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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
Relaxacao ao equilıbrio termodinamico emsistemas com interacoes de longo alcance†
Felipe Leite Antunes
10 de Agosto de 2014
†Trabalho financiado pela Comissao de Aperfeicoamento do EnsinoSuperior(CAPES).
Felipe Leite Antunes Relaxacao em sistemas com interacoes de longo alcance
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Figura 1: Ludwig Eduard Boltzmann
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Boltzmann (gases)
Equacao de Boltzmann → processo irreversıvel a partir deuma dinamica reversıvel;Teorema H (1872) → H ∼ −S;
min[H(t)] quando a distribuicao de velocidades eMaxwell-Boltzmann.
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Extras
Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Boltzmann (gases)
Equacao de Boltzmann → processo irreversıvel a partir deuma dinamica reversıvel;Teorema H (1872) → H ∼ −S;min[H(t)] quando a distribuicao de velocidades eMaxwell-Boltzmann.
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Boltzmann (gases)
Equacao de Boltzmann → processo irreversıvel a partir deuma dinamica reversıvel;Teorema H (1872) → H ∼ −S;min[H(t)] quando a distribuicao de velocidades eMaxwell-Boltzmann.
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Natureza Estocastica
Loschmidit → impossibilidade de obter um processo reversıvela partir de uma dinamica com simetria temporal;Caos Molecular (colisoes nao correlacionadas);
Natureza estocastica→ ingrediente que nao vem da mecanica;Zarmelo → teorema de recorrencia de poincare; temponecessario para retornar ao estado inicial.
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Natureza Estocastica
Loschmidit → impossibilidade de obter um processo reversıvela partir de uma dinamica com simetria temporal;Caos Molecular (colisoes nao correlacionadas);Natureza estocastica→ ingrediente que nao vem da mecanica;
Zarmelo → teorema de recorrencia de poincare; temponecessario para retornar ao estado inicial.
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Natureza Estocastica
Loschmidit → impossibilidade de obter um processo reversıvela partir de uma dinamica com simetria temporal;Caos Molecular (colisoes nao correlacionadas);Natureza estocastica→ ingrediente que nao vem da mecanica;Zarmelo → teorema de recorrencia de poincare; temponecessario para retornar ao estado inicial.
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Natureza Estocastica
Loschmidit → impossibilidade de obter um processo reversıvela partir de uma dinamica com simetria temporal;Caos Molecular (colisoes nao correlacionadas);Natureza estocastica→ ingrediente que nao vem da mecanica;Zarmelo → teorema de recorrencia de poincare; temponecessario para retornar ao estado inicial.
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Ergodicidade
Teorema de recorrencia de Poincare esta relacionado com aergodicidade;A hipotese ergodica esta presente no formalismo da mecanicaestatıstica;
Sistemas integraveis nao sao ergodicos e os nao-integraveispodem ser ergodicos.
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Ergodicidade
Teorema de recorrencia de Poincare esta relacionado com aergodicidade;A hipotese ergodica esta presente no formalismo da mecanicaestatıstica;Sistemas integraveis nao sao ergodicos e os nao-integraveispodem ser ergodicos.
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Ergodicidade
Teorema de recorrencia de Poincare esta relacionado com aergodicidade;A hipotese ergodica esta presente no formalismo da mecanicaestatıstica;Sistemas integraveis nao sao ergodicos e os nao-integraveispodem ser ergodicos.
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Henon-Heiles
V =12
(x2 + y2 + 2x2y − 2
3y3)
Figura 2: y(t) vs. y(t) quando x(t) = 0. Retirada dehttp://mathworld.wolfram.com/Henon-HeilesEquation.html.
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Curto alcance vs. Longo alcance
Interacoes de curto alcance: energia interna escala com N;Interacoes de longo alacance: energia interna escala com N2.Formalmente V ∼ r−α, onde α < d .
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Exemplos
Interacoes gravitacionais;Vortices em mecanica do fluidos 2D;
Fısica de Plasmas;Laser de eletrons livres (FEL).
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Exemplos
Interacoes gravitacionais;Vortices em mecanica do fluidos 2D;Fısica de Plasmas;
Laser de eletrons livres (FEL).
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Exemplos
Interacoes gravitacionais;Vortices em mecanica do fluidos 2D;Fısica de Plasmas;Laser de eletrons livres (FEL).
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Exemplos
Interacoes gravitacionais;Vortices em mecanica do fluidos 2D;Fısica de Plasmas;Laser de eletrons livres (FEL).
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Equilıbrio Termodinamico
Energia Livre de Helmholtz: F (N,V ) = U(N,V )−TS(N,V );Distribuicao de velocidades de Maxwell-Boltzmann;
No limite termodinamico, as interacoes de LA sao dominadaspela energia de interacao;Como obter um limite termodinamico nao trivial?
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Equilıbrio Termodinamico
Energia Livre de Helmholtz: F (N,V ) = U(N,V )−TS(N,V );Distribuicao de velocidades de Maxwell-Boltzmann;No limite termodinamico, as interacoes de LA sao dominadaspela energia de interacao;
Como obter um limite termodinamico nao trivial?
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Equilıbrio Termodinamico
Energia Livre de Helmholtz: F (N,V ) = U(N,V )−TS(N,V );Distribuicao de velocidades de Maxwell-Boltzmann;No limite termodinamico, as interacoes de LA sao dominadaspela energia de interacao;Como obter um limite termodinamico nao trivial?
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Equilıbrio Termodinamico
Energia Livre de Helmholtz: F (N,V ) = U(N,V )−TS(N,V );Distribuicao de velocidades de Maxwell-Boltzmann;No limite termodinamico, as interacoes de LA sao dominadaspela energia de interacao;Como obter um limite termodinamico nao trivial?
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Extras
Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Extensividade
Propriedade de que as variaveis termodinamicas quedependem do tamanho do sistema sao proporcionais ao seunumero de constituıntes;Para sistemas com interacoes de LA, ha perda daextensividade;
Ha um truque para recuperarmos a extensividade (ha umpreco).
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Extensividade
Propriedade de que as variaveis termodinamicas quedependem do tamanho do sistema sao proporcionais ao seunumero de constituıntes;Para sistemas com interacoes de LA, ha perda daextensividade;Ha um truque para recuperarmos a extensividade (ha umpreco).
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Extensividade
Propriedade de que as variaveis termodinamicas quedependem do tamanho do sistema sao proporcionais ao seunumero de constituıntes;Para sistemas com interacoes de LA, ha perda daextensividade;Ha um truque para recuperarmos a extensividade (ha umpreco).
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Prescicao de Kac
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Aditividade
Propriedade de que energia do sistema e igual a soma dasenergias de seus subsistemas;A aditividade nao pode ser recuperada.
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Aditividade
Propriedade de que energia do sistema e igual a soma dasenergias de seus subsistemas;A aditividade nao pode ser recuperada.
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Extras
Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Evolucao
A prescicao de Kac elimina as correlacoes entre as partıculas;A evolucao do sistema passa a ser governada pela equacao deVlasov;
A ordem em que tomamos t →∞ e N →∞ e importante;Tempo de validade da descricao de Vlasov cresce com otamanho do sistema.
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Evolucao
A prescicao de Kac elimina as correlacoes entre as partıculas;A evolucao do sistema passa a ser governada pela equacao deVlasov;A ordem em que tomamos t →∞ e N →∞ e importante;
Tempo de validade da descricao de Vlasov cresce com otamanho do sistema.
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Evolucao
A prescicao de Kac elimina as correlacoes entre as partıculas;A evolucao do sistema passa a ser governada pela equacao deVlasov;A ordem em que tomamos t →∞ e N →∞ e importante;Tempo de validade da descricao de Vlasov cresce com otamanho do sistema.
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Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Evolucao
A prescicao de Kac elimina as correlacoes entre as partıculas;A evolucao do sistema passa a ser governada pela equacao deVlasov;A ordem em que tomamos t →∞ e N →∞ e importante;Tempo de validade da descricao de Vlasov cresce com otamanho do sistema.
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Extras
Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Teorema de Braun-Hepp
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Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Escalas de tempo
Primeiro estagio: solucaoestavel da equacao deVlasov;
Segundo estagio: colisoesresiduais.
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Extras
Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Escalas de tempo: estimativas
Sistemas nao homogeneos: termos de correlacao entre doiscorpos nao-nulos, escala de tempo proporcional a N;Sitemas homogeneos: termos de correlacao entre dois corposnulos, escala de tempo proporcional a N2.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio
Escalas de tempo: estimativas
Sistemas nao homogeneos: termos de correlacao entre doiscorpos nao-nulos, escala de tempo proporcional a N;Sitemas homogeneos: termos de correlacao entre dois corposnulos, escala de tempo proporcional a N2.
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Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Konishi e Kaneko (1992)
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DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Antoni e Ruffo (1995)
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DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Rotores XY interagindo
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Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Hamiltoniano
H =N∑
i=1
p2i
2 +γ
2NN∑
i ,j=1[1− cos(θi − θj)];
H =N∑
i=1
p2i
2 −1−M2
2 ;
θi = −M senθi .
Felipe Leite Antunes Relaxacao em sistemas com interacoes de longo alcance
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Hamiltoniano
H =N∑
i=1
p2i
2 +γ
2NN∑
i ,j=1[1− cos(θi − θj)];
H =N∑
i=1
p2i
2 −1−M2
2 ;
θi = −M senθi .
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Hamiltoniano
H =N∑
i=1
p2i
2 +γ
2NN∑
i ,j=1[1− cos(θi − θj)];
H =N∑
i=1
p2i
2 −1−M2
2 ;
θi = −M senθi .
Felipe Leite Antunes Relaxacao em sistemas com interacoes de longo alcance
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Propriedades
Relaxacao violenta;Transisoes de fase;
Estados quasi-estacionarios;Longo tempo relaxacao.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Propriedades
Relaxacao violenta;Transisoes de fase;Estados quasi-estacionarios;
Longo tempo relaxacao.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Propriedades
Relaxacao violenta;Transisoes de fase;Estados quasi-estacionarios;Longo tempo relaxacao.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Propriedades
Relaxacao violenta;Transisoes de fase;Estados quasi-estacionarios;Longo tempo relaxacao.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Analogia
O HMF e o oscilador harmonico dos sistemas com interacoes delongo alcance.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Metodologia
Simulacoes de DinamicaMolecular;Integrador simpletico de 4a
ordem (PEFRL).
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Dependencia da magnetizacao inicial
Figura 3: Magnetizacao como funcao do tempo obtida usando dinamica molecularcom N = 106 e mesma energia u = 0.62. Para M0 = 0.2 e paramagnetico e paraM0 = 0.8, ferromagnetico.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Dependencia da energia inicial
Figura 4: Espaco de fases obtido via dinamica molecular com N = 105 partıculasdurante t = 5000τD .Em (a) u = 0.7 e (c) u = 0.45. A magnetizacao inicial e amesma em ambos casos, M0 = 0.8.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Teorema Virial
Quanto mais proximo da condicao virial, menores sao asoscilacoes do potencial de campo medio.Em um estado estacionario, o virial G = 〈p · q〉 nao dependedo tempo;
No caso de interacoes de LA:⟨p2⟩= −
∫dqdpf (q,p)
[−∂V (q)
∂q · q]
;
Para um distribuicao inicial do tipo WB:2ε− 1 + M cos(θm) = 0 (CVG).
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Teorema Virial
Quanto mais proximo da condicao virial, menores sao asoscilacoes do potencial de campo medio.Em um estado estacionario, o virial G = 〈p · q〉 nao dependedo tempo;No caso de interacoes de LA:⟨p2⟩= −
∫dqdpf (q,p)
[−∂V (q)
∂q · q]
;
Para um distribuicao inicial do tipo WB:2ε− 1 + M cos(θm) = 0 (CVG).
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Teorema Virial
Quanto mais proximo da condicao virial, menores sao asoscilacoes do potencial de campo medio.Em um estado estacionario, o virial G = 〈p · q〉 nao dependedo tempo;No caso de interacoes de LA:⟨p2⟩= −
∫dqdpf (q,p)
[−∂V (q)
∂q · q]
;
Para um distribuicao inicial do tipo WB:2ε− 1 + M cos(θm) = 0 (CVG).
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Teorema Virial
Quanto mais proximo da condicao virial, menores sao asoscilacoes do potencial de campo medio.Em um estado estacionario, o virial G = 〈p · q〉 nao dependedo tempo;No caso de interacoes de LA:⟨p2⟩= −
∫dqdpf (q,p)
[−∂V (q)
∂q · q]
;
Para um distribuicao inicial do tipo WB:2ε− 1 + M cos(θm) = 0 (CVG).
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Validade da Condicao Virial Generalizada
Figura 5: Evolucao da magnetizacao ao longo do tempo para ε = 0.3(a),ε = 0.4(b), ε = 0.5(c) e ε = 0.6(d).
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Modelo de partıcula teste
Na condicao virial o potencial de campo medio e estatico;Cada uma das partıculas possui uma dinamica integravel;
θ = −M senθ.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Modelo de partıcula teste
Na condicao virial o potencial de campo medio e estatico;Cada uma das partıculas possui uma dinamica integravel;θ = −M senθ.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Modelo de partıcula teste
Na condicao virial o potencial de campo medio e estatico;Cada uma das partıculas possui uma dinamica integravel;θ = −M senθ.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Modelo de partıcula teste
Figura 6: Mapa estroboscopico da dinamica da partıcula teste para ε = 0.3(a) eε = 0.6(b).
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Kurtosis da distribuicao de velocidades
Definido como κ =
⟨p4⟩〈p2〉
;
Para distribuicoes Gaussianas (caso da distribuicao MB),→ κ = 3.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Kurtosis da distribuicao de velocidades
Definido como κ =
⟨p4⟩〈p2〉
;
Para distribuicoes Gaussianas (caso da distribuicao MB),→ κ = 3.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Distribuicao de Velocidades
Figura 7: Distribuicoes de velocidade no equilıbrio para um sistema onde ε = 0.6 eM0 = 0.43 no tempo t = 1.35× 107τD , quando κ ' 3, obtidas atraves da dinamicamolecular com N=60000 (pontos). A linha solida e a distribuicao prevista pelaestatıstica de Boltzmann-Gibbs.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Colapso
Figura 8: Relaxacao para o equilıbrio, caracterizada pelo Kurtosis, com o temporeescalado por 3× 104τD em (a) e por τ× = τDN1.0 em (b). Neste caso a energia eε = 0.6 e a magnetizacao inicial vale 0.43.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Ilustracao
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Hamiltoniano
H =N∑
i=1
12(p2θi + p2
φi
)
+1
2N
N∑i ,j=1
[1− cos(θi − θj)] +1
2N
N∑i ,j=1
[1− cos(φi − φj)]
+ εN∑
i=1cos(θi − φi)
.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
HMF + HMF + curto alcance
H = Hθ + Hφ + εN∑
i=1cos(θi − φi);
Hθ =N∑
i=1
12p2
θi +N2(
1−M2θ
);
Hφ =N∑
i=1
12p2
φi +N2(
1−M2φ
).
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
HMF + HMF + curto alcance
H = Hθ + Hφ + εN∑
i=1cos(θi − φi);
Hθ =N∑
i=1
12p2
θi +N2(
1−M2θ
);
Hφ =N∑
i=1
12p2
φi +N2(
1−M2φ
).
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
HMF + HMF + curto alcance
H = Hθ + Hφ + εN∑
i=1cos(θi − φi);
Hθ =N∑
i=1
12p2
θi +N2(
1−M2θ
);
Hφ =N∑
i=1
12p2
φi +N2(
1−M2φ
).
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Equacoes de Movimento
θi = −Mθ sen(θi) + ε sen(θi − φi);φi = −Mφ sen(φi)− ε sen(θi − φi).
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Distrubicao Inicial
Figura 9: Exemplo de uma distribuicao waterbag centrada em 0 (a) e centrada emπ (b), com N = 5× 104, εθ = εφ = 0.6 e Mθ = Mφ = 0.5.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Teorema Virial
A partir do teorema virial, obtemos as seguintes equacoesacopladas:⟨p2θ
⟩= M2
θ − cos(θm)(Mθ − εMφ)− εMφMθ e⟨p2φ
⟩= M2
φ + cos(φm)(Mφ − εMθ)− εMφMθ.
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IntroducaoModelo HMF
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Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Teorema Virial
A partir do teorema virial, obtemos as seguintes equacoesacopladas:⟨p2θ
⟩= M2
θ − cos(θm)(Mθ − εMφ)− εMφMθ e⟨p2φ
⟩= M2
φ + cos(φm)(Mφ − εMθ)− εMφMθ.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Hipoteses
Partindo de uma condicao virial, Mθ e Mφ oscilam de maneiradesprezıvel;Logo, ε 〈cos(θ − φ)〉 = εMθMφ durante toda a evolucao;
A energia individual de cada watterbag e igual (εθ = εφ = E )e conservada individualmente ao longo da evolucao;Podemos escrever⟨p2θ
⟩= 2E − 1 + M2
θ e⟨p2φ
⟩= 2E − 1 + M2
φ.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Hipoteses
Partindo de uma condicao virial, Mθ e Mφ oscilam de maneiradesprezıvel;Logo, ε 〈cos(θ − φ)〉 = εMθMφ durante toda a evolucao;A energia individual de cada watterbag e igual (εθ = εφ = E )e conservada individualmente ao longo da evolucao;
Podemos escrever⟨p2θ
⟩= 2E − 1 + M2
θ e⟨p2φ
⟩= 2E − 1 + M2
φ.
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Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Hipoteses
Partindo de uma condicao virial, Mθ e Mφ oscilam de maneiradesprezıvel;Logo, ε 〈cos(θ − φ)〉 = εMθMφ durante toda a evolucao;A energia individual de cada watterbag e igual (εθ = εφ = E )e conservada individualmente ao longo da evolucao;Podemos escrever⟨p2θ
⟩= 2E − 1 + M2
θ e⟨p2φ
⟩= 2E − 1 + M2
φ.
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Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Hipoteses
Partindo de uma condicao virial, Mθ e Mφ oscilam de maneiradesprezıvel;Logo, ε 〈cos(θ − φ)〉 = εMθMφ durante toda a evolucao;A energia individual de cada watterbag e igual (εθ = εφ = E )e conservada individualmente ao longo da evolucao;Podemos escrever⟨p2θ
⟩= 2E − 1 + M2
θ e⟨p2φ
⟩= 2E − 1 + M2
φ.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
CVG
Comparando, obtemos a CVG, dada pela solucao simultaneadas seguintes equacoes:0 = 2E − 1 + cos(θm)(Mθ − εMφ) + εMφMθ e0 = 2E − 1− cos(φm)(Mφ − εMθ) + εMφMθ.
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IntroducaoModelo HMF
Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas
Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
CVG
Comparando, obtemos a CVG, dada pela solucao simultaneadas seguintes equacoes:0 = 2E − 1 + cos(θm)(Mθ − εMφ) + εMφMθ e0 = 2E − 1− cos(φm)(Mφ − εMθ) + εMφMθ.
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DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Figura 10: O valor de ε e 0.01 e as magnetizacoes iniciais saoMθ = −Mφ = 0.823128 com E = 0.3 (a), E = 0.4 (b), E = 0.5 (c) e E = 0.6 (d).
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DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Figura 11: Comparacao da previsao teorica, para E = 0.3 (vermelho) e 0.6 (azul)com ε ∈ [0, 0.5], e os valores obtidos atraves da dinamica molecular (pontos) comN = 2.5× 105 no instante tD = 500 para valores de ε neste mesmo intervalo.
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DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Modelo de Partıcula teste
Utilizaremos os valores estacionarios de Mθ e Mφ obtidos dasimulacao;Faremos um mapa estroboscopico do plano pθ vs. θ quandopφ = 0.
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Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Figura 12: Mapa estroboscopico da dinamica de partıcula teste com magnetizacoesdo qSS obtidas atraves da dinamica molecular para N = 2.5× 105 no instantetD = 500 e E = 0.6.
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DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Figura 13: Diagrama contendo a evolucao temporal para N = 100000, ε = 0.1com energias εθ = εφ = 0.45, εθ = εφ = 0.5 e εθ = εφ = 0.6.
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DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Hipoteses
O Caos no qSS levara o sistema mais rapidamente aoequilıbrio termodinamico.Quanto maior o valor do acoplamento ε menor sera o valor doexpoente δ.
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DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Kurtosis
Figura 14: Distribuicoes de velocidades, (a) pθ e (b) pφ, para um sistemainicialmente distribuido como uma waterbag de magntizacoes Mθ = −Mφ = 0.638 eenergias εθ = εφ = 0.6, cuja constante de acoplamento vale ε = 0.5.
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DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Colapso: ε = 10−4 e δ = 0.95
Figura 15: Kurtosis como funcao do tempo para diferentes de N: 3× 104
(vermelho), 4× 104(azul), 5× 104 (verde), 6× 104 (laranja). As condicoes iniciaissao: E = 0.6, ε = 0.0001 e M = 0.431.
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Extras
DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Colapso: ε = 10−2 e δ = 0.55
Figura 16: Kurtosis como funcao do tempo para diferentes de N: 3× 104
(vermelho), 4× 104(azul), 5× 104 (verde), 6× 104 (laranja). As condicoes iniciaissao: E = 0.6, ε = 0.01 e M = 0.441.
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DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio
Tabela
ε δ
0.0000 1.000.0010 0.750.0100 0.550.1000 0.500.1500 0.450.5000 0.701.0000 0.751.5000 0.302.0000 0.20
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O que fizemos
Propomos um modelo com interacoes mistas;Obtemos uma condicao virial generalizada para o modelo;Para um mesmo valor de ε, o aumento da energia faz com queo qSS seja destruıdo mais rapidamente;Identificamos que caos no modelo de partıcula teste esta comvalor do expoente delta δ.Tempo de relaxacao diminui a medida que aumentamos oacoplamento, apesar de ser difıcil identicar o colapso paraε > 0.15;
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Proximos passos
Caracterizar o caos atraves da obtencao dos expoentes deLyapunov;Obter uma estimativa teorica para o tempo de relaxacao;Implementacao em CUDA.
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THE END
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Figura 17: Kurtosis como funcao do tempo para diferentes de N: 3× 104
(vermelho), 4× 104(azul), 5× 104 (verde), 6× 104 (laranja). As condicoes iniciaissao: E = 0.6, ε = 0.001 e M = 0.432.
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Figura 18: Kurtosis como funcao do tempo para diferentes de N: 3× 104
(vermelho), 4× 104(azul), 5× 104 (verde), 6× 104 (laranja). As condicoes iniciaissao: E = 0.6, ε = 0.1 e M = 0.500.
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Figura 19: Kurtosis como funcao do tempo para diferentes de N: 3× 104
(vermelho), 4× 104(azul), 5× 104 (verde), 6× 104 (laranja). As condicoes iniciaissao: E = 0.6, ε = 1.0 e M = 0.725.
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Figura 20: Kurtosis como funcao do tempo para diferentes de N: 3× 104
(vermelho), 4× 104(azul), 5× 104 (verde), 6× 104 (laranja). As condicoes iniciaissao: E = 0.6, ε = 1.5 e M = 0.777.
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Figura 21: Kurtosis como funcao do tempo para diferentes de N: 3× 104
(vermelho), 4× 104(azul), 5× 104 (verde), 6× 104 (laranja). As condicoes iniciaissao: E = 0.6, ε = 2.0 e M = 0.812.
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