola. (Porque?)Como passar uma curva suave por n pontos?Poderıamos passar um polinomio de grau n − 1 mas ecaro fazer isto.podemos passar de tres em tres pontos com curva deBezier do 3o grau: grau a mais permite igualarderivadas (encaixe suave)Exemplo xfig spline.fig. Mover pontos.
Exemplo Betty Boop. Ver shift-z (zoom) roupas, olhoscomo sao feitos.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 13 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Curvas de Bezier (splines)
Sabemos que por tres pontos (x distintos entre si)dados passa uma unica parabola. (Porque?)Como passar uma curva suave por n pontos?Poderıamos passar um polinomio de grau n − 1 mas ecaro fazer isto.podemos passar de tres em tres pontos com curva deBezier do 3o grau: grau a mais permite igualarderivadas (encaixe suave)Exemplo xfig spline.fig. Mover pontos.
Exemplo Betty Boop. Ver shift-z (zoom) roupas, olhoscomo sao feitos.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 13 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Curvas de Bezier (splines)
Sabemos que por tres pontos (x distintos entre si)dados passa uma unica parabola. (Porque?)Como passar uma curva suave por n pontos?Poderıamos passar um polinomio de grau n − 1 mas ecaro fazer isto.podemos passar de tres em tres pontos com curva deBezier do 3o grau: grau a mais permite igualarderivadas (encaixe suave)Exemplo xfig spline.fig. Mover pontos.
Exemplo Betty Boop. Ver shift-z (zoom) roupas, olhoscomo sao feitos.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 13 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Curvas de Bezier (splines)
Sabemos que por tres pontos (x distintos entre si)dados passa uma unica parabola. (Porque?)Como passar uma curva suave por n pontos?Poderıamos passar um polinomio de grau n − 1 mas ecaro fazer isto.podemos passar de tres em tres pontos com curva deBezier do 3o grau: grau a mais permite igualarderivadas (encaixe suave)Exemplo xfig spline.fig. Mover pontos.
Exemplo Betty Boop. Ver shift-z (zoom) roupas, olhoscomo sao feitos.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 13 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Curvas de Bezier (splines)
Sabemos que por tres pontos (x distintos entre si)dados passa uma unica parabola. (Porque?)Como passar uma curva suave por n pontos?Poderıamos passar um polinomio de grau n − 1 mas ecaro fazer isto.podemos passar de tres em tres pontos com curva deBezier do 3o grau: grau a mais permite igualarderivadas (encaixe suave)Exemplo xfig spline.fig. Mover pontos.
Exemplo Betty Boop. Ver shift-z (zoom) roupas, olhoscomo sao feitos.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 13 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Filmes: formato avi, mp4, mpeg, etc.
Um filme e uma sequencia de fotos.Aproveitar que para quase todo t , diferenca entreimagem t e imagem t + 1 e muito pequena.Assim armazene imagem t = 0 inicial e depois guardesomente a diferenca entre as imagens (o fundo e omesmo: paisagem, predios, etc.).
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 14 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Filmes: formato avi, mp4, mpeg, etc.
Um filme e uma sequencia de fotos.Aproveitar que para quase todo t , diferenca entreimagem t e imagem t + 1 e muito pequena.Assim armazene imagem t = 0 inicial e depois guardesomente a diferenca entre as imagens (o fundo e omesmo: paisagem, predios, etc.).
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 14 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Filmes: formato avi, mp4, mpeg, etc.
Um filme e uma sequencia de fotos.Aproveitar que para quase todo t , diferenca entreimagem t e imagem t + 1 e muito pequena.Assim armazene imagem t = 0 inicial e depois guardesomente a diferenca entre as imagens (o fundo e omesmo: paisagem, predios, etc.).
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 14 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Resumo de Processamento de Imagens
Armazenamento bruto (tif) x compactado (JPG) xvetorial (PDF, XFIG).Compactacao pode ser com perda ou sem perda.Compactacao: Usa psicologia da percepcao visual(quantos tons de vermelho, amarelo, brilho, etc.) eSerie de Fourier.Vetorial: Geometria Analıtica. Resolucao infinita. Muitomais compacta ainda. Nao serve para fotos.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 15 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Resumo de Processamento de Imagens
Armazenamento bruto (tif) x compactado (JPG) xvetorial (PDF, XFIG).Compactacao pode ser com perda ou sem perda.Compactacao: Usa psicologia da percepcao visual(quantos tons de vermelho, amarelo, brilho, etc.) eSerie de Fourier.Vetorial: Geometria Analıtica. Resolucao infinita. Muitomais compacta ainda. Nao serve para fotos.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 15 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Resumo de Processamento de Imagens
Armazenamento bruto (tif) x compactado (JPG) xvetorial (PDF, XFIG).Compactacao pode ser com perda ou sem perda.Compactacao: Usa psicologia da percepcao visual(quantos tons de vermelho, amarelo, brilho, etc.) eSerie de Fourier.Vetorial: Geometria Analıtica. Resolucao infinita. Muitomais compacta ainda. Nao serve para fotos.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 15 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Resumo de Processamento de Imagens
Armazenamento bruto (tif) x compactado (JPG) xvetorial (PDF, XFIG).Compactacao pode ser com perda ou sem perda.Compactacao: Usa psicologia da percepcao visual(quantos tons de vermelho, amarelo, brilho, etc.) eSerie de Fourier.Vetorial: Geometria Analıtica. Resolucao infinita. Muitomais compacta ainda. Nao serve para fotos.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 15 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Resumo de Processamento de Imagens
Armazenamento bruto (tif) x compactado (JPG) xvetorial (PDF, XFIG).Compactacao pode ser com perda ou sem perda.Compactacao: Usa psicologia da percepcao visual(quantos tons de vermelho, amarelo, brilho, etc.) eSerie de Fourier.Vetorial: Geometria Analıtica. Resolucao infinita. Muitomais compacta ainda. Nao serve para fotos.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 15 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Armazenar Som?
Formato bruto (raw format): WAV. Dada frequencia deamostragem, serie de valores da intensidade sonora.
Exemplo MP3- Audacity .aup. Dar zoom ate aparecerpontos.Problema: Ocupa MUITO espaco.Equivalente a ASCII.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 16 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Armazenar Som?
Formato bruto (raw format): WAV. Dada frequencia deamostragem, serie de valores da intensidade sonora.
Exemplo MP3- Audacity .aup. Dar zoom ate aparecerpontos.Problema: Ocupa MUITO espaco.Equivalente a ASCII.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 16 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Armazenar Som?
Formato bruto (raw format): WAV. Dada frequencia deamostragem, serie de valores da intensidade sonora.
Exemplo MP3- Audacity .aup. Dar zoom ate aparecerpontos.Problema: Ocupa MUITO espaco.Equivalente a ASCII.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 16 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Como Armazenar Som?
Formato bruto (raw format): WAV. Dada frequencia deamostragem, serie de valores da intensidade sonora.
Exemplo MP3- Audacity .aup. Dar zoom ate aparecerpontos.Problema: Ocupa MUITO espaco.Equivalente a ASCII.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 16 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato MP3
Psicologia da percepcao auditiva: quantos tons?Frequencias muitas altas ou muito baixas saoinaudıveis.Canais estereos sao correlacionados: fazer um canalcentral e a diferenca.Divida som em blocos e analise cada blocoseparadamente.Aplicar Fourier e eliminar frequencias altas = pequenasvariacoes imperceptıveis.
Exemplo Ouvir com diversas resolucoes.
Exemplo Observar espectros: analyse plot spectrum.
Em filmes, a trilha de audio e MP3.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 17 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato MP3
Psicologia da percepcao auditiva: quantos tons?Frequencias muitas altas ou muito baixas saoinaudıveis.Canais estereos sao correlacionados: fazer um canalcentral e a diferenca.Divida som em blocos e analise cada blocoseparadamente.Aplicar Fourier e eliminar frequencias altas = pequenasvariacoes imperceptıveis.
Exemplo Ouvir com diversas resolucoes.
Exemplo Observar espectros: analyse plot spectrum.
Em filmes, a trilha de audio e MP3.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 17 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato MP3
Psicologia da percepcao auditiva: quantos tons?Frequencias muitas altas ou muito baixas saoinaudıveis.Canais estereos sao correlacionados: fazer um canalcentral e a diferenca.Divida som em blocos e analise cada blocoseparadamente.Aplicar Fourier e eliminar frequencias altas = pequenasvariacoes imperceptıveis.
Exemplo Ouvir com diversas resolucoes.
Exemplo Observar espectros: analyse plot spectrum.
Em filmes, a trilha de audio e MP3.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 17 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato MP3
Psicologia da percepcao auditiva: quantos tons?Frequencias muitas altas ou muito baixas saoinaudıveis.Canais estereos sao correlacionados: fazer um canalcentral e a diferenca.Divida som em blocos e analise cada blocoseparadamente.Aplicar Fourier e eliminar frequencias altas = pequenasvariacoes imperceptıveis.
Exemplo Ouvir com diversas resolucoes.
Exemplo Observar espectros: analyse plot spectrum.
Em filmes, a trilha de audio e MP3.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 17 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato MP3
Psicologia da percepcao auditiva: quantos tons?Frequencias muitas altas ou muito baixas saoinaudıveis.Canais estereos sao correlacionados: fazer um canalcentral e a diferenca.Divida som em blocos e analise cada blocoseparadamente.Aplicar Fourier e eliminar frequencias altas = pequenasvariacoes imperceptıveis.
Exemplo Ouvir com diversas resolucoes.
Exemplo Observar espectros: analyse plot spectrum.
Em filmes, a trilha de audio e MP3.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 17 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato MP3
Psicologia da percepcao auditiva: quantos tons?Frequencias muitas altas ou muito baixas saoinaudıveis.Canais estereos sao correlacionados: fazer um canalcentral e a diferenca.Divida som em blocos e analise cada blocoseparadamente.Aplicar Fourier e eliminar frequencias altas = pequenasvariacoes imperceptıveis.
Exemplo Ouvir com diversas resolucoes.
Exemplo Observar espectros: analyse plot spectrum.
Em filmes, a trilha de audio e MP3.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 17 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato MP3
Psicologia da percepcao auditiva: quantos tons?Frequencias muitas altas ou muito baixas saoinaudıveis.Canais estereos sao correlacionados: fazer um canalcentral e a diferenca.Divida som em blocos e analise cada blocoseparadamente.Aplicar Fourier e eliminar frequencias altas = pequenasvariacoes imperceptıveis.
Exemplo Ouvir com diversas resolucoes.
Exemplo Observar espectros: analyse plot spectrum.
Em filmes, a trilha de audio e MP3.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 17 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Efeitos em Som
Exemplo Fade in e Fade out.
Exemplo change pitch (mudando perıodo dadecomposicao espectral).
Exemplo change tempo: mudanca de escala dotempo.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 18 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Efeitos em Som
Exemplo Fade in e Fade out.
Exemplo change pitch (mudando perıodo dadecomposicao espectral).
Exemplo change tempo: mudanca de escala dotempo.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 18 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Efeitos em Som
Exemplo Fade in e Fade out.
Exemplo change pitch (mudando perıodo dadecomposicao espectral).
Exemplo change tempo: mudanca de escala dotempo.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 18 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato Proprietario: Perigo!
As informacoes e dados produzidos pelo homem ounatureza (dados sısmicos, texto, musica, imagem,filmes etc.) devem ser transformados em sequenciasde 0’s e 1’s para serem armazenados no computador.Precisamos definir um formato:F : {texto ou musica ou imagem} → {0’s e 1’s}.Alguns formatos sao proprietarios: .doc da Microsoft:Outros exemplos sao os de musica do ipod e de textodo kindle.Empresas de formato proprietario faliram: Junto comelas, os programas, que NAO funcionam emcomputadores modernos. Exemplos: planilha quatro,carta certa (editor de textos), chiwriter.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 19 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato Proprietario: Perigo!
As informacoes e dados produzidos pelo homem ounatureza (dados sısmicos, texto, musica, imagem,filmes etc.) devem ser transformados em sequenciasde 0’s e 1’s para serem armazenados no computador.Precisamos definir um formato:F : {texto ou musica ou imagem} → {0’s e 1’s}.Alguns formatos sao proprietarios: .doc da Microsoft:Outros exemplos sao os de musica do ipod e de textodo kindle.Empresas de formato proprietario faliram: Junto comelas, os programas, que NAO funcionam emcomputadores modernos. Exemplos: planilha quatro,carta certa (editor de textos), chiwriter.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 19 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato Proprietario: Perigo!
As informacoes e dados produzidos pelo homem ounatureza (dados sısmicos, texto, musica, imagem,filmes etc.) devem ser transformados em sequenciasde 0’s e 1’s para serem armazenados no computador.Precisamos definir um formato:F : {texto ou musica ou imagem} → {0’s e 1’s}.Alguns formatos sao proprietarios: .doc da Microsoft:Outros exemplos sao os de musica do ipod e de textodo kindle.Empresas de formato proprietario faliram: Junto comelas, os programas, que NAO funcionam emcomputadores modernos. Exemplos: planilha quatro,carta certa (editor de textos), chiwriter.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 19 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato Proprietario: Perigo!
As informacoes e dados produzidos pelo homem ounatureza (dados sısmicos, texto, musica, imagem,filmes etc.) devem ser transformados em sequenciasde 0’s e 1’s para serem armazenados no computador.Precisamos definir um formato:F : {texto ou musica ou imagem} → {0’s e 1’s}.Alguns formatos sao proprietarios: .doc da Microsoft:Outros exemplos sao os de musica do ipod e de textodo kindle.Empresas de formato proprietario faliram: Junto comelas, os programas, que NAO funcionam emcomputadores modernos. Exemplos: planilha quatro,carta certa (editor de textos), chiwriter.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 19 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato Proprietario: Perigo!
As informacoes e dados produzidos pelo homem ounatureza (dados sısmicos, texto, musica, imagem,filmes etc.) devem ser transformados em sequenciasde 0’s e 1’s para serem armazenados no computador.Precisamos definir um formato:F : {texto ou musica ou imagem} → {0’s e 1’s}.Alguns formatos sao proprietarios: .doc da Microsoft:Outros exemplos sao os de musica do ipod e de textodo kindle.Empresas de formato proprietario faliram: Junto comelas, os programas, que NAO funcionam emcomputadores modernos. Exemplos: planilha quatro,carta certa (editor de textos), chiwriter.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 19 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato Proprietario: Perigo!
As informacoes e dados produzidos pelo homem ounatureza (dados sısmicos, texto, musica, imagem,filmes etc.) devem ser transformados em sequenciasde 0’s e 1’s para serem armazenados no computador.Precisamos definir um formato:F : {texto ou musica ou imagem} → {0’s e 1’s}.Alguns formatos sao proprietarios: .doc da Microsoft:Outros exemplos sao os de musica do ipod e de textodo kindle.Empresas de formato proprietario faliram: Junto comelas, os programas, que NAO funcionam emcomputadores modernos. Exemplos: planilha quatro,carta certa (editor de textos), chiwriter.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 19 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato Aberto: Importancia e Aplicacoes
Formatos Abertos sao publicados e mantidos pororganizacoes. Sao de domınio publico.Mesmo daqui a 500 anos poderemos acessar seuconteudo.Para textos tecnicos: LATEX(merece uma palestra).A FSF (Free Software Foundation) publica o OpenDocument Format (texto, planilha, apresentacao),suportado por IBM Lotus, Open Office, Google docs.Existe uma Filosofia (a mesma do Linux, Ubuntu) portras desta ideia. Remeto interessados para internet (ouminha pagina na internet).
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 20 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato Aberto: Importancia e Aplicacoes
Formatos Abertos sao publicados e mantidos pororganizacoes. Sao de domınio publico.Mesmo daqui a 500 anos poderemos acessar seuconteudo.Para textos tecnicos: LATEX(merece uma palestra).A FSF (Free Software Foundation) publica o OpenDocument Format (texto, planilha, apresentacao),suportado por IBM Lotus, Open Office, Google docs.Existe uma Filosofia (a mesma do Linux, Ubuntu) portras desta ideia. Remeto interessados para internet (ouminha pagina na internet).
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 20 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato Aberto: Importancia e Aplicacoes
Formatos Abertos sao publicados e mantidos pororganizacoes. Sao de domınio publico.Mesmo daqui a 500 anos poderemos acessar seuconteudo.Para textos tecnicos: LATEX(merece uma palestra).A FSF (Free Software Foundation) publica o OpenDocument Format (texto, planilha, apresentacao),suportado por IBM Lotus, Open Office, Google docs.Existe uma Filosofia (a mesma do Linux, Ubuntu) portras desta ideia. Remeto interessados para internet (ouminha pagina na internet).
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 20 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato Aberto: Importancia e Aplicacoes
Formatos Abertos sao publicados e mantidos pororganizacoes. Sao de domınio publico.Mesmo daqui a 500 anos poderemos acessar seuconteudo.Para textos tecnicos: LATEX(merece uma palestra).A FSF (Free Software Foundation) publica o OpenDocument Format (texto, planilha, apresentacao),suportado por IBM Lotus, Open Office, Google docs.Existe uma Filosofia (a mesma do Linux, Ubuntu) portras desta ideia. Remeto interessados para internet (ouminha pagina na internet).
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 20 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Formato Aberto: Importancia e Aplicacoes
Formatos Abertos sao publicados e mantidos pororganizacoes. Sao de domınio publico.Mesmo daqui a 500 anos poderemos acessar seuconteudo.Para textos tecnicos: LATEX(merece uma palestra).A FSF (Free Software Foundation) publica o OpenDocument Format (texto, planilha, apresentacao),suportado por IBM Lotus, Open Office, Google docs.Existe uma Filosofia (a mesma do Linux, Ubuntu) portras desta ideia. Remeto interessados para internet (ouminha pagina na internet).
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 20 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
O que e Matematica Aplicada?
Ao longo desta palestra apresentamos algumas aplicacoesda Matematica na Arte.Como em qualquer aplicacao isto envolve:
Uma ramo do conhecimento: Fısica ou Biologia ouMusica ou Psicologia ou Quımica;Computacao;Matematica.
E necessario domınio de (pelo menos) 3 areas.
Conclusao: Matematica Aplicada e bem mais difıcil do queMatematica.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 21 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
O que e Matematica Aplicada?
Ao longo desta palestra apresentamos algumas aplicacoesda Matematica na Arte.Como em qualquer aplicacao isto envolve:
Uma ramo do conhecimento: Fısica ou Biologia ouMusica ou Psicologia ou Quımica;Computacao;Matematica.
E necessario domınio de (pelo menos) 3 areas.
Conclusao: Matematica Aplicada e bem mais difıcil do queMatematica.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 21 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
O que e Matematica Aplicada?
Ao longo desta palestra apresentamos algumas aplicacoesda Matematica na Arte.Como em qualquer aplicacao isto envolve:
Uma ramo do conhecimento: Fısica ou Biologia ouMusica ou Psicologia ou Quımica;Computacao;Matematica.
E necessario domınio de (pelo menos) 3 areas.
Conclusao: Matematica Aplicada e bem mais difıcil do queMatematica.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 21 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
O que e Matematica Aplicada?
Ao longo desta palestra apresentamos algumas aplicacoesda Matematica na Arte.Como em qualquer aplicacao isto envolve:
Uma ramo do conhecimento: Fısica ou Biologia ouMusica ou Psicologia ou Quımica;Computacao;Matematica.
E necessario domınio de (pelo menos) 3 areas.
Conclusao: Matematica Aplicada e bem mais difıcil do queMatematica.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 21 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
O que e Matematica Aplicada?
Ao longo desta palestra apresentamos algumas aplicacoesda Matematica na Arte.Como em qualquer aplicacao isto envolve:
Uma ramo do conhecimento: Fısica ou Biologia ouMusica ou Psicologia ou Quımica;Computacao;Matematica.
E necessario domınio de (pelo menos) 3 areas.
Conclusao: Matematica Aplicada e bem mais difıcil do queMatematica.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 21 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
O que e Matematica Aplicada?
Ao longo desta palestra apresentamos algumas aplicacoesda Matematica na Arte.Como em qualquer aplicacao isto envolve:
Uma ramo do conhecimento: Fısica ou Biologia ouMusica ou Psicologia ou Quımica;Computacao;Matematica.
E necessario domınio de (pelo menos) 3 areas.
Conclusao: Matematica Aplicada e bem mais difıcil do queMatematica.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 21 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Matematica Aplicada e o Ensino
Como utilizar aplicacoes da Matematica no Ensino?Algumas reflexoes:
Balanco entre a complexidade da Matematica e daaplicacao;Escolher tema de interesse real dos alunos: detalhesde uma aplicacao devem ser atrativos, nao pode serexcessivamente tecnicos.E inevitavel algum grau de simplificacao para tornarapresentavel uma aplicacao.Para que se possa ilustrar serao necessariosprogramas de computador: contas “na mao” somentepara problemas MUITO simplificados.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 22 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Matematica Aplicada e o Ensino
Como utilizar aplicacoes da Matematica no Ensino?Algumas reflexoes:
Balanco entre a complexidade da Matematica e daaplicacao;Escolher tema de interesse real dos alunos: detalhesde uma aplicacao devem ser atrativos, nao pode serexcessivamente tecnicos.E inevitavel algum grau de simplificacao para tornarapresentavel uma aplicacao.Para que se possa ilustrar serao necessariosprogramas de computador: contas “na mao” somentepara problemas MUITO simplificados.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 22 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Matematica Aplicada e o Ensino
Como utilizar aplicacoes da Matematica no Ensino?Algumas reflexoes:
Balanco entre a complexidade da Matematica e daaplicacao;Escolher tema de interesse real dos alunos: detalhesde uma aplicacao devem ser atrativos, nao pode serexcessivamente tecnicos.E inevitavel algum grau de simplificacao para tornarapresentavel uma aplicacao.Para que se possa ilustrar serao necessariosprogramas de computador: contas “na mao” somentepara problemas MUITO simplificados.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 22 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Matematica Aplicada e o Ensino
Como utilizar aplicacoes da Matematica no Ensino?Algumas reflexoes:
Balanco entre a complexidade da Matematica e daaplicacao;Escolher tema de interesse real dos alunos: detalhesde uma aplicacao devem ser atrativos, nao pode serexcessivamente tecnicos.E inevitavel algum grau de simplificacao para tornarapresentavel uma aplicacao.Para que se possa ilustrar serao necessariosprogramas de computador: contas “na mao” somentepara problemas MUITO simplificados.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 22 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Matematica Aplicada e o Ensino
Como utilizar aplicacoes da Matematica no Ensino?Algumas reflexoes:
Balanco entre a complexidade da Matematica e daaplicacao;Escolher tema de interesse real dos alunos: detalhesde uma aplicacao devem ser atrativos, nao pode serexcessivamente tecnicos.E inevitavel algum grau de simplificacao para tornarapresentavel uma aplicacao.Para que se possa ilustrar serao necessariosprogramas de computador: contas “na mao” somentepara problemas MUITO simplificados.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 22 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Matematica Aplicada e o Ensino
Como utilizar aplicacoes da Matematica no Ensino?Algumas reflexoes:
Balanco entre a complexidade da Matematica e daaplicacao;Escolher tema de interesse real dos alunos: detalhesde uma aplicacao devem ser atrativos, nao pode serexcessivamente tecnicos.E inevitavel algum grau de simplificacao para tornarapresentavel uma aplicacao.Para que se possa ilustrar serao necessariosprogramas de computador: contas “na mao” somentepara problemas MUITO simplificados.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 22 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Resumo
Aplicacoes bastante sofisticadas da Matematica estaopresentes nos aparelhos celulares e na internet (fotose som).Podemos armazenar som e imagem em formato bruto,que ocupa um espaco enorme em disco.A compressao de som e imagem (e texto) permitereduzir por ordem de 10 vezes ou mais o tamanho dosarquivos.Base destas aplicacoes e a chamada Serie de Fourier.Armazenando em formato vetorial, a reducao e MUITOmaior. Alem disso permite ampliacoes sem perda deresolucao.Base destas aplicacoes e a Geometria Analıtica.Processamento de som e imagem envolve tambembastante Matematica.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 23 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Resumo
Aplicacoes bastante sofisticadas da Matematica estaopresentes nos aparelhos celulares e na internet (fotose som).Podemos armazenar som e imagem em formato bruto,que ocupa um espaco enorme em disco.A compressao de som e imagem (e texto) permitereduzir por ordem de 10 vezes ou mais o tamanho dosarquivos.Base destas aplicacoes e a chamada Serie de Fourier.Armazenando em formato vetorial, a reducao e MUITOmaior. Alem disso permite ampliacoes sem perda deresolucao.Base destas aplicacoes e a Geometria Analıtica.Processamento de som e imagem envolve tambembastante Matematica.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 23 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Resumo
Aplicacoes bastante sofisticadas da Matematica estaopresentes nos aparelhos celulares e na internet (fotose som).Podemos armazenar som e imagem em formato bruto,que ocupa um espaco enorme em disco.A compressao de som e imagem (e texto) permitereduzir por ordem de 10 vezes ou mais o tamanho dosarquivos.Base destas aplicacoes e a chamada Serie de Fourier.Armazenando em formato vetorial, a reducao e MUITOmaior. Alem disso permite ampliacoes sem perda deresolucao.Base destas aplicacoes e a Geometria Analıtica.Processamento de som e imagem envolve tambembastante Matematica.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 23 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Resumo
Aplicacoes bastante sofisticadas da Matematica estaopresentes nos aparelhos celulares e na internet (fotose som).Podemos armazenar som e imagem em formato bruto,que ocupa um espaco enorme em disco.A compressao de som e imagem (e texto) permitereduzir por ordem de 10 vezes ou mais o tamanho dosarquivos.Base destas aplicacoes e a chamada Serie de Fourier.Armazenando em formato vetorial, a reducao e MUITOmaior. Alem disso permite ampliacoes sem perda deresolucao.Base destas aplicacoes e a Geometria Analıtica.Processamento de som e imagem envolve tambembastante Matematica.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 23 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Resumo
Aplicacoes bastante sofisticadas da Matematica estaopresentes nos aparelhos celulares e na internet (fotose som).Podemos armazenar som e imagem em formato bruto,que ocupa um espaco enorme em disco.A compressao de som e imagem (e texto) permitereduzir por ordem de 10 vezes ou mais o tamanho dosarquivos.Base destas aplicacoes e a chamada Serie de Fourier.Armazenando em formato vetorial, a reducao e MUITOmaior. Alem disso permite ampliacoes sem perda deresolucao.Base destas aplicacoes e a Geometria Analıtica.Processamento de som e imagem envolve tambembastante Matematica.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 23 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Resumo
Aplicacoes bastante sofisticadas da Matematica estaopresentes nos aparelhos celulares e na internet (fotose som).Podemos armazenar som e imagem em formato bruto,que ocupa um espaco enorme em disco.A compressao de som e imagem (e texto) permitereduzir por ordem de 10 vezes ou mais o tamanho dosarquivos.Base destas aplicacoes e a chamada Serie de Fourier.Armazenando em formato vetorial, a reducao e MUITOmaior. Alem disso permite ampliacoes sem perda deresolucao.Base destas aplicacoes e a Geometria Analıtica.Processamento de som e imagem envolve tambembastante Matematica.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 23 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Resumo
Aplicacoes bastante sofisticadas da Matematica estaopresentes nos aparelhos celulares e na internet (fotose som).Podemos armazenar som e imagem em formato bruto,que ocupa um espaco enorme em disco.A compressao de som e imagem (e texto) permitereduzir por ordem de 10 vezes ou mais o tamanho dosarquivos.Base destas aplicacoes e a chamada Serie de Fourier.Armazenando em formato vetorial, a reducao e MUITOmaior. Alem disso permite ampliacoes sem perda deresolucao.Base destas aplicacoes e a Geometria Analıtica.Processamento de som e imagem envolve tambembastante Matematica.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 23 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Resumo
Aplicacoes bastante sofisticadas da Matematica estaopresentes nos aparelhos celulares e na internet (fotose som).Podemos armazenar som e imagem em formato bruto,que ocupa um espaco enorme em disco.A compressao de som e imagem (e texto) permitereduzir por ordem de 10 vezes ou mais o tamanho dosarquivos.Base destas aplicacoes e a chamada Serie de Fourier.Armazenando em formato vetorial, a reducao e MUITOmaior. Alem disso permite ampliacoes sem perda deresolucao.Base destas aplicacoes e a Geometria Analıtica.Processamento de som e imagem envolve tambembastante Matematica.
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 23 / 24
Abertura
Introducao
Texto
Serie deFourier
ProcessandoImagem
ProcessandoSom
FormatoAberto
A MatematicaAplicada e oEnsino
Resumo
Final
Muito Obrigado
Prof. Marco CabralInstituto de MatematicaUniversidade Federal do Rio de Janeiro
Prof. Marco Cabral Instituto de Matematica - UFRJ 24 / 24