Geometria do Elipsoide
FGL
João F Galera Monico – PPGCC
Abril 2019
Elipsoide de Revolução
Rotação de uma elipse sobre um de seus eixos!Neste caso: eixo Z
Elipse no plano YZ com X = 0
Z
Elipse no plano XY com Z = 0
Z
Elipse no plano XZ com Y = 0
Z
Elipsoide de Revolução
Rotação de uma elipse sobre um de seus eixos!Neste caso: eixo Z
Equação, Curvatura Principal e Teorema de Euler
Elipsoide Triaxial
Equação, Curvatura Principal e Teorema de Euler
Elipsoide de Revolução: biaxial
Se a> b elipsoide achatado nos polos
Um elipsoide de revolução fica perfeitamente definido por meio de 2 parâmetros: a e b
Em Geodésia é comum definir pelo semi-eixo maior a e o achatamento f.
Toda seção produzida por um plano passando pelo eixo Z será uma elipse de semi-eixo maiora e semi-eixo menor b. Logo, qualquer relação válida para uma seção – vale para as demais.
Equação, Curvatura Principal e Teorema de Euler
A seção produzida pelo plano X = 0 da equação
será uma elipse dada pela equação
f = ae
Noções Sobre Curvatura
Curvatura ρ = w/s
Raio de curvatura da curva = 1/ρ=s/w
Seções Normais sobre o elipsoide• Considere a normal em um ponto no elipsoide.
• Um plano particular cortará a superfície do elipsoide formando uma curva que é conhecida como a seção normal. Um número infinito de planos existirá em cada plano, ou seja infinitas seções normais.
• Mas em cada ponto existirá duas seções mutualmente ortogonais que terão curvaturas máxima e mínima.
• Elas são chamadas seções normais principais.
Seções Normais
• Sobre o elipsoide de revolução as secções normais principais são:
• Seção Meridiana: (ρ ou M), gerada pelo plano normal de um ponto que passa pelos dois polos (X, O, Z) (raio curvatura mínimo);
• Seção Prim. Vertical ou Grande Normal (N), gerada pelo plano normal de um ponto, perpendicular ao plano do meridiano (0,Y,Z) (raio curvatura máximo);
Considerando o elipsoide, tem-se duas seções principais: a meridiana (X0Z), com curvatura máxima (R mín), e a produzida por um plano que contém a normal no ponto A e é perpendicular ao plano do meridiano (0YZ), cuja curvatura é mínima (R máx). Os raios de curvatura dessas seções principais são M e N. Tratam-se das curvaturas das seçõesprincipais. As demais seções passantes por esse ponto terão raio de curvatura entre M e N.
Grande NormalSeção Primeiro
Vertical
Pequena Normal
Seção MeridianaMínima
No EquadorN=?M= ?
No Polo N=?M= ?
Raio de Curvatura de uma seção normal
• Para determinar o raio de curvatura de qualquer seção normal numa direção arbitrária, pode-se utilizar a equação de Euler:
P’P’’’ = N = Grande Normal
P’P’’ = N’ = pequena Normal
Conhecidos os raios de curvatura principais em um ponto, define-se como curvaturamédia a expressão:
E o raio de curvatura médio por:
Quando se conhece o Azimute A de uma seção normal em um ponto do elipsoide, o raiode curvatura dessa seção é proporcionado pelo Teorema de Euler, que proporciona o raiode curvatura R em uma seção genérica com Azimute A:
Raio de um paralelo:
Latitude Geocentrica e Reduzida
As três latitudes se confundem no Equador e nos polos. Diferença máxima em Lat = 45
Seções Normais Recíprocas
As normais relativas a dois pontos na esfera, convergem para o centro da esfera. Logo, são coplanares. No elipsoide isto não ocorre!
As normais de cada ponto interceptam o eixo Z em dois pontos diferentes: n1 e n2.
Observe que as grandes normais são diferentes. Quanto maior a Latitude, maior a grande normal.
Seção normal Direta em relação a P1: seção normal resultante da intersecção do plano que contém a normal em P1 e o ponto P2. – Seta com origem em P1 – Ou Seção normal Recíproca em relação a P2.As duas seções diretas e recíprocas, são chamadas “seções normais recíprocas”.
Os planos que definem as seções normais recíprocas não coincidem se as latitudes e longitudes forem diferentes!
Mesma Latitude Mesma Longitude
Exceções
A Linha Geodésica
• O triângulo abaixo não é determinado univocamentedevido a duplicidade das seções normais:
Para definir o triângulo elipsoidico P1-P2-P3 de maneira unívoca, os vértices P1, P2 e P3 devem ser unidos pelo menor caminho. Não é nenhuma das seções normais recíprocas, mas uma curva, em geral reversa, situadas entre duas seções normais recíprocas, denominada Geodésica.
Curva Reversa: não está contida num plano.
O menor caminho entre dois pontos:No plano: um segmento de retaNa esfera: um arco de circunferência máximaNo elipsoide de revolução: a geodésica
Geodésica: á a linha jacente numa superfície, tal que em todos os seus pontos o plano osculador é normal à superfície ... Em todos os seus pontos a normal principal coincide com a normal à superfície.
Em navegação é dito ortodromia - linha de menor distância.
Loxodromia: mantém o rumo constante.
Linha Geodésica
• Qualquer meridiano é uma geodésica
• O equador é uma Geodésica (para dois pontos no equador – mas nem sempre – imagine dois pontos diametralmente opostos)
• Exceto no equador, nenhum outro paralelo é uma geodésica
Linha Geodésica
Elipsoides usados ao longo do tempo
• Triangulação –
• Trilateração -
• Poligonação -
• Nivelamento de precisão
• GNSS
Métodos de Levantamento em Geodésia
Reduções das medidas.
Problema Direto e Inverso na Geodésia
DIRETO
S12
INVERSO
ϒ= Convergência Meridiana
Convergência Meridiana
A convergência meridiana plana num ponto é definida pelo ângulo formado entre o norte verdadeiro e o norte de quadrícula. É função de suas coordenadas e seu valor é nulo no meridiano central do fuso.
Problema Direto e Inverso
• Direto: Dada as coordenadas de um ponto, a distância para um segundo ponto, bem como o azimute, Calcular as coordenadas do segundo ponto.
• Inverso: Dada as coordenadas de dois pontos, calcular a distância, o azimute e o contra azimute entre eles.
Representação da linha geodésica.
• Definir duas estações de interesse, da RBMC/SIRGAS por exemplo(ou com valores definidos por você mesmo) bem distantes uma da outra: +/- 1000 km (de preferência com azimutes aproximados de 450, 1350, 2150 ou 3050
• Calcular o azimute e a distância geodésica.
• Fazer o transporte de coordenadas (Problema direto) a partir de uma das estações (caso a), bem como dividindo em 6 segmentos aproximadamente iguais (caso b).
• Representar em aplicativo de sua escolha (Google Earth – Geomedia, etc) as linhas compostas pelos segmentos (caso b) e a que liga diretamente as estações (caso a). Conhecer a projeção da representação é importante.– software disponíveis para cálculos:
• Forward and inverse from NGS – ou outro qualquer!• http://www.ngs.noaa.gov/TOOLS/Inv_Fwd/Inv_Fwd.html
• Analisar as discrepâncias entre os casos (a) e (b) e discutir sobre os resultados!– Importante dar Zoom para identificar discrepâncias (se houver). – Especular sobre a projeção utilizada no aplicativo.