XXVII Olimpıada de Matematica da UnicampInstituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica
Universidade Estadual de Campinas
Gabarito da Prova da Terceira Fase – Nıvel Beta
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Questao 1 20 pontosDizemos que dois numeros reais a e b estao numa proporcao aurea quando
a + b
a= θ e
a
b= θ ,
onde a constante positiva θ e denominada de numero de ouro ou numero aureo.
(a) Determine o valor da constante θ.
(b) Um pedaco de barbante de comprimento 4L centımetros e divido ao meio. Com uma daspartes forma–se um quadrado e, com a outra parte forma–se um retangulo aureo, isto e, umretangulo cujos lados estao na proporcao aurea. Determine a razao entre a area do retanguloaureo e a area do quadrado, isto e, denotando por Aq a area do quadrado e por Ar a area
do retangulo aureo, determine a relacaoAr
Aq.
(c) Na figura abaixo temos um triangulo retangulo cujo comprimento do cateto AC e a metadedo comprimento do cateto AB, e temos tambem um arco de circunferencia de centro doponto C e raio igual ao comprimento do cateto AC. Mostre que o numero aureo θ e arazao entre o comprimento do segmento AB e o comprimento do segmento BD, isto e,
AB
BD= θ .
HHHH
HHHHHHH
HHHHHHH
. .......................... ........................... ......................................................................................................................................
.........................
..........................
..........................
...........................
...........................
Br
Ar
CrDr
Resolucao
(a) Considerando as equacoes
a + b
a= θ e
a
b= θ ,
e com algumas manipulacoes na primeira equacao e utilizando a segunda equacao, obtemos umaequacao em θ dada da seguinte forma:
1 +b
a= θ ⇐⇒ 1 +
1
θ= θ ⇐⇒ θ + 1 = θ2 .
As raızes da equacao do segundo grau θ2 − θ − 1 = 0 sao dadas por:
θ =1 ±
√5
2,
2
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como a constante θ e positiva, obtemos
θ =1 +
√5
2
que e denominada numero de ouro ou numero aureo.
(b) O quadrado construıdo com a metade de um barbante de comprimento 4L centımetros, tem
lado medindoL
2centımetros. Assim, a area desse quadrado e dada por:
Aq =L2
4cm2 .
Com a outra metade do barbante construımos um retangulo cujos lados estao na proporcao aurea,isto e, denotando por a e b o comprimento dos lados desse retangulo, temos que
2a + 2b = 2L e a = θ × b .
Das equacoes acima, obtemos a e b, em funcao de L e da constante θ, da seguinte forma:
b =L
1 + θe a =
θ × L1 + θ
.
Desse modo, a area do retangulo aureo e dada por:
Ar = a× b =θ × L2
( 1 + θ )2cm2
Desse modo, a razao entre a area do retangulo aureo e a area do quadrado e dada por:
Ar
Aq=
4× θ( 1 + θ )2
3
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(c) No triangulo retangulo, ilustrado na figura acima, vamos utilizar as seguintes notacoes
a = AB e x = BD .
Assim, teremos tambem que
AC =a
2e CD =
a
2.
Aplicando o Teorema de Pitagoras, obtemos(x +
a
2
)2= a2 +
a2
4,
que com algumas manipulacoes algebricas obtemos a seguinte equacao do segundo grau
x2 + ax − a2 = 0 ,
cujas raızes sao dadas por:
x =−a ±
√a2 + 4a2
2= a× −1 ±
√5
2.
Como a variavel x representa o comprimento do segmento BD, temos que
x = a× −1 +√
5
2.
Portanto, a razao entre o comprimento do segmento AB e o comprimento do segmento BD edada por:
AB
BD=
a
x=
2a
a× (−1 +√
5 )=
2
−1 +√
5=
2
−1 +√
5× 1 +
√5
1 +√
5=
1 +√
5
2= θ .
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Questao 2 20 pontos
(a) Determine a parte imaginaria do numero complexo w dado por:
w =2z + 1
2z − 1para z 6= 1
2.
(b) Faca a representacao grafica no plano complexo do seguinte subconjunto
S =
{z ∈ C / Im
(2z + 1
2z − 1
)≥ 1 para z 6= 1
2
},
onde Im denota a parte imaginaria de um numero complexo, e C denota o conjunto dos numeroscomplexos, isto e,
C = { z = a + bi / a, b ∈ IR } ,onde i =
√−1 e a unidade imaginaria e IR e o conjunto dos numeros reais.
Resolucao
(a) Considerando z = a + bi com a , b ∈ IR, podemos escrever w da seguinte forma:
w =2z + 1
2z − 1=
2z + 1
2z − 1× 2z − 1
2z − 1=
4zz − 2z + 2z − 1
4zz − 2z − 2z + 1=
4(a2 + b2) − 1 − 4bi
4(a2 + b2) + 1 − 4a,
que com algumas manipulacoes, obtemos
w =4(a2 + b2) − 1 − 4bi
(2a − 1)2 + 4b2para z 6= 1
2.
Portanto, a parte imaginaria do numero complexo w fica dada por:
Im(w) =−4b
(2a − 1)2 + 4b2para z 6= 1
2.
(b) Vamos determinar o lugar geometrico no plano complexo dado pela desigualdade Im(w) ≥ 1
−4b
(2a − 1)2 + 4b2≥ 1 para z 6= 1
2.
Note que (2a − 1)2 + 4b2 > 0, assim da desigualdade acima, obtemos
−4b ≥ (2a − 1)2 + 4b2 ⇐⇒ (2a − 1)2 + 4b2 + 4b ≤ 0 ,
Somando e subtraindo 1 da desigualdade acima, temos que
(2a − 1)2 + 4b2 + 4b + 1 ≤ 1 ⇐⇒ (2a − 1)2 + (2b + 1)2 ≤ 1
Finalmente, obtemos a seguinte desigualdade(a − 1
2
)2
+
(b +
1
2
)2
≤(
1
2
)2
.
Portanto, o lugar geometrico no plano complexo dado pela desigualdade Im(w) ≥ 1 e um circulo
de raio1
2e centro
(1
2, −1
2
).
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Questao 3 20 pontosNa figura abaixo temos o triangulo isosceles ABC com a base AB medindo 6 cm e a altura hmedindo 5 cm, e um triangulo isosceles A′B′C ′ inscrito no triangulo isosceles ABC cujas basessao paralelas, isto e, AB ‖ A′B′, e o vertice C ′ e o ponto medio do lado AB.
A
sB
s
Cs
A′ s B′s
C ′s
(a) Determine a area do triangulo isosceles A′B′C ′ de altura h′ medindo 3 cm.
(b) Determine as medidas da base e da altura do triangulo isosceles A′B′C ′ de area maxima.
Resolucao
(a) Considerando a figura abaixo
A
sB
s
Cs
A′ s B′s
C ′s
Ds
Temos a seguinte relacao entre os triangulos semelhantes BCC ′ e B′CD
CC ′
BC ′ =CD
DB′ ⇐⇒ 5
3=
2
DB′ ⇐⇒ DB′ =6
5
Portanto a area do triangulo A′B′C ′, que vamos denotar por AT , e dada por:
AT =DC ′ ×A′B′
2=
12
5× 3
2=
18
5,
uma vez que A′B′ = 2×DB′.
6
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(b) Temos a seguinte relacao entre os triangulos semelhantes BCC ′ e B′CD
CC ′
BC ′ =CD
DB′ ⇐⇒ 5
3=
5 − h′
b⇐⇒ b = 3 − 3
5× h′ ,
onde h′ e a altura do triangulo A′B′C ′ e b = DB′.
Assim, a area do triangulo A′B′C ′, que vamos denotar por AT , e dada por:
AT =h′ ×A′B′
2= h′ × ( 3 − 3
5× h′ ) = −3
5× (h′ )2 + 3× h′ ,
uma vez que A′B′ = 2× b.
Assim, devemos encontrar o valor h′v para o qual a funcao quadratica AT assume seu valormaximo. Logo,
h′v =5
2cm .
Portanto, a base do triangulo A′B′C ′ de area maxima e A′B′ = 3 cm e a altura e h′v.
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Questao 4 20 pontosComplete a tabela abaixo com numeros naturais, de modo que a soma dos tres numeros de cadalinha e de cada coluna sejam iguais.
5
11
16 8
Resolucao
Inicialmente vamos completar a tabela da seguinte forma:
5 a b
c 11 d
16 e 8
Vamos denotar por S o valor dessa soma, assim obtemos as seguintes equacoes
5 + a + b = S (1)
c + 11 + d = S (2)
24 + e = S (3)
21 + c = S (4)
a + 11 + e = S (5)
b + d + 8 = S (6)
Note que da equacao (3), obtemos que S ≥ 24.
Das equacoes (3) e (4), obtemos
e = S − 24 e c = S − 21 . (7)
Substituindo c = S − 21 na equacao (2), obtemos
S − 21 + 11 + d = S ⇐⇒ d = 10 . (8)
Substituindo d = 10 na equacao (6), obtemos
b + 10 + 8 = S ⇐⇒ b = S − 18 . (9)
Substituindo b = S − 18 na equacao (1), obtemos
5 + a + S − 18 = S ⇐⇒ a = 13 . (10)
Note que substituindo a = 13 na equacao (5), obtemos e = S − 24 que e equacao (7), assimutilizamos todas as equacoes.
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Finalmente, obtemos todas as solucoes do sistema linear (1)–(6), que possui um grau de liberdade,que sao dadas por:
a = 13 , b = S − 18 , c = S − 21 , d = 10 , e = S − 24 , (11)
para S = 24, 25, 26, 27, · · · .
Portanto, para S = 24, obtemos a seguinte tabela
5 13 6
3 11 10
16 0 8
para S = 25, obtemos a seguinte tabela
5 13 7
4 11 10
16 1 8
para S = 26, obtemos a seguinte tabela
5 13 8
5 11 10
16 2 8
e assim sucessivamente.
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Questao 5 20 pontos
(a) Determine qual dos seguintes numeros reais e o maior a =√
3 ou b =3√
5
(b) Mostre onde esta o erro na demonstracao abaixo:
1
4>
1
8(1
2
)2
>
(1
2
)3
log10
((1
2
)2)
> log10
((1
2
)3)
2× log10
(1
2
)> 3× log10
(1
2
)
2 > 3
(c) Mostre que se p e um numero primo, entao√p e um numero irracional, isto e, nao pode
ser escrito na formaa
b,
onde a e b sao numeros inteiros positivos, com b 6= 0.
Resolucao
(a) Note que podemos escrever a =√
3 e b =3√
5 da seguinte forma:
a = 312 e b = 5
13 .
Agora tomando a6 e b6, obtemos
a6 = ( 312 )6 = 33 = 27 e b6 = ( 5
13 )6 = 52 = 25 .
Assim, temosa6 = 27 > b6 = 25 ⇐⇒ a > b ,
pois a =√
3 e b =3√
5 sao positivos.
(b) Note que na passagem da quarta desigualdade para a quinta desigualdade fizemos uma divisao
por log10
(1
2
)que e negativo. Logo, na quinta desigualdade devemos ter uma relacao de menor,
isto e, devemos inverter a desigualdade.
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(c) Vamos supor que√p pode ser escrito como
√p =
a
b, b 6= 0 ,
na forma irredutıvel. Tomando o quadrado em ambos os membros da igualdade acima, obtemos
p =a2
b2⇐⇒ b2p = a2 ⇐⇒ b2p = a× a ,
para b 6= 0. Assim, como p e primo, temos que p divide a, isto e, a = k×p para algum k ∈ IN .
Tomando a2 = k2 × p2 e substituindo na igualdade b2p = a2, obtemos
b2p = k2p2 ⇐⇒ b2 = k2p ⇐⇒ k2p = b× b .
E, como p e primo, p tambem divide b.
Desse modo, temos que p divide a e p divide b, o que e uma contradicao pois consideramosque
√p =
a
b
na forma irredutıvel.
Portanto, mostramos que√p e um numero irracional, isto e, nao pode ser escrito na forma
a
b,
onde a e b sao numeros inteiros positivos, com b 6= 0.
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Questao 6 20 pontos
(a) Sejam A uma matriz de ordem 3 × 3, X uma matriz de ordem 3× 1 e Y uma matrizde ordem 3× 1 dada por:
Y =
235
.
Sabendo que o sistema linear AX = Y possui uma solucao X dada por:
X =
010
,
determine a segunda coluna da matriz A.
(b) Determine os valores do parametro x de modo que a matriz A dada por:
A =
x x 11 x xx 1 x
tenha determinante diferente de zero.
Resolucao
(a) Vamos representar a matriz A da seguinte forma:
A =
a x bc y de z f
.
Desse modo, utilizando o conceito de produto de matrizes, obtemos
AX = Y ⇐⇒
a x bc y de z f
010
=
235
⇐⇒
xyz
=
235
,
uma vez que a matriz coluna X e uma solucao do sistema linear AX = Y .
(b) Calculando o determinante da matriz A obtemos
det(A) =
∣∣∣∣∣∣x x 11 x xx 1 x
∣∣∣∣∣∣ = 2x3 − 3x2 + 1 .
Assim, devemos determinar os valores de x para os quais o polinomio p(x) = 2x3 − 3x2 + 1 6= 0,que e equivalente a dizer que det(A) 6= 0 para esses valores de x.
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Para isso, basta determinar inicialmente os zeros do polinomio p. Podemos verificar facilmenteque x1 = 1 e um zero do polinomio p. Assim, podemos decompor o polinomio p da seguinteforma:
p(x) = (x − 1)q(x) ,
onde q e um polinomio do segundo grau.
Dividindo o polinomio p pelo polinomio r(x) = x − 1 obtemos o polinomio
q(x) = 2x2 − x − 1 ,
que possui os seguintes zeros
x2 = 1 e x3 = −1
2.
Portanto, os valores de x para os quais o determinante da matriz A e diferente de zero erepresentado pelo seguinte conjunto
S =
{x ∈ IR / x 6= 1 e x 6= −1
2
},
uma vez que x = 1 e um zero duplo de p e x = −1
2e um zero simples do polinomio p.
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