JOÃO CARLOS MOREIRA FUNÇÕES RACIONAIS DE VÁRIAS
VARIÁVEIS REAIS
COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
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DEFINIÇÕES Defina função racional de várias variáveis reais à valores reais. Defina domínio de uma função racional de várias variáveis reais à valores reais. Defina imagem de uma função racional de várias variáveis reais à valores reais. Defina gráfico de uma função racional de várias variáveis reais à valores reais. Sendo 𝑓(𝑥) uma função racional de várias variáveis reais à valores reais, defina lim
𝑥→𝑥0𝑓(𝑥) = 𝐿.
Sendo 𝑓(𝑥) função racional de várias variáveis reais à valores reais, defina:
a) (𝜕𝑛𝑓
𝜕𝑥𝑛)|𝑥=𝑥0
, ∀ 𝑛 ∈ ℕ;
b) (𝜕𝑛𝑓
𝜕𝑥𝑛) (𝑥), ∀ 𝑛 ∈ ℕ;
c) (𝜕𝑓
𝜕𝑢)|𝑥=𝑥0
, ∀ 𝑢 ∈ ℝ𝑛;
d) ∇𝑓(𝑥0) e 𝐻(𝑓)(𝑥0). Sendo 𝑓(𝑥) uma função racional de várias variáveis reais à
valores reais, defina ∫ ∫…∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥B
, sendo 𝐵 = [𝑎1, 𝑏1] × …× [𝑎𝑛, 𝑏𝑛].
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
Exercício 4
Exercício 5
Exercício 6
Exercício 7
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a) Sendo 𝑓(𝑥) uma função racional de várias variáveis reais à valores reais, defina:
a) plano tangente e reta normal ao gráfico de 𝑓(𝑥) no ponto (𝑥0, 𝑓(𝑥0)); b) ponto de máximo local e global de 𝑓(𝑥); c) ponto de mínimo local e global de 𝑓(𝑥); d) ponto de sela de 𝑓(𝑥).
LIMITES : NÍVEL I N.D.A. = Nenhuma das alternativas anteriores
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim(𝑥,𝑦)→(−2,1)
𝑥+1
−2𝑥+3:
a) −1
14
b) 2
14
c) 1
14
d) −2
14
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
2𝑥+𝑦
−2𝑥+3𝑦:
a) ∄ b) +∞ c) −∞ d) −1 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
−2𝑥−𝑦
6𝑥+3𝑦:
a) ∄ b) +∞ c) −∞
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 8
Exercício 3
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d) −3 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→(0,0)
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2:
a) −1
2
b) ∄ c) +∞ d) −∞ e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→(0,0)
𝑥2−𝑦2
𝑥+𝑦:
a) 0 b) ∄ c) +∞ d) −∞ e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim(𝑥,𝑦)→(
1
2,1)
2𝑥−1
4𝑥2−1:
a) −1 b) 4
c) 1
2
d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim(𝑥,𝑦)→(2,1)
𝑥𝑦3−𝑥
𝑦−1:
a) −1 b) 4 c) 6 d) 0 e) N.D.A.
Exercício 6
Exercício 4
Exercício 5
Exercício 7
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Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim(𝑥,𝑦)→(1,0)
𝑥𝑦+2𝑥−𝑦−2
𝑥𝑦+3𝑥−𝑦−3:
a) −2
3
b) 2
3
c) −3
2
d) 3
2
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim(𝑥,𝑦,𝑧)→(1,−1,1)
𝑥2𝑦𝑧
𝑥+2:
a) 1
3
b) −1
3
c) 0 d) −1 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim(𝑥,𝑦,𝑧)→(0,0,0)
𝑥2𝑦𝑧
𝑥2+𝑦2+𝑧2:
a) 1
3
b) −1
3
c) 0 d) −1 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)→(0,0,0,0)
𝑦2𝑧(1+𝑥)𝑤
𝑥2+𝑦2+𝑧2+𝑤2:
a) 1
3
b) −1
3
c) 0 d) −1 e) N.D.A.
Exercício 9
Exercício 10
Exercício 8
Exercício 11
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Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→+∞
2𝑥−1
4𝑥2−1:
a) −1 b) 4
c) 1
2
d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−∞
2𝑥−1
4𝑥2−1:
a) −1 b) 4
c) 1
2
d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1+
𝑥+1
𝑥2+𝑥−2:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1−
𝑥+1
𝑥2+𝑥−2:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→+∞
𝑥+1
𝑥2+𝑥−2:
a) ∞ b) +∞ c) −∞
Exercício 14
Exercício 12
Exercício 13
Exercício 15
Exercício 16
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d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−∞
𝑥+1
𝑥2+𝑥−2:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1+
−𝑥−1
𝑥2+𝑥−2:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1−
−𝑥−1
𝑥2+𝑥−2:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→+∞
−𝑥−1
𝑥2+𝑥−2:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−∞
−𝑥−1
𝑥2+𝑥−2:
a) ∞
Exercício 18
Exercício 19
Exercício 17
Exercício 20
Exercício 21
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b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim𝑥→1+
𝑥2−1
𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim𝑥→1−
𝑥2−1
𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim𝑥→+∞
𝑥2−1
𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim𝑥→−∞
𝑥2−1
𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:
a) ∞
Exercício 22
Exercício 23
Exercício 25
Exercício 24
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b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim𝑥→1+
−𝑥2+1
𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim𝑥→1−
−𝑥2+1
𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim𝑥→+∞
−𝑥2+1
𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim𝑥→−∞
−𝑥2+1
𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:
a) ∞
Exercício 26
Exercício 27
Exercício 28
Exercício 29
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b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−1+
3
𝑥2+1:
a) −∞ b) +∞
c) 3
2
d) −3
2
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−1−
3
𝑥2+1:
a) −∞ b) +∞
c) 3
2
d) −3
2
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→+∞
3
𝑥2+1:
a) −∞ b) +∞
c) 3
2
d) −3
2
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−∞
3
𝑥2+1:
a) −∞ b) +∞
c) 3
2
d) −3
2
e) N.D.A.
Exercício 30
Exercício 31
Exercício 32
Exercício 33
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Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−1+
−2
𝑥2+𝑥+1:
a) −∞ b) +∞ c) 2 d) −2 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−1−
−2
𝑥2+𝑥+1:
a) −∞ b) +∞ c) 2 d) −2 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→+∞
−2
𝑥2+𝑥+1:
a) −∞ b) +∞ c) 0 d) −3 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−∞
−2
𝑥2+𝑥+1:
a) −∞ b) +∞ c) 3 d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−1+
1
𝑥4+2𝑥2+1:
a) −∞ b) +∞
c) 1
4
d) -1
4
Exercício 34
Exercício 35
Exercício 36
Exercício 37
Exercício 38
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e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−1−
1
𝑥4+2𝑥2+1:
a) −∞ b) +∞
c) 1
3
d) -1
3
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→+∞
1
𝑥4+2𝑥2+1:
a) −∞ b) +∞ c) 0
d) -1
3
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−∞
1
𝑥4+2𝑥2+1:
a) −∞ b) +∞
c) 1
3
d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1+
1
𝑥3−𝑥2+𝑥−1:
a) −∞ b) +∞
c) 1
3
d) -1
3
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1−
1
𝑥3−𝑥2+𝑥−1:
Exercício 39
Exercício 40
Exercício 41
Exercício 42
Exercício 43
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a) −∞ b) +∞
c) 1
3
d) -1
3
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim𝑥→+∞
1
𝑥3−𝑥2+𝑥−1:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−∞
1
𝑥3−𝑥2+𝑥−1:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1+
−𝑥2+𝑥−1
𝑥−1:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1−
−𝑥2+𝑥−1
𝑥−1:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Exercício 46
Exercício 47
Exercício 44
Exercício 45
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Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→+∞
−𝑥2+𝑥−1
𝑥−1:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−∞
−𝑥2+𝑥−1
𝑥−1:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1+
𝑥2−𝑥+1
𝑥−1:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1−
𝑥2−𝑥+1
𝑥−1:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→+∞
𝑥2−𝑥+1
𝑥−1:
a) ∞ b) +∞ c) −∞
Exercício 48
Exercício 49
Exercício 50
Exercício 51
Exercício 52
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d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−∞
𝑥2−𝑥+1
𝑥−1:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1+
𝑥3−3𝑥2+3𝑥
𝑥−1:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→1−
𝑥3−3𝑥2+3𝑥
𝑥−1:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→+∞
𝑥3−3𝑥2+3𝑥
𝑥−1:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim𝑥→−∞
𝑥3−3𝑥2+3𝑥
𝑥−1:
a) ∞
Exercício 53
Exercício 54
Exercício 55
Exercício 56
Exercício 57
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b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim𝑥→1+
−𝑥3+3𝑥2−3𝑥
𝑥−1:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim𝑥→1−
−𝑥3+3𝑥2−3𝑥
𝑥−1:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim𝑥→+∞
−𝑥3+3𝑥2−3𝑥
𝑥−1:
a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim𝑥→−∞
−𝑥3+3𝑥2−3𝑥
𝑥−1:
a) ∞
Exercício 58
Exercício 59
Exercício 60
Exercício 61
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b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.
DERIVADAS : NÍVEL I
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑥|(𝑥,𝑦)=(1,0)
,
sendo
𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥 + 1
−2𝑥 + 3:
a) -2 b) 3 c) 1 d) 5 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑦|(𝑥,𝑦)=(0,0)
,
sendo
𝑓(𝑥, 𝑦) =2𝑦 − 1
4𝑦2 − 1:
a) -2 b) 3 c) 1 d) 5 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de ∇𝑓(−1,−1), sendo
𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥 − 2−
𝑦 + 1
𝑦2 + 𝑦 − 2:
a) (−1
2,1
2)
b) (−1
4,1
4)
c) (−1
3,1
3)
d) (−1
5,1
5)
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
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e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de ∂f
∂u(2,2),
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2−1
𝑥+2+
𝑦2−1
𝑦+2 𝑒 𝑢 = (1,0):
a) 12
15
b) 13
16
c) 11
16
d) 11
15
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑢|(𝑥,𝑦)=(−1,2)
,
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =−𝑥−1
𝑥2+𝑥−2 𝑒 𝑢 = (1, −2):
a) 1
2
b) 1
4
c) 1
3
d) 1
5
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=0
, sendo
𝑓(𝑥) =𝑥2−1
𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:
a) 5
2
b) 5
4
c) 5
3
d) 1
3
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑦|(𝑥,𝑦)=(0,0)
,
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =−𝑦2+1
𝑦4−𝑦3−3𝑦2+5𝑦−2:
Exercício 4
Exercício 5
Exercício 6
Exercício 7
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a) −5
2
b) −5
4
c) −5
3
d) −1
3
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑥|(𝑥,𝑦)=(0,0)
,
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =3𝑥
𝑦2+1:
a) 3 b) −3 c) 0 d) −2 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑥|(𝑥,𝑦)=(0,1)
,
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =−2𝑦
𝑥2+𝑥+1:
a) −2 b) 2 c) 0 d) 1 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑢|(𝑥,𝑦,𝑧)=(0,1,1)
,
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑦𝑧
𝑥4+2𝑥2+1 e 𝑢 = (0,1,0):
a) −1 b) 1
c) 1
2
d) −1
2
e) N.D.A.
Exercício 8
Exercício 9
Exercício 10
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Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑥|(𝑥,𝑦)=(−1,0)
,
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑦+1
𝑥3−𝑥2+𝑥−1:
a) −2
8
b) 2
8
c) 3
8
d) −3
8
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑥|(𝑥,𝑦)=(0,1)
,
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =−𝑥2+𝑥−1
𝑦𝑥−𝑦:
a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑦|(𝑥,𝑦)=(0,1)
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑦2−𝑦+1
𝑦−1(2𝑥 + 1):
a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑥|(𝑥,𝑦)=(0,1)
,
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑦 − 1)𝑥3−3𝑥2+3𝑥
𝑥−1:
Exercício 12
Exercício 13
Exercício 14
Exercício 11
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a) -2 b) -3 c) -1 d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑥|(𝑥,𝑦)=(1,1)
,
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) =−𝑥3+3𝑥2−3𝑥
𝑦𝑥−𝑦:
a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.
INTEGRAIS : NÍVEL 1 Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫𝑥 + 1
−2𝑥 + 3
1
0
𝑑𝑥2
1
𝑑𝑦:
a) −1
4(log(243) − 2)
b) 1
4(log(243) − 2)
c) 1
4(ln(243) − 2)
d) −1
4(ln(243) − 2)
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫2𝑦 − 1
4𝑦2 − 1
1
0
𝑑𝑦2
1
𝑑𝑥:
a) 1
2log (
5
3)
b) 1
2ln (
3
5)
c) 1
2log (
3
5)
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 15
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d) 1
2ln (
5
3)
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫ ∫4𝑦𝑧𝑥 + 4𝑦𝑧
𝑥2 + 𝑥 − 2
3
2
1
0
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧1
0
:
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑥+1
𝑥2+𝑥−2, 𝑎 = 2, 𝑏 = 3:
a) log (5
3)
b) log (3
5)
c) ln (5)
3
d) ln (3)
5
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫ ∫(𝑥2 − 1)
(𝑥 + 2)
(𝑦2 − 1)
(𝑦 + 2)2𝑧
1
0
1
0
𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧1
0
:
a) (log (27
8) −
3
2)2
b) (log (27
8) +
3
2)2
c) (ln (27
8) +
3
2)2
d) (ln (27
8) −
3
2)2
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫ ∫−𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 − 2
5
4
0
−1
𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧1
0
:
a) ln (3)
2
b) ln (2)
3
c) log (3)
2
d) log (2)
3
e) N.D.A.
Exercício 3
Exercício 4
Exercício 5
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
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Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫ ∫𝑧2 − 1
𝑧4 − 𝑧3 − 3𝑧2 + 5𝑧 − 2
5
4
1
0
𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧0
−1
:
a) 1
9(log 4 − 3)
b) 1
9(ln 4 − 3)
c) 1
9(3 − log 4)
d) 1
9(3 − ln 4)
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫ ∫−𝑥2 + 1
𝑥4 − 𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 2
3
2
1
0
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧2
1
:
a) −1
9(log (
8
5) + 3)
b) −1
9(log (
8
5) − 3)
c) 1
9(log (
8
5) + 3)
d) 1
9(log (
8
5) − 3)
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫ ∫12𝑥𝑧
𝑦2 + 1
3
2
1
0
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧2
1
:
a) 𝜋
4
b) 𝜋
2
c) 3𝜋
4
d) 𝜋
3
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫ ∫−2
𝑦2 + 𝑦 + 1
3
2
0
−1
𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥2
1
:
Exercício 6
Exercício 7
Exercício 9
Exercício 8
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
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a) −4𝜋
3√3
b) 4𝜋
3√3
c) 2𝜋
3√3
d) −2𝜋
3√3
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫ ∫4𝑦𝑧
𝑥4 + 2𝑥2 + 1
1
0
1
0
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧1
0
:
a) −𝜋+2
8
b) 𝜋+2
2
c) −𝜋+2
2
d) 𝜋+2
8
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫ ∫1
𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1
4
3
1
0
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧1
0
:
a) −1
4(ln (
45
34) + 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(3) − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(4))
b) 1
4(ln (
45
34) + 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(3) − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(4))
c) −1
4(ln (
45
34) + 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(3) + 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(4))
d) −1
4(ln (
45
34) − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(3) − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(4))
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫ ∫−𝑦2 + 𝑦 − 1
𝑦 − 1
1
0
0
−1
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧2
1
:
a) 1
2−ln
1
2
b) 1
2+ln
1
2
c) 1
2−log
1
2
d) 1
2+log
1
2
e) N.D.A.
Exercício 12
Exercício 10
Exercício 11
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
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Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫ ∫𝑧2−𝑧+1
𝑧−1
4
3
1
0𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
3
2:
a) 5
2−ln 2
b) 5
2+ln 2
c) 5
2−log 2
d) 5
2+log 2
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫ ∫𝑥3−3𝑥2+3𝑥
𝑥−1
0
−1
1
04𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
1
0:
a) 7
3−log 2
b) 7
3+log 2
c) 7
3+ln 2
d) 7
3−ln 2
e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de
∫ ∫ ∫−𝑦3+3𝑦2−3𝑦
𝑦−1
0
−1
1
0𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦
3
2:
a) 7
3−log 2
b) 7
3+log 2
c) 7
3+ln 2
d) 7
3−ln 2
e) N.D.A.
DOMÍNIO E IMAGEM : NÍVEL 1
O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥+1
−2𝑥+3 é:
a) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ −3
2} × ℝ e Im(f) = {z ∈ ℝ|z ≠ −
1
2}
Exercício 1
Exercício 13
Exercício 14
Exercício 15
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
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b) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ −3
2} × ℝ e Im(f) = {z ∈ ℝ|z ≠
1
2}
c) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ −1
2} × ℝ e Im(f) = {z ∈ ℝ|z ≠
3
2}
d) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠3
2} × ℝ e Im(f) = {z ∈ ℝ|z ≠ −
1
2}
e) N.D.A.
O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =2𝑥−1
4𝑥2−1 é:
a) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠1
2 e x ≠ 0} × ℝ2 e Im(f) = {w ∈ ℝ|w ≠ −
1
2 e w ≠
1
2}
b) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ 0 e x ≠1
2} × ℝ2 e Im(f) = {w ∈ ℝ|w ≠ −
1
2 e w ≠ 0}
c) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ 0 e x ≠1
2} × ℝ2 e Im(f) = {w ∈ ℝ|w ≠
1
2 e w ≠ 0}
d) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ −1
2 e x ≠
1
2} × ℝ2 e Im(f) = {w ∈ ℝ|w ≠
1
2 e w ≠ 0}
e) N.D.A.
O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥+1
𝑥2+𝑥−2 é:
a) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ 1 e x ≠ 2} × ℝ e Im(f) = ℝ+ b) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ 1 e x ≠ −2} × ℝ e Im(f) = ℝ c) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ −1 e x ≠ −2} × ℝ e Im(f) = ℝ− d) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ −1 e x ≠ 2} × ℝ e Im(f) = ℝ e) N.D.A.
O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2−1
𝑥+2 é:
a) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ −2} ×ℝ e Im(f) = {z ∈ ℝ|z ≤ −4 − 2√3 ou z ≥ −4 + 2√3}
b) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ 2} × ℝ e Im(f) = {z ∈ ℝ|−4 − 2√3 ≤ z ≤ −4 + 2√3}
c) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ −2} × ℝ e Im(f) = {z ∈ ℝ|−2√3 ≤ z ≤ 2√3}
d) D(f) = {x ∈ ℝ|x ≠ 2} × ℝ e Im(f) = {z ∈ ℝ|z ≤ −2√3 ou z ≥ 2√3}
e) N.D.A.
O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑦, 𝑥) =−𝑥−1
𝑥2+𝑥−2 é:
a) D(f) = ℝ × {x ∈ ℝ|x ≠ 1 e x ≠ 2} e Im(f) = ℝ+ b) D(f) = ℝ × {x ∈ ℝ|x ≠ 1 e x ≠ −2} e Im(f) = ℝ c) D(f) = ℝ × {x ∈ ℝ|x ≠ −1 e x ≠ −2} e Im(f) = ℝ−
Exercício 2
Exercício 3
Exercício 4
Exercício 5
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d) D(f) = ℝ × {x ∈ ℝ|x ≠ −1 e x ≠ 2} e Im(f) = ℝ e) N.D.A.
O domínio e a imagem da função racional
𝑓(𝑧, 𝑥) =1
𝑥−𝑦 é:
a) D(f) = {(x, y) ∈ ℝ2|x ≠ y} e Im(f) = ℝ∗ b) D(f) = {(x, y) ∈ ℝ2| x ≠ −y} e Im(f) = ℝ∗ c) D(f) = {(x, y) ∈ ℝ2| x ≠ y} e Im(f) = ℝ+ d) D(f) = {(x, y) ∈ ℝ2| x ≠ −y} e Im(f) = ℝ+ e) N.D.A.
O domínio e a imagem da função racional
𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥+𝑦
𝑥2+𝑦2 é:
a) D(f) = ℝ2 − {(0,0)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ b) D(f) = {(x, y) ∈ ℝ2|x ≠ y} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) D(f) = {(x, y) ∈ ℝ2|x ≠ y}e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ∗ d) D(f) = ℝ2 − {(0,0)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ∗ e) N.D.A.
O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =3
𝑦2+1 é:
a) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑤 ∈ ℝ|0 < 𝑤 ≤ 3} b) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑦 ∈ ℝ|0 < 𝑦 ≤ 3} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑤 ∈ ℝ|−3 < 𝑤 ≤ 0} d) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ|0 < 𝑤 < 3} e) N.D.A.
O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =−2
𝑥2+𝑥+1 é:
a) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑧 ∈ ℝ|−8
3≤ 𝑧 ≤ 0}
b) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|−8
3≤ 𝑥 < 0} × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ
c) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑧 ∈ ℝ|−8
3≤ 𝑧 < 0}
d) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|−8
3≤ 𝑥 ≤ 0} × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ
Exercício 6
Exercício 7
Exercício 8
Exercício 9
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e) N.D.A. O domínio e a imagem da função racional
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =1
𝑥4+2𝑥2+1 é:
a) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑤 ∈ ℝ| 0 < 𝑤 ≤ 1} b) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|0 ≤ 𝑥 < 1} × ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑤 ∈ ℝ| 0 ≤ 𝑤 < 1} d) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|0 ≤ 𝑥 ≤ 1} × ℝ × ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ e) N.D.A.
O domínio e a imagem da função racional
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) =1
𝑤3−𝑤2+𝑤−1 é:
a) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ × ℝ × {𝑤 ∈ ℝ|𝑤 ≠ −1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+ b) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ × ℝ × {𝑤 ∈ ℝ|𝑤 ≠ 1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ− c) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ × ℝ × {𝑤 ∈ ℝ|𝑤 ≠ −1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ∗ d) 𝐷(𝑓) = ℝ × ℝ × ℝ × {𝑤 ∈ ℝ|𝑤 ≠ 1} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ∗ e) N.D.A.
O domínio e a imagem da função racional
𝑓(𝑦, 𝑥) =−𝑥2+𝑥−1
𝑥−1 é:
a) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑧 ∈ ℝ|𝑧 ≤ −3 𝑜𝑢 𝑧 ≥ 1} b) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ −1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑧 ∈ ℝ|𝑧 ≤ −3 𝑜𝑢 𝑧 ≥ 1} c) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑧 ∈ ℝ|−3 ≤ 𝑧 ≤ 1 } d) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ −1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑧 ∈ ℝ|−3 ≤ 𝑧 ≤ 1 } e) N.D.A.
O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑥) =𝑥2−𝑥+1
𝑥−1 é:
a) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≤ −3 𝑜𝑢 𝑦 ≥ 1} b) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ −1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≤ −3 𝑜𝑢 𝑦 ≥ 1} c) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑦 ≥ 3} d) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ −1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ|−3 ≤ 𝑦 ≤ 1 } e) N.D.A
Exercício 12
Exercício 13
Exercício 14
Exercício 10
Exercício 11
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O domínio e a imagem da função racional
𝑓(𝑦, 𝑧) =𝑧3−3𝑧2+3𝑧
𝑧−1 é:
a) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑧 ∈ ℝ|𝑧 ≠ 1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+ b) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑧 ∈ ℝ|𝑧 ≠ −1} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑧 ∈ ℝ|𝑧 ≠ −1 𝑒 𝑧 ≠ −2} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ− d) 𝐷(𝑓) = ℝ × {𝑧 ∈ ℝ|𝑧 ≠ 1} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ− e) N.D.A.
O domínio e a imagem da função racional 𝑓(𝑥) =−𝑥3+3𝑥2−3𝑥
𝑥−1
é:
a) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+ b) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ −1} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ −1 𝑒 𝑥 ≠ −2} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ− d) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 1} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ e) N.D.A.
GRÁFICO : NÍVEL 2
Antes de esboçar o gráfico das funções racionais abaixo, determine caso existam, os pontos e valores máximos e mínimos locais e globais; bem como os possíveis pontos de sela e as curvas de nível de 𝑓.
Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥+1
−2𝑥+3.
Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑦, 𝑥) =2𝑥−1
4𝑥2−1.
Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥+1
𝑥2+𝑥−2.
Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑦, 𝑥) =𝑥2−1
𝑥+2.
Esboce o gráfico da função polinomial 𝑓(𝑥) =−𝑥−1
𝑥2+𝑥−2.
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
Exercício 4
Exercício 5
Exercício 15
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Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2−1
𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2.
Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑦, 𝑥) =−𝑥2+1
𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2.
Exercício 3 Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =3
𝑥2+1.
Exercício 3 Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑦, 𝑥) =−2
𝑥2+𝑥+1.
Exercício 3 Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =−1
𝑥+𝑦.
Exercício 3 Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =−2
𝑥𝑦.
Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑦, 𝑥) =2
4𝑥2+9𝑦2.
Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =1
𝑥2−𝑦2.
Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥3−3𝑥2+3𝑥
𝑥−1.
Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑦, 𝑥) =−𝑥3+3𝑥2−3𝑥
𝑥−1.
Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑦, 𝑥) =
𝑦
𝑥−1.
Esboce o gráfico da função racional 𝑓(𝑦, 𝑥) =1
𝑥−1.
Esboce o gráfico da função racional
Exercício 6
Exercício 7
Exercício 12
Exercício 13
Exercício 14
Exercício 15
Exercício 8
Exercício 9
Exercício 10
Exercício 11
Exercício 16
Exercício 17
Exercício 18
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𝑓(𝑦, 𝑥) =1
(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)𝑛, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 ∨ 𝑏 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ.
Esboce o gráfico da função racional
𝑓(𝑦, 𝑥) =1
(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2)𝑛, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 ∨ 𝑏 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ..
FUNÇÕES RACIONAIS: NÍVEL 3
Mostre que se 𝑓(𝑥, 𝑦) =∑ 𝑎𝑙𝑥
𝑙𝑛𝑙=0
∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚
𝑙=0
, ∀ 𝑛,𝑚 ∈ ℕ ∪ {0},
então lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓(𝑥, 𝑦) será:
{
∑ 𝑎𝑙𝑥0𝑙𝑛
𝑙=0
∑ 𝑏𝑙𝑥0𝑙𝑚
𝑙=0
, 𝑠e∑ 𝑏𝑙𝑥0𝑙 ≠ 0
𝑚
𝑙=0
𝑝(𝑥0)
𝑞(𝑥0), se 𝑓(𝑥, 𝑦) =
(𝑥 − 𝑥0)𝑖𝑝(𝑥)
(𝑥 − 𝑥0)𝑗𝑞(𝑥)
, 𝑝(𝑥0) ≠ 0, 𝑞(𝑥0) ≠ 0, 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ ∪ {0}, 𝑖 = 𝑗 ≠ 0
0, se 𝑓(𝑥, 𝑦) =(𝑥 − 𝑥0)
𝑖𝑝(𝑥)
(𝑥 − 𝑥0)𝑗𝑞(𝑥)
, 𝑝(𝑥0) ≠ 0, 𝑞(𝑥0) ≠ 0, 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ ∪ {0} 𝑒 𝑖 > 𝑗
∄, se 𝑓(𝑥, 𝑦) =(𝑥 − 𝑥0)
𝑖𝑝(𝑥)
(𝑥 − 𝑥0)𝑗𝑞(𝑥)
, 𝑝(𝑥0) ≠ 0, 𝑞(𝑥0) ≠ 0, 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ ∪ {0} 𝑒 𝑖 < 𝑗
Mostre que se
𝑓(𝑥) =(𝑥 − 𝑥0)
𝑖𝑝(𝑥)
(𝑥 − 𝑥0)𝑗𝑞(𝑥)
, 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ ∪ {0}, 𝑝(𝑥0) ≠ 0 e 𝑞(𝑥0) ≠ 0,
então:
a) lim𝑥→𝑥0
−𝑓(𝑥) =
{
+∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0, 𝑗 − 𝑖 é 𝑝𝑎𝑟 𝑒
𝑝(𝑥0)
𝑞(𝑥0)> 0
−∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0, 𝑗 − 𝑖 é 𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑝(𝑥0)
𝑞(𝑥0)> 0
+∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0, 𝑗 − 𝑖 é 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑝(𝑥0)
𝑞(𝑥0)< 0
+∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0, 𝑗 − 𝑖 é 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑝(𝑥0)
𝑞(𝑥0)> 0
b) lim𝑥→𝑥0
+𝑓(𝑥) = {
+∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0 𝑒𝑝(𝑥0)
𝑞(𝑥0)> 0
−∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0 𝑒𝑝(𝑥0)
𝑞(𝑥0)< 0
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 19
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
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Mostre que se 𝑓(𝑥) =∑ 𝑎𝑙𝑥
𝑙𝑛𝑙=0
∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚
𝑙=0
, ∀ 𝑛,𝑚 ∈ ℕ ∪ {0}, então:
a) lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) =
{
+∞, 𝑠𝑒 𝑛 −𝑚 > 0 𝑒
𝑎𝑛
𝑏𝑚> 0
𝑎𝑛
𝑏𝑚, 𝑠𝑒 𝑛 = 𝑚
0, 𝑠𝑒 𝑛 − 𝑚 < 0
−∞, 𝑠𝑒 𝑛 −𝑚 > 0 𝑒 𝑎𝑛
𝑏𝑚< 0
;
b) lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) =
{
+∞, 𝑠𝑒 𝑛 − 𝑚 > 0, 𝑛 − 𝑚 é 𝑝𝑎𝑟 𝑒
𝑎𝑛
𝑏𝑚> 0
−∞, 𝑠𝑒 𝑛 − 𝑚 > 0, 𝑛 − 𝑚 é 𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑎𝑛
𝑏𝑚< 0
+∞, 𝑠𝑒 𝑛 −𝑚 > 0, 𝑛 − 𝑚 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑎𝑛
𝑏𝑚< 0
−∞, 𝑠𝑒 𝑛 − 𝑚 > 0, 𝑛 −𝑚 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑎𝑛
𝑏𝑚> 0
;
c) 𝑑𝑓
𝑑𝑥(𝑥) =
(∑ 𝑙𝑎𝑙𝑥𝑙−1𝑛
𝑙=0 )∙(∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚
𝑙=0 )−(∑ 𝑎𝑙𝑥𝑙𝑛
𝑙=0 )∙(∑ 𝑙𝑏𝑙𝑥𝑙−1𝑚
𝑙=0 )
(∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚
𝑙=0 )2.
Mostre que se 𝑓(𝑥, 𝑦) =∑ 𝑎𝑙𝑥
𝑙𝑛𝑙=0
∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚𝑙=0
, ∀ 𝑛,𝑚, ℕ ∪ {0}, 𝑛 < 𝑚, então 𝑓(𝑥, 𝑦)
pode ser expressa na forma
∑ 𝑎𝑙𝑥𝑙𝑛1
𝑙=0
(𝑥−𝑥1)𝑚1 ∙ … ∙(𝑥−𝑥𝑖)
𝑚𝑖∙((𝑥−𝑎1)2+𝑏1
2)𝑚𝑖+1∙… ∙((𝑥−𝑎𝑗)
2+𝑏𝑗
2)𝑚𝑖+𝑗
,
onde 𝑥1, … , 𝑥𝑖 são raízes reais de ∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚
𝑙=0 e não são raízes de ∑ 𝑎𝑙𝑥𝑙𝑛1
𝑙=0 ; 𝑎1 ± 𝑖𝑏1,… , 𝑎𝑗 ±
𝑖𝑏𝑗 são raízes complexas conjugadas de ∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚
𝑙=0 e não são raízes de ∑ 𝑎𝑙𝑥𝑙𝑛1
𝑙=0 e 𝑚1 +⋯+
𝑚𝑖+𝑗 ≤ 𝑚 e 𝛿(𝑝) ≤ 𝑛.
Mostre que se 𝑓(𝑥, 𝑦) =∑ 𝑎𝑙𝑥
𝑙𝑛𝑙=0
∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚𝑙=0
, ∀ 𝑛,𝑚, ℕ ∪ {0}, 𝑛 < 𝑚, então 𝑓(𝑥, 𝑦)
pode ser expressa na forma
∑ ∑𝑎𝑘𝑙
(𝑥−𝑥𝑘)𝑙
𝑚𝑘𝑙=1
𝑖𝑘=1 + ∑ ∑
𝑏𝑘𝑙𝑥+𝑐𝑘𝑙
((𝑥−𝑎𝑘)2+𝑏𝑘
2)𝑙
𝑚𝑘𝑙=1
𝑗𝑘=1 ,
onde 𝑥1, … , 𝑥𝑖 são números reais e 𝑎1 ± 𝑖𝑏1,… , 𝑎𝑗 ± 𝑖𝑏𝑗 são números complexas
conjugados. Sugestão: Use o exercício 5.
Mostre que se 𝑓(𝑥, 𝑦) =∑ 𝑎𝑙𝑥
𝑙𝑛𝑙=0
∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚
𝑙=0
, ∀ 𝑛,𝑚,ℕ ∪ {0}, 𝑛 < 𝑚, então
∫ ∫𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 é obtida por:
𝑦 (∑ 𝑎𝑘1ln (|(𝑥 − 𝑥𝑘)|𝑖𝑘=1 +∑ ∑
𝑎𝑘𝑙𝑙−1
(𝑥−𝑥𝑘)𝑙−1𝑚𝑘𝑙=2
𝑖𝑘=1 +∑ 𝑏𝑘1arctg(
𝑥−𝑎𝑘
𝑏𝑘)
𝑗𝑘=1 −
𝑎𝑘𝑏𝑘1+𝑐𝑘1
𝑏𝑘𝑙𝑛 (|cos(arctg (
𝑥−𝑎𝑘
𝑏𝑘))|) + +∑ ∑ −
𝑏𝑘𝑙
(2𝑙−2)𝑏𝑘2𝑙−2
𝑚𝑘𝑙=2
𝑗𝑘=1 cos2𝑙−2 ( arctg (
𝑥−𝑎𝑘
𝑏𝑘)) +
Exercício 5
Exercício 6
Exercício 3
Exercício 7
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
Direitos reservados, 2016 por João Carlos Moreira Página 33
𝑎𝑘𝑏𝑘𝑙+𝑐𝑘𝑙
𝑏𝑘2𝑙−1 (∫ cos2𝑙−2(u) 𝑑𝑢)),
onde ∫ cos2𝑙−2(u) 𝑑𝑢 é obtido recursivamente por:
∫cos2𝑙−2(u) 𝑑𝑢 =1
2𝑙 − 2cos2𝑙−3 (arctg (
𝑥 − 𝑎𝑘𝑏𝑘
)) +2𝑙 − 3
2𝑙 − 2∫cos2𝑙−4(u)𝑑𝑢,
onde 𝑢 = arctg (𝑥−𝑎𝑘
𝑏𝑘), 𝑥1, … , 𝑥𝑖 são números reais e 𝑎1 ± 𝑖𝑏1, … , 𝑎𝑗 ± 𝑖𝑏𝑗 são
números complexos conjugados. Sugestão: Use o exercício 6.
Mostre que se 𝑓(𝑥, 𝑦) =∑ 𝑎𝑙𝑥
𝑙𝑛𝑙=0
∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚
𝑙=0
, ∀ 𝑛,𝑚,ℕ ∪ {0}, 𝑛 ≥ 𝑚, então
𝑓(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑐𝑙𝑥
𝑙𝑛−𝑚𝑙=0 +
𝑎0
∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚
𝑙=0
.
Determine a equação geral da reta tangente ao gráfico de
𝑓(𝑥, 𝑦) =∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥
𝑖𝑦𝑗𝑛2𝑗=0
𝑛1𝑖=0
∑ ∑ 𝑏𝑖𝑗𝑥𝑖𝑦𝑗
𝑚2𝑗=0
𝑚1𝑖=0
, 𝑛1 + 𝑛2 ≤ 𝑛,𝑚1 +𝑚2 ≤ 𝑚,∀ 𝑛,𝑚 ∈ ℕ ∪ {0} , no ponto
(𝑥0, 𝑦0 , 𝑓(𝑥0, 𝑦0)), (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝐷(𝑓).
Elabore um algoritmo para o estudo do sinal das funções racionais. Exercício 3 Elabore um algoritmo para determinar a imagem de uma função racional
𝑓(𝑥, 𝑦) =∑ 𝑎𝑙𝑥
𝑙𝑛𝑙=0
∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚
𝑙=0
, ∀ 𝑛,𝑚 ∈ ℕ ∪ {0}.
Faça um esboço geral do gráfico de uma função racional
𝑓(𝑥, 𝑦) =∑ 𝑎𝑙𝑥
𝑙𝑛𝑙=0
∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚
𝑙=0
, ∀ 𝑛,𝑚 ∈ ℕ ∪ {0}.
Exercício 9
Exercício 10
Exercício 11
Exercício 12
Exercício 8
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
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COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é análise aplicada. Fundou em 2014 a primeira escola de cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia.
JOÃO CARLOS MOREIRA FUNÇÕES RACIONAIS DE VÁRIAS
VARIÁVEIS REAIS