Download - Equação de Riccati
Equaes Diferenciais de Riccati
Antes de dar a definio formal das equaes de Riccati, uma pequena introduo pode ser til. De fato, considere a equao diferencial de primeira ordem
Se nos aproximarmos f(x,y), enquanto x mantido constante, nos iremos obter
Se pararmos em y, teremos uma equao linear. Riccati observou a aproximao de segundo grau: ele considerou equaes do tipo
Estas equaes levam seu nome, as equaes de Riccati. Eles so no-lineares e no se enquadram na categoria de qualquer uma das equaes clssicas. A fim de resolver uma equao de Riccati, necessria uma soluo particular. Sem saber pelo menos uma soluo, no h absolutamente nenhuma chance de encontrar solues para esta equao. Dessa forma, seja y1 ser uma soluo particular de
Considere a nova funo z definida por y1
O que leva a ( )
que uma equao linear com relao a nova funo z. Resovido este problema, retornaremos para y atravs da relao
Exemplo: Resolva a equao
Sabendo que y1 = 2 uma soluo particular. Resoluo
Antes de tudo precisamos ter certeza de que y1 de fato uma soluo. Caso contrrio, nossos clculos sero em vo. Neste caso particular, bastante fcil verificar que y1 = 2 uma soluo.
Ento tem-se
que implica
Assim, da equao definida em y, tem-se ( Com simples manipulaes algbricas ) ( )
Consequentemente
Esta uma equao linear e sua soluo geral dada por
Assim, temos
Nota: Caso relembre a equao satisfeita por z, ento as solues podem ser encontradas um pouco mais rpido. De fato, neste exemplo, temos P (x) = -2, Q (x) = 1, e R (x) = 1. Da a equao linear que satisfaz a nova funo z, ( )
Equaes Diferenciais de Clairaut
A equao de Clairaut um caso particular da equao de Lagrange
E resolve-se fazendo a substituio
Derivando em ordem a x tem-se
O que equivalente a
E integrando tem-se
O integral geral ento
E de
obtm-se a soluo singular
Exemplo. Resolver a equao diferencial
Resoluo Tomando a questo escreve-se
E derivando em ordem a
obtem-se
O que conduz a
Por integrao obtm-se
E portanto a soluo geral
Para se obter a soluo singular elimina-se p das duas seguintes equaes
A segunda equao pode escrever-se
E substituindo-se na primeira tem-se
Finalmente, das duas ltimas equaes resulta