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Introduo Pesquisa Operacional
Fernando Augusto Silva Marins
Professor Adjunto do Departamento de Produo - DPD
Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguet - FEGUniversidade Estadual Paulista - UNESP
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Referncias 97
Introduo Teoria dos Grafos e Otimizao em Redes
1. Introduo 99
2. Conceitos Bsicos 102
3. Algoritmos 111
3.1. rvore de Valor Mnimo 111
3.2. Caminho Mais Curto 112
3.3. Fluxo Mximo 116
Referncias 127
Modelo de Transporte Simples
1. Histrico e Formulao Matemtica 128
2. Algoritmo do Stepping Stone Method 1353. Resoluo pelo Mtodo Modificado (Modi) 144
4. Mtodos para Encontrar uma Soluo Bsica Inicial para o
Stepping Stone Method
147
4.1. Regra do Canto Esquerdo - RCE 147
4.2. Mtodo do Menor Custo Associado - MMC 148
5. Ofertas e Demandas Desbalanceadas 151
6. Degenerescncia 152
7. Condies Proibidas e Embarque e Recepo 157
Referncias 159
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5Apresentao
A Pesquisa Operacional (PO) uma rea da Engenharia de
Produo que proporciona aos profissionais, que tm acesso ao seu
escopo, o acesso a um procedimento organizado e consistente que o
auxiliar na difcil tarefa de gesto de recursos humanos, materiais e
financeiros de uma organizao. De fato, a Pesquisa Operacionaloferece um elenco interessante de reas, modelos e algoritmos que
permitem ao gestor tomar deciso em problemas complexos, onde
deve ser aplicada a tica cientfica.
O material deste livro corresponde a um curso semestral
introdutrio PO, abordando a Programao Linear, algoritmos para
Modelos em Redes e modelos estocsticos da Teoria de Filas. O
contedo vem sendo ministrado, h mais de 20 anos, no nvel de
graduao para os cursos de Engenharia Mecnica e de Engenhariade Produo Mecnica da Faculdade de Engenharia do Campus de
Guaratinguet (FEG) da UNESP; e desde 2008, em cursos de ps-
graduao, Lato Sensu e Stricto Sensu tem sido utilizado como
apoio, principalmente pelos alunos que esto tendo acesso PO pela
primeira vez.
Entendendo a dificuldade dos professores em desenvolver o
material didtico para suas aulas, ser disponibilizada, para os que
adotarem o livro, uma senha para um stio na Internet onde haver
os seguintes materiais de apoio:
a) Conjunto de slides em PowerPoint com o contedo dos
vrios captulos do livro;
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6b) Arquivos com exerccios propostos sobre cada captulo do
livro;
c) Softwares, com tcnicas de Pesquisa Operacional,
desenvolvidos por orientados do autor (Simon, Simulex e
Hungar), endereos na Internet para o downloadde verses
livres de importantes e teis softwares (LINDO), e, ainda,o endereo para acesso de software livre desenvolvido por
outra instituio (PROLIN Universidade Federal de
Viosa). Manuais de usurio do Solver do Excel e do
LINDO desenvolvidos por professores de outra
instituio (Universidade Federal de Ouro Preto).
O autor gostaria de agradecer ao Professor Heleno do
Nascimento Santos da UFV e aos Professores Alosio de Castro
Gomes Jnior e Marcone Jamilson Freitas Souza da UFOP,
respectivamente, pela autorizao do uso do software PROLIN e dos
manuais do Solver e do LINDO. Agradece, ainda, a aluna Monique
de Medeiros Takenouchi do curso de Engenharia de Produo
Mecnica da FEG UNESP pelo trabalho de adequao nos slides
em PowerPoint, bem como ao mestrando Marco Aurlio Reis dos
Santos pela reviso final do texto. Finalmente, o autor gostaria de
agradecer a oportunidade oferecida pela Pr-Reitoria de Graduao
da UNESP, por meio do Programa de Apoio Produo de MaterialDidtico, ao publicar este livro.
Guaratinguet, novembo de 2009.
Fernando Augusto Silva Marins
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Pesquisa Operacional: origens, definies e reas
1. A Pesquisa Operacional e o Processo de Tomada de Deciso
Um profissional que assume uma funo em uma empresa
logo se depara com situaes onde dever tomar algum tipo de
deciso. medida que este profissional vai ascendendo na carreira,
os problemas e as decises vo se tornando mais complexas e de
maior responsabilidade. De fato, tomar decises uma tarefa bsica
da gesto, nos seus vrios nveis, estratgico, gerencial (ttico) ou
operacional, devendo ser entendido que o ato de decidir significa
fazer uma opo entre alternativas de soluo que sejam viveis de
serem aplicadas situao.
Apesar de cada gestor ter o seu prprio procedimento de
anlise e soluo de problemas, pode-se, em geral, estabelecer
algumas etapas que, necessariamente, devem ser observadas,
configurando o que se denomina de papel do decisor:
(a) Identificar o problema talvez seja a etapa mais difcil, pois,
diferentemente dos livros, os problemas na prtica no esto,
inicialmente, claros, definidos e delimitados. Aqui importante
perceber quais so os demais sistemas que interagem com o sistema
onde se insere o problema a ser tratado. fundamental se ter uma
equipe de analistas multidisciplinar para o problema seja visto de
prismas diferentes e isso seja incorporado na sua soluo;
(b) Formular objetivo (s) nesta etapa devem ser identificados e
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8formulados (muitas vezes matematicamente) quais so os objetivos
que devero ser atingidos quando da soluo do problema. Em
alguns casos, podem-se ter vrios objetivos que podem ser
qualitativos (por exemplo, satisfao do cliente), quantitativos
(custo ou lucros) ou ainda conflitantes;
(c) Analisar limitaes na seqncia deve-se levantar quais so asrestries que limitaro as solues a serem propostas. Comumente,
essas limitaes dizem respeito ao atendimento de tempo/prazo,
oramento, demandas, capacidades (transporte, produo e
armazenamento), tecnologia (equipamentos e processos),
inventrios (matria-prima, subconjuntos, work in process e
produtos acabados), entre outros;
(d) Avaliar alternativas aqui, o decisor, aps identificar quais so
suas alternativas de ao, dever utilizando algum procedimentoescolher a melhor soluo que poder ser aplicada. Destaque-se
que, muitas vezes a soluo tima pode no ter uma relao custo-
benefcio que permita sua adoo pela empresa, e uma outra soluo
que atende esses requisitos pode vir a ser a escolhida. Nesse
processo de avaliao de alternativas, o decisor poder utilizar uma
abordagem qualitativa ou quantitativa:
A abordagem qualitativa se aplica em problemas
simples, corriqueiros, repetitivos, com pouco impacto financeiro ousocial, onde fundamental a experincia do decisor (ou de sua
equipe de analistas) em situaes anteriores semelhantes. Nestes
casos, adota-se uma soluo similar quela j utilizada com sucesso
num problema semelhante;
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9 J a abordagem quantitativa a recomendada quando
os problemas so complexos, novos, envolvem grande volume de
recursos humanos, materiais e financeiros, tm alto impacto no
ambiente onde se insere (empresa ou sociedade). Aqui, recomenda-
se o uso dos preceitos da tica cientfica e os mtodos quantitativos
(algoritmos) disponveis a obteno de uma soluo.
Neste contexto que a Pesquisa Operacional se insere,
colaborando na formao de um profissional que dever desenvolver
um procedimento coerente e consistente de auxlio tomada de
deciso a ser adotado no decorrer da sua carreira.
2. O que a Pesquisa Operacional?
Pode-se considerar que o nome Pesquisa Operacional (PO)
de origem militar, tendo sido usado pela primeira vez na Gr-
Bretanha durante a Segunda Guerra Mundial. Em termos cientficos,
a PO caracterizada por um campo de aplicaes bastante amplo o
que justifica a existncia de vrias definies, algumas to gerais
que podem se aplicar a qualquer cincia, e outras to particulares
que s so vlidas em determinadas reas de aplicao:
o uso do mtodo cientfico com o objetivo de prover
departamentos executivos de elementos quantitativos para a tomada
de decises com relao a operaes sob seu controle";
Prope uma abordagem cientfica na soluo de
problemas: observao, formulao do problema, e construo de
modelo cientfico (matemtico ou de simulao);
a modelagem e tomada de deciso em sistemas reais,
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10determinsticos ou probabilsticos, relativos necessidade de
alocao de recursos escassos.
A PO uma cincia aplicada que utiliza tcnicas cientficas
conhecidas (ou as desenvolve quando necessrio), tendo como ponto
de referncia a aplicao do mtodo cientfico. A PO tem a ver,
portanto, com a pesquisa cientfica criativa em aspectos
fundamentais das operaes de uma organizao. Pelo que foi dito
antes, podem-se resumir os principais aspectos da PO como se
segue:
Possui um amplo espectro de utilizao, no
governo e suas agncias, indstrias e empresas comerciais e de
servio;
aplicada a problemas associados conduo
e a coordenao de operaes ou atividades numa organizao;
Adota um enfoque sistmico para os
problemas;
Busca a soluo tima para o problema;
Usa uma metodologia de trabalho em equipe
(engenharia, computao, economia, estatstica, administrao,
matemtica, cincias comportamentais).
3. Origens da Pesquisa Operacional
Como descrito por Lss (1981), desde o sculo III A.C.
quando Hieron, Imperador da Siracusa, solicitou de Arquimedes a
idealizao de meios para acabar com o cerco naval dos romanos,
lideres polticos e militares tm consultado os cientistas para a
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11soluo de problemas tticos e estratgicos. No sculo XVII,
Pascal e Fermat, inventores da noo de esperana matemtica, e
mais recentemente, Taylor, Borel e Erlang modelaram alguns
problemas e forneceram solues para os respectivos modelos.
No que diz respeito a aplicaes industriais, as sementes da
PO foram lanadas h muitas dcadas, nas tentativas de usar o
mtodo cientifico na gerncia de sistemas e organizaes de grande
porte, logo em seguida 1a. Revoluo Industrial.
O incio da PO , no Ocidente, geralmente atribudo s
iniciativas dos servios militares no incio da Segunda Guerra
Mundial. Tm-se, por exemplo, estudos relacionados com o
desenvolvimento e uso do radar, problema de alocao eficiente de
recursos escassos s vrias operaes militares, problema da dieta e
outros mais. As equipes de analistas operacionais, como foram
chamadas naquela poca, comearam a se expandir na Gr-
Bretanha, no Canad, na Austrlia e nos Estados Unidos.
O rpido crescimento da PO no ps-guerra deve-se ao
desenvolvimento de tcnicas especficas, tais como o mtodo
Simplex para a Programao Linear, e ao grande progresso
alcanado no desenvolvimento dos computadores eletrnicos. A
expanso da PO no mundo acadmico se deu inicialmente nos
departamentos de Engenharia Industrial e de Engenharia de
Produo, e nas escolas de Administrao das Universidades norte-
americanas.
Segundo Lss (1981), o incio da PO no Brasil se deu
aproximadamente uma dcada aps sua implantao na Gr-
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12Bretanha e nos Estados Unidos, sendo que as aplicaes
economia que motivou os trabalhos pioneiros da PO. Em 1957 a
Escola Politcnica da Universidade de So Paulo (EPUSP) criou o
primeiro Curso de Engenharia de Produo, em nvel de graduao
no Brasil nos moldes de cursos de Engenharia Industrial dos Estados
Unidos. Em 1959 teve incio o Curso de Engenharia de Produo
(em nvel de graduao) do ITA. Foram criados os cursos de
Programao Linear, Teoria dos Jogos, Simulao, Teoria das Filas
e Estatstica, oferecidos aos alunos de Engenharia de Produo da
USP e do ITA.
No incio dos anos 60, como vrios professores atuavam
tambm no setor privado, teve incio uma pequena interao entre a
Universidade e a Empresa, resultando nas primeiras aplicaes de
PO a problemas reais. No final dos anos 60 j existia uma tendncia
de se formarem em algumas empresas grupos dedicados a PO
voltados soluo de problemas tticos e estratgicos. O primeiro
grupo formal de PO estabelecido no Brasil em uma empresa foi o da
Petrobrs, criado em 1965.
Em 1966 foi realizado no Rio o "Primeiro Seminrio de PO
no Brasil, promovido pela Petrobrs. Nesta poca foi fundada a
SOBRAPO - Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional, que
congrega interessados no desenvolvimento e uso de tcnicas de PO.
H vrias sociedades profissionais no mundo ligadas PO, bem
como so publicados muitos peridicos, onde se publicam os
trabalhos associados PO. Para conhecimento e referncias, citam-
se a seguir algumas sociedades e peridicos mais relevantes:
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13 INFORMS The Institute for Operations Research
and the Management Sciences (www.informs.org)
EURO - European Operational Research Society
(www.euro-online.org)
IFORS The International Federation of Operational
Research Societies (www.ifors.org ) SOBRAPO - Sociedade Brasileira de Pesquisa
Operacional (www.sobrapo.org.br)
ABEPRO Associao Brasileira de Engenharia de
Produo (www.abepro.org.br)
Operations Research (or.pubs.informs.org)
European Journal of Operational Research
(www.elsevier.com/locate/ejor)
Interfaces (interfaces.journal.informs.org) Management Sciences (mansci.pubs.informs.org)
Revista da SOBRAPO (www.sobrapo.org.br)
Gesto & Produo (www.scielo.br/gp)
Produo (www.abepro.org.br)
Brazilian Journal of Operations and Production
Management (www.abepro.org.br)
4. Fases da resoluo de um problema pela PesquisaOperacional
Pode-se, de uma forma simplificada, subdividir a resoluo
de um problema pela PO em cinco etapas:
(a) Formulao do Problema (Identificao do Sistema)
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14(b) Construo do Modelo Matemtico
(c) Obteno da Soluo
(d) Teste do Modelo e da Soluo Obtida
(e) Implementao
Estas etapas podem ser visualizadas na Figura 1.
Figura 1: Esquematizao das Fases de um Estudo aplicando a PO
(a) Formulao do Problema (Identificao do Sistema)
Diferentemente dos exemplos dos livros, os problemas reais
surgem de uma forma bastante vaga e imprecisa. Este fato exige doanalista de PO uma grande capacidade de assimilar e sistematizar as
situaes reais. Para se formular corretamente um problema
necessrio que o mesmo seja bem identificado. Portanto, as
seguintes informaes bsicas se tornam necessrias:
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15 (a) Quem tomar as decises?
(b) Quais so os seus objetivos?
(c) Que aspectos esto sujeitos ao controle de quem
decide (variveis de deciso) e quais as limitaes a
que esto sujeitas essas variveis (restries)?
(d) Quais os aspectos que esto envolvidos no processo
e que fogem ao controle de quem decide?
Uma vez formulado o problema, a etapa seguinte a
construo do modelo.
(b) Construo do Modelo Matemtico
Modelos so representaes simplificadas da realidade. A
qualidade de um modelo depende muito da imaginao e criao da
equipe de PO requerendo uma certa dose de abstrao. impossvel
construir um manual de instrues para a elaborao de modelos. A
utilizao de modelos possui duas importantes caractersticas:
(a) Permite a anlise do problema modelado,
indicando quais so as relaes importantes entre
as variveis, quais os dados relevantes, e quais so
as variveis de maior importncia;
(b) Possibilita a tentativa de vrias alternativas de
ao sem interromper o funcionamento do sistema
em estudo.
Uma classificao possvel para os modelos seria: icnicos
ou fsicos (por exemplo, maquetes), analgicos (por exemplo,
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16organograma), e matemticos. Os modelos fsicos assemelham-se
fisicamente aos sistemas que representam, enquanto os modelos
abstratos tm apenas uma semelhana lgica com os sistemas
representados. Os modelos matemticos podem ser de otimizao ou
de simulao, sendo que este texto se concentrar nos modelos
matemticos de otimizao.
Um modelo matemtico de um problema real uma
representao atravs de expresses matemticas que descrevem a
essncia do problema. Se existirem ndecises quantificveis, elas
sero representadas por n variveis de deciso ou de controle. As
relaes e limitaes a que esto sujeitas as variveis de deciso so
expressas por meio de equaes e inequaes, denominadas
restries. O objetivo que se pretende atingir formulado como uma
funo (ou mais de uma), colocada em termos das variveis de
deciso, denominada funo objetivo.
Normalmente na etapa de modelagem leva-se em conta a
tcnica que poder vir a ser utilizada, uma vez que muitas vezes
atravs de pequenas adaptaes nesta fase, que no comprometem
os resultados obtidos, consegue-se uma simplificao na etapa de
obteno da soluo.
(c) Obteno da Soluo
Uma vez construdo o modelo matemtico parte-se para a
obteno de uma soluo. Diversos so os mtodos matemticos
utilizados em PO, associados s vrias reas que compe a PO, entre
estas se pode citar, a Programao Linear, a Programao em Redes,
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17a Teoria dos Grafos e a Teoria das Filas que sero tratadas neste
livro.
Estes mtodos matemticos encontram-se em crescente
evoluo, alm da descoberta de novas tcnicas. Foram
desenvolvidos diversos softwares, que disponibilizam alguns
mtodos importantes da Pesquisa Operacional tornando vivel e
eficiente a soluo de problemas complexos. Como exemplos tm-
se o Solver do Excel que atua com planilhas eletrnicas, o
LINDO Linear Discrete Optimizer (www.lindo.com) e o
CPLEX (www.ILOG.com), para problemas de Programao
Linear e No Linear e variaes, para Simulao so muito usados
o PROMODEL(www.belge.com.br/produtos_promodel.html) e o
ARENA(www.paragon.com.br/).
(d) Teste do Modelo e da Soluo Obtida
Dada a complexidade dos problemas, e a dificuldade de
comunicao e compreenso de todos os aspectos, existe a
possibilidade que a equipe de analistas obtenha, ou interprete, de
forma errnea alguns fatos, o que pode acarretar uma distoro
elaborao do modelo. Essa distoro levar a solues que no se
ajustaro realidade. Dessa forma, o modelo precisa ser testado. Em
alguns casos o modelo pode ser testado atravs da reconstruo dopassado (uso de dado histricos), verificando-se a adequao do
modelo s informaes disponveis.
Em cada situao especifica pode ser definida uma
sistemtica para testar o modelo e sua soluo. O importante que
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18se a soluo for usada repetidamente o modelo deve continuar a
ser testado. A fase de teste pode indicar deficincias exigindo
correes do modelo, seja pelo refinamento de algum aspecto, pela
considerao de algum aspecto omitido ou possveis simplificaes
do modelo.
(e) Implementao
A ltima fase de um estudo de PO implementar a soluo
final, uma vez aprovada por quem decide. Esta uma fase crtica,
pois somente nesta fase que os resultados do estudo sero obtidos.
Por este motivo, muito importante a participao da equipe que
trabalhou com o modelo de forma a garantir a sua correta
implementao. Este contato estreito garantir tambm uma
interveno no caso de ocorrer qualquer tipo de falha no prevista.
A fase de implementao envolve um aspecto
essencialmente tcnico e um aspecto pessoal. Como normalmente
utilizado o computador para obteno dos resultados, toda
documentao necessria deve ser muito bem organizada e
detalhada, de forma a no suscitar dvidas quando de sua utilizao.
Por outro lado, deve-se preparar a equipe que ir utilizar os
resultados, procurando-se o entrosamento com a equipe de operao,
bem antes da fase de implementao. A participao mais efetiva de
quem ir utilizar os resultados, nas etapas de formulao e
modelagem certamente contribuir para o sucesso da implementao
dos resultados obtidos.
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195. Consideraes Importantes
O estudo da PO, tendo em vista a sua sistemtica, leva o
tcnico a adquirir um raciocnio organizado. Essa formalizao do
raciocnio facilita a anlise e interpretao dos problemas reais,
levando a um exame detalhado dos aspectos envolvidos.
No entanto, como o tcnico de PO na maioria das vezes no
um profundo conhecedor da rea em que ser aplicado o modelo,
fundamental um relacionamento constante com o usurio,
principalmente nas etapas iniciais de formulao e modelagem. Esse
relacionamento se torna ainda mais importante medida que o
usurio precisa estar convencido da validade, e das vantagens, que
essas tcnicas propiciam, para que esteja garantida a viabilidade de
sua utilizao.
Com relao aos dados utilizados nos modelos, muito
importante que seja conhecida a sua qualidade, pois, s vezes,
procura-se refinar um modelo sem levar em conta que a qualidade
das informaes necessrias a esse refinamento no o justificam.
Um estudo utilizando a anlise de sensibilidade, em muitos casos,
permite verificar a influncia de determinado dado (parmetro), o
que poderia no justificar um maior detalhamento do modelo.
O porte do modelo deve ser adequado as suas finalidades.
Em muitos casos so utilizados modelos extremamente complexos,
o que possvel com o grande desenvolvimento dos computadores,
que no justificam a sua adoo. O custo da implementao e
operao de alguns modelos pode superar os benefcios
proporcionados inviabilizando-os. Modelos de grande porte devem
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20ser utilizados somente quando possam ser justificados atravs de
uma relao benefcio-custo desejvel.
Recursos escassos devem ser utilizados racionalmente de
maneira racional. Por outro lado as exigncias do desenvolvimento
industrial brasileiro, e a globalizao da economia foram, foram a
utilizao de ferramentas mais poderosas na soluo de problemas
especficos ou gerais das empresas.
Hoje se constata que, embora as tcnicas da PO j estejam
bastante divulgadas no meio acadmico, nas Empresas ainda h
vrias restries ao conhecimento e domnio desse ferramental. A
falta de tradio no uso de tcnicas sofisticadas no mundo
empresarial brasileiro, aliada a dificuldades de comunicao com as
universidades, fazem com que o uso da PO por empresas esteja bem
aqum do que seria desejvel.
Nas universidades a tendncia uma diversificao muito
grande de reas de aplicao. H pessoas trabalhando com
problemas determinsticos, estocsticos e combinatrios; h
desenvolvimentos importantes relacionados teoria da deciso, a
mtodos computacionais aplicados Programao Matemtica e a
outras reas mais contemporneas, como a Logstica e o
Gerenciamento da Cadeia de Suprimentos (Supply Chain
Management).
A esta diversificao se alia um crescente intercmbio da
universidade com a empresa, na forma de assessoria e participao
em projetos.
Pode-se afirmar que a PO tem tido um impacto crescente na
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21administrao das empresas, tendo aumentado o nmero e a
variedade de suas aplicaes. A seguir esto relacionadas reas
tratadas neste texto e exemplos de problemas tpicos:
Programao Linear - mix de produo, mistura de
matrias-primas, modelos de equilbrio econmico, carteiras de
investimentos, roteamento de veculos; jogos entre empresas;
Modelos em Redes - rotas econmicas de transporte,
distribuio e transporte de bens, alocao de pessoal,
monitoramento de projetos;
Teoria de Filas - congestionamento de trfego,
operaes de hospitais, dimensionamento de equipes de servio;
Referncias
Lawrence, J. A.; Pasternack, B. A. Applied Management Science:
Modeling, Spreadsheet Analysis, and Communication for Decision
Making, 2ndEdition. New York: John Wiley & Sons, 2002.
Lss, Z. E. O Desenvolvimento da Pesquisa Operacional no Brasil.
Tese de Mestrado, COPPE/UFRJ, 1981.
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23Programao Linear
1. Introduo
Um aspecto importante de problemas envolvendo decises
o de otimizao; quando se procura estabelecer quais as maneiras
mais eficientes de utilizar os recursos disponveis para atingir certos
objetivos. Em geral trata-se de recursos limitados e a sua utilizao
criteriosa possibilita melhorar o rendimento ou produtividade do
processo em estudo.
A prpria continuidade do processo pode mesmo depender
de tal utilizao criteriosa. Na prtica tais recursos so usualmente
de natureza econmica, tais como capital, matria-prima, mo-de-
obra, equipamentos, tempo e outros, mas em geral podem tomar os
aspectos mais variados.
A Programao Linear (PL) visa fundamentalmente
encontrar a melhor soluo para problemas que tenham seus
modelos representados por expresses lineares. A sua grande
aplicabilidade e simplicidade devem-se a linearidade do modelo. A
tarefa da PL consiste na maximizao ou minimizao de uma
funo linear, denominada Funo objetivo, respeitando-se um
sistema linear de igualdades ou desigualdades, que recebem o nome
de Restries do Modelo.
As restries determinam uma regio a qual se d o nome de
Conjunto Vivel, a melhor das solues viveis (solues que
pertencem ao Conjunto Vivel), ou seja, aquela que maximiza ou
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24minimiza a funo objetivo, denomina-se Soluo tima. O
objetivo da Programao Linear determinar a soluo tima.
Para a resoluo de um Problema de Programao Linear
(PPL) dois passos so necessrios. O primeiro a Modelagem do
problema, seguindo-se o mtodo de soluo do modelo. No caso de
um PPL o mtodo mais utilizado o Mtodo Simplex, que ser
examinado adiante. No existem tcnicas precisas capazes de
permitir o estabelecimento do modelo de um problema, pois a
modelagem envolve aspectos de arte, ou seja, pode ser melhorada
com a prtica e observao. Para modelar uma situao geral
importante se ter experincia e capacidade de anlise e sntese.
2. Modelagem
Para identificar as variveis de deciso, recomenda-se as
seguintes regras:
a) Pergunte O decisor tem autoridade para escolher o
valor numrico (quantidade) do item? Se a resposta for sim esta
uma varivel de deciso;
b) Seja bem preciso com respeito s unidades (moeda e
quantidade, por exemplo) de cada varivel de deciso (incluindo o
fator tempo, como horrio, dirio, semanal, mensal);
c) Cuidado para no confundir as variveis de deciso
com os parmetros do problema, como nmero de mquinas na
fbrica, quantidade de cada recurso usado na fabricao de um
produto, capacidade de produo da fbrica, custos de produo,
custos de transporte, demandas pelos produtos e assim por diante.
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25Com respeito funo objetivo, a PO busca encontrar o
melhor que pode ser feito com o que se tem, isto , procura
maximizar algo (como lucro ou eficincia) ou minimizar alguma
coisa (como custo ou tempo). Talvez a busca pelo mximo valor do
lucro total (= retornos custos) seja a funo objetivo mais comum
nos modelos matemticos. Na PL, os modelos tm apenas um
objetivo, mas possvel, em outras reas da PO, tratar modelos com
mltiplos objetivos.
Exemplos de restries tpicas incluem a existncia de
limites sobre as quantidades de recursos disponveis (colaboradores,
mquinas, oramento, matrias-primas, por exemplo) e requisitos
contratuais para a produo e atendimento de demandas. As
restries tambm podem ser de carter natural, como ocorre nos
casos de estoques, onde razovel considerar que o estoque ao final
de um ms igual ao estoque no incio daquele ms mais o que foi
produzido e menos o que foi vendido no mesmo ms, desde que o
produto no se deteriore ou se perca no perodo.
Outro exemplo se refere ao fato de determinadas variveis
de deciso (por exemplo, quantidades produzidas) no poderem ter
valores negativos, ou ainda s poderem assumir valores inteiros
nulos ou positivos. Essas ltimas restries so conhecidas como
restries de no negatividade e restries de integridade,
respectivamente.
possvel se ter alguma varivel de deciso que possa
assumir qualquer valor, positivo, nulo ou negativo, como, por
exemplo, a taxa de inflao num modelo de planejamento
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26econmico, nesse caso a varivel de deciso denominada livre
ou irrestrita em sinal.
Um procedimento que ajuda na elaborao de restries o
seguinte:
a) Crie uma restrio com palavras inicialmente, da
seguinte forma,
(A quantidade requerida de um recurso)
(A disponibilidade do recurso),
sendo que essas relaes podem ser expressas por meio de
igualdades (=) ou desigualdades (ou );
b) Assegure-se que a unidade do termo do lado
esquerdo (Left Hand Side LHS) da restrio a mesma unidade do
termo do lado direito (Right Hand Side RHS);
c) Traduza a restrio em palavras para a notao
matemtica utilizando valores conhecidos ou estimados para os
parmetros e os smbolos matemticos adotados para as variveis de
deciso;
d) Reescreva a restrio, se necessrio, de modo que os
termos envolvendo as variveis de deciso fiquem no lado esquerdo
(LHS) da expresso matemtica, enquanto s o valor associado a
uma constante fique no lado direito (RHS).
Apresentam-se a seguir exemplos de modelagem em
Programao Linear. Deve-se, inicialmente, definir de forma
completa e inequvoca quais sero as variveis de deciso (ou de
controle) do modelo e na seqncia a funo objetivo e as restries.
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28Restries:
(limitao de mo-de-obra) 7xa+ 3xb+6xc150
(limitao de material) 4xa+ 4xb+5xc200
(no-negatividade) xa0, xb0, xc0.
Funo objetivo: maximizao do lucro total
Lucro total = L = 4xa+ 2xb+3xc
Max L = 4xa+ 2xb+3xc
Modelo final
Encontrar nmeros xa, xb, xc tais que: Max L = 4xa, sujeito as
restries: 7xa+ 3xb+6xc150
4xa+ 4xb+5xc200
xa0, xb0, xc0.
Generalizando, suponha que existem mrecursos usados na produo
de nprodutos, com os seguintes dados:
cj: lucro na venda de uma unidade do produto j = 1,2,...,n;
bi: quantidade disponvel do recurso i = 1,2, ...., m;
aij: quantidade do recurso i usada para produzir uma unidade do
produto j.
xj: quantidade a produzir do produto j (variveis de deciso).
O modelo geral ter: Funo objetivo - Max
n
jjjxcZ
1
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29Restries - sujeito a: a11x1+ ...+ a1nxnb1
a21x1+ ...+a2nxnb2
....................................
am1x1+ ...+ amnxnbm
xj0, j = 1, 2, n
Em notao matricial, tem-se:
Max Z = C' X sujeito a:
0X
bAX
onde: X = (x1 x2 ... xn)
t o vetor das variveis de deciso; C =
(c1 c2 ... cn) o vetor de custos; b = (b1 b2 ...bm)
t o vetor das
quantidades dos recursos em cada restrio
A = a11a12 ... a1n
a21a22 ... a2n
.......................
am1am2.... amn
a matriz dos coeficientestecnolgicos.
(2) Modelo da Dieta
O problema consiste em obter uma dieta de mnimo custo
que satisfaa as necessidades bsicas do indivduo mdio, com
respeito a Calorias (no mnimo 3,0), Clcio (no mnimo 0,8) e
Vitamina B12 (no mnimo 2,7). A Tabela 2 relaciona trs
substncias exigidas pelo organismo, a quantidade existente de cada
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30uma delas de uma relao de seis alimentos, juntamente com os
respectivos custos unitrios desses alimentos.
Tabela 2. Dados para o problema da dieta.
(1)
farinha
de trigo
(2)
leite em
p
(3)
queijo
(4)
fgado
(5)
batata
(6)
feijo
Calorias 44,7 8,4 7,4 2,2 9,6 26,9
Clcio 2,0 19,1 16,4 0,2 2,7 11,4
VitaminaB12
33,3 23,5 10,3 50,8 5,4 24,7
Custos 10,8 20,5 22,5 21,2 16,1 15
Modelagem:
Variveis de deciso - Sejam xj - quantidade do alimento j presente
na dieta, j = 1,2,3,4,5,6.
Funo objetivo: Min Z = 10,8x1 + 20,5x2 + 22,5x3 + 21,2x4 +
16,lx5+ 15,0x6
Restries
sujeito a:
44,7x1+ 8,4x2 + 7,4x3+ 2,2x4+ 9,6x5+ 26,9x6 3,0
2,0xl+ 19,lx2+ 16,4x3+ 0,2x4+ 2,7x5+ 11,4x6 0,8
33,3x1+ 23,5x2+ 10,3x3+ 50,8x4+ 5,4x5+ 24,7x6 2,7
xj > 0 , j = 1,2,3,4,5,6
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Generalizando, sejam cj - custo do alimento j = 1, 2,..., n;
bi - quantidade mnima do nutriente i = 1, 2,..., m na dieta;
aij - quantidade do nutriente i por unidade do alimento j.
Em notao matricial o modelo ficar sendo:
Funo-objetivo -Min Z = C'X
Restries - sujeito a:
.0X
bAX
(3) Modelo de Transporte Simples
Um dado produto produzido em diferentes fbricas no pas
com capacidades de produo limitadas e deve ser levado a centros
de distribuio (depsitos) onde h demandas a serem satisfeitas.
O custo de transporte de cada fbrica a cada depsito
proporcional quantidade transportada e devem-se achar estas
quantidades que minimizem o custo total de transporte (CT) do
produto em questo. A Tabela 3 fornece os custos unitrios de
transporte de cada fbrica para cada depsito, bem como as
demandas em cada um dos depsitos e as produes de cada fbrica.
Tabela 3. Dados para o problema de transporte.
DepsitosFbricas
Florianpolis Rio deJaneiro
Salvador Manaus Produes
Curitiba 1 0,8 3 4,5 470
So Paulo 1,5 0,6 2,5 3 400
Aracaju 6 5 1,2 2,8 400
Demanda 350 300 300 120
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Modelagem:
Sejam xij quantidade enviada do produto da fbrica i (i = Curitiba, So
Paulo, Aracaju) ao depsito j (j = Florianpolis, Rio de Janeiro, Salvador,
Manaus)
Funo objetivo Min CT = 1x11+ 0,8x12+ 3x13+ 4,5x14+ 1,5x21+0,6x22+ 2,5x23+ 3x24+ 6x31+ 5x32+ 1,2x33+ 2,8x34
Restries sujeito a
Curitiba x11+ x12+ x13+ x14 470
(Restries de produo) So Paulo x21+ x22+ x23+ x24 400
Aracaju x31+ x32+ x33+ x34 400
Florianpolis x11+ x21+ x31+ x41 = 470 RJ x12+ x22+ x32+ x42 = 470
(Restries de demanda) Salvador x13+ x23+ x33+ x43 = 470
Manaus x14+ x24+ x34+ x44 = 470
(No negatividade) xij0, i = 1, 3 e j = 1,4.
Generalizando, supondo um nico produto, n depsitos e m fbricas
e:
cij - custos unitrios de transporte da fbrica i ao depsito j;
bj - demanda no depsito j com j = 1,2, ...,n
ai - produo da fbrica i com i = 1,2, ...,m;
O modelo geral ser:
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33Variveis de deciso - xij - quantidade transportada da fbrica i ao
depsito j.
Funo objetivo -
m
1i
n
1jijijxcZMin
Restries - sujeito a:
0
,...,2,1,
,...,2,1,
1
1
ij
m
ijij
n
jiij
x
njbx
miax
(4)Seleo de mdia para propaganda
Uma companhia de propaganda deseja planejar uma campanha em
03 diferentes meios: tv, rdio e revistas. Pretende-se alcanar o
maior nmero de clientes possvel. Um estudo de mercado resultou
nos dados da Tabela 4, sendo os valores vlidos para cada
veiculao da propaganda.
A companhia no quer gastar mais de $ 800.000 e
adicionalmente deseja:
a) No mnimo 2 milhes de mulheres sejam atingidas;
b) Gastar no mximo $ 500.000 com TV;
c) No mnimo 03 veiculaes ocorram no horrio normal naTV;
d) No mnimo 02 veiculaes ocorram no horrio nobre na
TV;
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34e) Nmero de veiculaes no rdio, e nas revistas, devem
ficar entre 05 e 10, para cada meio de divulgao.
Tabela 4. Dados para o problema de seleo de mdia para propaganda.
TV
horrio
TV
horrio
Rdio Revistas
normal nobre
custo 40.000 75.000 30.000 15.000
clientes
atingidos
400.000 900.000 500.000 200.000
mulheres
atingidas
300.000 400.000 200.000 100.000
Formular um modelo de PL que trate este problema,
determinando o nmero de veiculaes a serem feitas em cada meio
de comunicao, de modo a atingir o mximo possvel de clientes.
Modelagem:
Variveis de deciso:
x1= Nmero de exposies em horrio normal na tv.
x2= Nmero de exposies em horrio nobre na tv.
x3= Nmero de exposies feitas utilizando rdio.
x4= Nmero de exposies feitas utilizando revistas.
Funo objetivo: maximizar nmero de clientes atingidos
Max z = 400.000x1+ 900.000x2+ 500.000x3+ 200.000x4
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Restries: sujeito a
40.000x1+ 75.000x2+ 30.000 x3+ 15.000x4800.000 (oramento)
300.000x1+ 400.000x2 + 200.000 x3+ 100.000x42.000.000
(mulheres atingidas)
40.000x1+ 75.000x2500.000 (gasto com TV)
x13, x22, 5 x310, 5 x410 (nmero de veiculaes em
TV, rdio e revistas)
x1, x2, x3, x40. (no-negatividade)
(5) Um problema de treinamento
Uma empresa de mquinas ferramentas tem um programa
de treinamento para operadores de mquinas. Alguns operadores j
treinados podem trabalhar como instrutores neste programa ficando
responsveis por 10 trainees cada. A empresa pretende aproveitar
apenas 07 traineesde cada turma de 10.
Estes operadores treinados tambm so necessrios na linha
de fabricao, e sabe-se que sero necessrios para os prximos
meses: 100 operadores em janeiro, 150 em fevereiro, 200 em maro,
e 250 em abril. Atualmente h 130 operadores treinados disponveis
na empresa. Os custos associados a cada situao so:
a) Trainee - $ 400;
b) Operador treinado trabalhando - $ 700;
c) Operador treinado ocioso - $ 500. Um acordo firmado com
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37+ x4+ x6) + 700(100 + 150 + 200) = 4700x1+ 500x2+ 4700x3+
500x4 + 4700x5+ 500x6+ 315.000.
Restries: x1, x2, x3, x4, x5, x60 (no-negatividade)
As demais restries devem representar as equaes de
balano mensal: operadores treinados no incio do ms = operadoresnas mquinas + instrutores + operadores ociosos.
Janeiro - 130 = 100 + x1+ x2x1+ x2= 30
Fevereiro - 130 + 7x1= 150 + x3+ x47x1 - x3 - x4= 20
Maro - 130 + 7x1+ 7x3= 200 + x5+ x67x1+ 7x3 - x5 - x6= 70
Abril - 250 = 130 + 7x1+ 7x3+ 7x57x1+ 7x3+ 7x5= 120.
(6) Problema de dimensionamento de equipes de inspeoUma companhia deseja determinar quantos inspetores alocar
uma dada tarefa do controle da qualidade. as informaes
disponveis so:
H 08 inspetores do nvel 1 que podem checar as peas
a uma taxa de 25 peas por hora, com uma acuracidade de 98%,
sendo o custo de cada inspetor deste nvel $4 por hora;
H 10 inspetores do nvel 2 que podem checar as peas
a uma taxa de 15 peas por hora, com uma acuracidade de 95%,
sendo o custo de cada inspetor deste nvel $3 por hora.
A companhia deseja que no mnimo 1800 peas sejam
inspecionadas por dia (= 08 horas).
Sabe-se, ainda, que cada erro cometido por inspetores
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38no controle da qualidade das peas acarreta um prejuzo
companhia de $2 por pea mal inspecionada.
Formular um modelo de PL para possibilitar a designao
tima do nmero de inspetores de cada nvel de modo a otimizar o
custo da inspeo diria da companhia.
Modelagem:Variveis de deciso - xi= nmero de inspetores do nvel i (= 1, 2)
alocados inspeo.
Funo objetivo: Minimizar CT = custo total dirio de inspeo
([$/dia]), onde Custo Total = custo do salrio dos inspetores + custo
dos erros
Min CT = 8.[(4 x1+ 3 x2) + 2.(25.0,02 x1+ 15.0,05 x2)] Min CT
= 40 x1+ 36 x2
Restries: Quanto ao nmero de inspetores: x18 (inspetores do
nvel 1) e x210 (inspetores do nvel 2)
Quanto ao nmero de peas inspecionadas por dia: 8.(25 x1+ 15 x2)
1800 5 x1+ 3 x245
Restries implcitas de no negatividade: x10 e x20.
(8) Um problema de mistura
Deseja-se determinar as misturas de quatro derivados do
petrleo, que sero os constituintes de trs tipos de gasolina (extra,
super e comum). Na Tabela 5 esto as informaes acerca dos
custos e disponibilidade dos constituintes.
Tabela 5. Dados sobre os constituintes.
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39Constituintes Mximo disponvel Custo
(barris/dia) Por barril
1 3.000 3
2 2.000 6
3 4.000 4
4 1.000 5
Tabela 6. Dados sobre preos e especificaes de gasolinas.
Tipo de gasolina Especificaes Preo de
venda
No mais que 30% de 1
No mais que 50% de 3
A
No menos que 40% de 2
5,5
No mais que 50% de 1BNo menos que 10% de 2
4,5
C No mais que 70% de 1 3,5
A fim de manter a qualidade de cada tipo de gasolina,
preciso manter as porcentagens dos diversos constituintes dentro dos
limites especificados. Os preos de venda de cada tipo de gasolina
por barril tambm esto indicados na Tabela 6. O objetivo maximizar o lucro.
Modelagem
Variveis de deciso:
xij= quantidade do constituinte i (1,2, 3, 4) na gasolina j (A, B, C)
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40
Variveis auxiliares:
xA= xiA, xB= xiB, xC= xiC, para i = 1, 2, 3, 4.
x1= x1j, x2= x2j, x3= x3j, x4= x4j, para j = A, B , C.
Funo objetivo: Max Lucro = (preo de venda de cada tipo degasolina).(quantidade vendida) (custo de cada
constituinte).(quantidade comprada)
Max L = 5,50 xA+ 4,50 xB+ 3,50 xC 3 x1 6 x2 4 x3 5 x4=
Restries:
Quantidades mximas de constituintes
x1j3.000
x2j2.000x3j4.000
x1j1.000
Especificaes das gasolinas
x1A0,30 xA
x3A0,50 xA
x2A0,40 xA
x1B0,50 xB
x2B0,10 xB
x1C0,70 xC.
No negatividade - xij0, para todo i = 1, 2, 3, 4 e j = A, B, C.
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41Deve-se, a seguir, substituir as variveis auxiliares pelas
variveis de deciso e o modelo estar completo.
Alguns modelos no so originalmente lineares, mas por
meio de algum artifcio podem ser linearizados. Seguem alguns
exemplos desses casos.
(9) Uma indstria qumica
Dois produtos, a e b, so feitos a partir de duas operaes
qumicas. Cada unidade do produto arequer 02 horas da operao 1
e 03 horas da operao 2. Cada unidade do produto b requer 03
horas da operao 1 e 04 horas da operao 2. o tempo total
disponvel para a realizao da operao 1 de 16 horas, e o tempo
total para a operao 2 de 24 horas.
A produo do produto bresulta, tambm, num subproduto
c sem custos adicionais. Sabe-se que, parte do produto c pode ser
vendida com lucro, mas o restante deve ser destrudo. Previses
mostram que no mximo 05 unidades do produto c sero vendidas, e
sabe-se que cada unidade do produto bfabricada gera 02 unidades
do produto c. Alm disso:
a) Produto agera um lucro de $ 4 por unidade;
b) Produtobgera um lucro de $ 10 por unidade;
c) Produto cgera um lucro de $ 3 por unidade se for vendido;
d) Produto cgera um custo de $ 2 por unidade se for destrudo.
Determinar um modelo de PL para tratar este problema, e
encontrar quanto produzir de cada produto, de modo a maximizar o
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43destruir Produto c).(quantidade destruda do Produto c)
Max z = 4 x1+ 10 x2+ 3 x3 - 2 x4
Restries:
2 x1+ 3 x216 (disponibilidade de tempo para operao 1)
3 x1+ 4 x224 (disponibilidade de tempo para operao 2)x3+ x4= 2 x2 (produo do produto ca partir do produto b)
x35 (previso de produto cque pode ser vendido)
x1, x2, x3, x40 (no-negatividade)
(10) Oficina mecnica
Uma oficina mecnica tem uma furadeira vertical e cinco
fresas que so usadas para a produo de conjuntos formados de
duas partes. Na Tabela 7 est a produtividade de cada mquina na
fabricao destas partes do conjunto. O encarregado pela oficina
deseja manter uma carga balanceada nas mquinas de modo que
nenhuma delas seja usada mais que 30 minutos por dia que qualquer
outra, sendo o carregamento de fresamento dividido igualmente
entre as 05 fresas.
Tabela 7. Dados para o problema da oficina mecnica.
Furadeira Fresa
Parte 1 03 20
Parte 2 05 15
Obs: tempos para produzir as partes dados em minutos.
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44Achar um modelo de PL para dividir o tempo de trabalho
entre as mquinas de modo a obter o mximo de conjuntos
completos ao final de um dia, num total de 08 horas de trabalho.
Modelagem:
Variveis de deciso:
x1= nmero de partes 1 produzidas por dia
x2= nmero de partes 2 produzidas por dia
Restries:
3 x1+ 5 x2480 (minutos por dia disponveis para a furadeira)
(20 x1+ 15 x2)/5 = 4 x1+ 3 x2480 (minutos por dia disponveis
para cada fresa)
|(4 x1+ 3 x2) - (3 x1+ 5 x2)| = | x1 -2 x2| 30 (balanceamento de
carga entre as mquinas)
Observe-se que esta ltima restrio no linear, mas
equivalente a duas equaes lineares que podem substitu-la:
x1 - 2 x230 e - x1+ 2 x230
x1, x20 (no-negatividade).
Funo objetivo: maximizao do nmero de conjuntos completos
por dia
Max Z = min (x1, x2)
Observe-se que esta funo no linear, mas pode ser
linearizada utilizando-se uma varivel auxiliar, da forma: y = min
(x1, x2), y 0, assim tem-se duas novas restries dadas por y x1e
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45y x2. A funo objetivo linear fica sendo: Max z = y.
3. Limitaes
Em situaes reais os modelos apresentam um nmero
considervel de variveis e restries que inviabilizam uma
resoluo manual. Recomenda-se a utilizao de softwares
especficos para PL.
A seguir, so feitas consideraes sobre as limitaes da
Programao Linear. muito importante observar as conseqncias
da hiptese de linearidade. Intuitivamente, a linearidade implica que
os produtos de variveis, como x1x
2, potncias de variveis, como
x32 , e combinao de variveis, como a
lx
l+ a
2log x
2, no podem ser
admitidas.
Em termos mais gerais, a linearidade pode ser caracterizadapor certas propriedades aditivas e multiplicativas. Exemplificando:
se so necessrias t1 horas sobre uma mquina A para fazer o
produto 1 e t2horas para fazer o produto 2, o tempo sobre a maquina
A destinado aos produtos 1 e 2 t1+ t
2. Neste caso, a propriedade
aditiva parece bastante razovel, se o tempo requerido para ajustar a
mquina para uma operao diferente quando a produo troca de
um produto para outro desprezvel.
Contudo, nem todos os processos fsicos se comportamdessa maneira. Ao se misturar vrios lquidos de diferentes
composies qumicas no verdade, em geral, que o volume total
da mistura a soma dos volumes dos constituintes individuais.
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46A propriedade multiplicativa requer que: (1) Se for
necessrio uma hora de uma determinada mquina para fazer um
nico item, sero necessrias dez horas para fazer dez itens; isto
tambm parece bastante razovel; (2) O lucro total da venda de um
dado nmero de unidades de um produto o lucro unitrio vezes o
nmero de unidades vendidas; isso nem sempre verdade.
De fato, em geral, o lucro no diretamente proporcional ao
nmero de unidades vendidas, mesmo se o preo de venda
constante (j que os preos tendem a baixar medida que o mercado
vai se saturando), uma vez que os custos de fabricao por unidade
podem variar com o nmero de unidades fabricadas (economia de
escala).
Assim a linearidade, implcita num PPL, no sempre
esperada como uma representao absolutamente acurada do mundo
real. Felizmente, a linearidade muitas vezes uma aproximao
suficientemente precisa das condies reais, de modo que ela pode
fornecer resultados bastante proveitosos.
Nos modelos de PL os coeficientes aij, bi e cj so
considerados como constantes conhecidas, porm, na realidade,
esses valores podem variar. Contudo, atravs de tcnicas de Anlise
de Sensibilidade em PL, possvel conseguir os intervalos desses
coeficientes para os quais a soluo tima continua a mesma. Essas
tcnicas sero objeto de outro livro a ser disponibilizado.
Outra limitao diz respeito divisibilidade das solues.
Neste texto, as solues timas dos modelos podero apresentar
valores fracionrios para qualquer de suas variveis. O
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47arredondamento de valores fracionrios para valores inteiros mais
prximos pode conduzir a erros grosseiros. Quando as variveis do
modelo de PL s puderem tomar valores inteiros deve-se impor
estas condies no prprio modelo. Passa-se ento a trabalhar com
modelos de Programao Linear Inteira, que no sero tratados aqui,
mas sero objetos de outro livro a ser disponibilizado.
Deve-se, no entanto, dizer em defesa da PL que um vasto
nmero de problemas prticos importantes tem sido
satisfatoriamente enfocados e resolvidos com tcnicas e modelos
lineares, e que o nmero e a diversidade de suas aplicaes
continuam crescendo.
4. Resoluo Grfica
Para modelos com apenas duas variveis de deciso
possvel resolv-los por meio de um procedimento grfico. Essa
ferramenta, apesar de extremamente limitada, pois os modelos de
PL normalmente tm muitas varveis e restries, propicia a
apresentao de conceitos importantes, como Soluo Vivel,
Regio Vivel, Valor timo da Funo objetivo e Soluo tima do
modelo, que sero adiante definidos.
Na seqncia ser mostrado como resolver graficamente um
modelo de PL com duas variveis de deciso.
Exemplo 1:
Uma empresa fabrica dois tipos de brinquedos, B1e B2, que
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48utilizam dois recursos: plstico (at 1.000 quilos esto
disponveis) e horas de produo (at 40 horas esto disponveis).
O Departamento de Marketing colocou algumas restries:
no fabricar mais de 700 dzias do total de brinquedos (B1e B2), o
nmero de dzias de B1 fabricadas no deve exceder em 350 o
nmero de dzias do brinquedo B2.
A Manufatura passou as seguintes informaes: cada dzia
do brinquedo B1 usa 2 quilos de plstico e 3 minutos de produo e
cada dzia do Brinquedo B2usa 1 quilo de plstico e 4 minutos de
produo. O lucro estimado na venda do B1 $8,00/dzia e para o
B2 $5,00/dzia.
A empresa deseja determinar qual a quantidade a ser
produzida de cada brinquedo de modo a maximizar o lucro total
semanal.
Modelagem
Variveis de deciso: xi quantidade (em dzias) a serem fabricadas
semanalmente do brinquedo Bi
Max 8x1+ 5x2 (Lucro semanal)
Sujeito a
2 x1+ 1 x21000 (Plstico)
3 x1+ 4 x22400 (Tempo de Produo - Minutos) x1+ x2 700 (Produo Total)
x1 - x2 350 (Mix)
xj0, j = 1,2 (No-negatividade)
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50
Figura 5. Restrio de tempo de produo.
Figura 6. Restrio de produo total.
Figura 7. Restrio de mix.
600
x2
700
700
Restrio de mix: x1 - x2350
x1
Restrio produo total (ela redundante):
x1+ x2 700
x2
Restrio de tempo de produo:
3 x1+ 4 x22400
x1
x2
800
x1350
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51
Figura 8. Regio vivel.
Na Figura 8 est o resultado das interseces de todas as
restries, compondo a Regio Vivel do modelo. Podem ser
identificados trs tipos de solues viveis (ver exemplos na Figura
8): Pontos Internos Regio Vivel, Pontos na fronteira (nos
segmentos de reta) e Pontos que so vrtices (interseco dos
segmentos de reta).
2a. Etapa Encontrar a soluo tima. Deve-se perceber que
a funo objetivo, 8x1+ 5x2, para cada um de seus valores possveis
gera uma famlia de retas paralelas, e o que se est buscando qual
delas est associado ao maior valor e ainda corta (tangenciando) a
Regio Vivel da Figura 8.
O procedimento prtico o seguinte:
a) Arbitrar um valor qualquer para 8x1 + 5x2, por exemplo,
2.000 e traar a reta associada, 8x1+ 5x2 = 2.000;
b) Verificar para qual sentido, em direo regio Vivel,
deve-se pesquisar, na famlia de retas paralelas reta
350
600
Regio
Vivel
Soluo Vivel
um Vrtice
Soluo Vivelna Fronteira
Soluo VivelInterior
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52arbitrada, h melhoria no valor da funo objetivo. Isso
pode ser feito comparando-se o valor arbitrado, 2.000, com
o valor da funo objetivo obtido quando (x1= 0, x2= 0), ou
seja, comparar com uma reta paralela que passa pela origem
do sistema de coordenadas. Neste caso tem-se que o valor
zero, ou seja, menor que 2.000 (ver Figura 9);
Figura 9. Obteno da soluo tima.
c) Como se pretende achar o mximo valor para a funo
objetivo, deve-se procurar por uma reta paralela reta 8x1+ 5x2 =
2.000 que esteja mais afastada da origem (ver na Figura 9 a seta a
partir da reta 8x1+5x2=2.000, indicando para qual lado deve-se
procurar a reta paralela de modo que haja melhoria do valor da
funo objetivo) e ainda corte (tangencie) a Regio Vivel.
O ponto da Regio Vivel (x*1, x*2), tangenciado por essareta ser a soluo tima, com x*i sendo a quantidade tima (em
dzias) a ser fabricada semanalmente do brinquedo B i, e o valor da
funo objetivo ser o lucro total semanal timo. Uma ilustrao
desse procedimento est na Figura 9, obtendo-se: $4.360 lucro
x1
8x1+5x2=2.000
x2
400
250
8x1+5x2=4.360 lucro timo
x*1= 320
x*2= 360Melhoria doobjetivo
8x1+5x2=0
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55
njx
mibbxaasxcZMin
j
n
jiijij
n
jjj
,...,2,1,0
,...,2,10,:.. 1
1
ou ainda, na forma matricial:
.0
0,:..
X
bbAXasXCZMin
onde, 111 ,,, mxnxmxnnx bCAX .
Um modelo de minimizao de PL est na forma-padro
quando tiver a seguinte formulao:
njx
mibbxaasxcZMin
j
n
jiijij
n
jjj
,...,2,1,0
,...,2,10,:.. 1
1
ou ainda, na forma matricial:
.0
0,:..
X
bbAXasXCZMin
onde, 111 ,,, mxnxmxnnx bCAX
Quando o modelo for de maximizao, as restries tambm
devem ser na forma de igualdades, bem como as constantes e
variveis devem ser no negativas tambm.
Artifcios para reduo de um modelo qualquer Forma-Padro:
(a) Ocorrncia de desigualdades nas restries: qualquerdesigualdade pode ser transformada numa igualdade equivalente,
bastando adicionar ou subtrair novas variveis no negativas,
denominadas Variveis de Folga.
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56
Exemplo 2: Sejam as restries:
523
42
21
21
xx
xx
estas restries so equivalentes a
.0,523
,042
4421
3321
xxxx
xcomxxx
(b) Na ocorrncia de bi < 0 : basta multiplicar por (-l) a
restrio i, pois os coeficientes aijpodem assumir qualquer sinal na
forma padro.
(c) Ocorrncia de variveis livres, isto , variveis que podem
ser positivas, nulas ou negativas: Seja xkuma varivel livre, h dois
tipos de operaes para elimin-la,
(cl) substituir em todas as equaes do modelo xk por
,xxx ,,k,kk onde 0xe0x
,,k
,k .
(c2) expressar xk, a partir de uma restrio j na forma de igualdade,
como funo das demais variveis no-negativas e substituir xknas
outras equaes por esta expresso. Aps a resoluo do novo
modelo, sem xk e a equao de recorrncia utilizada, calcula-se o
valor de xkatravs da equao de recorrncia.
(d) Ocorrncia de varivel no positiva: se existe xk
< 0, basta
substitu-la pela sua simtrica 0, kk xx nas equaes do modelo.
Exemplo 3. Colocar na forma-padro o modelo abaixo,Max 2x1 x2+ x3 s. a :
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57
.,0,0
8
72
04
52
321
21
31
31
321
livrexxx
xx
xx
xx
xxx
Numa primeira etapa, sero tratadas as desigualdades e as
constantes das restries, que devem ser respectivamente, em forma
de igualdades e no negativas. Assim, obtm-se um novo modelo
equivalente ao original dado por:
Max Z = 2x1 x2+ x3 s. a:
0,0,0,,0,0
)4(8
)3(72 )2(04
)1(52
654321
21
631
531
4321
xxxlivrexxx
xx
xxx xxx
xxxx
onde x4, x5, x6 so variveis de folga.
Agora, adotando o procedimento (c2), visto anteriormente,
pode-se eliminar a varivel x3, utilizando-se, por exemplo, a
equao (2): 513 4 xxx . Substituindo em (1), (3), (4) e nafuno objetivo, tem-se:
Max -2x1 - x2 - x5 s. a:
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58
0,,,,0
8
727
525
65412
21
651
5421
xxxxx
xx
xxx
xxxx
Resta agora fazer'
2x =-x2 em todas as equaes do modelo,resultando, finalmente, na forma padro procurada:
Max -2x1 - x2 - x5 s. a:
0,,,,
8
727
525
654'21
'21
651
54'21
xxxxx
xx
xxx
xxxx
6. Definies e Teoremas
Aqui sero apresentados alguns conceitos, e resultados
importantes com respeito soluo de um Modelo de PL na forma
padro.
Definio 1: Soluo Vivel
O vetor X
0
soluo vivel
00
0
X
bAX
, isto , X
0
satisfaz as
restries.
Exemplo 4: Seja o Modelo
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59
3,2,1,0
732
2
:..2 321
321
321
ix
xxx
xxx
asxxxZMin
i
Os vetores
1
0
3
0
1
102
01 XeX so solues viveis.
Definio 2 : Soluo tima
O vetor *X soluo tima *X soluo vivel e
X'X' * CZMinC
No exemplo 4, como poder ser verificado, posteriormente,
pelo uso do Mtodo Simplex, a soluo tima :
01
1
*
0
1XX e
3* Z o valor timo da funo objetivo.
Definio 3 : Conjunto das Solues Viveis
Os vetores Xo tais que 0000 XebAXX formam o
conjunto vivel do modelo na forma padro.
Observaes:
(a) Se o conjunto vivel vazio o modelo invivel.
(b) Se existir uma seqncia de solues viveis ,..., 0201 XX
de modo que C' 0iX -quando i ento o modelo tem
soluo ilimitada.
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60Lema 1:O conjunto das solues viveis convexo e fechado.
A demonstrao desse Lema foge do escopo deste livro e os
interessados podero consultar as referncias ao final deste captulo
para obterem maiores detalhes.
Definio 4: Soluo Bsica
Seja o sistema de equaes nm bAX , com
nijmxn aaaaA ...21 onde
mi
i
i
a
a
a 1
.
Assim: AX = b x1al+ ... xmam+ ... + xnan= b (1)
Este sistema (1) apresenta soluo indeterminada, pois h
mais variveis do que equaes. Selecione na matriz A, m colunas
linearmente independentes - LI, al, a2, ..., am.Fazendo iguais a zero as variveis no associadas a estas
colunas LI escolhidas, isto , fazendo-se xm+l = xm+2 =...xn= 0,
obtm-se um sistema de equaes que possvel e determinado,
dado por:
x1a1+ x2a2+ ... + xmam= b (2)
A soluo deste sistema (2) chamada de uma soluo
bsica do sistema original (1), as colunas a1, ..., am so chamadas
colunas bsicas e x1, x2, ... xm so as variveis bsicas. As demaisvariveis e colunas so denominadas no-bsicas.
Exemplo 5: Achar as solues bsicas do sistema de equaes
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61
622
12
321
321
xxx
xxx
Inicialmente, podem ser identificados:
A = 1 1 -1 , X = x1 , b = 12 , a1= 1 , a2= 1 , a3= -1
-1 2 2 x2 6 -1 2 2
x3Deve-se selecionar de A duas colunas que sejam LI, dentre
os possveis conjuntos de colunas {al, a2}, {al, a3} e {a2, a3}. Como
estes conjuntos definem submatrizes de A, basta verificar se os
determinantes destas submatrizes so nulos ou no, para saber se os
conjuntos associados so ou no LI. Se algum determinante se
anular indica que o conjunto associado Linearmente Dependente -
LD, caso contrrio, o conjunto LI.
Verificando isto, tem-se no exemplo 5:
32
31
21
,
,
,
aa
aa
aa LI pois
LI pois
LI pois22
11
21
11
21
11
= 3
= 1
= 4
Portanto tm-se trs solues bsicas para o sistema em
estudo:
lasoluo bsicafazer x3= 0 (varivel no-bsica) o que resulta
em:
62
12
21
21
xx
xx, cuja soluo 66 21 xex (variveis
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62bsicas)
2asoluo bsicafazer x2= 0 (varivel no-bsica) o que resulta
em:
62
12
31
31
xx
xx ,cuja soluo 1830 31 xex (variveis
bsicas)
3asoluo bsicafazer x1= 0 (varivel no-bsica) o que resulta
em: x2 - x3 = 12
2x2+ 2x3= 6 , cuja soluo 5,45,7 32 xex (variveis
bsicas)
Definio 5 : Soluo Bsica Vivel (S.B.V.)
O vetor XB soluo bsica vivel X
B0 e A
BX
B= b ,
onde AB a submatriz de A formada pelas colunas bsicas
associadas s variveis que compem XB.
Exemplo 6: No exemplo 5 as solues bsicas viveis so:
21
11
6
6 11BB AcomX e as variveis bsicas so x1e x2;
2111
1830 22
BB AcomX e as variveis bsicas so x1e x3.
A seguir esto dois importantes resultados da PL, cujas
demonstraes fogem do escopo deste livro e no sero, portanto
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64A impraticabilidade de tal tcnica em problemas reais
evidenciada pela observao de que, mesmo para um modesto
sistema com 7 variveis e 4 equaes, tem-se que resolver
4
7= 35
sistemas lineares de ordem 4x4!
Apresenta-se, neste texto, o Mtodo Simplex, desenvolvidoem 1947 por George Dantzig, que supera estas dificuldades
mediante o artifcio de ao invs de se testar todos os vrtices (s.b.v),
iniciar com um vrtice qualquer, e passar, via modificaes simples
e de fcil controle, a outros vrtices mais eficientes do ponto de
vista da otimizao (Max ou Min) desejada. Deste modo, garante-se
uma melhoria passo a passo dos valores da funo objetivo na
direo do timo Z*.
7. Forma Cannica de um Sistema de Equaes Lineares
Uma maneira prtica de se obter solues bsicas de um
sistema de equaes lineares (S), dado por AX = b, colocar este
sistema numa forma conveniente denominada Forma Cannica. Isto
pode ser feito usando o Mtodo de Eliminao de Gauss-Jordan
(MEGJ), que nos leva a seguinte equivalncia entre os sistemas (S) e
(S):
(S) :
mnmnmmmm
nnmm
nnmm
bxaxax
bxaxax
bxaxax
11
221122
111111
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65O sistema (S') denominado uma forma cannica de (S).
Deve-se notar que, em (S'), fica evidente a seguinte soluo bsica:
variveis bsicas: mm bxbxbx ,,, 2211
variveis no-bsicas: 0xxx n2m1m
Naturalmente poderiam ter sido escolhidas outras variveis
para serem as bsicas, optou-se pelas m primeiras variveis, x1, x2,
..., xm, apenas por facilidade de apresentao no texto.
O MEGJ pode ser aplicado como segue. Observe-se que h
uma varivel bsica diferente em cada equao de (S'). Isso obtido
aps se escolher uma varivel xi de (S) para ser a varivel bsica
associada a equao j de (S') e efetuar-se uma operao denominada
Pivoteamentoa partir do coeficiente aijem (S), que recebe o nome
de Piv.O pivoteamento corresponde a se utilizar em (S) operaes
entre linhas tais como: troca de equaes, diviso (ou multiplicao)
de uma equao por uma constante, ou ainda, adicionar a uma
equao uma combinao linear das demais. Estas operaes no
alteram a essncia do sistema (S), levando a um sistema equivalente
(S). Esquematicamente, o pivoteamento est explicado na Figura
11.
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67
)2(24
)1(23
321
321
xxx
xxx
Substituindo a equao (2) por (2)=(2) + (1'):
)'2(423
)1(23
32
321
xx
xxx(ver 2oQuadro da Figura 12)
Dividindo a equao (2') por 2:
)2(22
3
)1(23
32
321
xx
xxx
Substituindo a equao (1') por (1) = (1') - 3.(2"):
(S'):
)2(22
3
)1(4211
32
21
xx
xx(ver 3oQuadro da Figura 12)
Tem-se, assim, a Soluo Bsica associada com (S), com as
variveis bsicas sendo x1= -4, x
3= 2; e varivel no-bsica x
2= 0.
Pode-se utilizar um procedimento prtico para obter uma
forma cannica de um sistema linear. Este mtodo aplicado ao
Exemplo 7 e ilustrado na Figura 12. Os elementos escolhidos comopivs em cada iterao esto destacados com um crculo.
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68
Figura 12. Etapas do pivoteamento do Exemplo 7.
No 3oQuadro esto as variveis bsicas x1= -4, x3= 2; a
varivel no-bsica x2= 0.
8. O Mtodo Simplex
O Mtodo Simplex um procedimento iterativo que fornece
a soluo de qualquer modelo de PL em um nmero finito de
iteraes. Indica, tambm, se o modelo tem soluo ilimitada, se no
tem soluo, ou se possui infinitas solues.
H duas etapas na aplicao do Mtodo Simplex, aps
colocar o modelo de PL na forma-padro:
Etapa (A) - Teste de Otimalidade da soluo ou identificao de
uma soluo tima;
Etapa (B) - Melhoria da soluo ou obteno de soluo bsica
vivel (s.b.v.) melhor que a atual.
A seguir, esto os detalhes sobre cada uma destas etapas.
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70O Valor da funo objetivo para esta soluo bsica
vivel pode ser obtido da equao (m+1) modificada, pois:
n
mjjjxcZZ
10 , e xj 0 , 0...,,1 ZZnmj .
Pergunta: Pode-se melhorar (diminuir) o valor de Z considerando
outras s.b.v.?
Anlise: Se na equao (m+1) no h 0cj ento qualquer
mudana no valor da varivel no-bsica xj(isto , obter outra s.b.v.
com xj sendo varivel bsica) aumenta necessariamente Z a
s.b.v. atual tima e 0* ZZ (no h Etapa (B)).
Se na equao (m+1) h 0cs a varivel no-bsica xs
correspondente a este sc , sendo for transformada em varivel bsica(em uma prxima s.b.v.) faz com que Z diminua a s.b.v. atual no
tima. (H Etapa (B)).
Visualizao da Etapa (A) do Mtodo Simplex
Exemplo 8. Seja o modelo de minimizao com a funo objetivo Z
0x,x,x 3xx3x3
4x2xx2
.a.sxxx4Z321
321
321
321
Acrescentando a f.o. s restries do PPLP, vem:
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)(5
11
5
135
2
5
45
9
5
3
1
21
31
IIxZ
xx
xx
Da equao (II): 15
13
5
11xZ , como x1 = 0 ( varivel
no-bsica)5
1120 ZZ , que o valor da funo objetivo. para
a segunda s.b.v., onde 05
2,
5
9123 xexx .
Anlise: Como 15
13
5
11xZ , se x1 ento Z que no
interessante, pois deseja-se minimizar a funo objetivo. Logo o
valor de Z =5
11no pode ser melhorado.
Deste modo tem-se:
Z*=5
11 (valor timo) e
5/9
5/2
0
**3
*2
*1
x
x
x
X (soluo
tima).
Fase (B) - Melhoria da Soluo.
Admitindo que j foi realizada a etapa (A) do Mtodo
Simplex, num modelo de minimizao, e existe cs < 0; deve-se
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74ser substituda pela varivel no-bsica xs atravs de operaes
de pivoteamento com ais .
Visualizao da Fase (B) do Mtodo Simplex
Exemplo 9. (MACULAN FILHO e PEREIRA, 1980) Seja um
modelo de minimizao, j com a funo objetivo acrescentada ao
conjunto das restries:
)3(454
)2(622
)1(532
43
432
431
xxZ
xxx
xxx
A soluo bsica vivel atual tem as variveis bsicas x 1=
5, x2= 6, as variveis no-bsicas x3= x4= 0 e Z = 4.
A partir da Etapa (A) do Mtodo Simplex sabe-se que ocoeficiente 43 c da varivel no-bsica x3, na equao (3),
indica que a s.b.v. atual no tima, e x3deve ser varivel bsica
numa prxima s.b.v..
Assim, o prximo passo determinar at que valor x3pode
ser aumentado (seu valor atual zero), sem que x1 e x2 se tornem
negativos.
Na nova s.b.v. (com x3 como varivel bsica) deve-se
manter 00 21 xex , e sabe-se tambm que:
de (1): 0,325 4431 xcomoxxx (permanece varivel no-
bsica) 31 25 xx
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76
Figura 13. Uso de tabelas na resoluo do exemplo 9.
(2) Problema Inicial Ilimitado.
Se ao aplicar a Etapa (B), com xs escolhida para se tornar
varivel bsica, ocorrer que todos os jsa 0 ento nenhuma varivel
bsica tem seu valor diminudo quando xs aumenta, o que leva a
concluso que o modelo apresenta soluo ilimitada (Z -).Considere o Exemplo 9 onde, agora, os coeficientes de x
3
nas restries (1) e (2) so iguais a (-2), neste caso tem-se:
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77
454
622
532
43
432
431
xxZ
xxx
xxx (1)
(2)
(3)
Como o coeficiente da varivel no-bsica x3 na equao
(3) 43 c , significa que deve-se aumentar x3 (seu valor atual
zero pois varivel no-bsica) para algum valor positivo (o maior
possvel).
Como x4 = 0 (permanece como varivel no-bsica) de (1)
31 25 xx e de (2) 32 26 xx . Notar que tem-se 01x e
02x quando 3x aumentado, ou seja, nenhuma restrio de no-
negatividade violada, e pode-se aumentar indefinidamente x3 .
Como Z quando 3x tem-se que Z (Problema Ilimitado).
(2) Avaliao da Melhoria no Valor da Funo objetivo.
Notar que, em cada iterao do Mtodo Simplex, ocorre
uma melhoria no valor da funo objetivo avaliada por:
)(00,0 Pivaebcparaca
bZZ isiss
is
iatualnovo
Para ilustrar isto, considere o Exemplo 9, onde foramobtidas duas s.b.v:
6,0,2
5,1,02...
4,0,6,51...
24321
14321
Zxxxxvbs
Zxxxxvbs
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Notar que sis
i ca
bZZ 12 com, 2,5,41 isi abZ e 4sc
645
242
Z
(4) Interpretao Geomtrica do Mtodo Simplex.Em cada iterao o Mtodo Simplex vai de um vrtice
(s.b.v.) do conjunto vivel para outro vrtice adjacente a ele (outra
s.b.v.) onde o valor da funo objetivo melhor. Ver ilustrao no
Exemplo 10.
Exemplo 10. (MACULAN FILHO e PEREIRA, 1980)
21 x5x3ZMin s. a.:
0,
1823
64
21
21
2
1
xx
xx
xx
Colocando na forma padro, tem-se: 21 x5x3ZMin
s. a:
5,1,0
18236
4
521
42
31
ix
xxxxx
xx
i
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79Aplicando o Simplex tm-se as tabelas da Figura 14.
VB x1 x2 x3 x4 x5 b
x3
x4
x5
1
0
3
0
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
4
6
18
Quadro 1
.0,8
,6,4
0
5
43
21
Zx
xx
xx
s.b.v. 1
-Z -3 -5 0 0 0 0
x3
x2
x5
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
-2
0
0
1
4
6
6
Quadro 2
.30,6
,6,4
0
2
53
41
Zx
xx
xx
s.b.v. 2
-Z -3 0 0 5 0 30x*3
x*2
x*1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
2/3
1
-2/3
-1/3
0
1/3
2
6
2
Quadro 3
.30,6
,6,2
0
2
53
45
Zx
xx
xx
s.b.v. 3 - tima
*Z 0 0 0 3 1 36
PARAR, pois 0sc
Figura 14. Resoluo do Exemplo 10.
Na Figura 15 h seqncia de situaes onde se procura
mostrar a evoluo do Mtodo Simplex, indo de uma s.b.v. (vrtice)
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80para outra adjacente no Conjunto Vivel associado ao modelo
original.
Figura 15. Evoluo das iteraes do Mtodo Simplex.
(a) Quadro 1 s.b.v. 1 (b) Quadro 2 s.b.v. 2
(c) Quadro 3 soluo tima
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81(5) Ocorrncia de mais de uma soluo tima.
Quando o modelo tem mais de uma soluo tima, o
Mtodo Simplex capaz de indicar isto.
Suponha que j foi encontrada uma s.b.v. tima para o
modelo, ou seja, correspondentes a essa s.b.v. (1) todos os
coeficientes de custo relativos so maiores ou iguais a zero ( 0j
c ),
com o valor da funo objetivo dado por Z1= Z*.
Devem-se analisar os coeficientes de custo relativo
cuidadosamente. Se h algum cs = 0, associado a alguma varivel
no-bsica xs, ento existe outra s.b.v. (2), onde xs varivel bsica,
que tambm tima, pois neste caso no h alterao no Z*, quando
xsse torna varivel bsica.
Isto pode ser verificado utilizando-se a expresso
matemtica do comentrio (3) onde:
*0, 12*12 ZZZccomoca
bZZ ss
is
i .
Alm disto, como se sabe que o Mtodo Simplex se
locomove, em cada iterao, para vrtices adjacentes do conjunto
vivel, como visto no comentrio (4), pode-se concluir que todas as
combinaes convexas da s.b.v. (1) e s.b.v. (2) sero tambm
solues timas. Assim 10,)1(* BA XXX , com XA
sendo a s.b.v. 1 e XB sendo a s.b.v. 2
Isto pode ser visualizado para um problema de maximizao
em duas dimenses, como sendo o caso de haver um segmento de
reta timo para o problema, ver a Figura 16.
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83
VB x1 x2 x3 x4 x5 b
x3 1 0 1 0 0 3
x4 0 0 1 0 4 Q1
x5 1 2 0 0 1 9
-Z -1 -2 0 0 0 0
x3 1 0 1 0 0 3 Q2
x2 0 1 0 1 0 4
x5 0 0 -2 1 1
-Z -1 0 0 2 0 8
*3x 0 0 1 -1 2 Q3
*2x 0 1 0 1 0 4 (
*1X )
*1x 1 0 0 -2 1 1
-Z 0 0 0 0 1 9
*4x 0 0 1/2 1 -1/2 1
Q4
*2x 0 1 -1/2 0 1/2 3 (
*2X )
*1x 1 0 1 0 0 3
-Z 0 0 0 0 1 9Figura 17. Tabelas do Simplex do exemplo 11.
Todas as Combinaes Convexas de ** BA XeX so solues
timas, ou seja, 10,1* ** BA XXX , onde:
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889. Mtodo Simplex com Duas Fases
Nos problemas estudados at este ponto, aps colocar o PPL
na forma-padro, imediatamente ficava evidente uma s.b.v. inicial
necessria para aplicao do Mtodo Simplex.
Assim, o Mtodo Simplex podia ser inicializado com uma
s.b.v. onde as variveis bsicas eram as variveis de folga e as
variveis no-bsicas eram as demais variveis naturais do modelo.
Freqentemente isto no acontece, e deste modo, o Mtodo Simplex
no pode ser inicializado imediatamente, necessitando da aplicao
de uma fase preliminar.
O que se faz nestas situaes, em que no h uma soluo
vivel inicial evidente para um dado modelo de PL, que receber o
nome de Modelo Original, definir convenientemente um PPL
auxiliar, denominado Modelo Artificial, cuja resoluo fornecer, ou
uma s.b.v. inicial para esse Modelo Original, ou ento, indicar a
inexistncia de soluo para esse Modelo Original (ou seja, ele
invivel).
Um procedimento que pode ser utilizado nestes casos
denominado Mtodo das Duas Fases onde:
Fase 1 Criar o Modelo Artificial a partir das redtries do
Modelo Original. Resolver pelo Mtodo Simplex o Modelo
Artificial;
Fase 2 - Aplicao do Mtodo Simplex ao PPL Original, a
partir da soluo bsica vivel tima obtida para o PPL Artificial na
Fase 1.
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91PPLA.
Aps eliminar as variveis artificiais do Quadro timo da
resoluo do PPLA, e substituir a funo objetivo artificial pela
original, aplica-se o Mtodo Simplex. (Incio da Fase 2
Fluxograma (1)).
(b) Quando houver 0j
y , sendoj
y varivel bsica da s.b.v.
tima do PPLA, a s.b.v denominada degenerada, e requer o uso do
procedimento descrito a seguir.
No Quadro timo da resoluo do PPLA, para cada varivel
jy que varivel bsica associada a equao i do conjunto de
restries, deve-se procurar uma varivel original, kx , com
coeficiente na equao i sendo 0ika (observe-se que pode
inclusive ser negativo). Podem ocorrer duas situaes:
- Se esse coeficiente existir, basta fazer o pivoteamento a partir
desse ika , substituindo a varivel jy por kx . Aps eliminar as
variveis artificiais no-bsicas do Quadro timo da resoluo do
PPLA, por meio desses pivoteamentos, substituir a funo objetivo
artificial pela original, e aplicar o Mtodo Simplex ao PPLO (Incio
da Fase 2 Fluxograma (1)).
- Se na equao i no houver nenhuma varivel original kx , com
0ika , isto indicar que esta equao i combinao linear dasdemais equaes, podendo, portanto, ser eliminada, bem como a
varivel bsica artificial correspondente. Aps a eliminao de todas
as varivei