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Formulação
Vorticidade e
Função Corrente
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Fluido incompressível;
O transporte de vorticidade é modelado tomando-se o rotacional da
eq. N-S.
A pressão está desacoplada do campo de vorticidade. Uma vez
conhecida pode-se determinar a pressão.
Por definição a função corrente, , satisfaz a equação da massa.
Formulação Vorticidade-Função Corrente
Vantagens escoamentos 2D e axi-simetricos
O vetor vorticidade reduz para um único componente não nulo,
portanto uma equação escalar!
O campo de velocidade vindo da função corrente elimina a eq. da
massa pois satisfaz automaticamente a massa.
O uso de - reduz um sistema de 3 Eq. (massa, 2 Q. mov) para uma
EDO em
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Plano da Aula
1. Apresentar a equação da Vorticidade
2. Definir circulação e o teorema de Kelvin
3. Apresentar a equação da Pressão
4. Apresentar a definição de Função Corrente
5. Apresentar a formulação vorticidade-função corrente
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Transporte de Vorticidade e a Equação da Pressão
Veja dedução da Eq. Transporte de
Voriticidade em: Formulação Diferencial
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Vorticidade local, média e circulação A vorticidade é definida por e é igual a duas vezes a rotação
do elemento de fluido.
Por exemplo, vamos escolher uma curva C que coincide com a parede e com a C.L. externa. Uma medida da vorticidade média numa área limitada por uma curva C é definida pelo Teorema de Stokes:
V
Chega-se que = U.L = A = U/H . Ou seja, a média de em C, independe de L mas apenas da altura H. Sabendo-se a forma da C.L. = 0 então quando maior H menor .
C
onde: A = L.H é a área limitada por C é a vorticidade média é circulação (anti-horária) em C
C A
V ds V ndA A
H
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Equação da Vorticidade Vamos ver que a eq. vorticidade não possui a variável Pressão! Todo o desenvolvimento a seguir aplica-se para escoamento incompressível com e constantes. A eq. N-S passa a ser:
2V PVV V gz
t
Abrindo o termo -x(Vx) = V.(.) - .(.V) - V.() + .(V) e reconhecendo que . = x.V0 para fluido incompressível, então:
2 2D
V V ou Vt Dt
(1) x 0 (veja LE#1),
(2) . xV = . 0 (veja LE#1),
(3) VV = (V2/2) – Vx
Aplicando o operador (x) e as identidades na eq. N-S :
2
0
0 0
V V V PV V gz
t 2
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Equação da Vorticidade (cont.)
O termo .V não possui correspondente na Eq. N-S. Ele é um termo de geração ou destruição de ; depende se .V > 0 ou < 0.
O tensor V é decomposto em ST e RT. Como ST = S então .V = .S, assim:
Na forma conservativa, a eq. da vorticidade fica sendo:
A equação de transporte de vorticidade
Não possui termo de pressão
Não possui termo gravitacional
Possui um termo fonte de produção ou destruição de vorticidade
(acesse Formulação Diferencial )
j2 i
i, j
j i
uu1V onde S
t 2 x x
S
2V
t
S
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A Equação da Pressão
Num processo similar ao realizado para a eq. da vorticidade, ao aplicar o operador (.) na eq. N-S (acesse Formulação Diferencial ) chega-se a:
21P :
S S
A eq acima define o acoplamento entre o campo de pressão e de velocidades via tensor deformação e vorticidade.
Observe que a pressão é definida por uma equação de Poisson e não depende da viscosidade!
Uma vez conhecido o campo de vorticidades pode-se determinar o campo de pressão!
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Produção de Vorticidade na Parede • Parede, plano x,z;
• Fluido incompressível;
• u(x,0,z) = 0 – não deslizamento;
• v(x,0,z) = 0 – sem sucção/injeção;
• w(x,0,z) = 0 – não deslizamento;
• v/ y|y=0 = 0 – continuidade;
Componentes de na parede Relação na parede
x y 0 y 0 y 0
y y 0 y 0
z y 0 y 0 y 0
w y v z w y
u z w x 0
v x u y u y
yz xy 0y 0
yx zy 0y 0
w y
u y
2
Vt
S
A vorticidade criada na parede é difundida e transportada pelo escoamento conforme sugere os termos da equação de transporte de ; a parede passa a ser uma fonte de vorticidade!
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.S e Alongamento do vetor vorticidade I (vortex stretching)
x xx y yx z zx x xy y yy z zy x xz y yz z zzS S S i S S S j S S S k S
O termo de produção existe somente para escoamentos 3D. Se a
vorticidade está restrita a um plano, p. ex. (xy), então .S = 0,
xx yx
z zx xz zy yz zz
xy yy
S S0,0, , 0 mas S S S S S 0
S S
S
Produção ou extinção de vorticidade ocorre devido ao termo:
que redistribui a vorticidade nas três direções! Este mecanismo é
explorado no estudo de turbulência.
Em termos das
componentes do vetor:
x y z
x y z
x y z
u 1 v u 1 w ui
x 2 x y 2 x z
1 u v v 1 w vj
2 y x y 2 y z
1 u w 1 v w wk
2 z x 2 z y z
S
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.S e Alongamento do vetor vorticidade II (vortex stretching)
x xx y yx z zx x y zi
u 1 v u 1 w uS S S
x 2 x y 2 x z
S
O slide anterior mostra, por exemplo, que a componente ‘i’ da produção de vorticidade é definida por:
[.S]i é composto por 3 parcelas. Uma é normal do plano onde atua S é coincidente com (xSxx) e as 2 outras S atuam num plano ortogonal a . Isto mostra que a produção/extinção de i recebe contribuições do campo 3D de e S , veja representação abaixo.
x
y
z
x xxS
x
xxS
x
y
z
y yxS
yxS
y x
y
z
z
zxS
z zxS
[.S]i possui o papel de gerar, ou destruir, dependento se + ou – e também redistribuir nos outros planos. Este mecanismo só existe em escoamentos tri-dimensionais. Escoamentos 2D, [.S]0.
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Efeitos do Termo de
Produção/Destruição, .S,
em Escoamentos.
Só ocorre em escoamentos 3D
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Escoamento com variação de área
Escoamento num tubo com contração de área. As componentes de velocidade do fluido são (vr, v, vz)
O fluido com rotação axial (swirl) apresenta uma componente de vorticidade na direção z.
O efeito da contração de área faz com que z aumente devido ao termo de produção zvz/z > 0.
Note que se houvesse uma expansão de área, vz/z <0 e haveria uma destruição de vorticidade pois zvz/z < 0!
A
B
A < B
r
z
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Fluido em rotação Tanque cilíndrico possui fluido em rotação.
Uma saída é aberta no fundo do tanque;
Após alguns instantes é estabelecido um tubo de vórtice na vertical
devido a produção de vorticidade.
c
Veja filme
Tornado numa
garrafa PET
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Vórtice Ferradura (Horseshoe Vortex)
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Video Intake Turbine Vortex
Intake Turbine Vortex
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Escoamento numa Bifurcação
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Variação da Vorticidade Média
Um dos empregos desta equação é identificar os mecanismos que produzem vorticidade no escoamento quando substituir DV/Dt pela eq. N-S na expressão acima:
C C
D D DVV ds ds
Dt Dt Dt
C C C C C C
D D DV Ds DV DVV ds ds V d ds V dV ds
Dt Dt Dt Dt Dt Dt
0
2
C C
D DV Pds V U ds; onde U gz
Dt Dt
C
n
s ds
A circulação dá uma medida da vorticidade média enquanto que a D /dt dá a taxa de variação da vorticidade média seguindo o circuito C;
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Variação da Vorticidade Média
Avaliando cada termo eq. acima e aplicando teorema Stokes chega-se:
2
C C
D DV Pds V U ds; onde U gz
Dt Dt
C A A A
2 2 2 2
C A A A
C A
P P 1 1 1ds dA P P dA P dA
V ds V dA V dA dA
U ds U dA 0
Substituindo em D/Dt chega-se a:
2
A A
D 1 P dA dA
Dt
ou
2
2
A A
D 1 P dA dA
Dt
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Quando D/Dt = 0, = constante
2
2
A A
D 1 P dA dA
Dt
Não haverá variação em desde que ρ e P sejam paralelos, ou barotrópico ρ = f(P).
Se o escoamento for irrotacional ou se vorticidade produzida na parede, ou em uma camada cisalhante (shear flow) é não é transportada por difusão; neste caso =0!
2
A
1P dA 0
2
A
dA 0
D/Dt = 0 é também conhecido por teorema de Kelvin. Válido para escoamentos irrotacionais, sem viscosidade e para fluidos barotrópicos,
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Quando D/Dt 0, não é constante
2
2
A A
D 1 P dA dA
Dt
2
A
1P dA 0
2
A
dA 0
Não haverá variação em desde que ρ e P sejam paralelos, ou seja, barotrópicos ρ=f(P). Entretanto para aquecimento / resfriamento frequentemente ρ e P não são paralelos, veja figura.
Se houver haverá difusão de vorticidade gerada na parede pela tensão cisalhamento ou também em camadas cisalhantes. No entanto a vorticidade pode ficar confinada na camada limite se Re for elevado..
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Escoamento com variação de área
Foi visto que o escoamento com contração de área leva a um aumento da vorticidade após a contração devido a produção de vorticidade pelo alongamento das linas de vorticidade
Na ausência de viscosidade e de transferência de calor,então o teorema de Kelvin expõe que:
Portanto,
A
B
A < B
r
z
D0 constante
Dt
DA
DB
A (DA2/4) = B (DB
2/4)
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Linha de Corrente e
Função Corrente para Regime
Permanente, /t = 0
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dx
u
dy
v
dz
w
x
yV
dy
dx
ds
Recapitulação: as linhas de corrente são, por definição, tangentes
ao vetor velocidade a todo instante, e são expressas por:
Linha de Corrente: Conceito Cinemático
linha de corrente
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Função Corrente para Escoamento Incompressível e Bi-Dimensional
A função corrente, , é um conceito matemático introduzido por
Lagrange (1731).
A hipótese de escoamento bi-dimensional reduz eq. massa para:
Definição de função corrente:
Cartesiano Polar
Mostre que a função corrente SEMPRE satisfaz a Eq. da Massa!
Uma definição mais geral de função corrente é apresentada no apêndice I. Ela
se aplica para sistemas de coordenadas cilíndricas, esféricas
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Função Corrente: Propriedades
Uma linha definida por = cte coincide com a linha de corrente
A função depende de (x,y) ou (r,). A variação de é dada por:
d dx dy vdx udyx y
Para constante, então d = 0 e dy/dx = v/u, isto é, as linhas com
constante coincidem com a definição de linha de corrente.
Da definição acima chega-se
que a variação valor de
entre A e B é dado por:
B
A
vdx udy
dx
u
dy
v
dz
w
x
yV
dy
dx
dsLinha corrente,
= cte. (A)
(B)
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Função Corrente: Propriedades
diferença 2 - 0 resulta na vazão Q entre as linhas de corrente
Duas linhas de corrente, 2 e 0,
definem um tubo de corrente, pois não
há velocidade normal para linhas com
constante!
1 y 1 0
2 x 2 1
Q v dA dxx
Q u dA dyy
A vazão Q que passa através de 2 e 0 pode ser calculada fazendo
um caminho e 0 1 2 de forma que criam superfícies
ortogonais a x e y, assim:
A vazão Q que passa através de 2 e 0 : 1 2 2 0Q Q
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Relação função corrente e vorticidade
O conceito desenvolvido aplica para escoamentos 2D e
escoamentos com axi-simetria como se encontra em escoamentos
axi-simetricos ecom simetria esférica.
Será usado um campo 2D para demonstrar a relação entre e
u e vy x
2
z
v u
x y
O campo de velocidades expresso pela função corrente:
A vorticidade:
A vorticidade é expressa pelo Laplaciano de para os casos
mencionados acima.
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Formulação Vorticidade - Função Corrente
Várias soluções analíticas (ou exatas) de N-S foram obtidas usando a formulação vorticidade-função corrente em escoamentos bi-dimensionais ou axi-simétricos
O uso da vorticidade elimina a variável Pressão, por sua vez a vorticidade também pode ser expressa por meio da função corrente, .
Esta substituição não só elimina a equação da massa mas também reduz a equação da vorticidade a uma única EDP não linear!
Isto possibilita em alguns casos uma solução analítica. Se não for possível ela permite simples integração utilizando Runge Kutta.
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Por que Função Corrente?
A função corrente sempre satisfaz a equação da massa.
Ela é útil em cálculos analíticos e numéricos aplicados em escoamentos por reduzir o número de variáveis independentes do escoamento.
Se eu tiver um campo de velocidades expresso por uma função corrente eu não preciso resolver a equação da conservação da massa!
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Formulação Vorticidade - Função Corrente (exemplo cartesiano, 2D)
1. O campo de velocidades (x,y), (u,v)
2. O campo de vorticidades (escalar):
3. Equação vorticidade 2D:
4. A componente z:
5. Subst. (2) em (4)
u e vy x
2
z
v u
x y
2V
2z z
zu v
x y
4
2 2 4 4 4
4 2 2 2 2
2 2 4 2 2 4
onde é operador biharmônico;
2x y x x y y
2 2 4
y x x x
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A solução caso 2D requer solução simultânea de 3 EDP não-linear
A formulação vorticidade-função corrente reduz um sistema de equações diferenciais parciais para uma única EDP, não linear, em .
A eficácia deste método aplica-se para escoamentos 2D ou com axi simetria (cilíndrico polar ou esférica). Em escoamentos 3D não é possível a redução das EDPs. Recomenda-se modelar escoamento usando as equações da massa e quantidade de movimento.
Redução EDPs c/ formulação -
2 2 4
y x x x
2 2
2 2
2 2
2 2
u v0
x y
u u 1 P u uu v
x x x x y
v v 1 P v vu v
x x y x y
- Eq. massa
- Eq. q. mov. (x)
- Eq. q. mov. (y)
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FIM
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Apêndice I
Definições de Linha de Corrente e de Função Corrente
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Existem várias maneiras de se descrever uma curva no espaço.
Para nossos propósitos, é conveniente tratar uma curva com a
intersecção de duas superfícies independentes, f e g:
Função corrente: uma linha no espaço
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O vetor tangente H à linha formada pela intersecção dos planos f e g
é:
Associação:
linha da interseção: vetor tangente fxg = V linha de
corrente: V é um vetor tangente a linha de corrente
Função densidade
Função corrente: conceito matemático
H x, y,z f g
H V
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A vazão mássica através de um tubo de corrente constituído por
duas superfícies f e g é expressa por:
Função corrente: conceito matemático
1 2 1 2m f f g g
V
V
V
ou através da simples relação aos valores das funções f e g nestas
superfícies.
m V n dA
dA
Veja demonstração desta propriedade
na pg 20 do doc no link assim como
referências sobre o assunto
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Para escoamentos com simetria, é possível escolher g como um
conjunto de planos definidos pela variável de simetria. Isto reduz o
problema à determinação da superfície f denominada por função
corrente, f = .
Escoamentos com aplicação direta são:
• Escoamentos planos em coordenadas cartesianas ou polares e
• Escoamentos axi-simétricos em coordenadas cilíndricas ou
esféricas.
• Há outros sistemas também mas não serão tratados aqui!
Função corrente : conceito matemático
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Função Corrente para Escoamento 2-D
Incompressível: Coordenadas Cartesianas
x
yz
g = z
f =
Superfícies:
Velocidade:
Vazão:
x yf x, y g = z = , ,0 g = 0,0,1
0= w; yx,v= v; yx,u=u ; gfV
uy x
; v = - ; w = 0
g z g z1 1 2 2 10 1 ; ; Q = 2
u v0
x y
definição satisfaz
eq. massa
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Função Corrente para Escoamento 2-D
Incompressível: Coordenadas Polares
z
r
Vr
V
g = z
Superfícies:
Velocidade:
Vazão:
1
f r, g=z = , ,0 g= 0,0,1r r
r r zV f g ; v =v r, ; v =v r, ; v =0
u ; v = - ; w=0r r
g z g z1 1 2 2 10 1 ; ; Q = 2
definição satisfaz
eq. massa
rrV1 V
0r r r
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Função Corrente para Escoamento Axi-simétrico
Incompressível: Coordenadas Esféricas
g g1 1 2 2 10 2 ; ; Q = 2 ( ou2 )
Superfícies:
Velocidade:
Vazão:
1 1
f r, z g= = , , g= 0, ,0r r z r
r r z z
vV f g ; v = v r,z ; =0 ; v = v r,z
vr z r r
r 1 1
; v
= 0 ; v = z
Q = 22 se 1= 0 é o eixo = 0
2 1
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Coordenadas Esféricas e a Função Corrente de
Stokes (simetria Azimutal ), veja Panton
Superfícies
r, e g=
Os gradientes das superfícies
1 1, , e
r r rSin
1g 0,0,
rSin
r r
r 2
Velocidades :v
V g; v v r, ; v v r, ; 0
1 1 v ; v
r Sin rSin r
• Note que esta definição de
automaticamente satisfaz a massa:
2
r
2
r v Sin v1 1V 0
r r rSin
r,
g
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FIM