UNIVERSIDADE UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE ESTADUAL VALE
DO ACARAÚDO ACARAÚ
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DO ACARAÚDO ACARAÚ
História da MatemáticaHistória da Matemática
Análise CombinatóriaAnálise CombinatóriaAluno: Geneflides Torres Aluno: Geneflides Torres
CoelhoCoelho
Professora: Luzia Professora: Luzia HipólitoHipólitoUruburetama Uruburetama
Março / 2008Março / 2008
Apresentação
O trabalho que apresentarei irá obordar o estudo da História
da Analise Combinatória como um importante ramo da
Matemática, desde os tempos antigos, até os dias atuais.
ObjetivoMostrar a evolução do processo de
contagem, através do estudo da Analise Combinatória,
ressaltando:O conceito;
O surgimento;Os principais matemáticos;
As partes da Analise Combinatória; E exemplos práticos no cotidiano
ConceitoRamo da Matemática que
estuda COLEÇÕES FINITAS de objetos que satisfaça certos CRITÉRIOS ESPECÍFICOS, e se preocupa em particular, com
a CONTAGEM.
Como surgiu a Analise
Combinatória?Da necessidade que os homens tiveram em
calcular maneiras seguras de ganharem em certos jogos de azar.
Tais como: Baralho, Dados e Moedas
Grande precursor Arquimedes
Século III a.C Jogo Stomachion
Objetivo Saber de quantas formas suas partes menores poderiam formam o mesmo
quadrado? Resposta = 17152 vezes
Outra descoberta Que o quociente entre a
área de cada peça e a área do quadrado total é um número racional
Estudiosos do Stomachion
Historiador: Reviel NetzAmigos: Persi Diaconis,
Susan Holmes, Ronald Grahan e Fan Chung
• Resposta confirmada: 17152
vezes
•Tempo:6 semanas
Outros Matemáticos
que contribuirão
para a evolução do estudo da
Analise Combinatória
Niccollo FontanaItalianoNasceu em
1499Morreu em
1557Conhecido
como Tartaglia = Gago
Pierre de FermatFrancês Nasceu em
1601Morreu em 1665Fundou a teoria
matemática das probabilidades, com base na Analise Combinatória.
Blaise PascalFrancês Nasceu em 1623Morreu em 1662Inventou a
Calculadora Criou o "Triângulo
aritmético",ou triangulo de Pascal, publicado em 1654, usando diversas propriedades do triângulo e aplicando-as no estudo das probabilidades.
Percy Alexander MacMahon
InglêsNasceu em 1854Morreu em1929O assunto ganhou
notoriedade após a publicação de dois trabalhos sobre “Analise Combinatória” um em 1915 e o outro no ano seguinte.
Gian Carlo Rota
• Italiano• Nasceu em 1932• Morreu em 1999• Na década de
1960 ajudou a formalizar o assunto da Analise Combinatória
Paul Erdos•Húngaro•Nasceu 1913•Morreu 1996• Os problemas que
mais o atraiam eram problemas de análise combinatória, teoria dos grafos e teoria dos números
Parte da Analise
Combinatória
Combinatória Enumerativa
•Se preocupa em particular,
com a contagem de
objetos em coleções
especificas
Combinatória Extrema
•Se preocupa em particular, com a decisão
se certo objeto ótimo
existe
Combinatória Algébrica
•Se preocupa em particular,
com as estruturas
algébricas que esses objetos possam ter
Exemplos práticos de
Analise Combinatóri
a
Caso você resolva sair p/ uma festa e precise escolher que
roupa usar, você separa duas calças e três camisas, que considera próprias para
a ocasião. De quantas maneiras diferentes você
consegue se vestir?Quantos conjuntos você pode formar?
1º Ex: Saída para uma festa
Como temos: 2 cal. e 3 Cam.
• Cada calça forma 3 conjuntos, uma com cada camisa, como são duas calças temos:
2x3=6 conjuntos
• Se você se dispõe de 2 pares de sapatos, o número ainda vai ficar multiplicado por 2.
2 calças x 3 camisas x 2 pares de sapatos.
2x3x2=12 maneiras de se vestir
– Imagine um saque num caixa eletrônico, no valor de R$ 100,00. De quantas formas diferentes a maquina pode efetuar o pagamento, admitindo que só existam notas de R$ 5,00 e R$ 10,00
2º Ex: No Caixa eletrônico
Casos R$ 10 R$ 5,00
1º 1 18
2º 2 16 3º 3 14 4º 4 12 5º 5 10
° ° ° ° ° ° ° ° ° 10º 10 Ñ 11º Ñ 20
A importância da ordem
• Vamos fazer dois sorteios, 1º de um carro e depois de uma bicicleta, entre 10 pessoas.
10 possíveis ganhadores p/ o carro9 possíveis ganhadores p/ a
bicicletaComo são prêmios distintos, temos:
10x9=90 possíveis duplas de ganhadoresOBS: Neste caso a
ordem importa e chamamos de Arranjos.
Quando a ordem não importa
• Se o sorteio fosse de dois carros.
Teríamos:
10x9=45 possíveis duplas de ganhadores
2
3º Ex: No Ônibus • Num ônibus, ficaram vagos 5 lugares
e há 7 pessoas em pé, entre elas uma gestante. Por educação, um dos lugares vagos foi cedido à senhora gestante. De quantas maneiras diferentes os outros passageiros podem ocupar os demais lugares vagos, ficando, obviamente, 2 em pé?
• Neste caso a ordem importa, então teremos:
6x5
x4
x3
=360
maneiras
Usando a Formula do Arranjo:
A6,4 => Arranjos de 6 pessoas em grupo de 4.
Temos:A 6,4 = 6! => 6x5x4x3x2! =360
(6-4)!
2!
Formula: An,k = n! .(n-
k)!
•E se for 5 pessoas em 5 lugares?
Temos:5x4x3x2x1 = 5! = 120 maneiras
Obs: Arranjos como esse são chamados de Permutação
Ex: Combinação•O setor de emergência de
um hospital conta, para plantões noturnos, com 3 pediatras, 4 Clínicos gerais e 5 enfermeiros. As equipes de plantão deverão ser constituídas por 1 pediatra, 1 clínico geral e 2 enfermeiros.
C5,2 = 5x4 = 5x4 = 20 = 10 duplas
a) Quantos pares distintos de enfermeiros podem ser formados;
C5,2 => Combinação de 5 enfermeiros em grupos de 2.
P2 2!
b) Quantos equipes de plantão distintas podem ser formadas.
Temos: 3 pediatras, 4 clínicos e 5 enfermeiros.Cada equipe deve ter: 1 pediatra, 1 clínico e 2
enfermeiros
R= 3x4xC5,2 =3x4x10 = 120 equipes
2
Obs: As combinações são os Arranjos descontando as permutações. E as combinações a ordem não importa.
FIM
