Espaços Métricos & Fractais IFSUma introdução expressa
Ricardo Biloti
Departamento de Matematica Aplicad, IMECC / UNICAMP
(versao revisada em 2006)
Métrica
Métrica é a formalização matemática do conceitode distância
Métrica
Seja M 6= ∅.d : M × M → R+ é dita uma métrica em M se
1. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,
2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ M , e
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ M .
Ao par (M,d) damos o nome de espaço métrico.
Métrica
Seja M 6= ∅.d : M × M → R+ é dita uma métrica em M se
1. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,
2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ M , e
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ M .
Ao par (M,d) damos o nome de espaço métrico.
Métrica
Seja M 6= ∅.d : M × M → R+ é dita uma métrica em M se
1. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,
2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ M , e
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ M .
Ao par (M,d) damos o nome de espaço métrico.
Métrica
Seja M 6= ∅.d : M × M → R+ é dita uma métrica em M se
1. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,
2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ M , e
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ M .
Ao par (M,d) damos o nome de espaço métrico.
Métrica
Seja M 6= ∅.d : M × M → R+ é dita uma métrica em M se
1. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,
2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ M , e
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ M .
Ao par (M,d) damos o nome de espaço métrico.
Exemplos de espaços métricos
(R, d), d(x, y) = |x − y|
Exemplos de espaços métricos
(Rn, d1), d1(x, y) =n∑
i=1
|xi − yi|
(Rn, d2), d2(x, y) =
(
n∑
i=1
|xi − yi|2
)1
2
(Rn, d∞), d∞(x, y) = max1≤i≤n
|xi − yi|
Exemplos de espaços métricos
(Rn, d1), d1(x, y) =n∑
i=1
|xi − yi|
(Rn, d2), d2(x, y) =
(
n∑
i=1
|xi − yi|2
)1
2
(Rn, d∞), d∞(x, y) = max1≤i≤n
|xi − yi|
Exemplos de espaços métricos
(Rn, d1), d1(x, y) =n∑
i=1
|xi − yi|
(Rn, d2), d2(x, y) =
(
n∑
i=1
|xi − yi|2
)1
2
(Rn, d∞), d∞(x, y) = max1≤i≤n
|xi − yi|
Exemplos de espaços métricos
C[a, b] = {f : [a, b] → R | f é contínua em [a, b]}
(C[a, b], d), d(f, g) = maxa≤x≤b
|f(t) − g(t)|
(C[a, b], h), h(f, g) =
∫ b
a
|f(t) − g(t)|dt
Exemplos de espaços métricos
C[a, b] = {f : [a, b] → R | f é contínua em [a, b]}
(C[a, b], d), d(f, g) = maxa≤x≤b
|f(t) − g(t)|
(C[a, b], h), h(f, g) =
∫ b
a
|f(t) − g(t)|dt
Exemplos de espaços métricos
C[a, b] = {f : [a, b] → R | f é contínua em [a, b]}
(C[a, b], d), d(f, g) = maxa≤x≤b
|f(t) − g(t)|
(C[a, b], h), h(f, g) =
∫ b
a
|f(t) − g(t)|dt
Exemplos de espaços métricos
L2[a, b] =
{
f : [a, b] → R
∣
∣
∣
∫ b
a
|f(t)|2dt < ∞
}
(L2[a, b], d), d(f, g) =
(∫ b
a
|f(t) − g(t)|2dt
)
1
2
Exemplos de espaços métricos
L2[a, b] =
{
f : [a, b] → R
∣
∣
∣
∫ b
a
|f(t)|2dt < ∞
}
(L2[a, b], d), d(f, g) =
(∫ b
a
|f(t) − g(t)|2dt
)
1
2
Exemplos de espaços métricos
(M,d), M 6= ∅
d(u, v) =
{
0, se u = v
1, se u 6= v
Seqüências
Seja (an) uma seqüência no espaço métrico(M,d). Dizemos que (an) é convergente paraa ∈ M se, dado ε > 0, existe N tal que
n ≥ N =⇒ d(an, a) < ε
Seqüências de Cauchy
Uma seqüência (an) é dita de Cauchy se, dadoε > 0, existe N tal que
m,n ≥ N =⇒ d(an, am) < ε
Seqüências de Cauchy
Teorema:
Toda seqüência convergente é de Cauchy.
Será que toda seqüência de Cauchy éconvergente?
Seqüências de Cauchy
Teorema:
Toda seqüência convergente é de Cauchy.
Será que toda seqüência de Cauchy éconvergente?
Exemplo
M = C[0, 1], d(f, g) =
∫
1
0
|f(t) − g(t)|dt
fn(t) =
{
1 − nt, 0 ≤ x ≤ 1
n
0, 1
n< t ≤ 1
Exemplo
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
f2
f4
f8
f1
Exemplo
Suponha N ≤ n ≤ m
d(fn, fm) =
∫ 1
n
0
(1 − nt) − (1 − mt)dt
≤
∫ 1
n
0
(1 − nt)dt <1
n≤
1
N
Logo, (fn) é de Cauchy.
Exemplo
Suponha N ≤ n ≤ m
d(fn, fm) =
∫ 1
n
0
(1 − nt) − (1 − mt)dt
≤
∫ 1
n
0
(1 − nt)dt <1
n≤
1
N
Logo, (fn) é de Cauchy.
Contra-exemplo
No entanto
limn→∞
fn(t) =
{
0, t > 0
1, t = 0
Portanto, (fn) não é convergente em (C[0, 1], d)
Contra-exemplo
No entanto
limn→∞
fn(t) =
{
0, t > 0
1, t = 0
Portanto, (fn) não é convergente em (C[0, 1], d)
Espaço métrico completo
Um espaço métrico é dito completo se todaseqüência de Cauchy neste espaço for
convergente.
Contração
g : M → M dita é uma contração em (M,d) seexitir uma constante 0 ≤ s < 1 tal que
d(g(x), g(y)) ≤ s · d(x, y), ∀x, y ∈ M
Ponto Fixo
Seja f : M → M , dizemos que x ∈ M é pontofixo de f se
f(x) = x
Teorema do ponto fixo de Banach
Teorema:
Seja (M,d) um espaço métrico completo eg : M → M uma contração. Então existe umúnico ponto fixo x∗ de g. Além disso, para todox ∈ M ,
limn→∞
xn = x∗
onde x0 = x e xn = g(xn−1).
Até aqui...
Vimos o que é...
• Métrica
• Espaço métrico
• Seqüência de Cauchy
• Espaço métrico completo
• Contração
• Ponto Fixo
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Fractais?
Um fractal IFS é o ponto fixo de uma contraçãonum espaço métrico completo
Espaços dos Fractais
Seja (M,d) é um espaço métrico completo.
H(M) = {A ⊂ M | ∅ 6= A é compacto}
A ⊂ M é compacto se toda seqüência deelemetos de A admite subseqüênciaconvergente em A.
Em espaços de dimensão finita:compacto ⇐⇒ fechado e limitado
Espaços dos Fractais
Seja (M,d) é um espaço métrico completo.
H(M) = {A ⊂ M | ∅ 6= A é compacto}
A ⊂ M é compacto se toda seqüência deelemetos de A admite subseqüênciaconvergente em A.
Em espaços de dimensão finita:compacto ⇐⇒ fechado e limitado
Espaços dos Fractais
Seja (M,d) é um espaço métrico completo.
H(M) = {A ⊂ M | ∅ 6= A é compacto}
A ⊂ M é compacto se toda seqüência deelemetos de A admite subseqüênciaconvergente em A.
Em espaços de dimensão finita:compacto ⇐⇒ fechado e limitado
Espaços dos Fractais
Seja (M,d) é um espaço métrico completo.
H(M) = {A ⊂ M | ∅ 6= A é compacto}
hd(A,B) = max{D(A,B), D(B,A)}
D(A,B) = maxx∈A
miny∈B
d(x, y)
Métrica de Haussdorf
D(A, B)
D(B,A)
A
B
Espaços dos Fractais
Teorema:
(H(M), hd) é um espaço métrico completo.
Portanto, vale o Teorema do Ponto Fixo deBanach.
Contrações em H(M)
Teorema:
Se wj : M → M , j = 1, 2, . . . , N , são contraçõesem (M,d), então W : H(M) → H(M), definidapor
W (A) = ∪Nj=1wj(A)
é contração em (H(M), hd).
(w(A) = {w(x) | x ∈ A})
Fractal
Um fractal IFS é o ponto fixo de W em(H(M), hd)
Exemplo
∈ H(M) Quem é M?
Exemplo
∈ H(M)
Quem é M?
Exemplo
∈ H(M) Quem é M?
Referências
Michael Barnsley, Fractals Everywhere, 2a. ed., AcademicPress, 2000.Hygino H. Domingues, Espaços Métricos e Introdução àTopologia, Ed. Atual, 1982.
www.ime.unicamp.br/˜biloti/fractal.html
ifsplot
savannah.nongnu.org/projects/ifsplot