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Geometria Analítica Equação geral da reta
Cálculo do coeficiente angular de uma reta Equação Fundamental da Reta
Equação Reduzida da Reta Equação segmentária da reta
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Equação Geral da Reta
Para determinarmos a equação geral de uma reta, utilizamos os conceitos relacionados a matrizes. Na determinação da equação na forma ax + by + c = 0 aplicamos a regra de Sarrus utilizada na obtenção do discriminante de uma matriz quadrada de ordem 3 x 3. Para utilizarmos uma matriz nessa determinação da equação feral devemos ter no mínimo dois pares ordenados (x,y) dos possíveis pontos alinhados, por onde a reta irá passar. Observe a matriz geral da determinação da equação geral:
Na matriz temos os pares ordenados que devem ser informados: (x1, y1) e (x2, y2) e um ponto genérico representado pelo par (x, y). Observe que a 3º coluna da matriz é completada com o algarismo 1.
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Equação Geral da RetaExemplo 1: Obter a equação geral da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3,8).
Ponto A temos que: x1 = 1 e y1 = 2
Ponto B temos que: x2 = 3 e y2 = 8
Ponto genérico C representado pelo par ordenado (x, y)
Calcular o determinante de uma matriz quadrada aplicando a regra de Sarrus significa:
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Equação Geral da Reta
1º passo: repetir a 1º e a 2º coluna da matriz.
2º passo: somar os produtos dos termos da diagonal principal.
3º passo: somar os produtos dos termos da diagonal secundária.
4º passo: subtrair a soma total dos termos da diagonal principal dos termos da diagonal secundária.
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Equação Geral da Reta[(1 * 8 * 1) + (2 * 1 *x) + (1 * 3 * y)] – [(2 * 3 * 1) + (1 * 1 * y) + (1 * 8 * x)] = 0[ 8 + 2x + 3y] – [6 + y + 8x] = 08 + 2x + 3y – 6 – y – 8x = 02x – 8x + 3y – y + 8 – 6 = 0
–6x + 2y + 2 = 0
Os pontos A(1, 2) e B(3,8) pertencem a seguinte equação geral da reta: –6x + 2y + 2 = 0.
Exemplo 2Vamos determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos: A(–1, 2) e B(–2, 5).
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Cálculo do coeficiente angular de uma reta
Sabemos que o valor do coeficiente angular de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação. Através dessa informação podemos encontrar uma forma prática para obter o valor do coeficiente angular de uma reta sem precisar fazer uso do cálculo da tangente.
Vale ressaltar que se a reta for perpendicular ao eixo das abscissas, o coeficiente angular não existirá, pois não é possível determinar a tangente do ângulo de 90º.
Para representarmos uma reta não vertical em um plano cartesiano é preciso ter no mínimo dois pontos pertencentes a ela. Desse modo, considere uma reta s que passa pelos pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e possui um ângulo de inclinação com o eixo Ox igual a α.
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Cálculo do coeficiente angular de uma reta
Prolongado a semirreta que passa pelo ponto A e é paralela ao eixo Ox formaremos um triângulo retângulo no ponto C.
O ângulo A do triângulo BCA será igual ao da inclinação da reta, pois, pelo Teorema de Tales, duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos correspondentes iguais.
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Cálculo do coeficiente angular de uma retaLevando em consideração o triângulo BCA e que o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo de inclinação, teremos:
tgα = cateto oposto / cateto adjacente
tgα = yB – yA / xB – xA
Portanto, o cálculo do coeficiente angular de uma reta pode ser feito pela razão da diferença entre dois pontos pertencentes a ela.
m = tgα = Δy / Δx
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Cálculo do coeficiente angular de uma reta
Exemplo 1Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (–1,3) e B (–2,4)?
Exemplo 2O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (2,6) e B (4,14) é:
Exemplo 3 O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (8,1) e B (9,6) é:
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Equação Fundamental da RetaPodemos determinar a equação fundamental de uma reta utilizando o
ângulo formado pela reta com o eixo das abscissas (x) e as coordenadas de um ponto pertencente à reta. O coeficiente angular da reta, associado à coordenada do ponto, facilita a representação da equação da reta. Observe: Considerando uma reta r, o ponto C(xC, yC) pertencente à reta, seu coeficiente angular m e outro ponto D(x,y) genérico diferente de C. Com dois pontos pertencentes a reta r, um real e outro genérico, podemos calcular o seu coeficiente angular.
m = y – y0/x – x0
m (x – x0) = y – y0
Portanto, a equação fundamental da reta será determinada pela seguinte expressão:
y – y0 = m (x – x0)
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Equação Fundamental da RetaExemplo 1
Encontre a equação fundamental da reta r que possui o ponto A (0,-3/2) e coeficiente angular igual a m = – 2.
Exemplo 2
Obtenha uma equação para a reta representada abaixo:
Exemplo 2
Obtenha uma equação para a reta representada abaixo:
Exemplo 3
Determine a equação da reta que passa pelo ponto de coordenadas (6; 2) e possui inclinação de 60º.
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Equação Reduzida da RetaUma equação reduzida da reta respeita a lei de formação dada por y = mx + c, onde x e y são os pontos pertencentes à reta, m é o coeficiente angular da reta e c o coeficiente linear. Essa forma reduzida da equação da reta expressa uma função entre x e y, isto é, as duas variáveis possuem uma relação de dependência. No caso dessa expressão, ao atribuirmos valores a x (eixo das abscissas), obtemos valores para y (eixo das ordenadas). No caso de funções matemáticas do 1º grau, estamos relacionando o domínio (x) de uma função com sua imagem (y). Outra característica desse modelo de representação é quanto ao valor do coeficiente angular e linear.O coeficiente angular (a) representa a inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas (x) e o coeficiente linear (c) representa o valor numérico por onde a reta passa no eixo das ordenadas (y).
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Equação Reduzida da Reta
Vamos construir a equação reduzida de uma reta de acordo com os pontos P(2, 7) e Q(–1, –5) pertencentes à reta. Para determinar essa equação há duas maneiras, observe:
1º maneiraDeterminar o coeficiente angular da reta.m = (y2 – y1) / (x2 – x1)m = (–5 – 7) / (–1 – 2)m = –12 / –3m = 4De acordo com o ponto P(2, 7), temos:y – y1 = m * (x – x1) y – 7 = 4 * (x – 2)y – 7 = 4x – 8y = 4x – 8 + 7y = 4x – 1
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Equação Reduzida da Reta2ª maneiraTemos que a lei de formação de uma equação reduzida da reta é dada por y = mx + c.Considerando que ela passa por P(2, 7) e Q(–1, –5), temos:P(2, 7)7 = m * 2 + c7 = 2m + c2m + c = 7
Q(–1, –5)–5 = m * (–1) + c–5 = –m + c–m + c = –5
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Equação Reduzida da Reta
Nesse caso, os valores dos coeficientes angular (m) e linear (c) serão calculados por um sistema de equações. Veja: Isolando c na 2ª equação:–m + c = –5c = –5 + m
Substituindo c na 1ª equação:2m + c = 72m + (–5 + m) = 72m – 5 + m = 73m = 7 + 5 3m = 12m = 12/3m = 4Calculando o valor de c:c = –5 + mc = –5 + 4c = –1
Portanto, a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P(2, 7) e Q(–1, –5), corresponde à expressão y = 4x – 1.
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Equação segmentária da retaO estudo analítico da reta é muito utilizado em problemas cotidianos ligados a
diversas áreas do conhecimento, como a física, biologia, química, engenharia e até a medicina. Determinar a equação da reta e compreender seus coeficientes é bastante importante para a compreensão do seu comportamento, sendo possível analisar sua inclinação e os pontos onde intercepta os eixos do plano. Sobre as retas temos os seguintes tipos de equação: equação geral da reta, equação reduzida, equação paramétrica e equação segmentária. Faremos o estudo da equação segmentária da reta e sua utilização.
Considere uma reta s qualquer do plano de equação ax + by = c. Para obtenção da equação segmentária da reta s basta dividir toda a equação por c, obtendo:
Que é a equação na forma segmentária da reta s.
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Equação segmentária da reta
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Equação segmentária da reta
Exemplo 1. Determine a forma segmentária da equação da reta s cuja equação geral é:s: 2x + 3y – 6 = 0
Solução: Para determinar a equação segmentária da reta s devemos isolar o termo independente c. Assim, segue que:2x + 3y = 6
Dividindo a equação por 6, obtemos:
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Equação segmentária da retaExemplo 2. Determine a equação segmentária da reta t: 7x + 14y – 28 =0 e as coordenadas dos pontos de interseção da reta com os eixos do plano.
Solução: Para determinar a forma segmentária da equação da reta t devemos isolar o termo independente c. Assim, teremos:
7x + 14y = 28
Dividindo toda igualdade por 28, obtemos:
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Equação segmentária da reta
Com a equação segmentária, podemos determinar os pontos de interseção da reta com os eixos ordenados do plano. O termo que divide x na equação segmentária é abscissa do ponto de intercessão da reta com o eixo x, e o termo que divide y é abscissa do ponto de interseção da reta com o eixo y. Assim:
(4, 0) é o ponto de interseção da reta com o eixo x.(0, 2) é o ponto de interseção da reta com o eixo y.