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Colégio Trilíngüe Inovação
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CEP. 89801-600
Profa. Denise Ortigosa Stolf
Aulas
Sumário
Potenciação ............................................................................................................................................... 2
Radiciação ................................................................................................................................................. 4
Bibliografia ............................................................................................................................................... 8
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POTENCIAÇÃO Slide 1
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Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
Potenciação
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Potência de um número real com expoente natural
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.
4434421vezesn
n aaaaa ⋅⋅⋅⋅= ...
a é multiplicado por a n vezes
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1ª) Produto de potências de mesma base
2ª) Quociente de potências de mesma base
3ª) Potência de uma potência
4ª) Potência de um produto ou de um quociente
mnmn aaa +=⋅
mnmn aaa −=:
( ) mnmn aa ⋅=
nnn
nnn
baba
baba
:):(
)(
=
⋅=⋅
Propriedades
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Potência de um número real com expoente inteiro negativo
Para todo número racional a, com a ≠ 0, definimos:
. de inverso o é 1
e natural número um é que em ,11
aa
naa
an
nn
==−
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Expoente Base positiva Base negativa
Par Potência positiva Potência positiva
Ímpar Potência positiva Potência negativa
Sinal de uma potência de base não nula
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Potências de 10
Para facilitar a escrita de número com muitos dígitos iguais a zero, podemos utilizar potências de 10.
Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 positiva, indica que iremos “aumentar” o número de zeros à direita ou “movimentar” para direita a vírgula tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:
54 x 105 = 5400000 Acrescentamos 5 zeros à direita do 54
2050 x 102 = 205000 Acrescentamos 2 zeros à direita do 2050
0,00021 x 104 = 2,1 “Movimentamos” a vírgula 4 casas para a direita
0,000032 x 103 = 0,032 “Movimentamos” a vírgula 3 casas para a direita
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Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 negativa, indica que iremos “diminuir” o número de zeros à direita ou “movimentar” a vírgula para esquerda tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:
54 x 10-5 = 0,00054 “Movimentamos” a vírgula 5 casas para a esquerda
2050x 10-2 = 20,5 “Movimentamos” a vírgula 2 casas para a esquerda. Lembrando que 20,5 = 20,50
0,00021x 10-4 = 0,000000021 “Movimentamos” a vírgula 4 casas para a esquerda
0,000032x 10-3 = 0,000000032 “Movimentamos” a vírgula 3 casas para a esquerda
32500000 x 10-4 = 3250 “Diminuímos” 4 zeros que estavam à direita
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Físicos, químicos, biólogos, engenheiros, astrônomos e outros cientistas utilizam números com muitos zeros. Como já vimos, estes números podem ser escritos de várias maneiras, usando potências de 10.
A distância do Sol à Terra, por exemplo, é, aproximadamente, 150000000 km e pode ser indicada por 150·106 Km ou 15·107 Km ou 1,5·108 Km ou 0,15·109 Km.
A espessura de um vírus é, aproximadamente, 0,0008 mm ou 8·10-4 mm ou 0,8·10-3 mm ou 0,008·10-1 mm.
Nos trabalhos científicos, para facilitar os cálculos e a comunicação, quando aparecem números com muitos zeros, esses números são escritos numa forma padrão chamada notação científica.
Notação científica
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Um número escrito na notação científica é o produto de um número entre 1 e 10 por uma potência de 10.
Assim, a distância do Sol à Terra, em notação científica, é aproximadamente 1,5·108 km e a espessura de um vírus é 8·10-4 mm.
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ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 1997.
Bibliografia
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RADICIAÇÃO Slide 1
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Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
Radiciação
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Raiz enésima de um número real
Consideremos um número real a e um número natural n, com n = 2.
Vamos examinar o conceito de raiz enésimadesse número, indicada pela expressão:
Temos dois casos a examinar:
1º Caso: O índice n é par.
Slide 3 Já vimos que não se define a raiz quadrada de um número real negativo, pois ao elevarmos um número real ao quadrado não obtemos um número real negativo. Esse fato se estende quando temos a raiz quarta ou a raiz sexta ou a raiz oitava,... e assim por diante, de um número real negativo.
Assim:
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Podemos dizer que:
Quando o número real a é positivo (a > 0) e n é um número natural par, diferente de zero, dizemos que a expressão é igual ao número real positivo b tal que bn = a.
Quando o número real a é negativo (a < 0) e n é um número natural par, diferente de zero, dizemos que a expressão não é definida no conjunto dos números reais.
n a
n a
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2º Caso: O índice n é ímpar.
Dado um número real a e sendo n é um número natural ímpar, a expressão é um único número real b tal que bn = a.
Através dos exemplos dados, podemos dizer:
n a
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Radical aritmético e suas propriedades
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Propriedades
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Simplificando radicais: extração de fatores do radicando
Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao índice do radical, esses fatores podem ser extraídos do radicando e escritos como fatores externos (sem o expoente).
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Introduzindo um fator externo no radicando
Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando para isso escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical.
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Adicionando, algebricamente, dois ou mais radicais
Observe os seguintes exemplos:
OBS.:
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Veja agora como simplificar algumas expressões:
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Multiplicando e dividindo expressões com radicais de mesmo índice e de índices diferentes
• Se os índices forem iguais, basta usar as propriedades dos radicais.
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• Se os índices forem diferentes, devemos reduzir os radicais ao mesmo índice para depois efetuar as operações.
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Produtos notáveis
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Potenciação de uma expressão com radicais
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Racionalizando denominadores de uma expressão fracionária
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Simplificando expressões com radicais
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Potências com expoente fracionário
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ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 1997.
Bibliografia
BIBLIOGRAFIA
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática . São Paulo: Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 1997.