Sumário
• Princípios Básicos de Contagem – A Regra do Produto– A Regra da Soma– O número de subconjuntos de um conjunto finito
• Princípio da Inclusão-Exclusão• Princípio da Casa do Pombo
A Regra do Produto
• Suponha que um procedimento pode ser quebrado em uma seqüência que duas tarefas.
• Se existem n1 maneiras de fazer a primeira tarefa e n2 maneiras de fazer a segunda tarefa após a finalização da primeira
• Então existem n1n2 maneiras de realizar o procedimento.
Exemplo
• As cadeiras de uma auditório serão rotuladas com uma letra e um inteiro positivo menor ou igual a 100.
• Qual é o maior número de cadeiras que podem ser rotuladas de maneira diferente?
Exemplo
• Quantas placas de carros diferentes pode-se ter se cada uma delas contém uma seqüência de três letras seguidas de quatro dígitos?
Exemplo
• Contando funções
– Quantas funções existem de um conjunto de melementos para um conjunto com n elementos?
– Quantas funções injetoras (one-to-one) existem de um conjunto de m elementos para um conjunto com n elementos?
Exemplo
O número de subconjuntos de um conjunto finito
– Use a regra do produto para mostrar que o número de diferentes subconjuntos de um conjunto finito S é igual a 2|S|.
– Existe uma correspondência um-para-um (uma bijeção) entre os subconjuntos de S e uma string de bits de tamanho |S|.
– Um subconjunto de S é associado a uma string com valor 1 na i-ésima posição se o i-ésimo elemento na lista encontra-se no subconjunto; e 0 caso contrário.
A Regra da Soma
• Se uma primeira tarefa pode ser realizada de n1 maneiras e a segunda tarefa pode ser realizada de n2 maneiras
• E essas tarefas não podem ser realizadas ao mesmo tempo
• Então, existem n1+n2 maneiras de realizar uma dessas tarefas.
Exemplo
• Suponha que um dos professores ou um dos alunos será escolhido como um representante de um comitê universitário.
• De quantas maneiras é possível selecionar um representante sabendo que são 37 professores e 83 alunos?
Exemplo
• Um estudante pode escolher um projeto de uma de três listas existentes.
• Cada uma das listas contém 23, 15 e 19 possíveis projetos, respectivamente.
• Qual a quantidade de possíveis escolhas de projetos?
Exemplo
• Em uma versão da linguagem BASIC, o nome de uma variável é uma string com um ou dois caracteres alfanuméricos, sabendo que caracteres maiúsculos e minúsculos não são distinguidos.
• O nome da variável deve começar por uma letra e deve ser diferente de cinco strings com dois caracteres que são palavras reservadas da linguagem.
• Quantos nomes diferentes de variáveis podem ser criados nessa versão de BASIC?
Exemplo
• Cada usuário em um sistema computacional possui uma senha de tamanho 6, 7 ou 8 caracteres.
• Cada caractere é uma letra maiúscula ou um dígito. Cada senha deve conter pelo menos um dígito.
• Quantas senhas são possíveis nesse sistema?
Princípio da Inclusão-Exclusão
• Em uma sala de aula temos 90 estudantes e 70 solteiros.
• Quantos estudantes solteiros existem nessa sala de aula?
• Sem o auxílio de mais informações não é possível responder essa pergunta.
Exemplo
• Uma classe de matemática discreta tem 25 estudantes de computação, 13 estudantes de matemática e 8 estudantes de matemática e computação.
• A classe possui quantos estudantes?
|A∪B| = |A| + |B| – |A∩B|= 25 + 13 – 8= 30
Exemplo
• Quantos inteiros positivos menor ou igual a 1000 são divisíveis por 7ou 11?
A – conjuntos dos inteiros ≤1000 divisíveis por 7B – conjuntos dos inteiros ≤1000 divisíveis por 11A∩B – conjuntos dos inteiros ≤1000 divisíveis por 7 e 11A∪B – conjuntos dos inteiros ≤1000 divisíveis por 7 ou 11
Exemplo
• Suponha que existam 1807 calouros na faculdade. Do total, 453 são de computação, 567 de matemática e 299 estão fazendo dois cursos, matemática e computação.
• Quantos não estão fazendo nem computação nem matemática?
A – conjuntos dos calouros de computaçãoB – conjuntos dos calouros de matemáticaA∩B – conjuntos dos calouros que fazem matemática e computaçãoA∪B – conjuntos dos calouros que fazem matemática ou computação
A∪B = A + B – A∩B= 453 + 567 – 299 = 721
1807 – 721 = 1086 calouros não fazem nem computação nem matemática
Exemplo
1232 estudantes fazem curso de espanhol, 879 francês, 114 russo.103 fazem espanhol e francês, 23 espanhol e russo e 14 francês e russo.2092 estudantes fazem pelo menos um curso de espanhol, francês ou russo.Quantos estudantes fazem os três cursos?
|E| = 1232 – espanhol |F| = 879 – francês |R| = 114 – russo|E∩F| = 103 |E∩R| = 23 |F∩R| = 14|E∪F∪R| = 2092
|E∪F∪R| = |E| + |F| + |R| – |E∩F| – |E∩R| – |F∩R| + |E∩F∩R|
2092 = 1232 + 879 + 114 – 103 – 23 – 14 + |E∩F∩R||E∩F∩R| = 7
Princípio da Casa do Pombo
Teorema: Princípio da Casa do Pombo
Se k+1 ou mais objetos são colocados em kcaixas, então existe pelo menos uma caixa que contém dois ou mais objetos.
Exemplo
• Dentre um grupo de 367 pessoas, deve existir pelo menos duas que têm o mesmo dia de aniversário.
• Pois têm-se apenas 366 possíveis dias de nascimento.
Exemplo
• Em um grupo com 27 palavras em inglês, deve existir pelo menos duas que começam com a mesma letra.
• Uma vez que existem 26 letras no alfabeto da língua inglesa.
Exemplo
Quantos estudantes devem existir em uma sala de aula para garantir que pelo menos dois estudantes irão receber a mesma nota em uma prova cuja pontuação varia de 0 a 100?
101 pontuações possíveis102 estudantes são necessários para que pelo menos 2 tenham a mesma nota.