Download - Geometria espacial - Cones (Daniel Oliveira)
Geometria Espacial Cones
Apresentação, planificação, demonstração de fórmulas e exemplos
Daniel OliveiraDanrley MoreiraJoão RobsonMatheus MarcelinoSamuel FerreiraTamires Nobre
Introdução - ConesDaniel Oliveira
Introdução – Conhecendo a Figura
Arquitetura
Introdução – Cones no dia a dia
Catedral Metropolitana de São Sebastião do Rio de Janeiro
Trânsito
Introdução – Cones no dia a dia
Natureza
Introdução – Cones no dia a dia
Recuperação
Introdução – Cones no dia a dia
Colar Elizabetano
Culinária
Introdução – Cones no dia a dia
Apresentando a figuraDaniel Oliveira
Apresentação da Figura
h: altura
g: geratriz
a: eixo(Cone Reto)(Cone Oblíquo)
r: raio
Planificação do coneJoão Robson
Planificação do Cone
Por Pitágoras temos:g² = h² + r²
Comprimento de uma circunferênciaC = 2πr
Fórmulas (Área e Volume)Danrley Moreira e Samuel Ferreira
Fórmula da Área
Demonstração de Fórmulas
AT = π.r(r+g)raio
geratriz
Como chegar nesta fórmula?
Fórmula da Área
Demonstração de Fórmulas
Devemos ter em mente que a área total é a soma da área da base e a área da lateral.
AT = AL + AB
Fórmula da Área
Demonstração de Fórmulas
Primeiro precisamos obter a área da base:Como a base de um cone é uma circunferência, é dada pela seguinte expressão:
Abcirc = π. r²
Fórmula da Área
Demonstração de Fórmulas
Logo depois precisamos obter a área lateral:Note que a planificação da superfície lateral do cone resulta em um setor circular que possui os seguintes elementos:
raio: g (geratriz do cone)
comprimento do arco: 2πr (perímetro da base do cone)
Fórmula da Área
Demonstração de Fórmulas
Para encontrarmos a área da superfície lateral, devemos calcular a área do setor circular. Utilizando uma regra de três simples:
Comprimento do arco Área do setor 2πg ------------ πg² 2πr ------------ Alateral
2πg . Alateral = 2πr . πg²
Alateral = πrg
Fórmula da Área
Demonstração de Fórmulas
Finalmente, para encontrarmos a área total de um cone, basta somarmos a área lateral e a área do circunferência:
Ab = πr² Al = πrg área da base
área lateral
At = Ab + Al At = πr² + πrg
At = πr(g + r)
Fórmula do Volume
Demonstração de Fórmulas
O volume do cone é dado pelo produto da área da base pela altura divido por três.
Por que é dividido por três (um terço) ?
Relação de áreas (Cilindro e Cone)Tamires Nobre
Fórmula do Volume
Demonstração de Fórmulas
V = πr²h
Por que é um terço ?Sabemos que a fórmula para encontrarmos o volume de um cilindro é dada pela expressão:
E a fórmula para encontrar o volume do cone é:
V = πr²h 3
Fórmula do Volume
Demonstração de Fórmulas
V = πr²h
Portanto, colocando as fórmulas lado a lado:
Podemos afirmar que:
V = πr²h 3
“O volume do cone é a terça parte do volume do cilindro, de mesma base e de mesma altura.”
Fórmula do Volume - Experiência
Demonstração de Fórmulas
Se enchermos o cone com areia, será necessário despejar três vezes seu conteúdo no interior do cilindro, para enchê-lo completamente.
Fórmula do Volume
Demonstração de Fórmulas
Logo, teremos a expressão do volume de um cone:
V = πr²h 3
π = 3,14
r = raio da circunferência
h = altura do cone
Samuel Ferreira
Exercícios \o/ – Área e Volume de conesDaniel e Matheus
1) Calcule a área total de um cone de 8cm de altura, sabendo que o raio da base mede 6cm.
Exemplos - Exercícios
h = 8cm g = ?rbase = 6cm At = ?
6
8 g
Por Pitágoras:g² = h² + r²
h
r
1) Calcule a área total de um cone de 8cm de altura, sabendo que o raio da base mede 6cm.
Exemplos - Exercícios
g² = h² + r²
g² = 8² + 6²
g² = 64 + 36
g² = 100
g = √ 100
g = 10
Utilizando a fórmula da área do cone:
AT = πr(r+g)AT = 3,14.6.(6+10)
AT = 18,84.16
AT = 301,44 cm²
2) Deseja-se construir um cone circular reto, utilizando para isso papel. Sabendo que o cone deve apresentar 20 cm de altura e que a geratriz terá 25 cm de comprimento, quantos centímetros quadrados de papel serão gastos para confeccionar esse cone? (Use π= 3,14).
Exemplos - Exercícios
h = 20cm r = ?g = 25cm At = ?
r
20 g
Por Pitágoras:g² = h² + r²
h
25
Agradecemos a atenção!