1
Geometria Analítica
Prof Luis Carlos
Aula 1: Vetores – tratamento geométrico
1. Segmentos orientados:
Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos (A , B).
A é dito origem e B extremidade do segmento.
(A , B): segmento orientado de A para B.
(B , A): segmento orientado de B para A.
Logo, (A , B) (B , A)
Observação: se A = B, temos um segmento orientado nulo.
Geometricamente, o segmento orientado (A , B) será indicado por uma flecha de A
até B.
Comprimento:
A cada segmento orientado, podemos associar um número real (positivo ou nulo),
seu comprimento, que é a sua medida.
Utilizaremos u.c.: unidade de comprimento, para designar a unidade de medida
do segmento.
Direção e sentido:
Dados dois segmentos orientados não nulos (A , B) e (C , D) dizemos que eles têm
mesma direção se as retas AB e CD são paralelas (ou coincidentes). Só podemos
comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção.
A
B
2
Exemplos:
2. Vetores:
Um vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados que têm a mesma
direção (paralelos), o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Exemplo:
GH//EF//CD//AB
Notação: , AB ou B – A
A B
C D
A B C D
A B
CD
AB C D
mesmo sentidosentidos contrários
A B
C D
A B C D
A B
CD
AB C D
mesmo sentidosentidos contrários
A
BC
D
E
F
G
H
a
3
Observações:
i) Um mesmo vetor pode ter vários representantes:
GHEFCDABa
e, para citarmos um vetor, basta citar (ou desenhar) um deles.
ii) A norma (ou módulo, ou comprimento) de um vetor é o comprimento de qualquer um
de seus representantes.
Notação: aoua
No exemplo acima, temos: GHEFCDAB
Casos particulares de vetores:
BA : vetor oposto de AB
AAouO : vetor nulo (a origem coincide com a extremidade)
Se a é tal que a = 1, então ele é um vetor unitário
Versor: a cada vetor não nulo a podemos associar dois vetores unitários de mesma
direção u e - u .
Exemplo:
A B
BA
a
- aBA = - AB
A B
BA
a
- u
BA = - AB
u
4
a
aa
5
1u
.c.u1uu
.c.u5a
O vetor u que tem mesmo sentido de a é um versor de a .
Vetores paralelos:
Exemplos:
Vetores ortogonais:
Exemplos:
Vetores coplanares: quando estão no mesmo plano.
Exemplos:
coplanaressãowev,u
A B
BA
a
- u
BA = - AB
u
paralelos de mesmo sentido paralelos de sentidos contrários
u
v
w
x
A B
BA
a
- u
BA = - AB
u u
v
w
x
A B
BA
a
- u
BA = - AB
u
uv
w
x
5
veuacoplanarénãow
coplanaressãov,u
Observação: dois vetores quaisquer são sempre coplanares.
Exercícios resolvidos:
1) A figura abaixo é constituída por 9 quadrados congruentes:
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a)
A B
BA
a
- u
BA = - AB
u
u
v
w
x
6
(V) os vetores são iguais pois têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo
comprimento.
b)
(V) os vetores são iguais pois têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo
comprimento.
c)
(V) os vetores são iguais pois têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo
comprimento.
d)
(F) pois esses vetores têm sentidos opostos.
e)
(V) esses vetores têm mesma direção.
f)
(F) esses vetores não têm mesma direção.
g)
(V) esses vetores têm mesma direção.
h)
(V) esses vetores são ortogonais.
i)
(V) esses vetores são ortogonais.
j)
(F) esses vetores não são ortogonais.
k)
(V) esses vetores são ortogonais.
l)
(V) pois os comprimentos desses dois vetores são iguais.
m)
(V) pois os comprimentos desses dois vetores são iguais.
7
2) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo:
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a)
(V) os vetores são iguais pois têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo
comprimento.
b)
(F) o vetor HG é o vetor GH que tem sentido oposto ao do vetor AB .
c)
(V) esses vetores são ortogonais.
d)
(V) esses vetores são ortogonais.
e)
(V) pois os comprimentos desses dois vetores são iguais.
f)
(V) pois os comprimentos desses dois vetores são iguais.
g)
(F) esses vetores não têm mesma direção.
h)
(F) esses vetores não estão no mesmo plano.
i)
(V) os vetores EGeFG,EFAB estão no mesmo plano.
8
Operações com vetores
1. Adição / Subtração de vetores:
Vamos fazer a adição de vetores de duas maneiras:
1.1. Consideremos um representante qualquer do vetor a = AB e o representante do
vetor b que tem origem B. Seja C a extremidade deste último. Fica assim determinado o
vetor AC que por definição é um representante do vetor soma de a com b .
Exemplo:
1.2. Regra do paralelogramo:
Consiste em tomar representantes de a e b com a mesma origem A e construir o
paralelogramo ABCD. O vetor AC (uma das diagonais) é um representante do vetor
soma a + b e o vetor DB (a outra diagonal) é um representante do vetor diferença a -
b .
Exemplo:
a
b
A
B
AB + BC = AC
DB = a - b
C
a
b
9
Observação: a - b = a + (- b ): soma do vetor a com o vetor oposto de b .
Observações:
a) Sendo a // b , temos:
b) Para se determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é análogo.
Exemplo:
a
b
A D
B C AC = a + b
DB = a - b
a b
A
B
AB + BC = AC
DB = a - b
C
a
b
a + bmesmo sentido
sentidos contrários
a
b
A
B
AB + BC = AC
DB = a - b
C
a
b
a + b
mesmo sentido
sentidos contrários
10
Propriedades:
P1 – comutativa: a + b = b + a
P2 – associativa: ( a + b ) + c = a + ( b + c )
P3 – elemento neutro: a + 0 = a
P4 – elemento oposto: a + (- a ) = 0
2. Multiplicação de número real por vetor:
Sendo 0v e 0 ( é um número real), chama-se produto do número real
pelo vetor v , o vetor v tal que:
i) Módulo: vv
ii) Direção: v // v
iii) Sentido: v tem o mesmo sentido de v , se > 0; v tem o sentido oposto ao de
v , se < 0.
Exemplos:
ab
A
B
AB + BC = AC
DB = a - b
a
b
a + b
mesmo sentido
sentidos contrários
c C
D
c
a + b + c
AB + BC + CD = AD
11
3. Soma de ponto com vetor:
Dados P um ponto e v um vetor, definimos P + v = Q. Ou seja, a soma do ponto
P com o vetor v é um ponto Q, sendo vPQ .
Exemplo:
Exercício resolvido:
Com base na figura abaixo, determinar os vetores, expressando-os com origem no
ponto A:
a
b
A
B
AB + BC = AC
DB = a - b
3a
b
a + b
mesmo sentido
sentidos contrários
cC
D
c
a + b + c
AB + BC + CD = AD
a -2b
A
B
AB + BC = AC
DB = a - b
3ab
a + b
mesmo sentido
sentidos contrários
cC
D
c
a + b + c
AB + BC + CD = ADv
-2b
A
B
AB + BC = AC
DB = a - b
3a
b
a + b
mesmo sentido
sentidos contrários
cC
D
c
a + b + c
AB + BC + CD = AD
P
Q
12
a) =
Solução:
b) =
Solução:
c) =
Solução:
M NL E
P
B
I
C DA
K
J H
OF
G
M NL E
P
B
I
C DA
K
J H
OF
G
13
d) =
Solução:
e) =
Solução:
f) =
Solução:
M NL E
P
B
I
C DA
K
J H
OF
G
M NL E
P
B
I
C DA
K
J H
OF
G
EO = CM
M NL E
P
B
I
C DA
K
J H
OF
G
BL = MK
M NL E
P
B
I
C DA
K
J H
OF
G
-NP = PN = MC
MO = AM
14
g) =
Solução:
h) =
Solução:
REFERÊNCIAS
CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. São
Paulo: Pearson, 2010.
STEINBRUCHY, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Makron
Books, 1987.
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books, 2000.
M NL E
P
B
I
C DA
K
J H
OF
G
-NP = PN = MC
MO = AM
LP = AM
PN = MC
NF = CE
M NL E
P
B
I
C DA
K
J H
OF
G
-NP = PN = MC
MO = AM
LP = AMPN = MC
NF = CE
BN = AM
BL = MK
PB = KA