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Esperança
• Idéia: a esperança (ou valor esperado) de uma v.a. é o valor médio que se espera obter ao se repetir um experimento aleatório um grande número de vezes.
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Esperança
• Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00?
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Esperança
• Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00? Ganha-se 17 com probabilidade 1/25
-1 com probabilidade 24/25
Após um grande número n de apostas, o ganho médio é, aproximadamente:
28,0$25
725
24).1(
25
1.17
Rn
nn
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Esperança
• O valor esperado de uma v.a. discreta X é:
EX = i xi. P(X=xi)
(ou seja, a média dos valores assumidos por X, ponderados por sua probabilidade)
• EX pode ser um número real, +, – , ou não estar definida.
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Exemplo
• X~Bernoulli(p)
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Exemplo
• X ~ Geométrica(p)
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Exemplo
• X ~ Poisson()
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Esperança
)()(00
ix
iix
i xXPxxXPxEXii
finito finito EX R
– finito EX = –
finito + EX = +
– + EX não definido
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Paradoxo de S. Petersburgo
• Jogo em que chance de vitória é 1/3, mas cuja aposta é 1:1.
• Estratégia: jogar até vencer, sempre dobrando o valor da aposta.
• Variáveis aleatórias de interesse:X = ganho quando se aposta 1.N = número de apostas até a saída.Y = ganho na saída.
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Paradoxo de S. Petersburgo
• X = –1, com prob. 2/3 1, com prob. 1/3
EX = –1/3.
• N é finito com prob. 1
• Y = 1
3....3.3
1.
3
22.
3
1.
3
21.
3
1 2
EN
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Propriedades
• E(aX + b) = aEX + b
• Mas, em geral, E(g(X)) g(E(X))
• Exemplo: Y = X2
EX = (–1).0,2.(–1)+0.0,4+1.0,4 = 0,2
EY = 0.0,4+1.0,6 = 0,6
• Note queEY = 02.P(X=0) + 12 .P(X=1) + (–1)2 .P(X=–1)
X p
–1 0,2
0 0,4
1 0,4
Y p
0 0,4
1 0,6
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Propriedades
• Para X discreta:
E(g(X)) = i g(xi) P(X=xi)
(Law of the unconscious statistician)
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Propriedades
• E(X+Y) = EX + EY (sempre!)
• E(XY) = EX EY, se X e Y são independentes
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Exemplo
• Urna com 10 bolas, das quais 4 são brancas. Cinco bolas são retiradas. Qual é o número esperado de bolas brancas retiradas:
a) com reposição?
b) sem reposição?
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Variância
• Var(X) = E(X–EX)2 = E(X2) –(EX)2
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Propriedades
• Var(aX+b) = a2 Var(X)
• Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)
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Propriedades
• Se X1, X2, …, Xn são independentes, então
Var(X1 + X2 +…+ Xn ) =
Var(X1) + Var(X2) + …+ Var(Xn)
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Exemplo
• X ~ binomial(p)