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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 1/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladores
CONTROLO3º ano – 1º semestre – 2006/2007
Transparências de apoio às aulas teóricas
Capítulo 11 (Parte A) – Projecto de CompensadoresMaria Isabel Ribeiro
António Pascoal
Setembro de 2001Revisões em Março de 2002, Setembro 2003, Novembro 2005
Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 2/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresProjecto no domínio da frequência
EXEMPLO
0>K 21s
+_
ControladorSistema a controlar
C(s)Diagrama de Bode da f.t.ca.=1/s2
K=1
s/rad.c 01
G(s)
frequência de cruzamento
=ω
º)j(Garg c 180=ω
margem de fase
ºM 0=Φsistema marginalmente estável
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 3/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO
0>K 21s
+_
C(s)
ControladorSistema a controlar
G(s)Critério de Nyquist
Contornode Nyquist
xxpólo
duplo
A
-1
A imagem do contornode Nyquist passa peloponto crítico -1
º*)j(C*)j(Garg*)j(C*)j(G:* 180 1 =ωω∧=ωωω∃
01 =ωω+ *)j(C*)j(G
*jω é um pólo em malha fechadasistema marginalmente estável
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 4/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO
0>K 21s
+_
C(s)
ControladorSistema a controlar
G(s)Root-Locus
xpólo
duplo
sistema marginalmente estável
x
2 pólos da f.t.c.f. no eixoimaginário
Estratégia de Controlo
zzsK)s(C +
=
xxo
efeito estabilizador
Introdução de amortecimento artificial
devido ao termo derivativo
(PD)
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 5/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO
zzsK +
21s
+_
C(s)
ControladorSistema a controlar
G(s)K=1, z=0.1rad/s
exemplo
ºM 90=Φ
-1
sistema em c.f. estável
∞=MGPode aumentar-se o ganhoindefinidamente sem que se percaestabilidade
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 6/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresAnálise do compensador PD
zzsK)s(C +
=
)s/rad(ω
arg C(s)
45º
90º
benefício de avanço de fase
z
compensador por avanço de fase
-1
sistemaoriginal
sistemacompensado
nova margem de fase
Diagrama de Nyquist
O compensador de avanço de faseafasta o diagrama do ponto -1
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 7/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresCompensador PD
zzsK)s(C +
=
Compensador de avanço de fase
pszs
zpK)s(C
++
=
sistemarealizável (com um pólo e um zero)
pszs
zpK
++
21s
+_
ControladorSistema a controlar
C(s) G(s)avançode fase
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 8/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
Ts
Ts
K)s(C
β+
+
β=
1
1
1
1 <β
Ganho estático = K
zero = - 1/T
pólo = - 1/βΤ
xT1
Tβ1
T1
Tβ1
dB
K⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β
o90
maxφ
maxω
)j(Clim ω∞→ω
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 9/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
?max =φ? =ωmax
Máximo (benefício) do AVANÇO DE FASE
11
11
+ωβ+ω
=+β+
=ωω= Tj
TjKTsTsK)j(C
js
)T(arctg)T(arctg)()j(Carg c ωβ−ω=ωφ=ω
( ) ( )22 11 TT
TT
d)(d c
ωβ+
β−
ω+=
ωωφ
Cálculo de
⇔=ωωφ
0d
)(d c
( ) ( )⇔=
ωβ+
β−
ω+ 0
11 22 TT
TT
maxω
β=ω 2
2 1T
β=ω
T1 maxEm escala logarítmica, equidistante das
frequências de corte do zero e do pólo
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 10/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
?max =φ
)T(arctg)T(arctg)( maxmaxmaxcmax βω−ω=ωφ=φ
β=ω
T1 max
)(arctgarctg β−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
β=
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
β
β−=φ
21arctgmax ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β+β−
=φ11arcsinmax
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 11/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
)( maxc ωφ Máximo AVANÇO DE FASE
β1
90º
Tz 1
−=Tp
β−=
1
1<β
x 0→β zp >>
º)( maxc 90→ωφ
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 12/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
T1
Tβ1
T1
Tβ1
dB
K⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β
o90
maxφ
maxω
β=ω
T1 max
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β+β−
=φ11arcsinmax
?)j(C Kmax =ω=1 Porque é importante
conhecer ?
• O compensador de avanço de fase usa-se para aumentar a margem de fase, ou sejasomar fase na frequência em que o ganho da f.t.c.a. é unitário.
• Ao somar fase em wmax, também se aumentao ganho. De quanto?
• É o preço a pagar pelo avanço de fase
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 13/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
T1
Tβ1
T1
Tβ1
dB
K⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β
o90
maxφ
maxω
β=ω
T1 max
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β+β−
=φ11arcsinmax
11 +ωβ+ω
=ωTj
TjK)j(C
1
11
+β
+β
=ωj
jK)j(C max
maxω=ω
1 K)j(C maxβ
=ω
?)j(C Kmax =ω=1
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 14/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladores
1. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador2. Erro de seguimento a rampa unitária3. Margem de fase4. Margem de ganho
0250.)(eramp ≤∞o
M 48≈ΦdBGM 6≥
Objectivos a atingir
EXEMPLO 1Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)
)s(K100
100+s 36
1+s s
1+_
motor com cargaamplificadorcontrolador
velocidade
posiçãoangular
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 15/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K )s)(s(s 10036100
+++
_
G(s)a projectar
)s(K~K)s(K =
ganho estático unitário
10 =)(K~
2. Erro de seguimento a rampa unitária 0250.)(eramp ≤∞
401
1
0s
≤=∞→
)s(K)s(sGlim)(eramp
40 0s
≥→
)s(K)s(sGlim
4036
10036 100
0s≥=
++→
K)s)(s(
Klim
1440≥K
escolha-se
1440=K
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 16/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K~ )s)(s(sx
100361440 100++
+_
a projectar
)s(GK
)s(GK
diagrama de Bode de
ºM 34≅Φ
dB.GM 610≅s/rad.959=ωπ
s/rad.dB 5290 =ω
Os valores seriam diferentes se tivesse sido usado o diagrama de Bode assimptótico
Só com este ganho, o sistema emcadeia fechada é estável, emboranão satisfaça a margem de fasepretendida
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 17/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K~ )s)(s(sx
100361440 100++
+_
a projectar )s(GK
Confirmação da estabilidade em cadeia fechada usando critério de Nyquist
xxx-100 -36
P=0
Contorno de Nyquist
1=)s(K~
-134º
módulo=1
N=0
Z=P+N=0
com
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 18/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K~ )s)(s(sx
100361440 100++
+_
a projectar )s(GK
3. Margem de fase oM 48≈Φ
ºM 34≅ΦPara 1=)s(K~Aumento nominal de
48º - 34º = 14ºNo entanto é necessário“dar” FASE ADICIONAL
0 db
-180º
sistemaoriginal
sistemaoriginal
Compensadorde avanço
nova frequência de cruzamento
Como a frequência de cruzamento aumenta é preciso
+ aumento de fase
Não basta um aumento de 14º
34º
figura não à escala. Apenas ilustrativa
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 19/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K~ )s)(s(sx
100361440 100++
+_
a projectar )s(GK
3. Margem de fase oM 48≈Φ
ºM 34≅ΦPara 1=)s(K~Aumento nominal de
48º - 34º = 14º
Aumento total de fase = Nominal + “Factor de Segurança” = 14º + 10º = 24º
maxω
ºmax 24=φ
avanço
Determinação das características do compensador de avanço de fase
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β+β−
=φ11arcsinmax
420.=β
O parâmetro β define o afastamentoentre o zero e o pólo do compensador
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 20/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
ºmax 24=φ
?max =ω
5411 .=β
dB.dB
7731=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
β
preço a pagar peloavanço de fase
onde se coloca ?maxω
T1
Tβ1
maxω
wmax é a frequência a que o avanço de fase é maiorβ
=ωT
1 max
• Conhecendo β
• Escolhendo wmax
• Calcula-se T
Ganho estático do compensador unitárioTodo o ganho necessário jáfoi considerado
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 21/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladores
onde se coloca ?maxω
maxω Frequência à qual o ganho de malha
dB.)s(GKjs
773−=ω=
s/radmax 39=ω
420
391
.
s/radT
max
=β
=β
=ω
s/rad.T
s/rad.T max
2601
325 1
=β
=ωβ=
maxω
EXEMPLO 1
+3.77dB
-3.77dBf.t.c.a sistema original
f.t.c.a sistema compensado
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 22/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K )s)(s(sx
100361440 100++
+_
)s(Ga projectar
Ts
Ts
K)s(K~K)s(K
β+
+
β==
1
11
2603253821440
.s
.s.)s(K++
××=
2603257342
.s
.s.)s(K++
×=
f.t.c.a. do sistemacompensado
f.t.c.a. do sistemaoriginal*1440
f.t. do compensador com ganho estático unitáro
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 23/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K )s)(s(sx
100361440 100++
+_
ºoM 4846 <≈Φ
dBdB.GM 6511 >=
Se não for satisfatório, refaça os cálculos
f.t.c.a. do sistema compensado
f.t.c.a. do sistema original f.t. do compensador
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 24/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K )s)(s(sx
100361440 100++
+_
oM 46≈Φ
ºM 34≈Φ
nova margem de fase
Repita o projecto com base no diagrama de Bode assimptótico
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 25/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladores
Compensador de avanço - Sumário
• Introduz fase positiva na vizinhança da frequência de cruzamentoa 0dB do sistema original, aumentando a margem de fase e melhorando assim a estabilidade relativa
• Preço a pagar é um aumento do ganho de alta frequência
• O compensador de avanço é equivalente ao controlador PD no intervalo de frequências em que o efeito do pólo é poucosignificativo
• O compensador de avanço é uma representação mais realista do controlador PD em que o pólo tem a função de limitar o ganho de altas frequências do controlador
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 26/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresCompensador de Atraso de Fase
Ts
Ts
)s(K~
α+
+
α=
1
1
1
1 >α
Ganho estático = 1
zero = - 1/T
pólo = - 1/αΤ
x
Tα1
T1
0 dB
α− 1020 log
Diagrama de Bode de )s(K~
)s(K~K)s(K = 1 0 =)(K~
O compensadorque vai ser apresentadotem ganhoestático unitário
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 27/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresCompensador de atraso – Princípio de utilização
• Tirar partido da atenuação do ganho de modo a deslocar a frequência de cruzamento a 0dB para a frequência que conduz à margem de fase desejada.
• Preço a pagar é uma diminuição da fase na zona de influência do compensador– Até uma década após o zero
• Procura-se que a característica de fase original não sejasignificativamente alterada na vizinhança da nova frequência de cruzamento a 0dB.– Zero do compensador colocado, pelo menos, uma década antes
da frequência de cruzamento a 0dB desejada.
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 28/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresCompensador de Atraso de Fase
Ts
Ts
)s(K~
α+
+
α=
1
1
1
Tα1
T1
0 dB
α− 1020 log
Diagrama de Bode de )s(K~
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 29/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladores
1. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador2. Erro de seguimento a rampa unitária3. Margem de fase4. Margem de ganho
21621 ./)(eramp ≤∞º.M 259≥ΦdBGM 12≥
Objectivos a atingir
EXEMPLO 2Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)
)s(K100
100+s 36
1+s s
1+_
motor com cargaamplificadorcontrolador
velocidade
posiçãoangular
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 30/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO 2
)s(K )s)(s(s 10036100
+++
_
G(s)a projectar
)s(K~K)s(K =
ganho estático unitário
10 =)(K~
2. Erro de seguimento a rampa unitária 21621 ./)(eramp ≤∞
21621
1
0s.)s(K)s(sGlim
)(eramp ≤=∞→
2162 0s
.)s(K)s(sGlim ≥→
216236
10036 100
0s.K
)s)(s(Klim ≥=++→
5839≥K
escolha-se
5839=K
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 31/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO 2
)s(K~ )s)(s(sx
100368395 100++
+_
a projectar
)s(GK
)s(GK
diagrama de Bode de
714 s/rad.=ω
dB)j(GK,ºM 20 59 =ω=Φ
Chegará diminuir o ganho de 20dB nestafrequência com um compensador de atraso?
Qual terá que ser a frequência de cruzamento a 0dB parater a margem de fasepretendida?
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 32/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO 2
)s(K~ )s)(s(sx
100368395 100++
+_
a projectar
)s(GK
)s(GK
diagrama de Bode de
s/rad.º.M 789 para 269 =ω≅Φ
º.ºº.desejadaM 26910259 =+=Φ
factor de segurança
Porque é necessário o factor de segurança?
24dB 9.78rad/s
=ω=ω
)j(GK
O compensador de atraso deve providenciarum ganho de -24dB àfrequência de 9.8rad/s
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 33/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO 2
0 dB
Dimensionamento do compensador de atraso
-90º
-24dB
define o afastementoentre o pólo e o zero
T.T 841511
=α T
1
8415 2420 10 .dBlog =α⇒−=α−
Fase negativa = preço a pagarpela diminuiçãode ganho
Onde “colocar” o compensador?
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 34/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladores
0º
EXEMPLO 2
Várias hipótesspossíveis de “colocação” do compensador
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 35/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO 2
0 dB
Estratégia de “colocação” do compensador de atraso
-90º
-24dB
T.T 841511
=α T
1
Fase negativa = preço a pagar peladiminuiçãode ganho
Zero do compensador 1 década abaixo da frequência de cruzamento desejada
s/rad.T
9801=s/rad.
T 06201
=α
Na frequência de cruzamentodesejada, a fasenegativaintroduzida pelocompensador já épequena, emboranão nula
Isto justifica a introdução de fase adicional no cálculo da margem de fasedesejada
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Instituto Superior Técnico- Controlo – 2006/2007 36/Cap.11-ParteANovembro.2006
Projecto de controladoresEXEMPLO 2
)s(K )s)(s(s 10036 100++
+_
)s(Ga projectar
11( ) ( ) 1
sTK s K K s K
sT
αα
+= =
+
1 0.98( ) 583915.84 0.062
sK ss+
= ×+
0.98( ) 368.60.062
sK ss+
= ×+
f.t.c.a. do sistemacompensado
f.t.c.a. do sistemaoriginal*5839
f.t. do compensador
dBG,º MM 22 64 ==Φ
especificações verificadas
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-100
-50
0
50
100
System: sysFrequency (rad/sec): 10Magnitude (dB): -0.175
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
10-270
-180
-90
0
Pha
se (d
eg)
System: sysFrequency (rad/sec): 10Phase (deg): -116