matemática - caderno de resoluções - apostila volume 2 - pré-universitário - mat5 aula10

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3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 2 | MATEMÁTICA 5 1 Matemática 5 Aula 10 C OMENTÁRIOS A TIVIDADES PARA S ALA 1. I. Temos que: P = (sen45° + cos45°) . (sen46° + cos46°) . ... . (sen135° + cos135°). ... . (sen150° + cos150°). II. Porém sen135° = 2 2 e cos135° = 2 2 , assim sen135° + cos135° = 0 III. Como temos (sen135° + cos135°) = 0 então P 0 = , pois P é um produto. Resposta correta: A 2. I. sen tg 30 150 210 ° ° ° .cos < 0 II. cotg sen tg 50 93 181 ° ° ° . > 0 III. cos . sec sec . x cos x x cotgx > 0 IV. senx tgx co x . sec < 0 Resposta correta: B 3. Dividindo-se 780 o por 360 o teremos resto 60 o , então sec 780 o = sec 60 o = 2: y = sen tg co o sen 30 2 90 780 210 2 2 2 38 38 ° °− ° ° °+ ° [ .cos sec ] sec . cos y = 1 2 2 0 2 22 1 [ . ] . tg ° y = 1 2 2 4 ( ) y = 1 4 Resposta correta: E 4. Lembrando: Podemos escrever que o primeiro passo para encon- trar a primeira determinação positiva (P.D.P) do ân- gulo (–a) é fazer (360° – a). Podemos usar o esquema abaixo para reduzir um ângulo ao primeiro quadrante. Basta fazer as pergun- tas seguintes. I. Para facilitar o nosso raciocínio, transformaremos os ângulos para graus. 7 315 4 π = ° 4 240 3 π = ° 4º quadrante sex < 0 II. sen 7 2 sen315 sen45 4 2 π = °=− °=− falta quarto para 360°? III. cos ( ) ( ) 4 cos 240 cos 360 240 3 π = °= °− °= 2º quadrante cosx < 0 = cos 120° = – cos60° = 1 2 falta quarto para 180°? IV. sen 7 4 2 1 2 . . 4 3 2 2 4 π π =− = Resposta correta: C 5. Temos que: senα = AP AQ , como AQ = 2 AP , então: senα = AP AP 2 senα = 1 2 α = 30 o Se α = 30 o , então β = 60 o . Calculando o que se pede: sen (–β) = sen (–60 o ) sen (–β) = –sen 60 o sen (–β) = – 3 2 Resposta correta: B + + + + + + + + +

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Matemtica 5COMENTRIOS ATIVIDADES1. I.

Aula 10PARA

4.

SALA

Lembrando: Podemos escrever que o primeiro passo para encontrar a primeira determinao positiva (P.D.P) do ngulo (a) fazer (360 a). Podemos usar o esquema abaixo para reduzir um ngulo ao primeiro quadrante. Basta fazer as perguntas seguintes.

Temos que: P = (sen45 + cos45) . (sen46 + cos46) . ... . (sen135 + cos135). ... . (sen150 + cos150).

II. Porm sen135 =

2 2 , assim e cos135 = 2 2 sen135 + cos135 = 0 III. Como temos (sen135 + cos135) = 0 ento P = 0 , pois P um produto.Resposta correta: A

I.+

2.

I.

sen 30 .cos 150 0 tg 181+ +

4 III. cos = cos ( 240 ) = cos ( 360 240 ) = 3 2 quadrante cosx < 0

= cos 120 = cos60 = falta quarto para 180?

III.

cos x . cos sec x >0 sec x . cotgx+ +

1 2

IV.

senx . tgx cos 215o

780o 1080o 300o

360o 3

13 pertence ao 4 Quadrante. 3

2.

Resposta correta: A I. 3015 = 8 . 360 + 135 {P.D.P.

II. Verdadeiro. 5 5 .180 = = 75o 12 122 2

II. cos 3015= cos 135 =

III.

m +1 2 = 2m + 2 = 2m + 2 2 m 1 2 2m + 2m 2m + 2m = 2 2 2 m 2+ 2 = 2 2 2 m = 2 2 2 2 2 . = 2+ 2 2 2

tg 75o > sen 15o

(

)

=

6 2 8 2 3 2 4 = = 3 2 4 2 2

(

)

( (

) )

Resposta correta: C

III. Verdadeiro.

3.

Observe a figura abaixo:

sen 160o > sen 172o

Resposta correta: C 2 3 SRIE E EXTENSIVO | VOLUME 2 | MATEMTICA 5

5.Atribuindo valores a n: i) V0 = cos

FG + 2. 0 . IJ H3 3 K + sen 3 3

+ sen

FG + 2. 0 . IJ H3 3 K

7.

Seja S = sen

2 3 24 + sen + sen + ... + sen . 3 3 3 3

V0 = cos

Podemos escrever: 6 7 12 S = sen + ... + sen + sen + ....+ sen + 3 3 3 3 1 volta+ sen

V0 =

1 3 + 2 2

2 volta

ii) V2 = cos

FG + 2 . 2 IJ + sen FG + 2 . 2 IJ H3 3 K H3 3 K5 5 + sen 3 3

13 18 19 24 + ... + sen + sen + ... + sen . 3 3 3 3

3 volta

4 volta

V2 = cos

Dividimos a soma em 4 intervalos cuja soma zero (cada uma), assim S = 0.Ateno: 2 3 4 5 sen + sen + sen + sen + sen + 3 3 3 3 3+ sen 6 3 3 3 3 + =0 = + +0+ 3 2 2 2 2

V2 =

3 1 2 2

Portanto:3 3 1 1 + + 2 2 2 2 V 0 + V2 = 1

V 0 + V2 =

F GH

I F JK GH

I JK

Resposta correta: C

6.

O tringulo eqiltero divide o ciclo em trs arcos de 120o:

8. 1. Encontrando, primeiramente, a primeira determinao positiva:

1230 360 1080 3 (voltas completas) 150 P.D.P 2. Lembre-se que cos(x) = cosx; assim cos(-1230) = cos(1230) cos1230 = cos150 = cos30 = sen60 3 ou 2

3.

i)

sen 60o =

3 yA yA = 2 1xA 1 xA = 2 1

ii) cos 60o =

9.

Do tringulo, temos: 1. + = 90 = 90 2. Substituindo em sen( + 2), temos sen( + 2) = sen[ + 2(90 )] = = sen[ + 180 2] = sen[180 ] = sen. 1 Como temos sen = 3

iii) xC = xA xC =

1 2

iv) yC = yA yC =

3 2

Os vrtices do tringulo so A

e C

F 1, 3I . GH 2 2 JK

F 1, 3I , GH 2 2 JK

Resposta correta: B

B (1, 0)

Resposta correta: E

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VOLUME 2

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MATEMTICA 5

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10. Transformando os termos, temos: 1. cos(2 x) = cosx 2. cos( x) = cosx 3. sen( + x) = senx 4. sen

1 E= 8

1

E=8

FG xIJ H2 K

= cosx

Resposta correta: B

13. Observe o ciclo:

Substituindo na expresso temos:y= cos x . cos x

b g bsenxg . cos x y = cot gx

Resposta correta: B

11. Lembrando:A B logx = logA logB x xn logb a

Conclumos que: i) 2 2 sen ( x) = sen x

=n.

logb a

I. cos 315 - cos45 =

ii) cos

2 = II. log2cos315 = log2cos45 = log2 2 = log2 2 = log2 = log2 log2 = 2 2 2 = 1 1 1= 2 21 2

FG xIJ H2 K

= sen x

1 . log2 .log2 = 2 2 2

iii) tg x

Resposta correta: D

FG IJ H 2K F I tg G x J H 2K F I tg G x J H 2K

LM FG xIJ OP N H 2 KQ F I = tg G xJ H2 K= tg = cotgx

12. Ao analisarmos o ciclo trigonomtrico, observamos que:

iv) cos

FG + xIJ = cos FG xIJ H2 K H2 K F I cos G + xJ = senx H2 K

v) cos (2 x) = cos x Substituindo em k: K = senx . senx + (cotgx) . (senx) cosx cos (180 x) = cosx, ento: cos 178 = cos2 cos 176 = cos4 ... Desta maneira: x = cos 2 + cos 4 + ... + cos 176 + cos 178 + cos 180 x = cos 2 + cos 4 + ... cos 4 cos 2 + cos 180 x = cos 180 x = 1 Sendo E = (0,125)x, teremos:E = (0,125)x 1 E= 8x

K = sen2x +

cos x . senx . cosx sen x

K = sen2x + cos2x K = 1Resposta correta: D

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3 SRIE E EXTENSIVO

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VOLUME 2

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MATEMTICA 5

14. Reduzindo cada termo da expresso: i) sen ( + x) = senx

v)

ii) cos x = senx, pois so ngulo complementares. 2

iii)

7 sen + x = 2 7 sen + x = 2 7 sen + x = 2 7 sen + x = 2 vi)

4 + 3 sen + x 2 3 sen 2 + + x 2 3 sen + x 2 cos x

12 + 3 15 + x tg + x = tg 2 2 3 15 + x + x = tg 6 + tg 2 2 3 15 + x + x = tg tg 2 2 3 sen + x 15 2 tg + x = 2 cos 3 + x 2 15 cos x tg + x = 2 + sen x

tg (4 x) = tg (2 + 2 x) tg (4 x) = tg (2 x) tg (4 x) = tgx senx tg (4 x) = cos x

Sendo E o valor da expresso, teremos: 15 sen ( + x ) cos x . tg + x 2 2 E= 7 cos (5 + x ) . sen + x . tg (4 x ) 2 cos x senx . senx . senx E= senx cos x . ( cos x ) . cos x

iv)

E=cos (5 + x) = cos (4 + + x) cos (5 + x) = cos ( + x) cos (5 + x) = cos x3 SRIE E EXTENSIVO |

sen x cos x cos x sen x

E = 1

Resposta correta: B

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MATEMTICA 5

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15. Encontrando as primeiras determinaes positivas de cada ngulo temos: 2460 = 360 . 6 + 300 300 voltas completas sen2460 = sen300 = sen60 = 3 23 2

1110 = 360 . 3 + 30 30 cos1110 = cos30 = voltas completas 2205 = 360 . 6 + 45 45 voltas completas tg2205 = tg45 = 1 Substituindo, temos:

m=

3 3 . 2 2 1

m=

3 4

Resposta correta: B

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