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Euler e a Análise Combinatória
• Em 1779 Euler apresentou uma solução original para um curioso problema…
• E introduziu um novo método de ataque a problemas matemáticos:
O Método Recursivo
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O Problema
Quantas maneiras tenho de trocar as quatro rodas do meu carro de forma a que nenhuma fique na mesma posição?
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O Problema
• Ou mais geralmente:
Se tiver N pessoas alinhadas quantas maneiras tenho de mudar as suas posições de maneira a que nenhuma fique no mesmo sítio?
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Euler colocou assim o problema
• Dadas N letras
a b c d e …
quantas maneiras há de as trocar de modo a que nenhuma fique onde estava
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E começou por baptizar esse número
• Número de maneiras para letras =
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A seguir contou quantas dessas maneiras tinham “b” na primeira
posição
Uma maneira de por “b” na primeira posição é trocar o “b” com o “a”.
Quantas haverá que trocam o
“b” com o “a”?
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E encontrou a resposta…
• Tantas quantas as maneiras de trocar as restantes N – 2 letras de modo a que nenhuma fique na mesma posição:
b a d f c …
• Ou seja:
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E quantas com “b” na primeira posição mas sem o “a” na
segunda?
b a c d e f …O b está bem
mas, das restantes N -1, nenhuma pode ficar na mesma
posição…
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Claro…
O número é:
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Então…
• Com “b” na primeira posição há:
maneiras de fazer a troca…
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Mas…
Na primeira posição podem ficar N – 1
letras: b, c, d, e,…
Ora para cada uma delas o número de casos é o mesmo que o que encontramos para “b” , ou seja:
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Finalmente…
Uma fórmula Recursiva… porque…
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Recursiva porque…
Sabemos o número de trocas para N
à custa, ou com recurso, ao
número de trocas para N – 1 e N – 2…
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Assim…
• Para duas letras é:
• Para três letras é:
( 3) = 2 (c a b) e ( b c a)
(b a)
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E agora usando a fórmula recursiva…
(2) = 1 (3) = 2 (4) = 3 [ 1 + 2 ] = 9 (5) = 4 [ 2 + 9 ] = 44 …
= 11 [] =
= 176,214,841
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Aqui Euler notou que…
(2) = 1 (3) = 3 * (2) -1 = 2 (4) = 3 [ 1 + 2 ] = 9 = 4 * (3) + 1
(5) = 4 [ 2 + 9 ] = 44 = 5 * (4) – 1
Isto é que:
(n) = n * ( n – 1 ) + (-1)^n
Fórmula recursiva mais simples…
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Da segunda obtém-se facilmente a primeira: (n) = n * ( n – 1 ) + (-1)^n (n-1) = (n-1) * ( n – 2 ) + (-1)^(n-1)
Agora basta somar as igualdades e passar o
(n - para o segundo membro
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Da primeira obtém-se também a segunda
pode ser reescrito:
^ (^ (^
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Euler notou que…
é fácil provar, por indução, que:
! [1)^ x
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Assim a probabilidade de, ao fazer o rearranjo de N objectos, nenhum ficar na mesma posição é:
p(N) = [1)^ x
que tende para 1/e quando N --> ∞
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Isto permite-nos montar uma experiência para calcular um valor aproximado de
e recorrendo a uma experiência aleatória.
p(5)=
e dá-nos o valor de 1/e com erro inferir a 1/6! < 0,002 por defeito; donde se tira: 1/(p(5)+0,002) < e < 1/p(5)
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e logo:
1 / p(5) dá o valor de e
com erro inferior a 0,002.
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Vamos então calcular aproximadamente p(5) sorteando aleatoriamente, e um número
suficientemente grande de vezes, os números
de 1 a 5 e contando, em cada dessas vezes, em quantas
nenhum i saiu na extracção i.
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• Autor - José António Veiga de Faria Autor - José António Veiga de Faria
• fontes:fontes:
• Euler The Master of Us All de William Dunham Euler The Master of Us All de William Dunham
• A History of Mathmatics de Carl Boyer e Uta A History of Mathmatics de Carl Boyer e Uta MerzbachMerzbach
• WikipediaWikipedia