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Teoria de Sistemas de
Controlo LinearResolução do 2º teste
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IIDada a função de transferência em anel aberto:
45
5)(
2
ssssG
a) Determine a função de transferência em malha fechada, sabendo que a realimentação é unitária negativa.
45
5)(
2
ssssHsG
Dado a realimentação ser unitária, a função de transferência em malha aberta é:
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545
5
455
1
455
)(1)(
2
2
2
sss
sss
sss
sHsG
sGsF
Dado a realimentação ser negativa, a função de transferência em malha fechada é:
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b) Se quisesse aproximar este sistema através dos pólos dominantes a um sistema equivalente do segundo grau, que função de transferência utilizaria. Justifique.
jsjsssG
9,15,09,15,05
5)(
Os pólos preponderantes são os que poderão causar instabilidade mais cedo, logo os que se encontrem mais perto do eixo imaginário.
4
5
9,15,09,15,0
5)('
2
ssjsjssG
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IIIIA função de transferência de malha aberta de um sistema é a seguinte:
421)(
ssss
KsG
a) Seguindo os procedimentos esboce o gráfico do L.G.R. para K>0.
1 Número de ramos, zeros e pólos
nº de zeros m=0
nº de pólos n=4 (s=0; s=-1; s=-2; s=-4)
n>m n=4 ramos
3 Número de ramos para infinito
nº de ramos para infinito n-m=4-0=4
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4 Assimptotas dos ramos para infinito
k>0 k<0
l=0
l=1
l=2
l=3
454
180
1354
1803
904
360
1804
3602
2254
1805
3154
1807
0
2704
3603
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5 Origem das assimptotas
6 Pontos de convergência/divergência
Há três pontos de convergência/divergência em -3,326, -1,531 e -0,393.
7 Não há pólos, nem zeros complexos
75,14
7
4
4210
421 sssssHsG
Ksw
0
ds
sdw
0393,0531,1326,3 sss
421 ssssds
d
ds
sdw
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b) Esboce o gráfico do L.G.R. para K<0.
0k 0k
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Real Axis
Ima
g A
xis
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Real AxisIm
ag
Axi
s
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c) Utilize o critério de Routh e determine o limite de K para o qual o sistema em anel fechado é estável.
08147
0421
0421
1
01
234
kssss
kssss
ssss
k
sG
A equação característica, para o anel fechado, é:
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679,14545,0
80545,08 kkk
0
0
8
14
545,08
857,12
7
1
0
1
2
3
4 k
k
k
k
s
s
s
s
s
0k 679,140 k
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d) Determine a razão de amortecimento dos pólos complexos para K=5.
js
s
s
ssssk
650,0233,0
825,2
709,3
0581475 234
337,0279,70cosξ
279,7079,279,2233,0
65,0 1
tgtg
Para os pólos complexos:
Ou ainda através de:
337,0233,065,0
233,0cosξ
22
233,0
65,0
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e) Indique de que outra forma poderia calcular os limites de K calculados na alínea c).
Pode-se obter através do L.G.R.. Como a transição se dá sobre o eixo imaginário, então s=jw. Substituindo na equação característica e resolvendo obtém-se os valores limites de K. Para ver como o K varia, deve-se interpretar a evolução do K no L.G.R.
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Demonstrando:
08147 234 kssss
08147 234 kjwjwjwjwjws
697,14069,114069,114
069,1087
00087
014
08147
2424
782
3
24
234
wwk
ww
kwjwjw
kww
kjwwjww
São os valores de k sobre o eixo imaginário. Da observação do LGR, verifica-se que se inicia em k=0 e cresce até k=14,694. A partir deste valor entra na zona de instabilidade.
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IIIIIIDada a função de transferência em anel aberto:
64
215)(
2
sss
ssHsG
393,0531,1326,38147421 234 sssssssds
dssss
ds
d
jsjsss 9,15,09,15,042
jsjsssssss 650,0233,0650,0233,0825,1709,358147 234
Algumas indicações úteis:
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a) Determine o ganho de Bode e coloque a função de transferência na forma de Bode.
25,124
30
641
215
i
iB p
zKK
6141
2125,1
2 jwjwjw
jw
jwHjwG
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b) Construa o esboço do diagrama de Bode.
Ganho:
0
938,125,1log20 10
G
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Zero em 2:
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Pólo duplo na origem:
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Pólo em 4:
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Pólo em 6:
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Adicionando todos os sinais:Obs.: frequência de cruza-mento de ganho é cerca de:
1,25 rad/sec. margem de fase é aproximadamente:
-180-(-170) = -10 a frequência de cruzamento de fase é cerca de:
2 rad/sec. margem de ganho é aproximadamente:
10 db.