Estudo do Cone
Giovanni Ávila
Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí?Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones.
Cone: A Definição!
Considere um círculo C contido num plano
e um ponto V não-pertencente a .
Chama-se cone a reunião de todos os
segmentos que ligam cada ponto de R ao
ponto P.
g
r
h
O cone é formado por uma parte plana (base circular), e uma parte curva que é a superfície lateral.
Note: g, h e r formam um triângulo retângulo.
O**
h
90º90º
A Fig. mostra um Cone Oblíquo.
V é vérticeR é raio da baseh é alturag é geratriz
R
V
g’ g
eixo
Note que quando o cone é reto o eixo coincide com a altura.
O eixo do cone é o segmento que liga o vértice ao centro da base.
Se o eixo é perpendicular à base, o cone é reto.
Se o eixo não é perpendicular à base, o cone é oblíquo.
Eixo = Altura
A altura é sempre perpendicular ao plano.
eix
o
alt
ura
Cone Circular Reto
OO
**
g2) No VOA :
AB
V
ou Cone de Revolução
gg2 2 = h= h22 + R + R22
R
h
1) O eixo é perpendicular ao plano da base.
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados. A
B C
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.A
B C
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
4
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
O VBA é a seção meridiana do cone.
SeçãoSeçãoMeridianaMeridiana
OO** AB
V
g
2R
Seção Seção MeridianaMeridiana
Se o triângulo Se o triângulo VBA é VBA é
eqüilátero, o eqüilátero, o cone é um cone é um
Cone Cone EqüiláteroEqüilátero..
g=2Rg=2R
Planificação do Cone Reto
Rx
h
gClique
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
Cone Planificação do Cone Reto :
x
h
g
R
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
g
2RR
Angulo
==2R g
Planificação do Cone Reto
Áreas e VolumeÁreas e Volume
3
.hAb33
. 2hrhAb
O cone é uma pirâmide com base circular, logo as fórmulas são as mesmas das pirâmides. Apenas adapte-as!
LBt AAA
rgrAt 2LBt AAA
2rAb gpAl ).2(
gpAl ).2(glnAl ..
H G
R
H G
R
A secção transversal forma o tronco de cone
Chama-se secção transversal a intersecção de um cone com um plano paralelo à base.
Seção Transversal
Suas áreas são proporcionais.
2´ ´ ´b l t
b l t
A A Ak
A A A
Seus volumes são proporcionais.
3vk
V
k = Constante de proporcionalidade.
kHh
G
g
Rr
r
hg
Note que o cone menor, acima da secção é semelhante ao cone original, o que significa que suas dimensões são proporcionais.
Semelhança de uma forma mais clara
Altura do tronco (HT)
Altura do cone original (H)
Altura do cone semelhante (h)
Geratriz do Tronco (GT)
Geratriz do cone semelhante (g)
Obviamente G = g + GTOutra conclusão lógica
V = v + VT
Tronco de Tronco de ConeCone
Elementos:
R raio da base maiorr raio da base menorhT altura do troncogT geratriz do tronco
R
r
gThT
3
. th