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Formulação Diferencial
das Equações de
Transporte
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Forma Integral das Equações de Transporte
• O TTR permite escrever as Equações de Transporte a partir
do conceito de Volume de Controle:
b
(B/M)
Source
Massa 1 0
Movimento V
1a Lei e
2a Lei s
( )r
VC SC SC VC
Source S
dd n V dA J dA f d
dtb b
CVCS
dgndA
T
( ) VCSCSC
k dqdAVndAnq
T
SC VC
k PsdT
qdAn
T
q
J e f são fontes genéricos associados a SC e ao VC
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Teorema de Gauss
• O Teorema de Gauss transforma a avaliação de uma
integral de superfície em integral de volume.
• Ele aplica-se a grandezas escalares, vetoriais e
tensorias:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
VCSC
VCSC
VCSC
d Adn
dVAdVn
d Adn
TT
é o operador nabla, f é o gradiente de um escalar (vetor); xV é
o rotacional de um vetor (vetor) e .T é o divergente de um tensor
(vetor).
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Forma Generalizada Eq Transporte
• Aplicando a regra de Leibniz e reconhecendo Vr = Vf – Vb:
( )r
VC SC SC VC
Source S
dd n V dA J dA f d
dtb b
( ) ( )b f b
VC SC SC SC VC
dd n V dA n V V dA J dA f d
dt b b b
• Simplificando chega-se numa forma com a velocidade do
fluido, ou simplesmente, V:
( )VC SC SC VC
dd n V dA J dA f d
dtb b
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Aplicação do Teorema de Gauss
• Aplicando o Teorema de Gauss à Equação de Transporte
vamos transformar os termos de superfície em volume:
( )
( )( )
VC SC SC VC
VC
dd n V dA J dA f d
dt
T. Gaus
dV J f d 0
dt
b b
b b
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Forma Diferencial
• Como representação Integral acima o tamanho do VC é arbitrário, para a identidade ser válida para qualquer volume é necessário que seu argumento seja nulo!
( )( )
VC
V J f d 0 t
b b
( )( )
fonte de fonte de VolumeSuperfícieadvectivo ou
transiente convectivo
V J ft
b b
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Equação da conservação da
massa, forma diferencial
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Equação Diferencial da Massa
• A equação da Massa é obtida fazendo-se b = 1 e J
= f = 0,
• Note que para fluidos incompressíveis, isto é,
constante, ela se reduz para:
( ) 0Vt
0V
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Equação Diferencial da Massa
• Desmembrando o segundo termo da equação vamos
encontrar:
• Para um fluido incompressível, a sua densidade não
varia ao longo de uma linha de corrente, logo D/dt =
0 portanto:
( ) 0Vt
0V
0VDt
D ou 0VV
t
DtD
Veja discussão sobre escoamento estratificado no material do curso
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Função Corrente e Eq. Massa (Lagrange 1781)
• A função corrente é um conceito matemático,
• sempre satisfaz a equação da massa.
• Em regime permanente ela é coincidente com as linhas de
corrente.
• A equação da massa 2D e incompressível, para um sistema
cartesiano ou polar, reduz para:
A definição da função corrente é:
Verifique que sempre satisfaz eq. Massa!
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As Linhas de e as Linhas de Corrente
• Para coordenadas cartesianas,
• Para = constante, d = 0 e
• Note que a sua definição coincide com a definição de
linha de corrente; somente para regime permanente.
dyudxvdyy
dxx
d
u
v
dx
dyou
dy
v
dx
u
000
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Tubo de Corrente
• Duas linhas de corrente definem um tubo de corrente, pq não
há velocidade normal às linhas por definição!
• Considere dois tubos espaçados por uma distância Dx,Dy, a
vazão volumétrica que passa por eles é:
( ) ( ) DD dxvyudAnVQ
12Q
A diferença entre duas linhas de
corrente define a vazão no tubo!
Deve-se atribuir um valor a uma
única linha de corrente, os valores
das demais vem da integração.
Dx<0
Dy>0
x
y
2
1
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A Função Corrente e a Vorticidade
• Para escoamentos 2D a vorticidade se reduz a apenas uma
componente:
• Então para um escoamento 2D e irrotacional a função corrente
é determinada satisfazendo a equação de Laplace:
2z
z
xxyyx
v
y
u
02
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Por que Função Corrente?
• A função corrente sempre satisfaz a equação da massa.
• Esta propriedade da função corrente é muito utilizada em modelos
analíticos de escoamento pois possibilita a eliminação da equação
da massa. Ela também é igualmente utilizada em métodos
numéricos.
• As soluções analíticas obtidas neste curso serão baseadas nesta
propriedade da função corrente que, junto com a equação da
vorticidade, reduzirão o sistema de equações diferenciais parciais
em uma equação diferencial ordinária de ordem elevada!
Referências• Os slides neste tema trouxeram uma breve introdução do
conceito de função corrente.
• No link (CINEMÁTICA) há uma dedução detalhada sobrefunção corrente, suas propriedades e uma lista dereferências sobre o assunto.
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Forma conservativa e não-
conservativa das equações
de transporte
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Forma Conservativa e Não-Conservativa
• A equação de transporte acima está na sua forma Conservativa. Os termos transiente e convectivos podem ser desdobrados :
• Nota-se que a forma Conservativa mantinha implicitamente a equação da massa. Após a simplificação chega-se a forma Não-Conservativa
• ou expressa por meio da derivada Total:
( ) ( ) fJVt
b
b
( ) fJVt
Vt
0
b
b
b
V J ft
b b
DJ f
Dt
b
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Derivada Substantiva ou Total
• A derivada total tem um significado especial. Ela representa com a taxa de variação de uma propriedade seguindo uma partícula, isto é um conceito Lagrangeano.
• Frequentemente o Db/Dt é expresso por:
• Note que (V.) resulta num escalar, – se b for escalar o produto (V.). b é escalar;
– se b for um vetor, o produto (V.). b será um vetor!
b
b V
t
b
b
b V
tDt
D
( )D
VDt t
b b b
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Correspondência entre T.T.R e a Derivada Total
• Foi visto que o termo de transporte do T.T.R. representa a taxa de variação seguindo o sistema expressa por propriedades do V. C.:
( )r
VC SC
dd n V dA
dtb b
• A aplicação do Teorema de Gauss com o uso da regra de Leibniz e da velocidade do fluido foi visto que:
( )( )
( )r
VC SC VC
dd n V dA V d
dt t
bb b b
• Extraindo a equação da massa fica:
( )r
VC SC VC
D Dt
dd n V dA V d
dt t
b
b b b b
• A taxa de variação de b num volume infinitezimal do sistema equivale à derivada total
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Equação da quantidade de
movimento, forma
diferencial
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Equação Diferencial da Q. Movimento
• A equação da Q. Movimento é obtida fazendo-se b=V, J = T e f = g,
• A Equação da Q. Movimento é vetorial, possui 3 componentes,
• Todos os termos possuem unidades de Força/Volume (N/m3)
• O termo VV é um produto diádico, possui natureza tensorial e representa o fluxo de Q. movimento que cruza a S.C.
( ) ( ) gVVt
V
T
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Equação Diferencial da Q. Movimento
Forma Não-Conservativa
• Desmembrando os termos de transporte e eliminando a equação da massa encontra-se:
• A derivada total da velocidade DV/Dt dá a aceleração seguindo uma partícula!
• Note que a derivada total resgata o conceito da análise de Sistemas pois ele segue uma partícula infinitesimal com identidade fixa!
( ) ( ) gVVt
V
T
( )g
Dt
VD ou gVV
t
V
TT
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PARTIÇÃO DO TENSOR DE TENSÕES
• O Tensor de tensões é decomposto em duas parcelas:
uma correspondendo a tensão hidrostática e outra à
tensão viscosa.
• 1a parcela - tensor é isotrópico e refere-se a pressão
estática do fluido.
• 2ª parcela - deve-se ao movimento relativo das partículas
de fluido e a viscosidade; este tensor é simétrico (veja
demo no cap de Formulação Diferencial da Apostila)
• Equação Q. Movimento com partição das tensões
P T I T ij ij ijou P T T
( )V DVV V P g ou P g
t Dt
' 'T T
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Equação da energia cinética,
forma diferencial
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Equação de Transporte da Energia Cinética, K
• Multiplicando-se ambos os lados da Eq. NS por V
vamos encontrar:
DVV V P V V g
Dt T
( ) KDt
DVV
2
1
Dt
DV
Dt
DV
D
K V P V V gDt
T
• A energia cinética por unidade de massa K é:
• E sua equação de transporte é:
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Equação da Diferencial da Energia ‘e’
• A equação da Energia é obtida fazendo-se b = e, J = -qk + T.V e f = q’’’;
• O lado esquerdo representa o transporte da energia.
• O lado direito representa os termos de calor e trabalho (1a lei)
e também um fonte de energia volumétrico.
• Na forma não conservativa:
( )( ) ( )k
eVe q V q
t
T
( )k
Deq V q
Dt T
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Equação de Transporte de ‘e’
• Neste estágio é conveniente substituir T = -P+T’ e
expandir os termos na eq. da energia. Vamos utilizar a
forma não-conservativa:
( ) ( )
( ) ( )
qqVVVPPVDt
De
qqVVPDt
De
k
VVP
k
T
:TT
T
T’:V é o produto ‘escalar’ entre o tensor desvio da tensão e o tensor deformação do fluido, seu resultado é um escalar. Veja definições no capitulo 1 do curso
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Modos de Energia ‘e’
• Vamos considerar três modos de energia: interna, cinética e
potencial:
• onde û é a energia interna, g a aceleração da gravidade e r
o vetor posição
rgVV2
1ue
ˆ
( )
( ) VgrDt
Dg rg
VDt
DVVV
2
1
Dt
DVV
2
1
Dt
uD u
ˆ
ˆ
VgDt
VDV
Dt
uD
Dt
De
ˆ
• A derivada total em
termos das parcelas de ‘e’
fica sendo:
Nota: g.r possui sinal ‘-’ pq a en. Potencial cresce com z, e como g está no
sentido contrário. Quando z aumenta, E.P. aumenta portanto DEP = - g. Dr>0
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Equação de Transporte da Energia Interna, û
• Subtraindo a Equação da Energia Cinética da
Equação de ‘e’ vamos ter:
( ) ( )PV T V
k
ˆDu DVV V g V P P V V T T : V q q
Dt DtDV
V V g V P V TDt
ˆDu P V
Dt
k T : V q q
q VPVq Dt
uDk
:T
ˆ
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Equação Diferencial da 2a Lei
• A 2a Lei é obtida fazendo-se b = s, J = -qk/T e f = q’’’/T,
• Os primeiro e segundo termos (lado direito) referem-se à
produção ou à destruição de s devido a transferência de calor
na fronteira e devido a geração de energia internamente ao
volume.
• O último termo refere-se a produção de entropia devido as
irreversibilidades do sistema.
• Na forma não-conservativa:
( )( ) k
s q qVs Ps
t T T
kqDs q Ps
Dt T T
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1a e 2a Leis Forma Não-Conservativa
• De maneira similar a equação da massa e Q. de
movimento, os termos transiente e convectivos
podem ser desmembrados , a equação da massa
eliminada e gerando a forma não conservativa da 1a
e 2a leis:
( )
PsT
q
T
q
Dt
Ds
qVqDt
De
k
k
T
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Notas Finais da Parte I
• As equações de transporte, especificamente a Quantidade
de Movimento, Energia e 2a Lei (Os) estão expressas em função do campo de tensões T’.
• Não é possível resolvê-las nesta forma porque não se conhece como o campo de tensão T’ se comporta em
função campo de velocidades.
• É necessário estabelecer as equações constitutivas para o
fluido onde será modelado como a tensão varia com o
campo de velocidades, nosso próximo tópico.
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Parte II
Equações Constitutivas
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Introdução
• Por equação constitutiva entende-se ‘modelos’ que expressam uma
variável em função de outra.
• Por exemplo, a tensão em função da taxa de deformação do fluido.
• Estes ‘modelos’ não são leis físicas mas podem representar sob
condições estabelecidas o comportamento físico do fluido.
• Nesta seção serão desenvolvidas equações constitutivas para a
– Tensão T em função da taxa de deformação do fluido ,
– Taxa de Calor por condução térmica no fluido, qk, em função da
tempetura.
• Das duas equações a mais envolvente é a equação constitutiva para
tensão, vamos começar por ela.
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Sobre a Natureza da Tensão T
• As tensões que agem no fluido podem ser Normais ou
Cisalhantes;
• Além disto, no estado estático (sem movimento relativo) só
agem tensões normais enquanto que para fluido em
movimento surgem tensões normais e cisalhantes devido
ao atrito (deslizamento) entre as camadas de fluido.
• A tensão T é divida em duas partes, uma devido a pressão
P (forças normais) e outra denominada por desvio da tensão, T’ associada ao movimento relativo das partículas
no fluido:
TPT
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A Pressão
• A pressão é um tensor isotrópico, isto é, ela não depende
da orientação, seus elementos da diagonal são iguais e
fora da diagonal são nulos, por isto o tensor pode ser
representado por um único escalar:
P00
0P0
00P
PPDy
PDx
PDA
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Propriedades do Tensor Desvio das Tensões, T’
• O tensor desvio das tensões existe somente se houver
movimento relativo entre as partículas de fluido.
• T’ij é devido a viscosidade e possui tensões normais e
cisalhantes,
• Ele é simétrico, isto é, os elementos fora da diagonal são idênticos, T’ij = T’ji (veja demo no cap de Formulação Diferencial
da Apostila e também ‘Forma Dif. Eq. Transporte)
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Similaridades Sólido - Fluido
• Uma tensão aplicada a um corpo sólido causa uma
deformação, lei de R. Hooke (1635-1703)
• Fluido se deforma continuamente quando sujeito a uma tensão.
Por similaridade, foi proposto que a tensão é proporcional a
taxa de deformação
dy
dG
Coeficiente
Lamé (N/m2)Deformação
( )dy
du
dy
dtd
viscosidade
(N.s/m2)Taxa
Deformação
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i. t = 0, M e N alinhados e dl = 0,
ii.t = dt, M’ deslocou dl em relação M
iii.Deformação: = arcTan(l/y)
iv.Taxa Deformação: d/dt
y
Filme: deformação
Taxa de deformação numa direção
A taxa de deformação é um fenômeno local, ponto N e sua vizinhança
(dy)
u0+du
u0
onde du é a vel. relativa entre M e N e (dl/dy)2<<1 para Dt0.
A taxa de deformação é d/dt = du/dy .
( )
derivada arc tan
2t 0
d 1 d dt du 1lim
dt dy dy s1 yD
A taxa de deformação é: ,
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Viscosidade Dinâmica (Absoluta)
• Fluidos Newtonianos (água, todos os gases e maioria dos
líquidos) são aqueles que apresentam uma relação linear entre
a tensão e a taxa de deformação.
xy(N/m2)
du/dy (1/s)
sm
gkou
m
sN
dy/du 2
• A viscosidade é uma propriedade do fluido e tem natureza
escalar.
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Extensão para Escoamentos 3D
A relação tensão x deformação 1D pode
ser estendida para escoamentos 3D a
partir do conhecimento da taxa de
deformação nas três direções.
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Tensor Deformação, Dij
Em notação indicial, o tensor deformação, Dij, é definido por
Em notação vetorial,
z
w
y
w
x
wz
v
y
v
x
vz
u
y
u
x
u
DDD
DDD
DDD
x
u
333231
232221
131211
j
iji,D
TT Vou Vgrad
DD
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Operação com Tensores
Qualquer tensor pode ser decomposto em uma parte simétrica e
outra anti-simétrica:
( ) ( )
Simétrico- AntiTensorSimétrico Tensor
2
1
2
1ij,ji,ij,ji,ji, DDDDD
O tensor desvio de tensões T’ é um tensor simétrico veja
demonstração em ‘Forma Dif. Eq. Transporte.
Para que T’ seja linearmente proporcional a deformação ele
deve ser proporcional a parte simétrica de Dij!
Isto é, somente deformação linear e angular causam tensão,
rotação não causa tensão!
( )TVV2
1S
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( )dy
du
dy
dtd
viscosidade
(N.s/m2)Taxa
Deformação
Equação Constitutiva
para Fluido Newtoniano e Incompressível
• Para fluidos incompressíveis ( constante)
• Note que para um caso de tensão simples, o segundo
termo reduz para:
i, j i, j i, jP 2 T S
xx yx
xy yy
2 =
u u v2
x y x
v u v2
x y y
S
Nota: i,j é o delta de Kronecker
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Forma Geral do Tensor de Tensões
Para um fluido compressível, pode-se mostrar que a relação entre
tensão e deformação é expressa por:
i, j i, j i, j i, jP V 2 S T
onde e representam o 1º e o 2º coeficientes de viscosidade
do fluido. Stokes, propôs que = -(2/3) , então:
( )2i, j i, j i, j i, j3
P V 2 S T
Note que para um fluido incompressível, .V = 0 o tensor coincide com a relação dada no slide anterior.
O termo associado ao 2º coeficiente da viscosidade está relacionado com a compressibilidade.
(i) Este termo passa ser significativo p/ Mach > 0.3;
(ii) A hipótese de Stokes baseia-se na 2ª lei da termodinâmica.
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Porque Tensão e Deformação são Linearmente
Dependentes?
• A relação = du/dy é um modelo linear! Portanto não há
razão alguma que na natureza os fluidos devam seguir
este modelo.
• A busca por uma relação linear baseia-se no princípio de
Occam .
• Todos os gases seguem o modelo linear entre tensão e
deformação;
• Água, óleos em geral e uma grande maioria de líquidos
podem ser bem representados por este modelo;
• Mas há líquidos que não são representados: tintas,
fluidos biológicos, emulsões em geral.
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Fluidos Newtonianos Generalizados
• Eles descrevem fluidos com comportamento não-linear
tensão x deformação mas não reproduzem efeitos de:
– tensão normal,
– efeitos dependentes do tempo,
– ou efeitos elásticos
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Fluidos Newtonianos Generalizados
• Uma relação ‘mais’ geral
entre tensão e deformação:
• n – índice de comportamento do escoamento.
• k – índice de consistência.
n = 1, fluido newtoniano, k =
n > 1, fluido dilatante (shear thickening)
n < 1 fluido pseudo plástico (shear thinning)
n > 1
n < 1
Como explicar o filme do link acima?
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• Shear thickening fluids of this sort are being researched for bullet resistant
body armor[2], useful for their ability to absorb the energy of a high velocity
projectile impact but remain soft and flexible while worn. Some shear
thickening fluids are also used in all wheel drive systems utilizing a viscous
coupling unit for power transmission.
• A familiar example of the opposite, a shear thinning fluid, or pseudoplastic
fluid, is paint: one wants the paint to flow readily off the brush when it is
being applied to the surface being painted, but not to drip excessively.
• There are fluids which have a linear shear stress, shear strain relationship,
that requires a finite yield stress before they begin to flow. That is the shear
stress, shear strain curve doesn't pass through the origin. These fluids are
called Bingham plastics. Several examples are clay suspensions, drilling
mud, toothpaste, mayonnaise, chocolate, and mustard. The classic case is
ketchup which will not come out of the bottle until you stress it by shaking.
• There are also fluids whose strain rate is a function of time. Fluids that
require a gradually increasing shear stress to maintain a constant strain rate
are referred to as rheopectic. An opposite case of this, is a fluid that thins out
with time and requires a decreasing stress to maintain a constant strain rate
(thixotropic).
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Effects of Rheology on Non-Newtonian Impact
• At impact, the drop experiences a
large shear rate which rapidly
decreases as the drop deforms. For
non-Newtonian fluids, the effective
viscosity of the fluid depends on the
shear rate. Therefore one would
expect that the effective viscosity of
a shear thickening fluid such as
cornstarch in water (images in the
middle) would behave like a highly
viscous fluid at shortly after impact
and would gradually spread as a
less viscous fluid as time
progressed.
Sure enough, the cornstarch / water mixture behaves more similar to the highly
viscous glycerol (images on the right) than the lower viscosity water (images on
the left) at short times.
However at later times, one sees that the cornstarch / water fluid spreads out
significantly faster than its glycerol counterpart - suggesting a lower effective
viscosity. Such experiments provide another method to investigate the rheology of
complex fluids.
watershear
thickningglicerol viscous
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Viscosidade Aparente, h
• É uma conveniência matemática ajustar a relação tensão x taxa deformação na forma de modelos lineares.
• Desmembrando a tensão em um termo linear e outro com potência (n-1):
• A viscosidade aparente é h = k(du/dy)^(n-1).
• Note que h não é mais propriedade do fluido mas também depende do campo de velocidades. h pode variar ponto a ponto no campo do escoamento.
• Esta característica de depender do campo de velocidades é também encontrada em modelos de viscosidade turbulenta!
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Equação Constitutiva para Fluido Newtoniano Generalizado
• Gases tem comportamento Newtoniano, porém líquidos podem apresentar um comportamento não linear. Os chamados fluidos Newtonianos Generalizados tem uma lei constitutiva dada por:
( )SIT S2P h
onde S é um escalar com dimensão de (1/s) e é definido pelo
produto escalar do tensor S
S:S21S
e h é uma função tipo lei de potência de S,
( )1nkS
h
S:S é o produto escalar entre dois tensores, veja definição em na aula 1
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REOLOGIA
Fluidos comportamento Não-linear
tensão x deformação
Sólidos comportamento Não-linear
tensão x deformação
Materiais comportamento
Visco-elástico
Fluido Newtoniano Comportamento
Puramente Viscoso Linear
Mecânica dos Fluidos
Sólido Hookeano Comportamento
Puramente Elástico Linear
Mecânica dos Sólidos
du/dy
tan =
tan = G
Campo da Reologia
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Difusão de Calor, Lei de Fourier
• A condução ou difusão de calor tem natureza
vetorial e é dada pela Lei de Fourier:
• onde k é o coeficiente de condução ou difusão
térmica, W/moC.
2km
W Tkq
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Difusão de Massa, Lei de Fick
• O fluxo de massa por difusão de uma espécie em outra é
proporcional ao gradiente de concentração mássica da espécie
:
• m’’ é o vetor fluxo de massa (kg/s)/m2;
• é a densidade da mistura;
• Dj é o coef. difusão de massa, (m2/s);
• wj é a fração mássica ou concentração do componente j,
• A fração mássica é definida wj = mj/M, mj e M representam a
massa do componente j e a massa da mistura.
2jjjs.m
kg wDm
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Notas Finais
• As equações constitutivas para tensão, calor e massa
permitem que as equações de transporte de Q. Movimento e
Energia sejam escritas em termos das variáveis básicas:
Velocidades, Pressão e Temperatura.
• Na Parte III desta aula vamos retornar às Equações de
Transporte para fazermos esta substituição e chegarmos a
sua forma final!
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Retorno às Equações Diferencias de
Transporte
Parte III
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Equação de Navier Stokes
Substituindo a Eq. constitutiva da Tensão para fluido Newtoniano vamos chegar às Equações de Navier-Stokes (NS):
( )( )
VVV P g
t
T'
( )( ) i, j
V 2VV P V 2 g
t 3
i,jδ S
onde
A Eq. acima é válida para escoamentos compressíveis, com viscosidade variável (regime laminar ou turbulento?)
Filmes: (1), (2) e (3).
( )T1 V V2
S
A Eq. Transporte de Q. Movimento é:
( )2i, j i, j i, j i, j3
P V 2 S TLembre que:
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Equação de Navier Stokes Compressível
chega-se as Equações de Navier-Stokes (NS) para um fluido compressível com constante:
( )( ) ( ) 2
V 1VV P V V g
t 3
Para constante e considerando a identidade:
T 22 S V V V V
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Eq. Navier-Stokes constante e incompressível
Para e constantes tem-se que, .V =0, e ela simplifica para:
Esta é a forma mais popular das Equações de Navier Stokes:
fluido incompressível e com viscosidade constante.
( )( ) 2
2
VVV P V g
t
ou
DV P V g
Dt
( )( ) ( ) 2
V 1VV P V V g
t 3
Para eq. N-S p/ constante e compressível é:
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A Função Dissipação,
• O trabalho realizado pelas tensões para ‘deformar’ o fluido converte
‘energia mecânica’ do escoamento em ‘energia térmica’ .
• O nome dissipação sugere conversão de en. mecânica
transformada em en. Térmica. A função dissipação é um termo que
introduz irreversibilidades no escoamento. Para um fluido Newtoniano
ela é definida:
ou em notação indicial:
é a função dissipação, sempre positiva para atender 2a lei.
( ) ( )2
0
= função dissipação
2 2: V V 2 : : V 2 : 0
3 3
T I : S S S S R S S
22
ji i
i j i
VV V2 10
3 x 2 x x
( )
2222222
y
W
z
V
z
U
x
W
x
V
y
U
z
W
y
V
x
U2V
3
2
Veja em ‘Forma Dif. Eq. Transporte’. em coordenas cilindrico polares, e abaixo em coordenadas cartesianas.
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Equação de Transporte da Energia Interna, û
• Substituindo as equações constitutivas para o tensor desvio
da tensão e da condução vamos ter:
• Dû/Dt é o transporte de energia interna;
• kT é fluxo calor líquido por condução na S.C.;
• -P.V é trabalho de compressão, fluidos compr.;
• é a função dissipação, converte trabalho de deformação
em energia interna ;
• q’’’ representa geração volumétrica de energia dentro do
volume (reação química, radiação outras fontes).
qVPTkDt
uD
ˆ
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Equação de Transporte da Entalpia, h
• O termo do trabalho de pressão pode ser escrito em função
da equação da massa:
• Substituindo a definição: h = û+P/ na equação de û, chega-
se a forma não-conservativa da Equação de Transporte da
Entalpia:
• ou a sua forma conservativa:
1 D D P DPP V P
Dt Dt Dt
qDt
DPTk
Dt
Dh
( ) ( ) qDt
DPTkhV
t
h
veja mais detalhes na apostila ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.
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Equação Transporte da Entalpia Total, h0
• A entalpia específica e a entalpia total de um fluido
compressível são definidas por:
• Somando à equação da entalpia a energia cinética:
( ) ( )VV21hh e Puh 0
ˆ
( )
gVqTk 2V3
2V
t
P
Dt
Dh
gV 2V3
2VPVVV
2
1
Dt
D
qTk Dt
DP
Dt
Dh
Viscosos Termos
0
S
S
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Equação Transporte da Entalpia Total, h0
• Em geral a entalpia total é empregada para escoamentos
compressíveis onde o termo de trabalho das forças de
campo é desprezível, neste caso:
• Para tornar sua representação mais compacta é freqüente
agrupar os termos viscosos num único operador:
qTk 2V3
2V
t
P
Dt
Dh
Viscosos Termos
0
S
( ) qTk VVt
P
Dt
Dh
Viscosos Termos
0
T
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Equação de Transporte da Temperatura
A partir da Equação de transporte da Entalpia e da relação
termodinâmica para uma substância pura:
onde b é o coef expansão volumétrica,
Pode-se mostrar que a forma não-conservativa da
Equação de Transporte para Temperatura é:
e a sua forma conservativa:
P
DT DPC k T T q
Dt Dt b
( )p
P T
1 Th hdh dT dP C dT dP
T P
b
( )P
1 Tb
( )( ) ( )P P
T DPC C VT k T T q
t Dt
b
veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.
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Equação de Transporte da Entropia
• A equação de transporte de ‘s’ é:
• O termo de produção, Ps, é determinado a partir da relação
termodinâmica para uma substância pura:
• Substituindo na relação acima a equ. de Ds/Dt e a de Dh/dt
(seção anterior) vamos encontrar:
• As irreversibilidades estão associadas a uma troca térmica com
diferença de temperatura ou ao trabalho viscoso realizado pelo
fluido
veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.
Ds k T q Ps
Dt T T
dP Dh Ds 1 DPdh Tds T
Dt Dt Dt
( )2
s 2
k TP 0
T T
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Notas Finais
• Estas são as formas finais de algumas das equações de
transporte.
• Há diversas outras que não foram abordadas neste aula, entre
elas: transporte de um escalar, e transporte de vorticidade.
• As duas últimas estão na brochura anexa para referência.
• O próximo desafio será simplificar algumas equações e
procurar expressá-las numa única Equação Geral de
Transporte.
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Forma Geral das Equações de Transporte
• O método dos volumes finitos parte da forma conservativa das Eq. Transporte. Considere uma variável escalar genérica:
( ) ( ) SVt
onde é o coef. difusivo definido por:
T
T
L
L
PrPr
• O fonte S tem natureza diversa:
i) representam as condições de contorno do fenômeno;
ii) modelam a ação de forças ou energia de novos
mecanismos físicos ou ;
iii) representam todos os outros termos da eq. particular que
se quer representar e que não são representados pelo lado
esquerdo da equação!
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Notação Indicial Eq. Geral de Transporte
( ) ( ) SVt
( )S
xV
xt jj
j
onde j pode variar de 1 a 3 representando cada uma das direções ortogonais.
é uma variável genérica (escalar ou vetorial)
A Eq. de Transporte em Notação vetorial
também pode ser representada em notação indicial pelos operadores
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Eq. Geral Escalar e Termos Fontes
( ) onde S
xV
xt jj
j
e k ,w ,h T, h,
PrPr
m0
T
T
qx
PV
t
P
ii
b
PiiPPii
P C
1
xx
Tk
C
q
Cx
PV
t
P
C
T
qx
K
Cp
k
x2
x
V
3
2
xV
t
P
jiij
j
j
ii
S
m
kCP
kC
2
1k1
kP
k
CPr
ph
ScD
Prw
1Prk
1Pr
h
T
h0
wm
k
k
CPr
pT
k
CPr
ph0
Pr S
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Tabela Equações de Transporte
• Obtenha no link abaixo uma tabela extraída do Bird,
Stewart and Lightfoot que descreve as componentes das
equações de transporte nos sistemas de coordenadas
cartesiano, cilindrico-polar e esférico.
• TABELAS EQUAÇÕES DE TRANSPORTE
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Referências
[1] White, F.M.; "Viscous Fluid Flow", McGraw Hill (1974)
[2] Moore, F.K.; "Theory of Laminar Flows", Princeton Un. Press (1964)
[3] Rosenhead, L.; "Laminar Boundary Layers", Oxford (1963)
[4] Warsi, Z.U.A., "Fluid Dynamics: Theoretical and Computational Approaches", CRC (1993)
[5] Panton, R. “Incompressible Flow”, John Wiley (1984)
[6] Tennekes, H. and Lumley, J.L., “A First Course in Turbulence”, MIT Press, 1972,
[7] Reynolds W.C. and Perkins, H.C., “Engineering Thermodynamics”, Mc Graw Hill, (1977)
[8] Hinze, J.O., “Turbulence”, McGraw Hill, (1959)
[9] Townsend, A.A., “The Strucuture of Turbulent Shear Flow”, Cambridge Un. Press, 2nd ed., (1976).
[10] Wilcox, D.C., “Turbulence Modeling for CFD”, 2nd ed., DCW Industries, (1998).
[11] Astarita, G. and Marrucci, G., “Principles of Non-Newtonian Fluid Mechanics” , McGraw Hill(1974)
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FIM
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Apêndice
• Este apêndice traz notas de aula para a dedução da
equação da massa e de N-S.
• Se trata de uma sequencia de 4 aulas que apresentam a
forma diferencial da eq. da massa; a derivada
substantiva; o tensor deformação, rotação e a equação
constitutiva e por fim a eq. NS.
• O material traz passo a passo todas as etapas e talvez
pode ajudar os alunos que estão vendo este assunto pela
primeira vez.
• Acesse o link: Graduação Navier-Stokes.