Matemtica 5COMENTRIOS ATIVIDADES1. I.
Aula 10PARA
4.
SALA
Lembrando: Podemos escrever que o primeiro passo para encontrar a primeira determinao positiva (P.D.P) do ngulo (a) fazer (360 a). Podemos usar o esquema abaixo para reduzir um ngulo ao primeiro quadrante. Basta fazer as perguntas seguintes.
Temos que: P = (sen45 + cos45) . (sen46 + cos46) . ... . (sen135 + cos135). ... . (sen150 + cos150).
II. Porm sen135 =
2 2 , assim e cos135 = 2 2 sen135 + cos135 = 0 III. Como temos (sen135 + cos135) = 0 ento P = 0 , pois P um produto.Resposta correta: A
I.+
2.
I.
sen 30 .cos 150 0 tg 181+ +
4 III. cos = cos ( 240 ) = cos ( 360 240 ) = 3 2 quadrante cosx < 0
= cos 120 = cos60 = falta quarto para 180?
III.
cos x . cos sec x >0 sec x . cotgx+ +
1 2
IV.
senx . tgx cos 215o
780o 1080o 300o
360o 3
13 pertence ao 4 Quadrante. 3
2.
Resposta correta: A I. 3015 = 8 . 360 + 135 {P.D.P.
II. Verdadeiro. 5 5 .180 = = 75o 12 122 2
II. cos 3015= cos 135 =
III.
m +1 2 = 2m + 2 = 2m + 2 2 m 1 2 2m + 2m 2m + 2m = 2 2 2 m 2+ 2 = 2 2 2 m = 2 2 2 2 2 . = 2+ 2 2 2
tg 75o > sen 15o
(
)
=
6 2 8 2 3 2 4 = = 3 2 4 2 2
(
)
( (
) )
Resposta correta: C
III. Verdadeiro.
3.
Observe a figura abaixo:
sen 160o > sen 172o
Resposta correta: C 2 3 SRIE E EXTENSIVO | VOLUME 2 | MATEMTICA 5
5.Atribuindo valores a n: i) V0 = cos
FG + 2. 0 . IJ H3 3 K + sen 3 3
+ sen
FG + 2. 0 . IJ H3 3 K
7.
Seja S = sen
2 3 24 + sen + sen + ... + sen . 3 3 3 3
V0 = cos
Podemos escrever: 6 7 12 S = sen + ... + sen + sen + ....+ sen + 3 3 3 3 1 volta+ sen
V0 =
1 3 + 2 2
2 volta
ii) V2 = cos
FG + 2 . 2 IJ + sen FG + 2 . 2 IJ H3 3 K H3 3 K5 5 + sen 3 3
13 18 19 24 + ... + sen + sen + ... + sen . 3 3 3 3
3 volta
4 volta
V2 = cos
Dividimos a soma em 4 intervalos cuja soma zero (cada uma), assim S = 0.Ateno: 2 3 4 5 sen + sen + sen + sen + sen + 3 3 3 3 3+ sen 6 3 3 3 3 + =0 = + +0+ 3 2 2 2 2
V2 =
3 1 2 2
Portanto:3 3 1 1 + + 2 2 2 2 V 0 + V2 = 1
V 0 + V2 =
F GH
I F JK GH
I JK
Resposta correta: C
6.
O tringulo eqiltero divide o ciclo em trs arcos de 120o:
8. 1. Encontrando, primeiramente, a primeira determinao positiva:
1230 360 1080 3 (voltas completas) 150 P.D.P 2. Lembre-se que cos(x) = cosx; assim cos(-1230) = cos(1230) cos1230 = cos150 = cos30 = sen60 3 ou 2
3.
i)
sen 60o =
3 yA yA = 2 1xA 1 xA = 2 1
ii) cos 60o =
9.
Do tringulo, temos: 1. + = 90 = 90 2. Substituindo em sen( + 2), temos sen( + 2) = sen[ + 2(90 )] = = sen[ + 180 2] = sen[180 ] = sen. 1 Como temos sen = 3
iii) xC = xA xC =
1 2
iv) yC = yA yC =
3 2
Os vrtices do tringulo so A
e C
F 1, 3I . GH 2 2 JK
F 1, 3I , GH 2 2 JK
Resposta correta: B
B (1, 0)
Resposta correta: E
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10. Transformando os termos, temos: 1. cos(2 x) = cosx 2. cos( x) = cosx 3. sen( + x) = senx 4. sen
1 E= 8
1
E=8
FG xIJ H2 K
= cosx
Resposta correta: B
13. Observe o ciclo:
Substituindo na expresso temos:y= cos x . cos x
b g bsenxg . cos x y = cot gx
Resposta correta: B
11. Lembrando:A B logx = logA logB x xn logb a
Conclumos que: i) 2 2 sen ( x) = sen x
=n.
logb a
I. cos 315 - cos45 =
ii) cos
2 = II. log2cos315 = log2cos45 = log2 2 = log2 2 = log2 = log2 log2 = 2 2 2 = 1 1 1= 2 21 2
FG xIJ H2 K
= sen x
1 . log2 .log2 = 2 2 2
iii) tg x
Resposta correta: D
FG IJ H 2K F I tg G x J H 2K F I tg G x J H 2K
LM FG xIJ OP N H 2 KQ F I = tg G xJ H2 K= tg = cotgx
12. Ao analisarmos o ciclo trigonomtrico, observamos que:
iv) cos
FG + xIJ = cos FG xIJ H2 K H2 K F I cos G + xJ = senx H2 K
v) cos (2 x) = cos x Substituindo em k: K = senx . senx + (cotgx) . (senx) cosx cos (180 x) = cosx, ento: cos 178 = cos2 cos 176 = cos4 ... Desta maneira: x = cos 2 + cos 4 + ... + cos 176 + cos 178 + cos 180 x = cos 2 + cos 4 + ... cos 4 cos 2 + cos 180 x = cos 180 x = 1 Sendo E = (0,125)x, teremos:E = (0,125)x 1 E= 8x
K = sen2x +
cos x . senx . cosx sen x
K = sen2x + cos2x K = 1Resposta correta: D
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14. Reduzindo cada termo da expresso: i) sen ( + x) = senx
v)
ii) cos x = senx, pois so ngulo complementares. 2
iii)
7 sen + x = 2 7 sen + x = 2 7 sen + x = 2 7 sen + x = 2 vi)
4 + 3 sen + x 2 3 sen 2 + + x 2 3 sen + x 2 cos x
12 + 3 15 + x tg + x = tg 2 2 3 15 + x + x = tg 6 + tg 2 2 3 15 + x + x = tg tg 2 2 3 sen + x 15 2 tg + x = 2 cos 3 + x 2 15 cos x tg + x = 2 + sen x
tg (4 x) = tg (2 + 2 x) tg (4 x) = tg (2 x) tg (4 x) = tgx senx tg (4 x) = cos x
Sendo E o valor da expresso, teremos: 15 sen ( + x ) cos x . tg + x 2 2 E= 7 cos (5 + x ) . sen + x . tg (4 x ) 2 cos x senx . senx . senx E= senx cos x . ( cos x ) . cos x
iv)
E=cos (5 + x) = cos (4 + + x) cos (5 + x) = cos ( + x) cos (5 + x) = cos x3 SRIE E EXTENSIVO |
sen x cos x cos x sen x
E = 1
Resposta correta: B
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15. Encontrando as primeiras determinaes positivas de cada ngulo temos: 2460 = 360 . 6 + 300 300 voltas completas sen2460 = sen300 = sen60 = 3 23 2
1110 = 360 . 3 + 30 30 cos1110 = cos30 = voltas completas 2205 = 360 . 6 + 45 45 voltas completas tg2205 = tg45 = 1 Substituindo, temos:
m=
3 3 . 2 2 1
m=
3 4
Resposta correta: B
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