DISCIPLINA: Pesquisa Operacional 2 PROFESSOR: Leonardo Rosa Rohde

Exerccio - Cadeias de Markov

1) Considere um navio com dois sistemas propulsores, que so duas turbinas idnticas. Seja Xn a varivel aleatriatal que seu valor o nmero de turbinas em operao normal no passo n. Se uma das turbinas falhar, ela poderser consertada, enquanto se ambas falharem, o navio para. Contudo, haver a possibilidade de que uma dasturbinas seja consertada. As probabilidades so as seguintes: se uma turbina que nunca passou por reparo estboa no tempo n, ela tem confiabilidade de funcionamento de 90% no tempo n+1; porm, uma turbina que seestragou no tempo n, aps reparada, tem confiabilidade de funcionamento de 60% no tempo n+1. Suponha asprobabilidades independentes e modele o problema como um processo de Markov.Pede-se

a) Encontre a matriz de transio;b) Caracterize a cadeia de Markov e seus estados;c) Resolva e interprete o modelo.

2) Um recenseamento econmico revelou que, numa dada populao, as famlias so divididas em dois grupos:(1) as economicamente estveis; e (2) aquelas em depresso. Depois de um perodo de 10 anos, a probabilidadede que uma famlia estvel assim permanea de 0,92, enquanto a probabilidade dela entrar em depresso de0,08. A probabilidade de que uma famlia em depresso se torne estvel 0,03, enquanto a probabilidade de queela assim permanea de 0,97. Calcule a probabilidade de uma famlia estvel estar em depresso em longoprazo. Obtenha tambm o tempo mdio que uma famlia estvel permanece nesta condio.

3) Um representante comercial visita seus clientes cada ms. A experincia passada mostra que, se um cliente fezum pedido no ltimo ms, a probabilidade de um novo pedido no ms corrente 0,3, e se no foi efetuadopedido algum no ms passado, a probabilidade 0,6. Assim, em cada um dos meses subsequentes ao primeiro,cada cliente deve encontrar-se em um dos dois estados:

- estado 0: nenhum pedido no ms passado; e- estado 1: um pedido no ms passado.

Dessa forma, com base nas probabilidades de transio podemos predizer o comportamento no futuro. Para umcliente do universo dos que no fizeram pedidos no ms anterior, determine a probabilidade que o tempotranscorrido para efetuar um novo pedido seja de 3 meses.

4) Considere um navio com dois sistemas propulsores e um sistema alimentador conforme o esquema abaixo. Sabe-se que o estado do sistema observado em nmero de turbinas em funcionamento. No navio h pea de reposio para conserto dos propulsores e alimentador. A matriz abaixo mostra as probabilidades de troca entre os estados.

Responda: a) com que frequncia o navio ir parar?b) Qual o tempo mdio esperado de deslocamento do veculo?

2 1 02 0,80 0,15 0,051 0,60 0,20 0,200 0,20 0,50 0,30

AlimentadorTurbina 2

Turbina 1

5) Um grupo de bilogos e mdicos foi examinar uma nova epidemia que alastrou-se rapidamente em umacidade. Os pesquisadores descobriram que o ciclo natural do vrus consistia em deixar os pacientes em estadofebril, depois um percentual desenvolvia infeces generalizadas que, por sua vez, poderiam resultar em morte.Os mdicos tambm perceberam que algumas pessoas desenvolviam infeces sem passar pelo estgio de febre eque alguns pacientes conseguiam recuperar-se do estado de infeco e tornarem-se imunes. A tabela abaixomostra as probabilidades de transio encontradas entre os cinco estgios dos pacientes: (S)adio, (F)ebril,(I)nfeccioso, (M)orte e Im(U)ne. Sabe-se que as probabilidades foram medidas em ciclos semanais.

S F I M US 0,94 0,05 0,01 0 0F 0,10 0,30 0,60 0 0I 0 0 0,25 0,25 0,50

M 0 0 0 1 0U 0 0 0 0 1

Pede-se:a) Desenhe o diagrama de estados que representa a tabela acimab) Considere que uma pessoa encontra-se em estado sadio, qual a probabilidade de desenvolver a doena?c) Considerando que uma pessoa encontrava-se no estado Infeccioso e morreu, em mdia, quanto tempo de vidaela teve entre estes dois estados?d) Um paciente em estado febril perguntou ao mdico quais as suas probabilidades de morte e sobrevivncia, oque o mdico deveria responder?e) Se nenhuma medida preventiva for adotada pelo governo para alterar os percentuais da tabela acima, qual aprobabilidade de habitantes ir receber atestado de bito e qual a probabilidade de habitantes sobreviver?

6) Considere o modelo markoviano abaixo:

A B C D E FA 1 0 0 0 0 0B 0,8 0 0,2 0 0 0C 0 0,6 0 0,4 0 0D 0 0 0 0 0,7 0,3E 0 0 0 0,3 0 0,7F 0 0 0 0,7 0,3 0

Responda: a) Defina as classes do modelo?b) Qual a probabilidade de um elemento no estado B terminar em cada uma das classes?c) Considere um elemento no estado F, qual o tempo mdio de permanncia neste estado?

7) Considere o modelo markoviano abaixo:

A B C D E FA 1 0 0 0 0 0B 0,7 0 0,3 0 0 0C 0 0,5 0 0,5 0 0D 0 0 0 0 0,8 0,2E 0 0 0 0,3 0 0,7F 0 0 0 0,9 0,1 0

Responda:

a) Informe qual(is) estado(s) (so) absorvente(s) no modelo?b) Defina as classes do modelo?c) Qual a probabilidade de um elemento no estado C terminar em cada uma das classes?d) Considere um elemento no estado E, qual o tempo mdio de permanncia neste estado?e) Qual a probabilidade de um indivduo terminar no estado A se iniciou no estado B?

8) Considere um navio com dois sistemas propulsores e um sistema alimentador conforme esquema abaixo. Sabe-se que o estado do sistema observado em nmero de turbinas em funcionamento. No navio h pea de reposio para conserto dos propulsores e alimentador. A matriz abaixo mostra as probabilidades de troca entre os estados. Responda com que frequncia o navio ir parar?

2 1 02 0,90 0,07 0,031 0,70 0,20 0,100 0,20 0,60 0,20

Se o navio no tivesse peas para manuteno do alimentador de maneira que uma falha neste sistema causasse aparada do navio e a impossibilidade de funcionamento dos propulsores, conforme a matriz abaixo. Em mdia, quantos ciclos seriam esperados para parada do navio?

2 1 02 0,90 0,07 0,031 0,70 0,20 0,100 0 0 1

Resolva o modelo de PNL com o mtodo de Multiplicadores de Lagrange ou Linearizao.

9) Max Z = 5X1X2

Restrito 4X1 + 5X2 = 652X1 = 20

10) Max Z = 5X1 + 3X2

Restrito 3X12 + 4X22 = 24

11) Max Z = 3X2 + 5Y

Restrito :3X2 + 4Y = 524X + 5Y2 = 48

12) Max Z = 4X2 + 6Y

Restrito :2X2 + 4Y2 = 288

13) Max Z = 2X1 + X2 + 10Restrito X1 + 2X22 = 3

Exerccio - Cadeias de Markov