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MATEMÁTICA 1 ProfProfProfProf. . . . GiancarloGiancarloGiancarloGiancarlo –––– PRISE IPRISE IPRISE IPRISE I

Funções Elementares APOSTILA

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Função injetora Uma função �: � → � é injetora (ou injetiva) se, e

somente se, para todo �� e �� pertencentes a �, temos: �� �� ⇒ ���� ���� . Função sobrejetora

Uma função �: � → � é sobrejetora (ou sobrejetiva) se, e somente se, pra todo � ∈ �, existe um � ∈� tal que ��� � �. Função bijetora

Uma função �: � → � é bijetora (ou bijetiva) se for injetora e sobrejetora simultaneamente, ou seja, ∀ �� �� ∈ ��� ⇒ ���� ���� e ���� � ���� .

Exemplos 1

Função Inversa

Dada uma função bijetora �: � → �, a função �: � →� é a função inversa de �. Se ��� � �, então ��� � �, em que � ∈ � e � ∈ �.

Indicamos a função inversa de � por ���.

Função composta

Para definirmos função composta, vamos considerar as funções � e � de modo que o contra domínio de � seja o contra domínio de �.

�: � → � e �: � → �

Podemos estabelecer uma função �: � → �, denominada função composta de � e �, que faz a correspondência entre as funções � e �. indicamos essa função por:

����� � � ∘ ��� (lê-se � círculo � ou � composta com �)

Representação de � ∘ � no diagrama.

Questão 1 Dada a função �: � → �, definida por ��� � 1 � ��� � ��1 e ��2 � 1, determine o valor de ��4 . Questão 2 Determine a função inversa das funções bijetoras a seguir.

a) ��� � 5� # 1

b) ��� � �³ # 2

c ��� � � � 12� # 5

Questão 3 Seja �: � → � dada por

��� � 2� # 13

e ��� a função inversa de �. Determine o valor de ����3 . Questão 4 (FMJ-SP) Sejam as funções � e �, de � em �, definidas por ��� �2� # 1 e ��� � '� � (. A função g será a inversa de f se, e somente se:

a) )* � �

+ c) ' � 2( e) ' � ( � ��

b) ' # ( � 1 d) ' � ( � 0 Questão 5 Seja a função �: � → �, dada por

��� � �� # 1

Determine o valor de � -� .��/0.

Questão 6 Sejam as funções definidas por

��� � 2�² � 1 2 ��� � 12�.

Então o valor de ����1 é: a) 0 b) 1/2 c) 1 d) 3/2 e) 2 Questão 7 Sabendo que ��� � #� � 4 e �4��� 5 � #3� � 6, determine ��� . Questão 8

Dada a função �: 7 → 7 definida por ��� � 89��+

determine: a) ����� b) ����0 c) ����0

( ) Sobrejetora ( ) Injetora ( ) Bijetora

( ) Sobrejetora ( ) Injetora ( ) Bijetora

( ) Sobrejetora ( ) Injetora ( ) Bijetora

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Funções Elementares APOSTILA

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Questão 9 Para calcular o preço de custo de uma encomenda de certo tipo de panfleto, uma gráfica utiliza a fórmula : � ;< � <, <=> em que : é o custo e > a quantidade de panfletos encomendados. Para realizar o cálculo do preço de venda, a gráfica utiliza a formula ? � @, =:, em que ? é o preço de venda. Escreva uma fórmula que possibilite determinar o preço de venda ? diretamente a partir da quantidade > de panfletos encomendados. Questão 10 (UFPE) Sejam A e B conjuntos com C e > elementos respectivamente. Analise as seguintes afirmativas e marque a alternativa correta. ( ) Se D: A → B é uma função injetora então C E >. ( ) Se D: A → B é uma função sobrejetora então C F >. ( ) Se D: A → B é uma função bijetora então C � >.

a) V, V, F b) V, F, V c) V, V, V d) F, F, V e) F, V, F

Questão 11 (UFF) Considere as funções f, g e h, todas definidas em [m, n] com imagens em [p, q] representadas através dos gráficos a seguir:

Pode-se afirmar que:

a) f é bijetiva, g é sobrejetiva e h não é injetiva. b) f é sobrejetiva, g é injetiva e h não é sobrejetiva. c) f não é injetiva, g é bijetiva e h é injetiva. d) f é injetiva, g não é sobrejetiva e h é bijetiva. e) f é sobrejetiva, g não é injetiva e h é sobrejetiva.

Questão 12 (PUCCAMP) Seja D a função de IR em IR, dada pelo gráfico a seguir

É correto afirmar que

a) f é sobrejetora e não injetora. b) f é bijetora. c) f(x) = f(-x) para todo x real. d) f(x) > 0 para todo x real. e) o conjunto imagem de f é G # ∞; 2G.

Questão 13 (CESESP-PE) Seja �: � → � a função dada pelo gráfico a seguir.

Qual gráfico corresponde a função inversa de �? a) b)

c) d)

e)

RASCUNHO