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e.BOOK: QUESTÕES DO ENADE COMENTADAS
Curso: Matemática
Organizador: Duelci Aparecido de Freitas Vaz
SUMÁRIO
Discursiva 1
Autor(a): Duelci Aparecido de Freitas Vaz
Discursiva 2
Autor(a): Maria José Pereira Dantas
Discursiva 3
Autor(a): José Elmo de Menezes
Discursiva 4
Autor(a): Bianka Carneiro Leandro
Discursiva 5
Autor(a): Vanda domingos Vieira
QUESTÃO Nº 09
Autor(a): Bianka Carneiro Leandro
QUESTÃO Nº 10
Autor(a): Bianka Carneiro Leandro
QUESTÃO Nº 11
Autor(a): José Elmo de Menezes
QUESTÃO Nº 12
Autor(a): Valdemar Pereira Lopes
QUESTÃO Nº 13
Autor(a): Duelci Aparecido de Freitas Vaz
QUESTÃO Nº 14
Autor(a): Leonardo Antônio Souto.
QUESTÃO Nº 15
Autor(a): Maria José Pereira Dantas
QUESTÃO Nº 16
Autor(a): Rosimeyre Gomes da Silva Merib
QUESTÃO Nº 17
Autor(a): Vanda Domingos Vieira
QUESTÃO Nº 18
Autor(a): Vanda Domingos Vieira
QUESTÃO Nº 19
Autor(a): Duelci Aparecido de Freitas Vaz
QUESTÃO Nº 20
Autor(a): José Elmo de Menezes
QUESTÃO Nº 21
Autor(a): Sérgio Reis Fernandes
QUESTÃO Nº 22
Autor(a): Bianka Carneiro Leandro
QUESTÃO Nº 23
Autor(a): Valdemar Pereira Lopes
QUESTÃO Nº 24
Autor(a): Bianka Carneiro Leandro
QUESTÃO Nº 25
Autor(a): Bianka Carneiro Leandro
QUESTÃO Nº 26
Autor(a): Nelson Carneiro Júnior
QUESTÃO Nº 27
Autor(a): Eliane Silva
QUESTÃO Nº 28
Autor(a): Maria José Pereira Dantas
QUESTÃO Nº 29
Autor(a): Rose Mary Almas de Carvalho
QUESTÃO Nº 30
Autor(a): Renato Barros de Almeida
QUESTÃO Nº 31
Autor(a): Alaídes Inácio Stival Ferreira
QUESTÃO Nº 32
Autor(a): Rose Mary Almas de Carvalho
QUESTÃO Nº 33
Autor(a): Gabriella Barros Viana Marques
QUESTÃO Nº 34
Autor(a): Renato Barros de Almeida
QUESTÃO Nº 35
Autor(a): Duelci Aparecido de Freitas Vaz
QUESTÃO Nº 36
Autor(a): Joelmir Divino Carlos Feliciano
QUESTÃO Nº 37
Autor(a): Samuel Lima Picanço
QUESTÃO Nº 38
Autor(a): Henrique Carvalho Rodrigues
QUESTÃO Nº 39
Autor(a): Wérica Pricylla de O. Valeriano
QUESTÃO Nº 40
Autor(a): Daniel Antônio Mendonça da Silva
QUESTÃO Nº 41
Autor(a): Danillo Flugge
QUESTÃO Nº 42
Autor(a): Maria José Pereira Dantas
QUESTÃO Nº 43
Autor(a): Joelmir Divino Carlos Feliciano
QUESTÃO Nº 44
Autor(a): Rayner Ferreira Barbosa da Costa
QUESTÃO Nº 45
Autor(a): Brunna Brito Passarinho
DISCURSIVA 1
A Educação a Distância (EaD) é a modalidade de ensino que permite que a
comunicação e a construção do conhecimento entre os usuários envolvidos possam
acontecer em locais e tempos distintos. São necessárias tecnologias cada vez mais
sofisticadas para essa modalidade de ensino não presencial, com vistas à crescente
necessidade de uma pedagogia que se desenvolva por meio de novas relações de
ensino-aprendizagem.
O Censo da Educação Superior de 2009, realizado pelo MEC/INEP, aponta para o
aumento expressivo do número de matrículas nessa modalidade. Entre 2004 e 2009, a
participação da EaD na Educação Superior passou de 1,4% para 14,1%, totalizando
838 mil matrículas, das quais 50% em cursos de licenciatura. Levantamentos
apontam ainda que 37% dos estudantes de EaD estão na pós-graduação e que 42%
estão fora do seu estado de origem.
Considerando as informações acima, enumere três vantagens de um curso a distância,
justificando brevemente cada uma delas.
Gabarito: questão discursiva
Tipo de questão: Fácil
Conteúdo avaliado: Ensino a Distância
Autor(a): Duelci Aparecido de Freitas Vaz
Comentário:
A questão aborda um tema freqüente nos cursos de licenciaturas em todas as suas
modalidades. A resposta esperada pelos avaliadores do MEC é que o estudante seja
capaz de apontar algumas vantagens dentre as seguintes, quanto à modalidade EaD:
(i) flexibilidade de horário e de local, pois o aluno estabelece o seu ritmo de estudo;
(ii) valor do curso, em geral, é mais baixo que do ensino presencial;
(iii) capilaridade ou possibilidade de acesso em locais não atendidos pelo ensino
presencial;
(iv) democratização de acesso à educação, pois atende a um público maior e mais
variado que os cursos presenciais; além de contribuir para o desenvolvimento local e
regional;
(v) troca de experiência e conhecimento entre os participantes, sobretudo quando
dificilmente de forma presencial isso seria possível (exemplo, de pontos geográficos
longínquos);
(vi) incentivo à educação permanente em virtude da significativa diversidade de
cursos e de níveis de ensino;
(vii) inclusão digital, permitindo a familiarização com as mais diversas tecnologias;
(viii) aperfeiçoamento/formação pessoal e profissional de pessoas que, por distintos
motivos, não poderiam frequentar as escolas de ensino regular;
(ix) formação/qualificação/habilitação de professores, suprindo demandas em vastas
áreas do país;
(x) inclusão de pessoas com comprometimento motor reduzindo os deslocamentos
diários.
Referências:
LÉVY, P. Tecnologias da inteligência. O futuro do pensamento na era da
informática. Rio de janeiro: Ed. 34, 1993.
LITTO, F. M.; FORMIGA, M. Educação a distância. O estado da arte. São Paulo:
Pearson, 2009.
MAIA, C. (org.). Ead.br. Experiências inovadoras em Educação a distância no
Brasil. São Paulo: Anhembi Morumbi, 2000.
MARCUSE, H. Algumas implicações sociais da tecnologia moderna. In: Tecnologia,
guerra e facismo. São Paulo: UNESP, 1999. p. 73-104.
MASETTO, M. Mediação Pedagógica e o uso da tecnologia. In: MORAN, J. M. et
al. (orgs). Novas tecnologias e mediação pedagógica. Campinas: Papirus, 2000.
NICOLACI-DA-COSTA, A. M. (org.) Cabeças digitais. O cotidiano na era da
informação. Rio de Janeiro: Ed. PUC-Rio; São Paulo: Loyola, 2006.
QUESTÃO DISCURSIVA 2.
A Síntese de Indicadores Sociais (SIS 2010) utiliza-se da Pesquisa Nacional por
Amostra de Domicílios (PNAD) para apresentar sucinta análise das condições de
vida no Brasil. Quanto ao analfabetismo, a SIS 2010 mostra que os maiores índices se
concentram na população idosa, em camadas de menores rendimentos e
predominantemente na região Nordeste, conforme dados do texto a seguir. A taxa de
analfabetismo referente a pessoas de 15 anos ou mais de idade baixou de 13,3%
em 1999 para 9,7% em 2009. Em números absolutos, o contingente era de 14,1
milhões de pessoas analfabetas. Dessas, 42,6% tinham mais de 60 anos, 52,2%
residiam no Nordeste e 16,4% viviam com ½ salário-mínimo de renda familiar per
capita. Os maiores decréscimos no analfabetismo por grupos etários entre 1999 a
2009 ocorreram na faixa dos 15 a 24 anos. Nesse grupo, as mulheres eram mais
alfabetizadas, mas a população masculina apresentou queda um pouco mais
acentuada dos índices de analfabetismo, que passou de 13,5% para 6,3%, contra 6,9%
para 3,0% para as mulheres.
SIS 2010: Mulheres mais escolarizadas são mães mais tarde e têm menos filhos.
Disponível em: <www.ibge.gov.br/home/presidencia/noticias>.Acesso em: 25 ago. 2011 (adaptado).
Com base nos dados apresentados, redija um texto dissertativo acerca da importância
de políticas e programas educacionais para a erradicação do analfabetismo e para a
empregabilidade, considerando as disparidades sociais e as dificuldades de obtenção
de emprego provocadas pelo analfabetismo. Em seu texto, apresente uma proposta
para a superação do analfabetismo e para o aumento da empregabilidade. (valor: 10,0
pontos)
Gabarito: questão dissertativa.
Tipo de questão: Média.
Conteúdo avaliado: capacidade do aluno em desenvolver análise crítica das políticas
e programas para erradicação do analfabetismo e empregabilidade, apontando
soluções para o problema.
Autor(a): Maria José Pereira Dantas
Comentário
A teoria econômica e a evidência empírica mostram que o aumento da escolaridade
eleva a probabilidade de o trabalhador estar empregado. O texto discute indicadores
que evidenciam o impacto do analfabetismo nas desigualdades sociais (população de
idosos, população com menor renda, população do nordeste). A resposta esperada
pelos avaliadores do MEC é que o estudante deve ser abordar em seu texto:
•identificação e análise das desigualdades sociais acentuadas pelo analfabetismo,
demonstrando capacidade de examinar e interpretar criticamente o quadro atual da
educação com ênfase no analfabetismo;
•abordagem do analfabetismo numa perspectiva crítica, participativa, apontando
agentes sociais e alternativas que viabilizem a realização de esforços para s
ua superação, estabelecendo relação entre o analfabetismo e a dificuldade para
a obtenção de emprego;
•indicação de avanços e deficiências de políticas e de programas de erradicação
do analfabetismo, assinalando iniciativas realizadas ao longo do período tratado e se
os resultados, expressando que estas ações, embora importantes para a eliminação do
analfabetismo, ainda se mostram insuficientes.
PNE 2011-2012.
Art. 214. A lei estabelecerá o plano nacional de educação, de duração decenal, com o
objetivo de articular o sistema Nacional de Educação em regime de colaboração e
definir diretrizes, objetivos, metas e estratégias de implementação, para segurar a
manutenção e desenvolvimento do ensino em seus diversos níveis, etapas e
modalidades, por meio de ações integradas dos Poderes Públicos das diferentes
esferas federativas, que conduzam à:
I – erradicação do analfabetismo;
II – universalização do atendimento escolar;
III – melhoria da qualidade do ensino;
IV – formação para o trabalho;
V – promoção humanística, científica e tecnológica do País;
VI – estabelecimento de meta de aplicação de recursos públicos em educação,
como proporção do produto interno bruto.
Uma proposta que podemos encaminhar como exemplo diz respeito a Educação de
Jovens e Adultos, mas poderia ser pensada em outras categorias da educação
brasileira. Nesta categoria, podemos potencializar esta proposta se a escola se
preparasse melhor para receber este tipo de aluno que na maioria das vezes chega na
escola sem os pré-requisitos mínimos para recomeçar seus estudos. A escola deve,
neste caso, se preparar do ponto de vista material e também do ponto de vista humano,
preparando seus professores para receber e trabalhar este tipo de aluno com
metodologias apropriadas e redirecioná-los para o mercado de trabalho.
Referências:
BRASIL, CONSTITUIÇÃO (1988). Direito constitucional. Fundação de Assistência
ao Estudante, Rio de Janeiro: 2. ed., 1989.
DI PIERRO, Maria Clara; GRACIANO, Mariângela. A educação de jovens e adultos
no Brasil. São Paulo: Ação Educativa, 2003.
BRASIL. MEC. Lei de Diretrizes e Bases da Educação. Disponível em
http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/ldb.pdf . Acesso em: 24 junho de 2014.
_______. Plano Nacional de Educação 2011-2020. Disponível em
http://fne.mec.gov.br/images/pdf/notas_tecnicas_pne_2011_2020.pdf Disponível em:
. Acesso em: 24 de junho de 2014.
SOARES, Magda. Magda. Letramento: um tema em três gêneros. Belo Horizonte:
CEALE/Autêntica, 1998.
QUESTÃO DISCURSIVA Nº 03
Em um prédio de 8 andares, 5 pessoas aguardam o elevador no andar térreo.
Considere que elas entrarão no elevador e sairão, de maneira aleatória, nos andares
de 1 a 8. Com base nessa situação, faça o que se pede nos itens a seguir, apresentando
o procedimento de cálculo utilizado na sua resolução.
a) Calcule a probabilidade de essas pessoas descerem em andares diferentes. (valor:
6,0 pontos).
b) Calcule a probabilidade de duas ou mais pessoas descerem em um mesmo andar.
(valor: 4,0 pontos).
Tipo de questão: fácil.
Conteúdo avaliado: Análise Combinatória e Probabilidade.
Autor(a): José Elmo de Menezes
Comentário:
Esta questão envolve noções básicas de análise combinatória (arranjo) e
probabilidade clássica.
Para resolver esta questão é necessário conhecimento de propriedades da Análise
Combinatória (arranjo e/ou principio da multiplicação), e de noções básicas do
calculo de probabilidades em um espaço equiprovável. Vejamos algumas definições e
conceitos básicos.
Principio da Multiplicação: “Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneira e se,
uma vez tomada a decisão d1, a decisão d2 puder ser tomada de y maneira então o
numero de maneiras de se tomarem as decisões da e d2 é x.y”.
Arranjo com repetição: O arranjo com repetição é usado quando a ordem dos
elementos importa e cada elemento pode ser contado mais de uma vez.
,
onde é o total de elementos e o número de elementos escolhidos.
Arranjo simples: Arranjo simples de elementos tomados a , onde 1n
e é um número natural, é qualquer ordenação de elementos dentre
os elementos, em que cada maneira de tomar os elementos se diferenciam pela
ordem e natureza dos elementos. A fórmula para cálculo de arranjo simples é dada
por:
onde é o total de elementos e o número de elementos escolhidos.
Conceito de probabilidade: Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são
igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um
evento A é sempre:
Propriedades Importantes:
1. Se A e A’ são eventos complementares, então: P( A ) + P( A' ) = 1
2. A probabilidade de um evento A é sempre um número entre 0 (probabilidade de
evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).
0 ( ) 1P A
(a) Seja A o evento que representa todas as possíveis configurações em que as
cinco pessoas dessem em andares diferentes e o espaço amostral S é constituído
pelo numero total de configurações. O número de possíveis configurações
determinadas pelas escolhas em que as 5 pessoas saem em andares diferentes (
numero de elementos do evento A) : pelo Princípio Multiplicativo (8.7.6.5.4)
ou, ainda, pode ser calculado considerando uma arranjo n(A)=
8
5
8!8.7.6.5.4 6720
3!A = possibilidades, e o número total de elemento do
espaço amostral S, é obtido pelo principio multiplicativo: n(S)=85=32768
possibilidades. Neste caso a probabilidade das cinco pessoas descerem em
andares diferentes é ( ) 6720 105
( )( ) 32768 512
n AP A
N S .
(b) Seja B o evento que representa todas as configurações onde duas ou mais
pessoas descerem em um mesmo andar. Note que o evento B é o evento
complementar de A (item (a)), então segue pela propriedade 1 de probabilidade
que P(B)=1-P(A) =1-105/512 =407/512.
Referências: 1) Morgado, Augusto César O., e outros, Análise Combinatória e
Probabilidade, 6ª Edição, SBM, Rio de Janeiro, 2001.
QUESTÃO DISCURSIVA Nº 4
Considere a sequência numérica definida por
{
Use o princípio de indução finita e mostre que √ , para todo número natural
e para √ , seguindo os passos indicados nos itens a seguir:
a) Escreva a hipótese e a tese da propriedade a ser demonstrada;
b) Mostre que
, para todo ;
c) Prove que , para todo √ ;
d) Mostre que √ ;
e) Suponha que √ eprove que √ ;
f) Conclua a prova por indução.
Gabarito: questão discursiva, sem gabarito.
Tipo de questão: Médio
Conteúdo avaliado: Princípio de Indução Finita, função crescente e desigualdades
Autor(a): Bianka Carneiro Leandro
Comentário:
Esta questão envolve a definição de função crescente, o trabalho com desigualdades e
o Princípio de Indução Finita.
Princípio da Indução Finita: Seja um número inteiro e suponhamos que a cada
inteiro , , está associada uma afirmação A(n). Suponha que as condições 1 e
2 abaixo sejam verificadas:
1. A afirmação A(n) é verdadeira para
2. Para cada , se A(k) é verdadeira, então A(k + 1) é também
verdadeira.
Então a afirmação A(n) é verdadeira para cada .
Definição: Uma função , real de variável real, diz-se crescente em , , se e
somente se, para todo , tem-se:
se então .
Para responder à letra a) da questão basta relembrar que hipótese é a suposição de
algo verosímil, fatos que são assumidos como verdade e tese é o fato que se deseja
demonstrar. Nesse caso em questão, a hipótese será
√ ,{
.
E a tese será
√ , para todo .
Para responder à letra b) basta observar que como , consequentemente
e . Logo o quociente
.
Para responder à letra c) basta trabalhar com a hipótese √ e lembrar-se da
definição do quadrado da diferença
.
Assim,
.
Como √ , tem-se e . Donde obtem-se
que
.
Para responder à letra d) deve-se aplicar a definição de função crescente ao fato
demonstrado na letra c). Tem-se que a função √ é crescente em seu domínio
( { | ). Como da letra c) tem-se , então aplicando-se
obtem-se que √ .
Para responder à letra e)faz-se-á a verificação da condição 2. do Princípio de Indução
Finita. Tem-se que √ .Da letra b) como , tem-se . Da letra
c) tem-se . Logo da letra d)obtem-se que
√ .
Para responder à letra f) faz-se-á uso do Princípio de Indução Finita. De tal forma,
tem-se por hipótese que √ , logo √ . Provando-se assim a
veracidade da condição 1. Supondo-se, por hipótese de indução, que √ ,
pela letra e) tem-se
√ , para todo .
Logo pelo Princípio de Indução Finita tem-se √ , para todo .
Referências: 1) Figueiredo, Djairo Guedes de. Análise 1. 2ª edição. Rio de Janeiro.
LTC, 2011.
2) Guidorizzi, Hamilton Luis. Um curso de Cálculo Vol. II. Ed. L.T.C.
3) Lima, Elon Lages. Um curso de análise Vol. 1.Rio de Janeiro. Projeto Euclides,
2002.
Questão Discursiva 5
O Teorema do Valor Intermediário é uma proposição muito importante da análise
matemática, com inúmeras aplicações teóricas e práticas. Uma demonstração analítica
deste teorema foi feita pelo matemático Bernard Bolsano [1781 – 1848]. Neste
contexto, faça o que se pede nos itens a seguir:
a) Enuncie o teorema do valor intermediário para funções reais de uma variável
real;
b) Resolva a seguinte situação problema.
O vencedor da corrida de São Silvestre – 2010 foi o brasileiro Mailson Gomes dos
Santos, que fez o percurso de 15 km em 44min e 7 seg. Prove que, em pelo menos
dois momentos distintos da corrida, a velocidade instantânea de Mailson era de 5
metros por segundo.
c) Descreva uma situação real que pode ser modelada por meio de uma função
contínua f , definida em um intervalo [a, b], relacionando duas grandezas x e y ,
tal que existe k (a, b) com )()( kfxf para todo x (a, b), kx .
Justifique sua resposta.
Discursiva 5
Tipo de questão: média
Conteúdo avaliado: funções e limites e continuidade de uma função de uma variável
Autora: Vanda Domingos Vieira
a) Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e se k é um número
real entre f(a) e f(b), então existe pelo menos c em [a, b] tal que f(c) =k.
Comentário:
Esse teorema diz que quando x varia entre a e b, f uma função contínua assume todos
os valores entre f(a) e f(b). Isto significa que para qualquer k tomado entre f(a) e f(b),
a reta horizontal com interseção (0,K) interceptará o gráfico em pelo menos um ponto
P .
b) Mailson faz o percurso de 15 km em 44min e 7 seg. Veja que a velocidade
instantânea é dada em metros por segundo. Convertendo Unidades:
1km = 1000m, logo 15km = 15000 m
1min = 60 seg, logo 44min e 15 seg = 44.60seg + 7 seg = 2640 seg + 7 seg = 2647
seg
A velocidade no percurso da corrida pode ser modelada por uma função contínua v(t),
definida no intervalo fechado [0, 2647].
Por outro lado no inicio e final da corrida a velocidade é nula, ou seja, para t = 0 seg ,
v(0) = 0 e para t = 2647seg, v(2647) = 0.
Mas durante a corrida podemos calcular a velocidade média de percurso:
if
if
mtt
PP
t
Pv
=
2647
15000
02647
015000
= 5,6667
Como v(0)= v( 2647) = 0, existe pelo menos um t [a, b] para o qual a
velocidade é de 5,6667 m/seg.
Se a taxa media da variação da velocidade é de 5,6667m/seg, pelo Teorema do Valor
intermediário existem pelo menos dois instantes t1 e t2 , tais que, a velocidade seja
igual a 5m/seg.
c) O Volume de uma caixa de papelão sem tampa pode ser modelado por uma
função contínua
V(x)= x3 - 2x
2 + x = (x- 1).(x-1).x tomando um intervalo [0, 4]
Pelo Teorema do Valor Intermediário, se a função está definida num intervalo
[0, 4] existe um valor k entre V(0) e V(4) e c entre a e b tal que V(c) = k
Considerando o intervalo [0, 4] e k =2 temos , O volume da caixa é dado por V(x) =
x3 – 2x
2 +x que é uma função polinomial de grau 3, portanto é contínua em todos os
seus pontos.
Para x = c temos que V(c ) = c3 – 2c
2 + c . Mas como V(c ) = 2 temos que: c
3 – 2c
2
+ c =2, ou seja, c3 – 2c
2 + c – 2 = 0. Para determinar os valores de c, vamos fatorar o
polinômio c2(c -2) + (c-2) = (c – 2).(c
2+1) =0.Temos no intervalo fixado apenas uma
raiz real c = 2 e c = 2 pertence ao intervalo [0, 4]. V( 2) = 23- 2.2
2 +2 = 8 – 8 + 2 =
2, logo V(2) está entre V(0 ) e V(4 ).
Referências:
1) Fleming, Diva Marilia e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A – São Paulo: Person
Prentice Hall, 2006
2) Leithold, Louis – O Cálculo Com Geometria Analítica, 3ª Edição – São Paulo
Editora Harbra LTDA, 1994
3) Stewart, James. Cálculo vol. I, 5ª edição. Editora Pioneira
QUESTÃO Nº 9
Considere o sistema de equações lineares , com equações e incógnitas.
Supondo que a solução do sistema homogêneo correspondente seja única, avalie as
afirmações a seguir.
I. As colunas da matriz são linearmente dependentes.
II. O sistema de equações lineares tem infinitas soluções.
III. Se , então a matriz tem linhas que são combinações lineares de
linhas.
IV. A quantidade de equações do sistema é maior ou igual à quantidade de
incógnitas.
São corretas apenas as afirmações
A)
B)
C)
D)
E)
Gabarito: C
Tipo de questão: média
Conteúdo avaliado: Vetores linearmente dependentes e linearmente independentes,
sistemas lineares, produto de matrizes, posto e nulidade
Autor(a): Bianka Carneiro Leandro
Comentário:
Esta questão envolve teorias de sistemas lineares, com a caracterização de soluções
para estes, definições de vetores linearmente dependentes e independentes, de
produto de matrizes, posto e nulidade.
Para resolver esta questão é necessário conhecimento de sistemas lineares
homogêneos (matriz identicamente nula) e não homogêneos (matriz não
identicamente nula). Necessita-se do conhecimento sobre o comportamento das
soluções de tais sistemas e sobre a matriz dos coeficientes .
Para o julgamento da afirmação I é necessário relembrar a definição de vetores
linearmente dependentes ou linearmente independentes.
Definição:Dados , sendo um espaço vetorial sobre o corpo
escalar , este são ditos vetores linearmente dependentes se
∑
onde , é verificada para algum . Caso contrário são ditos linearmente
independentes.
Como por hipótese o sistema homogêneo correspondente tem única solução, a
trivial , para todo , obtem-se
∑
onde
∑
são as colunas da matriz , com , para todo . Então as colunas da
matriz são linearmente independentes. Mostrando assim que a afirmação I é falsa.
Para o julgamento da afirmação II basta observarmos o seguinte exemplo:
(
) (
) (
)
Neste caso, o sistema homogêneo correspondente tem única solução, que é a trivial
e o sistema também tem única solução, . Desta
forma observa-se que a afirmação II também é falsa.
Para o julgamento da afirmação III é necessário relembrar a definição de posto e
nulidade de uma matriz e um teorema que relaciona posto e caracterização de
soluções para um sistema. Que são:
Definição: Dada uma matriz , seja a matriz reduzida à forma escada
linha equivalente a . O posto de , denotado por , é o número de linhas não nulas
de . A nulidade de é o número .
Teorema:
i. Um sistema de equações e incógnitas admite solução se, e somente se o
posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.
ii. Se as duas matrizes têm o mesmo posto e , a solução será única.
iii. Se as duas matrizes têm o mesmo posto e , pode-se escolher
incógnitas, e as outras incógnitas serão dadas em função destas.
Neste caso verifica-se a veracidade da afirmação III.
Para o julgamento da afirmação IV é necessário relembrar a definição de produtos de
matrizes.
Definição: Só pode-se efetuar o produto de matrizes e se o número de
colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, isto é, .
Dessa forma, observa-se a veracidade da afirmação IV, pois caso contrário, se
não poder-se-ia realizar o produto .
Referências: 1) Boldrini, José Luiz, Costa, Sueli I. Rodrigues, Figueiredo, Vera Lúcia
e Wetzler, Henry G..Álgebra Linear – São Paulo: Harper &Row do Brasil, 1980.
2) Lang, Serge. Álgebra Linear- Rio de Janeiro.Ed. Ciência Moderna, 2003.
3) Lima, Elon Lages. Álgebra Linear – Rio de Janeiro. 5ª edição Coleção Matemática
Universitária, 2001.
QUESTÃO Nº 10
Sabe-se que, para todo número inteiro , tem-se
√
√
√
Nesse caso, se
√
então
A)
B)
C)
D)
E)
Gabarito: B
Tipo de questão: médio
Conteúdo avaliado: Limite, função contínua, Regra de L’Hospital e Teorema do
Confronto
Autor(a): Bianka Carneiro Leandro
Comentário:
Esta questão envolve o estudo de limites, utilizando-se de ferramentas como Regra de
L’Hospital e Teorema do Confronto.
Regra de L’Hospital: Se
tem uma forma indeterminada do tipo ⁄ ou ⁄ , então
Caso o último limite exista. Lembrando que o mesmo vale se for substituído por
, , ou .
Para resolver esta questão é necessário trabalhar a desigualdade fornecida no
enunciado,
√
√
√
Como , pode-se dividir tal expressão por obtendo-se
√
√
√
Agora basta estudar o comportamento dos limites das funções que compõe as
extremidades da expressão acima.
Para o estudo do limite
√
deve-se lembrar as propriedades de limite que garantem que limite do produto é o
produto do limite, se ambos existirem, e que se é uma função contínua então
Assim, como a função exponencial é contínua, obtém-se
√
⁄
⁄
Agora, via Regra de L’Hospital, tem-se o estudo do seguinte limite
⁄
Desta forma, obtém-se o estudo do limite
√
⁄
{
⁄ }
Donde, obtém-se
√
(
) (
√
) (
√
)
Teorema do Confronto:Sejam , e sequências de números reais tais que
Então
Aplicando-se o Teorema do Confronto obtém-se que
√
Donde chega-se ao resultado alternativa B.
Referências: 1) Fleming, Diva Marília e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A – São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
2) Guidorizzi, Hamilton Luis. Um curso de Cálculo Vol. I. Ed. L.T.C.
3) Stewart, James. Cálculo vol. I 5ª edição. Editora Pioneira.
QUESTÃO Nº 11
Considere os elementos e (
) e (
) pertencentes ao
grupo das permutações S3 .
Assinale a opção que representa
A ) (
)
B (
)
C (
)
D ) (
)
E (
)
Gabarito: B
Tipo de questão: fácil.
Conteúdo avaliado: Grupos de Permutações-Permutação de um conjunto finito
Autor(a): José Elmo de Menezes
Comentário:
Esta questão envolve conceitos básicos de álgebra abstrata, aplicando a teoria de
grupos de permutações e composições de funções sobre um conjunto finito.
Para resolver esta questão é necessário conhecimento básico de permutação de um
conjunto, cuja definição é a seguinte:
Definição: Seja A um conjunto não vazio. Chama-se Permutação de A toda função
bijetora f de A em A (f:A A).
Se o conjunto A é finito, toda função injetora ou sobrejetora f:A A é bijetora e,
portanto, f é uma permutação de A. Quando A={1, 2, 3,...,n}, uma permutação f de
A indica-se pela notação:
1 2 3
(1) (2) (3) ( )
nf
f f f f n
e neste caso dizemos que f pertence ao grupo das permutações Sn.
A operação de composição de duas permutação f e g em A={1, 2, 3,...,n} é definida
e denotada por:
1 2 3 1 2 3
(1) (2) (3) ( ) (1) (2) (3) ( )
1 2 3
( (1)) ( (2)) ( (3)) ( ( ))
n nfg
f f f f n g g g g n
n
f g f g f g f g n
Na questão proposta, temos que, e são permutações de A={1, 2, 3} e portanto
pertencem ao grupo S3 , cuja composição é dada por:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3 2 3 2 1 2 3 1
Segue-se que a alternativa correta é a B.
Referências:
1)Alencar Filho, Edgar. Elementos de Álgebra Abstrata – São Paulo: Nobel, 1978.
2) Domingues, Hygino H., Iezzi, Gelson. Álgebra Moderna- São Paulo, 4ª Edição,
Editora Saraiva, 2003.
3) Garcia, Arnaldo. Álgebra:um curso de introdução, Rio de Janeiro, Instituto de
Matemática Pura e Aplicada,1988, Projeto Euclides.
QUESTÃO Nº 12
O matemático grego Hipócrates de Chios (470 a. C. – 410 a. C.) é
conhecido como um excelente geômetra. Ele calculou a área de várias
regiões do plano conhecidas como lúnulas, que são limitadas por arcos de
circunferência, com centros e raios diferentes. As figuras I e II a seguir
mostram, respectivamente, as lúnulas L1 e L2, limitadas por um arco de
circunferência de centro O e raio r e por semicircunferências cujos
diâmetros são o lado de um hexágono regular e o lado de um quadrado
inscritos na circunferência de raio r e centro O.
Considerando r um número racional, avalie as asserções a seguir. A razão
entre as áreas A1 e A2 das lúnulas L1 e L2 é um número racional.
PORQUE
A1 e A2 podem ser respectivamente, representadas por e ,
em que q1 e q2 são números racionais. A respeito dessas asserções,
assinale a opção correta.
A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma
justificativa correta da primeira.
B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é
Gabarito: E
Tipo de questão: média
uma justificativa da primeira.
C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma
proposição falsa.
D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma
proposição verdadeira.
E) Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.
Conteúdo avaliado: Geometria Plana, especificamente cálculo de áreas
planas (áreas do triângulo, setor circular e segmento circular) e
conhecimentos de números reais.
Autor(a): Valdemar Pereira Lopes
Comentário: Esta questão envolve cálculo de áreas planas e conhecimentos
sobre números racionais e irracionais, uma vez que o raio r é considerado
um número racional e as asserções: “A razão entre as áreas das
lúnulas é um número racional” PORQUE “ podem ser,
respectivamente, representadas por em que são
números racionais”.
Para resolver esta questão e confirmar a resposta correta, foram
utilizados os seguintes procedimentos:
CÁLCULO DE (área da Lúnula ): considere o lado do hexágono
regular inscrito no círculo (circunferência) de raio r e seja o
comprimento do arco do círculo correspondente ao lado do hexágono
regular. Assim, e
Portanto, onde: metade da área do disco de raio
e centro no ponto médio do lado relativo à lúnula , e =
área do segmento circular formado pelo arco do círculo correspondente ao
lado e pelo próprio lado
Desta forma, área do setor circular correspondente ao ângulo
, lados iguais a r e limitado pelo arco de comprimento igual a
menos a área do triângulo eqüilátero de lado igual a r, ou seja:
(
)
,
√
√
, onde
√
é a área do triângulo eqüilátero de
lado r.
Assim,
(
√
) =
√
√
√
( √ )
Desta maneira,
( √ ) não é um número racional (é
irracional), pois √ é irracional, e as alternativas (A), (B) e (C) já
são descartadas, são falsas.
CÁLCULO DE (área da Lúnula ): considere o lado do quadrado e
o comprimento do arco do círculo de raio igual a r correspondente ao
lado . Assim, √ e
. Portanto,
onde: = metade da área do disco de raio
e centro no ponto
médio do lado do quadrado e relativo à lúnula e área do
segmento circular formado pelo arco do círculo correspondente ao lado e
pelo próprio lado
Desta maneira, área do setor circular correspondente ao ângulo
, lados iguais a r e limitado pelo arco de círculo de
comprimento igual a menos a área do triângulo retângulo de catetos
iguais a e hipotenusa igual a ou seja,
(
)
( √ )
,
,
onde
é a área do triângulo retângulo acima
mencionado.
Portanto,
. Desta forma, o valor da área será:
representa
um número racional, mas Logo, a alternativa (D) também é
falsa.
Conclusão: a razão
também não representa número racional, uma
vez que é irracional e racional. A primeira quanto a segunda
asserções são falsas, e a alternativa correta é (E).
Referências: 1) Barbosa, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. Coleção
do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática.
2) Marcondes, Oswaldo. GEOMETRIA. Editora do Brasil S/A. São Paulo, 1964.
QUESTÃO Nº 13
O conjunto dos números complexos pode ser representado geometricamente no
plano cartesiano de coordenadas xOy por meio da seguinte identificação: z = x+yi
P =(x,y). Nesse contexto, analise as afirmações a seguir.
I. As soluções da equação z4 = 1 são vértices de um quadrado de lado 1.
II. A representação geométrica dos números complexos z tais que | | é uma
circunferência com centro na origem e raio.
III. A representação geométrica dos números complexos z tais que Re(z) + Im(z) =1
é uma reta que tem coeficiente angular igual
a radianos.
É correto o que se afirma em
A) I, apenas.
B) II, apenas.
C) I e III, apenas.
D) II e III, apenas.
E) I, II e III.
Gabarito: B.
Tipo de questão: fácil
Conteúdo avaliado: Números Complexos
Autor(a): Duelci Aparecido de Freitas Vaz
Comentário: A questão explora a representação geométrica dos números complexos,
relacionando álgebra e geometria em diversas situações básicas encontradas nos
livros didáticos. Para resolvê-la o aluno precisa saber conceitos básicos de módulo de
número complexos, parte real e imaginária e como calcular raízes de números
complexos. Também poderá utilizar o teorema fundamental da álgebra que nos diz
que um polinômio de grau n possui n raízes no conjuntos dos números complexos.
O item I é sobre as soluções da equação z4 = 1 e suas representações no plano
Argand-Gauss, objetivando verificar se são vértices de um quadrado de lado 1. Pelo
teorema citado, teremos quatro raízes complexas que podem ser obtidas pela fórmula
de De Moivre:
√
)
, k=0,1,2,...n-1.
No caso, devemos calcular as quatro raízes do número complexo 1. Assim, teremos:
√
)
, k=0,1,2,3,4.
Calculando cada uma das raízes teremos:
)
= cos(0) + i sen(0) = 1
)
= cos
+ i sen
= i.
)
= cos + i sen = -1
)
=cos(
) + i sen(
) = -i.
Representando-os no plano complexo, obtemos o polígono que é um quadrado de
lado √ , uma vez que cada medida dos ângulos internos mede 900, que podem ser
calculados utilizando as funções trigonométricas elementares. Também podemos
utilizar o teorema de Pitágoras, do seguinte modo, constatamos que o segmento wt
mede 2 unidades, cada lado mede √ , assim, pela recíproca do teorema de Pitágoras,
constatamos que em z há um ângulo de 900. Repetindo-se este argumento para os
outros triângulos chegamos à mesma conclusão. Portanto este item é falso.
O item II é sobre a representação geométrica dos números complexos z tais que
| | Esse conjunto de ponto é de fato uma circunferência com centro na origem e
raio. Para ver isso, basta aplicar a definição de módulo de um número complexo
| | √ =1, elevando ao quadrado, obtemos: , que é a
circunferência de centro na origem e raio 1. Portanto este item é verdadeiro.
O item III é sobre a representação geométrica dos números complexos z tais que
Re(z) + Im(z) =1. A equação equivale a x+y=1, ou y = -x +1, que é uma reta que tem
coeficiente angular m = -1 e não igual
a radianos. Portanto este item é falso.
Assim, não há gabarito para esta questão.
QUESTÃO Nº 14
Em um plano de coordenadas cartesianas , representa-se uma praça de área P,
que possui em seu interior um lago de área L, limitado por uma curva C fechada,
suave, orientada no sentido contrário aos ponteiros de um relógio. Considere que,
sobre o lago, atua um campo de forças . Supondo que T
representa o trabalho realizado por para mover uma partícula uma vez ao
longo da curva C e que, comparando-se apenas os valores numéricos das grandezas, a
área não ocupada pelo lago é igual a
, conclui-se que
A)
B)
C)
D)
E)
Gabarito: A.
Tipo de questão: média.
Conteúdo avaliado: Campos Vetoriais, Integrais de Linhas e o Teorema de Green no
Plano.
Autor(a): Leonardo Antônio Souto.
Comentário:
A questão exige do aluno conhecimento básicos de campos vetoriais e integrais de
linha. Além disso, o aluno precisa conhecer o Teorema de Green e aplicá-lo na
resolução da questão.
Definição 1. Seja F uma função com valores vetoriais definida numa região R em
tal que . Então F associa cada ponto da região R a
um vetor, sendo F chamado de campo vetorial.
Exemplo 1: define o campo vetorial sobre que é
tangente a circunferência de centro na origem e raio | |.
Exemplo 2: O gradiente de uma função escalar é um campo vetorial. Se for um
campo escalar e F for o campo vetorial gradiente de , isto é, , então F será
chamado campo vetorial gradiente e ф será chamada função potencial de F.
é chamado campo vetorial conservativo de F.
Definição 2: Seja C curva contida em uma bola do com equação vetorial :
, C é chamada curva suave se forem
contínuas no intervalo e que ambas as derivadas não sejam nulas em cada
ponto de . Se um intervalo I puder ser dividido em um número finito de
subintervalos nos quais C é suave, então C será chamada de suave por partes em I.
Definição 3: Seja C uma curva suave do com equação vetorial :
. Considere o Campo de forças , onde
M e N são funções contínuas. O trabalho realizado por F para deslocar uma partícula
ao longo de C de (f(a),g(a)) até (f(b),g(b)), é definido por
∫
∫
Definição 4: Seja C uma curva suave do com equação vetorial :
. Considere o Campo de forças , onde
M e N são funções contínuas. A integral de linha de F, ao longo de C, que denotamos
por ∮
é definida por
∮
∫
sempre que a integral a direita existe.
Para a integral de linha é comum utilizamos a notação
∮
∮
Agora iremos enunciar o Teorema que expressa uma integral de linha ao longo de
uma curva fechada no plano como uma integral dupla sobre a região limitada por essa
curva, que é chamado Teorema de Green. Antes de enunciar o Teorema, iremos
introduzir algumas definições referentes à curva plana.
Definição 5: Seja C uma curva com equação vetorial : ,
A curva C é fechada se o ponto inicial A (f(a), g(a)) e o ponto final
B(f(b),g(b)) coincidem.
Definição 6: Uma curva C é chamada simples, caso ela não se intercepte. Isto é, se
uma equação vetorial de C for e se A for o ponto inicial (f(a),
g(a)) e B o ponto final (f(b(,g(b)), então C será simples entre A e B se
não for o mesmo ponto que ( ) distintos no intervalo (a,b).
Teorema de Green.
Seja C uma curva fechada simples, suave por partes, orientada no sentido anti-
horário, e R a região fechada delimitada por C. Se é
um campo vetorial, onde M e N são funções de duas variáveis com derivadas parciais
de 1º ordem contínuas em uma bola aberta B que contém R, então
∮ ∬(
)
Para resolver o exercício, temos que o trabalho realizado por F para mover uma
partícula ao longo de uma curva C é dado pela integral de linha
∮
∮
Como , as funções
e possuem derivadas parciais de 1º ordem contínuas. Por
hipótese a curva C é suave, fechada, orientada com sentido positivo e
simples. Portanto, podemos utilizar o Teorema de Green.
∮
∮ ∬
∬
∬ ∬ ∬
Nós usamos o fato que a integral dupla ∬
é igual a área da região L.
Portanto
. Como a área da praça é P e a área complementar do lago é
Logo temos:
Logo a alternativa correta é A.
Referências:
1. FLEMMING, Diva M; GONÇALVES, Mirian B. Cálculo A. São Paulo:
Makron Book, 2006.
2. LEITHOLD, Louis, Cálculo com Geometria Analítica, vol. II. São Paulo:
Harba, 2002.
QUESTÃO Nº 15
Para tentar liquidar o estoque de televisores cujo valor oferecido no crédito, após
acréscimo de 20% sobre o valor da tabela, era de R$ 1 320,00, uma loja lançou uma
nova campanha de vendas que ofereceu as seguintes condições promocionais, com
base no valor da tabela:
I. uma entrada de 25%, e o restante em cinco parcelas iguais mensais; ou
II. uma entrada de 60%, e o restante em oito parcelas iguais mensais.
O cliente que comprar o televisor nessa promoção pagará em cada parcela
A R$ 55,00, se escolher a opção II.
B R$ 66,00, se escolher a opção I.
C R$ 192,50, se escolher a opção II.
D R$ 198,00, se escolher a opção II.
E R$ 275,00, se escolher a opção I.
Gabarito: A
Tipo de questão: Fácil. Exige apenas a aplicação de porcentagens e operações de
adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais.
Conteúdo avaliado: matemática financeira (porcentagens).
Autor(a): Maria José Pereira Dantas
Comentário:
A questão aborda um problema simples de matemática financeira. O estudo inicial do
tópico “porcentagem” ocorre no ensino fundamental, dentro do tema “grandezas
proporcionais”. Neste momento são introduzidas algumas ferramentas básicas
utilizadas no mercado, que sem dúvida auxiliam na tomada de decisões. As
porcentagens e parcelamentos aparecem com frequência em anúncios de promoções.
É de suma importância que um cidadão saiba aplicar porcentagens para que possa
tomar decisões e estabelecer uma melhor negociação para aquisição de bens. A
solução será dada utilizando conteúdo básico.
Foi dado no problema que o valor oferecido no crédito para os televisores é de R$
1320,00, o que corresponde ao valor de tabela, que é desconhecido e será
representado por x, com acréscimo de 20%. As condições das vendas para liquidar o
estoque são feitas tomando como base o valor da tabela (x), que deve ser calculado.
Inicialmente calcula-se o valor da tabela (x), que é uma das incógnitas do problema,
através da seguinte equação x+ acréscimo de 20% =1320.
Desenvolvendo o lado esquerdo da equação x+ acréscimo de 20% = x + 0,20. x =
x(1+0,20).
Pode-se escrever, então, que 1,20x = 1320 e tem-se que x = 1320/1,2 = 1100
Portanto, o valor da tabela é de R$ 1100,00.
As condições promocionais foram dadas em função do valor de tabela (x) que é de
R$ 1100,00. Avaliam-se, em seguida, as duas condições promocionais:
I) 25% da entrada e 5 parcelas iguais
Entrada
Calcular 25% de 1100 = 0,25. 1100 = R$ 275,00.
Valor das parcelas (5 parcelas iguais).
(x – Entrada)/5 = (1100 – 275)/5= R$ 165,00
Pode-se, ainda, calcular 75% de 1100 (valor a ser parcelado) e, em seguida,
dividir o valor por 5, para se obter o valor de cada parcela.
75% de 1100 = 825 (valor a ser parcelado)
825/5 = R$ 165 (valor de cada parcela).
II) 60% da entrada e 8 parcelas iguais
Entrada
Calcular 60% de 1100 = 0,60. 1100 = R$ 660,00.
Valor das parcelas (8 parcelas iguais).
(x – Entrada)/5 = (1100 – 660)/8= R$ 55,00
Pode-se, ainda, calcular 40% de 1100 (valor a ser parcelado) e, em seguida,
dividir o valor por 8, para se obter o valor de cada parcela.
40% de 1100 = 440 (valor a ser parcelado)
440/8 = R$ 55 (valor de cada parcela).
Concluindo, o cliente que comprar o televisor nessa promoção pagará em cada
parcela: R$ 165,00, se escolher a opção I e R$ 55,00, se escolher a opção II.
A Resposta correta é A (R$ 55,00, se escolher a opção II).
Referências:
Degenszajn, D.; Hazzan, S.; Iezzi, G. Fundamentos de Matemática Elementar Atual
Editora. Vol. 11 - 2ª Ed. 2013.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio.; Coleção Matemática e
Realidade. São Paulo: Atual Editora, 2009.
IEZZI, Gelson et al.; Coleção Matemática: ciência e aplicações. São Paulo:
Saraiva, 2010.
QUESTÃO Nº 16
Suponha que um instituto de pesquisa de opinião pública realizou um trabalho de
modelagem matemática para mostrar a evolução das intenções de voto nas
campanhas dos candidatos Paulo e Márcia a governador de um Estado, durante 36
quinzenas. Os polinômios que representam, em porcentagem, a intenção dos votos
dos eleitores de Paulo e Márcia na quinzena x são, respectivamente, P(x) = -0,006x2
+ 0,8x + 14 e M(x) = 0,004x2 + 0,9x + 8, em que 0 ≤ x ≤ 36 representa a quinzena,
P(x) e M(x) são dados em porcentagens. De acordo com as pesquisas realizadas, a
ordem de preferência nas intenções de voto em Paulo e Márcia sofreram alterações na
quinzena
A) 6.
B) 12.
C) 20.
D) 22.
E) 30.
Gabarito: Resposta correta: C
Tipo de questão: fácil
Conteúdo avaliado: Função Quadrática
Autor(a): Rosimeyre Gomes da Silva Merib
Comentário:
O ensino da matemática via resolução de problemas é uma estratégia
didática/metodológica importante para o desenvolvimento intelectual do estudante e
para a aprendizagem da matemática, facilitando a contextualização da realidade. Neste
sentido para resolução desta questão é interessante que o estudante conheça do que
trata a modelagem matemática, todavia ele poderia resolvê-la mesmo sem o domínio
deste conceito. Neste contexto, espera-se que o estudante saiba que muitos dos
fenômenos do nosso cotidiano podem ser descritos utilizando-se das funções, em
especial, a quadrática. Consideremos então que o aluno tenha domínio sobre equações
e funções do 2º grau, representação, construção e análise de gráficos das funções
quadráticas como requisito básico para resolução deste item. Segundo o enunciado,
dizer que a ordem de preferência nas intenções de votos sofreu alterações é dizer, por
exemplo, que o segundo (ou o primeiro colocado) mudou de posição. Isto pode
acontecer também com um empate. Realizando uma leitura geométrica das funções
quadráticas, saberemos que o ponto de intersecção entre os dois gráficos (parábolas)
determinará a semana em que irá acontecer o empate. Assim sendo, para as funções
P(x)=-0,006x2 + 0,8x + 14 e M(x) = 0,004x
2 + 0,9x + 8, é importante saber que ao
construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, que:
se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
É importante considerar que toda função quadrática corta o eixo y no ponto de
coordenada (0,y). Substituindo esta informação nas duas funções dadas notamos que
P(0) = -0,006.02+0,8.0+14=14 e M(0) = 0,004.0
2 + 0,9.0 +8=8, isto é, P corta o eixo
y em (0, 14) e M corta o eixo y em (0, 8). Outra informação que o aluno deverá usar é
que P é côncava para baixo enquanto M é côncava para cima, isto indica que
inicialmente, x =0, o candidato Paulo começa com vantagem contando com 14% das
intenções e Maria na desvantagem com 8% das intenções de voto. Assim, existirá um
momento em que elas se encontrarão e que a partir desse momento as intenções de
voto se alternam. Nota-se então, a impossibilidade dos candidatos continuarem
empatados nas semanas posteriores, mostrando que as posições mudarão a partir do
empate. Algebricamente chegaremos à seguinte solução:
P(x) = M(x), ou seja, -0,006x2 + 0,8x + 14 = 0,04x
2 + 0,9x + 8. Igualando a zero e
realizando as devidas operações teremos: -0,01x2 – 0,1x + 6 = 0. É interessante
multiplicarmos a equação por (-100) para termos cálculos mais breves: x2 + 10x –
600 = 0. Utilizando a fórmula de Bháskara: √
, ou seja:
√
x’ = -30 ( Não serve como solução pois 0 ≤x≤ 36). Assim: x” = 20 é a solução
procurada. Geometricamente esta questão pode ser resolvida com a construção dos
gráficos das funções P(x) e M(x) no mesmo plano cartesiano:
Logo, na vigésima semana teremos a referida alteração.
Resposta correta: C
Esta questão é considerada fácil por se tratar de um conteúdo trabalhado tanto
no ensino fundamental quanto no ensino médio.
Referências:
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Livro do aluno. São Paulo: Ática, 2004. V.1.
PAIVA, Manuel Rodrigues. Matemática. São Paulo: Moderna, 1955.
Questão 17
Considere a função IRIRf : definida por 45)( 24 xxxf , para cada .IRx
A área da região limitada pelo gráfico da função )(xfy , o eixo x0 e as retas
0x e 2x é igual a
A. 15
16 unidades de área.
B. 15
38 unidades de área.
C. 15
44 unidades de área.
D. 15
60 unidades de área.
E. 15
76 unidades de área
Gabarito: D
Tipo de questão: média
Conteúdo avaliado: Gráficos de funções; Conceito de área e Integral de função de
uma variável
Autora: Vanda Domingos Vieira
A área região solicitada no exercício é limitada pela função 45)( 24 xxxfy
e pelas retas 0x e 2x
Para resolver está questão é necessário conhecer o gráfico da função para visualizar a
região correspondente à área que deve ser calculada.
Para isso é importante determinar as interseções com os eixos coordenados fazendo:
1) x = 0 temos y = 4
2) y = 0
Como é um caso particular de equação do quarto grau, fazemos uma mudança de
variável 2xz e transformamos a 045 24 xx na equação de segundo grau
0452 zz , encontrando
x = - 2, x = -1, x = 1 e x = 2
Após encontrar as interseções temos no intervalo de [0,2] os pontos : (0, 4), (1,0)
e (2, 0). Para representar o gráfico achamos necessário encontra mais um ponto
entre (1, 0) e (2, 0) fazendo 2
3x .Assim encontramos o ponto
16
35,
2
3
Para calcular a área dividimos a região, Sendo a primeira região representada pela
integral dxxxAR )45( 2
1
0
4
1 =
0
14
3
5
5
35
x
xx=
15
38
A segunda região representada pela integral dxxxAR )45( 2
2
1
4
2 =
1
24
3
5
5
35
x
xx =
15
22
A área da região pedida será 21 RRR AAA =
15
60
15
22
15
38 em unidades de
área mostrando que letra D é a correta
Referências:
1) Fleming, Diva Marilia e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A – São Paulo: Person
Prentice Hall, 2006
2) Leithold, Louis – O Cálculo Com Geometria Analítica, 3ª Edição – São Paulo
Editora Harbra LTDA, 1994
3) Stewart, James. Cálculo vol. I, 5ª edição. Editora Pioneira
Questão 18
Duas grandezas x e y são ditas comensuráveis se existe um número racional q tal
que a medida de x é igual a q vezes a medida de y.
Com base nesse conceito, são grandezas comensuráveis
A)a aresta de um cubo de volume V e a aresta de um cubo de volume 2V.
B) a área e o perímetro de um círculo, quando o raio é um número racional.
C) a área e o diâmetro de um círculo, quando o raio é um número racional.
D)o comprimento e o diâmetro de uma circunferência .
E)a diagonal de um quadrado.
Gabarito: B
Tipo de questão: fácil
Conteúdo avaliado: conceito de medida, medidas de áreas, medidas de volume,
perímetro de figuras planas e números racionais
Autora: Vanda Domingos Vieira
Vamos apresentar as soluções de dois itens, para melhor compreender a definição. A
resolução será realizada usando apenas a definição.
Pela definição apresentada temos que x e y são grandezas comensuráveis se x = q.y
ou qy
x
A. Seja x a aresta de um cubo de volume V. Então V = x3 neste caso
3 Vx
Seja y a aresta de um cubo de volume 2V. Então 2V= y3 neste caso
333 .22 VVy .
333
3
2
1
.2
V
V
y
x e temos que yx
3 2
1
No entanto 3 2
1não é um número racional, por isso não são grandezas
comensuráveis.
B. Considerando X = Ac a área do círculo y = Pc o perímetro do círculo
Ac = 2.r Pc = r.2
2.2
. 2 r
r
r
y
x
e temos que y
rx
2
Como r é um número racional, 2
r também é um número racional. Logo são grandezas
comensuráveis. E solução é a letra B.
QUESTÃO Nº 19
Sob certas condições, o número de colônias de bactérias, t horas após ser preparada a
cultura, é dada pela função O tempo mínimo necessário
para esse número ultrapassar 6 colônias é de
A) 1 hora.
B) 2 horas.
C) 3 horas.
D) 4 horas.
E) 6 horas.
Gabarito: A
Tipo de questão: fácil
Conteúdo avaliado: função exponencial e função quadrática
Autor(a): Duelci Aparecido de Freitas Vaz
Comentário: A questão é uma aplicação de funções. Para resolvê-la o aluno precisa
estabelecer a desigualdade . O que implica
resolver uma inequação do segundo grau pela transformação:
e fazendo z = , obtendo z2 . Calculando as raízes obtemos: z = 3 ou z
= -1. O gráfico abaixo indica que a solução procurada se dá a partir do momento em z
, ou , o que nos dá t Assim, o menor valor para o qual
é t
Referências:
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar – geometria analítica. São
Paulo: Atual, 1993.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol. 1 e 2, São Paulo: Harbra &
Row do Brasil, 1977.
QUESTÃO Nº 20
Considerando a, b e c pertencentes ao conjunto dos números naturais e representando
por a|b a relação “a divide b”, analise as proposições abaixo.
I. Se a|(b + c), então a|b ou a|c.
II. Se a|bc e mdc(a,b) = 1, então a|c.
III. Se a não é primo e a|bc, então a|b ou a|c.
IV. Se a|b e mdc(b,c) = 1, então mdc(a,c) = 1.
É correto apenas o que se afirma em
A ) I.
B) II.
C) I e III.
D) II e IV.
E) III e IV.
Gabarito: D
Tipo de questão: média.
Conteúdo avaliado: Teoria dos números – Divisibilidades no conjunto dos números
naturais e suas propriedades.
Autor(a): José Elmo de Menezes
Comentário:
Esta questão envolve conceitos básicos de teoria dos números, aplicando a definição
da divisão exata de números naturais, as propriedades dos números primos na divisão
e as propriedades do máximo divisor comum (MDC).
Definição 1: Diz-se que um número natural a é divisor do número natural b ou que o
número natural b é divisível por a se é possível encontrar um número natural q tal que
aq=b.
Definição 2: Dizemos que uma número natural p( p diferente de 1) é primo, se os
seus únicos divisores naturais são 1 e ele mesmo.
Definição 3 : Dizemos que dois números naturais a e b são primos entre si, se o maior
divisor comum de a e b é 1, ou seja, a e b são primos entre si, se e somente se o
mdc(a,b)=1.
Propriedade: O mdc(a,b)=1 se e somente se existem inteiros x,y tais que ax+by=1.
Para verificar se uma proposição é falsa, basta dar um contra-exemplo, neste caso é
fácil mostrar que as proposições I e III são falsas, pois:
a) 7|(8+6) mas 7 não divide 8 e 7 não divide 6, portanto a proposição I é falsa;
b) O número 4 não é primo, pois 4=2.2 e 4|(2.6), mas 4 não divide 2 e 4 não
divide 6, portanto a proposição III também é falsa.
Para demonstrarmos que as proposições II e IV são verdadeiras, usaremos a seguinte
propriedade:
P1: O mdc(a,b)=1 se e somente se existem inteiros x,y tais que ax+by=1..
Logo com a|bc e mdc(a,b) =1 então, existem x e y tais que ax+by=1(1). Multiplicando
a equação (1) por c, obtemos, acx+bcy=c (2). Como a|bc, temos que existe um
número natural q tal que aq=bc, logo (2) pode ser reescrita na forma:
acx+aqy=a(cx+qy)=c, ou seja c é um múltiplo de a e portanto a|c, conseqüentemente
a proposição II é verdadeira. Da mesma forma, se o mdc(b,c)=1, então existem
inteiros x e y tais que, bx+cy=1 (3), além disso, se a|b então existe um inteiro q, tal
que aq=b (4). Substituindo (4) em (3) obtemos, a(qx)+ cy=1 e portanto pela
propriedade P1, o mdc(a,c)=1e proposição IV é verdadeira.
Desta forma temos que. as proposições I e III são falsas e as proposições II e IV são
verdadeiras, e portanto a alternativa correta é a D.
Referências:
1)Alencar Filho, Edgar. Elementos de Álgebra Abstrata – São Paulo: Nobel, 1978.
2) Domingues, Hygino H., Iezzi, Gelson. Álgebra Moderna- São Paulo, 4ª Edição,
Editora Saraiva, 2003.
QUESTÃO Nº 21
Os analistas financeiros de uma empresa chegaram a um modelo matemático que
permite calcular a arrecadação mensal da empresa ao longo de 24 meses, por meio da
função
Em que é o tempo, em meses, e a arrecadação é dada em milhões
de reais. A arrecadação da empresa começou a decrescer e, depois, retomou o
crescimento, respectivamente, a partir dos meses
e
e
e
e
e
Gabarito: D
Tipo de questão: fácil.
Conteúdo avaliado: Derivadas de funções de uma variável real.
Autor(a): Sérgio Reis Fernandes
Comentário:
Esta questão envolve funções de grau 2 e funções de grau 3, ea análise do
comportamento destas funções num intervalo real.
Para resolver esta questão é necessário conhecimento de propriedades do Cálculo
Integral e Diferencial I, tais como: conceito de uma função crescente e decrescente,
regras de derivação de funções de uma variável real, teorema relativo ao crescimento
de uma função.
Uma função definida num intervalo é crescente em , quando para
, sendo e pontos desse intervalo . Uma função definida num
intervalo é decrescente em , quando para , sendo e
pontos desse intervalo . Para determinar os intervalos onde uma função é crescente
ou decrescente, usa-se o seguinte teorema:
Seja uma função contínua em um intervalo fechado e diferenciável no intervalo
aberto .
I. Se para todo valor de em , então é crescente em
II. Se para todo valor de em , então é decrescente em
Para identificar onde a arrecadação da empresa é decrescente e crescente, é
necessário obter a derivada da função , que é uma função polinomial do terceiro
grau, portanto será usada a regra de derivação de uma potência. Logo,
Como a função está definida para , temos que para
implica que e . Para temos
, daí é crescente nos intervalos , e
decrescente no intervalo
Geometricamente, como é uma função quadrática com o coeficiente de é
positivo, sabemos que o gráfico de é uma parábola com concavidade voltada
para cima,
Neste caso, o sinal de é: Positiva nos intervalos , e negativa
nos intervalos . Portanto a arrecadação da empresa começou a decrescer a
partir do mês 9 e voltou a crescer no mês 13 no período de 0 a 24 meses, conclui-se
que a alternativa correta é a D.
Referências: 1) Fleming, Diva Marília e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A – São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
2) Guidorizzi, Hamilton Luis. Um curso de cálulo Vol. I. Ed. L.T.C.
3) Stewart, James. Cálculo vol. I 5ª edição. Editora Pioneira.
QUESTÃO Nº 22
Considere , em que e são funções reais
quaisque, deriváveis até a segunda ordem, com para todo e . Nesse caso,
é igual a
A)
B)
C)
D)
E)
Gabarito: E
Tipo de questão: Fácil
Conteúdo avaliado: Derivadas Sucessivas e Regra da Cadeia
Autor(a): Bianka Carneiro Leandro
Comentário:
Esta questão envolve os conceitos de derivada da composição de funções de duas
variáveis com funções de uma única variável real, juntamente com a definição de
derivadas sucessivas. Para resolver esta questão é necessário o conhecimento de
Regra da Cadeia, para a derivação de composição de funções e também de derivação
de segunda ordem.
Sendo , dada por e , dada por
, tem-se que , é dada por
. Aplicando-se a Regra da Cadeia para estas composições
obtém-se que
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Agora pela teoria das derivadas sucessivas tem-se que
e
. Logo combinando esse fato com a Regra da Cadeia obtém-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Como tem-se, por hipótese, que , para todo e , obtem-se que
( ) ( )
( ) ( )
O que confere resposta letra B.
Referências: 1) Fleming, Diva Marília e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo B – São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
2)Guidorizzi, Hamilton Luis. Um Curso de Cálculo Vol. II. Ed. L.T.C.
3) Stewart, James. Cálculo vol. II 5ª edição. Editora Pioneira.
QUESTÃO Nº 23
Catedral Metropolitana de Brasília
A construção da Catedral, projeto do arquiteto Oscar Niemeyer, teve início em 12 de
agosto de 1958, em plena construção da nova capital. Em 1959, mesmo antes da
inauguração de Brasília (1960), a sua forma estrutural (pilares de concreto armado, na
forma de um hiperbolóide de revolução) já estava pronta. O fechamento lateral entre
os pilares só ocorreu em 1967, pouco antes de sua consagração, em 12 de outubro do
mesmo ano, ocasião em que recebeu a imagem de Nossa Senhora Aparecida. De 1969
a 1970, o complexo foi concluído com o espelho d´água ao redor da Catedral, o
batistério e o campanário.
PORTO, C. E. Um estudo comparativo da forma estrutural de dois monumentos
religiosos em Brasília: A Catedral e o Estupa Tibetano. Disponível em:
<www.skyscraperlife.com/arquitetura-e-discussoes-urbanas/22122-obrasde-oscar-
niemeyer.html>. Acesso em 30 ago. 2011.
Nesse contexto, considere na figura abaixo os elementos principais da hipérbole
associada aos arcos hiperbólicos da Catedral Metropolitana de Brasília.
Supondo que o eixo real (ou eixo transverso) da hipérbole na figura II mede 30 m e
que a distância focal mede 50 m, analise as seguintes asserções.
Se F1=(-c,0) é o foco da hipérbole, então a diretriz associada a ela é a reta d1: x+9=0
.
PORQUE
A equação reduzida dessa hipérbole é
.
A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa
correta da primeira.
B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma
justificativa da primeira.
C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição
falsa.
D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição
verdadeira.
E) Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.
Gabarito: A
Tipo de questão: fácil
Conteúdo avaliado: Geometria Analítica, especificamente, cônica e quádricas
(hipérbole e hiperbolóide)
Autor(a):Valdemar Pereira Lopes
Comentário: a questão traz um breve histórico sobre o projeto e a construção da Catedral Metropolitana de
Brasília, projeto estampado na figura I e de autoria do arquiteto Oscar Niemeyer. A figura II mostra os principais
elementos da hipérbole associada aos arcos hiperbólicos da Catedral Metropolitana de Brasília.
Para resolver esta questão e confirmar a resposta correta, foram utilizados os seguintes procedimentos:
sendo o eixo transverso (ou eixo real) da hipérbole indicado por e a distância focal por então, e
Daí, e . Sabendo-se que para a hipérbole vale a relação então,
.
Para a hipérbole indicada na figura II, a equação correspondente a ser utilizada é:
.
O centro da hipérbole é o ponto , ou seja, é a origem dos eixos coordenados cartesianos. Assim,
a equação da hipérbole toma a forma
ou
. Desta forma, a segunda asserção
é verdadeira.
O vértice da hipérbole é o ponto
O foco correspondente é o ponto .
Sendo a reta diretriz correspondente ao foco , temos, por definição de
hipérbole, que é uma cônica, que:
onde: é um ponto genérico da hipérbole, é um dos
focos, é um ponto da diretriz tal que é a distância medida do ponto P considerado à diretriz e
é a excentricidade da hipérbole. No caso em estudo,
.
Tomando o ponto coincidindo com o vértice ou seja, fazendo e usando a definição
de hipérbole, temos que
onde é o ponto de interseção da diretriz com o eixo transverso
(ou com o eixo de simetria da hipérbole), que se acha sobre o eixo dos x (abscissas).
Assim, – e | | | |.
Logo,
| |
| | | | | |
| | , uma vez que Portanto, a diretriz correspondente ao foco é a reta
e a primeira asserção é verdadeira.
CONCLUSÃO: as duas asserções são verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
Logo, (A) é a alternativa correta.
Referências: 1) Winterle, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo.
Pearson Makron Books, 2000. 2) LEITHOLD, Louis. “O Cálculo com Geometria
Analítica, volumes I e II.” Editora Harbra. São Paulo. 1982.
QUESTÃO Nº 24
Um instrumento de desenho é constituído de três hastes rígidas AB, AC e BD,
articuladas no ponto A, mas fixas em B. A figura a seguir é um esquema desse
instrumento, em que as hastes foram substituídas por segmentos de reta.
Na extremidade C, foi colocado um grafite que permite desenhar, sobre uma folha
de papel, uma curva γ ao se girar AC em torno de A, mantendo-se fixos AB e BD,
que são lados do ângulo α. Nessa situação, qualquer que seja o ângulo agudo α, a
curva γ interceptará a semirreta de origem B e que passa por D em
A) dois pontos E e F distintos, e os triângulos BAE e BAF são congruentes.
B) dois pontos E e F distintos, e os triângulos BAE e BAF são semelhantes, mas
não congruentes.
C) um único ponto se, e somente se,
.
D) D um único ponto se, e somente se,
.
E) E nenhum ponto se, e somente se,
.
Gabarito: E
Tipo de questão: difícil
Conteúdo avaliado: Geometria Plana, Desenho Geométrico e Trigonometria
Autor: Valdemar Pereira Lopes
Comentário: A questão em pauta torna-se um tanto confusa desde que na sua
resolução não se leve em conta e interprete corretamente a expressão “se, e somente
se”, e também não percebendo que AB e BD são mantidos fixos, lados do ângulo
Para resolver esta questão e confirmar a resposta correta, utilizamos os seguintes
procedimentos:
1). a curva y descrita ao girar a haste , em torno de A, interceptará a semirreta de
origem B contendo D em dois pontos distintos, E e F,se, e somente se, a medida
de for maior do que a distância do ponto C à referida semirreta e, ainda,
Neste caso, o triângulo AEF é isósceles e os triângulos BAE e BAF
não são congruentes, uma vez que e, portanto, (ao
maior ângulo opõe-se o maior lado). No caso contrário, ou seja, se a medida da haste
for maior do que a distância do ponto C à semirreta de origem B contendo D,
então a curva y interceptará a mencionada semirreta em dois pontos distintos, E e F.
Como os triângulos BAE e BAF não são congruentes, então a alternativa (A) é
falsa.
2).Usando o mesmo raciocínio utilizado em 1), conclui-se que os triângulos BAE e
BAF não são congruentes e nem semelhantes, uma vez que dois triângulos são
semelhantes quando tem, respectivamente:
(a) os três ângulos congruentes
(b) os três lados proporcionais.
Como (ângulo comum), ,
então os triângulos BAE e BAF não são semelhantes e nem congruentes. Logo, a
alternativa (B) é falsa.
3). Se a medida da haste é igual a distância de A até a semirreta de origem B
contendo D, então a curva y tangenciará a semirreta em um único ponto C e, neste
caso, o triângulo BAC, com C sobre a semirreta, é retângulo e
.
Portanto, se
então a curva y tangencia a semirreta de origem B
contendo D em um único ponto (ponto de tangência). No entanto, se a medida da
haste for maior do que , a curva y descrita pelo giro da haste
com centro em A, interceptará a semirreta de origem B contendo D em apenas
um único ponto C, também. Mas, neste caso,
Assim, se a curva y descrita pelo giro da haste em torno de A intercepta a
semirreta de origem B, contendo D, em um único ponto, nada garante que
Pode ser que
dependendo se = distância de A
à semirreta ou se . Desta maneira, as alternativas (C) e (D) também são
falsas.
4). No caso da medida da haste ser menor do que a distância do ponto A à
semirreta de origem B contendo D, então, aí, não haverá ponto de interseção da
curva y com essa semirreta e, consequentemente,
. Logo,
distância de A à semirreta de origem B contendo D
A alternativa correta é (E).
Situações possíveis
Referências: 1). Barbosa, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana.
Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática.
2). Marcondes, Oswaldo. GEOMETRIA. Editora do Brasil S/A. São Paulo, 1964.
3). Penteado, José Arruda. curso de desenho. COMPANHIA EDITORA
NACIONAL. São Paulo. 1970 .
QUESTÃO Nº 25
Considere uma função diferenciável e suponha que define
implicitamente funções não nulas e diferenciáveis , e
. Nessa situação, analise as afirmações abaixo.
I.
.
II. Se , então
.
III.
.
É correto o que se afirma em
A)II apenas
B)III apenas
C)I e II apenas
D)I e III apenas
E)I, II e III
Gabarito: C
Tipo de questão: Médio
Conteúdo avaliado: Derivada parcial e Teorema da Função Implícita
Autor(a): Bianka Carneiro Leandro
Comentário:
Esta questão envolve a definição de derivada parcial e a aplicação do Teorema da
Função Implícita.
Definição: Seja uma função diferenciável, então a derivada parcial de
com respeito à variável , , é dada por
caso este limite exista.
Teorema da Função Implícita: Seja uma função de classe . Um
ponto do será denotado por , onde e . Suponha que
e
.
Então existe uma bola aberta , contendo e uma vizinhança de , tal
que , para uma única função de classe em e que satisfaça
( ) . Além disso,
.
Para o julgamento da afirmação I basta aplicar a definição de derivada parcial, acima
mencionada, à função . Desta forma, verifica-se a veracidade da
afirmação I.
Para o julgamento da afirmação II basta aplicar o Teorema da Função Implícita,
acima mencionado, à função . Desta forma, verifica-se a veracidade da afirmação II.
Para o julgamento da afirmação III basta aplicar o Teorema da Função Implícita à
função . Donde obtem-se
Se , então
,
se , então
,
se , então
.
Neste caso, obtém- se
.
Donde observa-se que a afirmação III é falsa.
Referências: 1) Fleming, Diva Marília e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo B – São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
2) Guidorizzi, Hamilton Luis. Um curso de Cálculo Vol. II e Vol III. Ed. L.T.C.
3) Stewart, James. Cálculo vol. II 5ª edição. Editora Pioneira.
QUESTÃO Nº 26
Na Sociologia da Educação, o currículo é considerado um mecanismo por meio do
qual a escola define o plano educativo para a consecução do projeto global de
educação de uma sociedade, realizando, assim, sua função social. Considerando o
currículo na perspectiva crítica da Educação, avalie as afirmações a seguir.
I. O currículo é um fenômeno escolar que se desdobra em uma prática pedagógica
expressa por determinações do contexto da escola.
II. O currículo reflete uma proposta educacional que inclui o estabelecimento da
relação entre o ensino
e a pesquisa, na perspectiva do desenvolvimento profissional docente.
III. O currículo é uma realidade objetiva que inviabiliza intervenções, uma vez que o
conteúdo é condição lógica do ensino.
IV. O currículo é a expressão da harmonia de valores dominantes inerentes ao
processo educativo.
É correto apenas o que se afirma em
A) I.
B) II.
C) I e III.
D) II e IV.
E) III e IV.
Gabarito: B
Tipo de questão: múltipla escolha. Grau de dificuldade: média
Conteúdo avaliado: Organização e desenvolvimento do currículo; fatores sociais e
culturais na construção do currículo.
Autor (a): Nelson Carneiro Júnior
Comentário:
A questão proposta realiza uma discussão acerca da formulação dos currículos tendo
como ponto de partida a perspectiva crítica da Educação. É perceptível, nesta visão
crítica, o discurso de que o sistema educativo serve a interesses concretos e eles se
refletem no currículo. Sacristan (2000, p. 20) indica que o currículo “deve ser visto
como uma construção social que preenche a escolaridade de conteúdos e orientações
que nos leva a analisar os contextos concretos que lhe vão dando forma e conteúdo,
antes de passar a ter alguma realidade como experiência de aprendizagem para os
alunos”.
A perspectiva crítica se contrapõe a inúmeras perspectivas que identificava no
currículo apenas como um conjunto de disciplinas que transmitem conteúdos
necessários para a inserção do indivíduo na sociedade. O currículo se revela como um
espaço de luta e conflitos. “A sociologia critica denuncia o papel da escola como
reprodução da estrutura social, sustenta a importância da ação dos sujeitos e as
possibilidades de um currículo crítico centrado na cultura dos oprimidos”.
(LIBÂNEO, 2013, p. 150)
A questão procura inserir o professor nessa discussão, principalmente aquele que já
atua em sala de aula e apresenta uma visão superficial sobre o que é realmente a
função do currículo a ser seguido em uma organização escolar. A primeira alternativa
é descartada logo no início, pois reafirma a idéia de que o currículo é apenas um
fenômeno escolar determinado pelo contexto da escola, não sendo a ideia
compartilhada na visão crítica acerca do currículo.
Para Carvalho e Diogo (1994), o currículo reflete intenções (objetivos) e ações
(conhecimentos), tornadas de realidade pelo trabalho dos professores e sob
determinadas condições providas pela organização escolar, tendo em vista a melhor
qualidade do processo de ensino e aprendizagem. Por isso, a alternativa III está
incorreta, pois não identifica a possibilidade de transformações sociais a partir do
currículo. Outros fatores são importantes para a condição lógica do ensino, como o
processo de mediação a ser construída pelos agentes envolvidos como, por exemplo, o
ensino do aprender a pensar e aprender a aprender.
Sendo espaço de luta e conflito, o currículo não pode ser a expressão da harmonia de
valores dominantes inerentes ao processo educativo, pois ele reafirma exatamente o
contrário, ao revelar os mecanismos de dominação e sustentação ideológica que existe
em um determinado contexto. Por isso, a alternativa IV está incorreta.
Desta forma, afirmativas II (com Gabarito B) é a correta. Masetto (2012) afirma que
para construir um currículo é necessário observar o que está acontecendo na
sociedade, às mudanças que estão se operando, as necessidades atuais da população, e
as representações e os contatos com a realidade. Depois, o professor deveria
reconsiderar suas especialidades, pesquisas e procurar compor com o que sentiram e
perceberam na sociedade a fim de atualizar e apresentar um determinado currículo.
Referências:
CARVALHO A, DIOGO F. Projecto educativo. Porto: Afrontamento, 1994.
LIBÂNEO, J. C.Organização e gestão da escola. 5. ed. Revista e ampliada. Goiânia:
Editora Alternativa, 2004.
MASETTO, M. T. O docente do ensino superior e o currículo de seu curso. In:
Competência pedagógica do professor universitário.São Paulo: Summus Editorial,
2003. p. 75-83.
SACRISTÁN, J. G. O Currículo: uma reflexão sobre a prática. Porto Alegre:
ArtMed, 2000.
QUESTÃO Nº 27
O fazer docente pressupõe a realização de um conjunto de operações didáticas
coordenadas entre si. São o planejamento, a direção do ensino e da aprendizagem e a
avaliação, cada uma delas desdobradas em tarefas ou funções didáticas, mas que
convergem para a realização do ensino propriamente dito.LIBÂNEO, J. C. Didática.
São Paulo: Cortez, 2004, p. 72.
Considerando que, para desenvolver cada operação didática inerente ao ato de
planejar, executar e avaliar,o professor precisa dominar certos conhecimentos
didáticos, avalie quais afirmações abaixo se referem a conhecimentos e domínios
esperados do professor.
I. Conhecimento dos conteúdos da disciplina que leciona, bem como capacidade de
abordá-los de modo contextualizado.
II. Domínio das técnicas de elaboração de provas objetivas, por se configurarem
instrumentos quantitativos precisos e fidedignos.
III. Domínio de diferentes métodos e procedimentos de ensino e capacidade de
escolhê-los conforme a natureza dos temas a serem tratados e as características dos
estudantes.
IV. Domínio do conteúdo do livro didático adotado, que deve conter todos os
conteúdos a serem trabalhados durante o ano letivo.
É correto apenas o que se afirma em
A I e II.
B I e III.
C II e III.
D II e IV.
E III e IV.
Gabarito: B
Tipo de questão: múltipla escolha. Grau de dificuldade: média
Conteúdo avaliado: O fazer docente: o planejamento, a direção do ensino e da
aprendizagem ea avaliação.
Autor(a): Eliane Silva
Comentário:
A prática pedagógica desenvolve ações docentes básicas para o processo de ensino
que visa à aprendizagem, para tanto deve ser permeada por ações intencionais, quais
sejam: o planejamento, a direção do ensino e da aprendizagem e o processo de
avaliação. Neste sentido, necessariamente, o professor deve ter domínio dos conteúdos
a serem ensinados na disciplina para a qual ministrará aula, trabalhando-os de forma
contextualizada. Em meio às atitudes intencionais planejadas pelo professor
encontram-se os métodos, os procedimentos de ensino e os recursos didáticos que
precisam ser selecionados de acordo com a realidade da turma e a natureza do
conteúdo em estudo.Desta forma, as afirmativas I e II (com Gabarito B) estão
corretas. As afirmativas II e IV não estão corretas porque o professor não deve se ater
ao mero conhecimento de técnicas para assegurar a qualidade do fazer pedagógico,
assim como não deve se limitar apenas ao livro didático adotado, uma vez que nem
sempre ele contempla todo o conteúdo a ser desenvolvido no ano letivo.
Referências:LIBÂNEO, J. C. Didática. São Paulo: Cortez, 2013.
MASETTO, Marcos Tarciso. Didática: a aula como centro. São Paulo: FTD, 2007.
QUESTÃO Nº 28.
Figura. Brasil: Pirâmide Etária Absoluta (2010-2040) Disponível em:
<www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/projecao_da_populacao/piramide/piramide.shtm>.
Acesso em: 23 ago. 2011.
Com base na projeção da população brasileira para o período 2010-2040 apresentada
nos gráficos, avalie as seguintes asserções.
Constata-se a necessidade de construção, em larga escala, em nível nacional, de
escolas especializadas na Educação de Jovens e Adultos, ao longo dos próximos 30
anos.
PORQUE
Haverá, nos próximos 30 anos, aumento populacional na faixa etária de 20 a 60 anos e
decréscimo da população com idade entre 0 e 20 anos.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
A As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa
correta da primeira.
B As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma
justificativa da primeira.
C A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição
falsa.
D A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição
verdadeira.
E Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.
Gabarito: D
Tipo de questão: Média.
Conteúdo avaliado: leitura e análise de gráficos (letramento em estatística).
Autor(a): Maria José Pereira Dantas
Comentário:
O letramento estatístico é de suma importância para estudantes de qualquer área de
formação. Tem sido definido como a habilidade do indivíduo interpretar e avaliar de
forma crítica as informações estatísticas (GAL, 2002), considerando os argumentos
relacionados aos dados ou aos fenômenos apresentados e contextualizados. O letrado
estatisticamente necessita também ter habilidade para discutir ou comunicar sua
compreensão diante de tais informações, podendo emitir opiniões sobre suas
implicações e fazer considerações acerca da aceitação das conclusões fornecidas. A
análise dos dados deve se ater ao que foi apresentado, sem subjetividades, sem ir para
além dos dados expostos.
Gráficos apresentados na questão.
Em uma pirâmide etária absoluta, o grupo da base, geralmente surge em maior
número que o grupo seguinte, e este por sua vez, apresenta-se maior que o grupo do
topo, formando o desenho de uma pirâmide (razão de seu nome).
No modelo de pirâmide apresentada, o eixo vertical indica a escala de idades, e o
horizontal a população masculina de um lado e a feminina no outro, representada por
barras, de acordo com o número absoluto.
Análise dos gráficos.
No período de previsão 2010 a 2040, a pirâmide etária se encaminha para uma
pirâmide adulta (a base é ainda larga, mas existe um aumento da classe dos adultos e
dos idosos, significando que a taxa de natalidade está diminuindo e a esperança
média de vida aumentando). Em 2040 o gráfico tende para uma pirâmide
envelhecida (base mais estreita do que a classe dos adultos, significando uma
diminuição da natalidade e um aumento da esperança média de vida – é o tipo de
pirâmide dos países desenvolvidos).
Os gráficos são a base para avaliação das duas asserções apresentadas. É possível
avaliar as alterações ocorridas nos gráficos correspondentes às populações estimadas
nas faixas etárias. Basta traçar alguns elementos auxiliares: linhas horizontais e
verticais em pontos estratégicos, e ainda triângulos equiláteros sobre cada gráfico,
para verificação das alterações mais expressivas.
Observando os gráficos, com a ajuda dos elementos auxiliares, sem detalhar homens
e mulheres, tem-se:
Período de 2010 a 2020: leve diminuição nos nascimentos; aumento da
população de entre 10 e 20 anos; aumento entre 30 e 40 anos; aumento no topo
da pirâmide (população envelhecendo);
Período entre 2020 e 2030: observa que a tendência para o envelhecimento da
população continua.
Período de 2030 a 2040: diminuição na base da pirâmide (quantidade menor de
nascimentos, que se evidencia pela diminuição da população jovem); aumento
expressivo na faixa de 45 a 60 anos; aumento expressivo na população acima
com 60 anos ou mais.
A segunda asserção está diretamente relacionada com os gráficos apresentados, pois
afirma:
“Haverá, nos próximos 30 anos, aumento populacional na faixa etária de 20
a 60 anos e decréscimo da população com idade entre 0 e 20 anos.”
Assim a asserção é uma proposição verdadeira. Nas bases das pirâmides (entre
0 e 20 anos) observa-se, de fato, uma diminuição nas populações de homens e
mulheres. Por outro lado, na faixa intermediária (20 a 60 anos) observa-se um
aumento nas populações de homens e mulheres.
A primeira asserção se relaciona indiretamente com os gráficos apresentados e diz:
“Constata-se a necessidade de construção, em larga escala, em nível
nacional, de escolas especializadas na Educação de Jovens e Adultos, ao
longo dos próximos 30 anos.”
A asserção é uma proposição falsa. O gráfico não é suficiente para se fazer tal
constatação. Os gráficos não apresentam informações sobre outras variáveis,
apenas apresentam o crescimento populacional na faixa de 20 a 60 anos. Isto
não é suficiente para inferir a necessidade de altos investimentos nacionais na
educação de jovens e adultos. Outras variáveis deveriam ser examinadas para
tal constatação.
Referências:
PIMENTEL, Carla. Pirâmides etárias. Disponível em: <http://geo-
geografias.blogspot.com.br/2010/01/piramides-etarias.html>. Acesso em: 24/06/14.
MONTEIRO, Carlos Eduardo Ferreira. Interpretação de gráficos: atividade social e
conteúdo de ensino. Disponível em:
http://www.ufrrj.br/emanped/paginas/conteudo_producoes/docs_22/carlos.pdf.
Acesso em: 24/06/14.
Wallman, K. K. (1993). 'Enhancing Statistical Literacy: Enriching Our Society', as
cited in the Journal of the American Statistical Association, Vol88, No 421.
GAL, I. Adult’s Statistical literacy: Meanings, Components, Responsabilities.
International Statistical Review, n. 70, 2002
QUESTÃO Nº 29
Na escola em que João é professor, existe um laboratório de informática, que é
utilizado para os estudantes trabalharem conteúdos em diferentes disciplinas.
Considere que João quer utilizar o laboratório para favorecer o processo de ensino-
aprendizagem, fazendo uso da abordagem da Pedagogia de Projetos. Nesse caso, seu
planejamento deve
A. ter como eixo temático uma problemática significativa para os estudantes,
considerando as possibilidades tecnológicas existentes no laboratório.
B. relacionar os conteúdos previamente instituídos no início do período letivo e os
que estão no banco de dados disponível nos computadores do laboratório de
informática.
C. definir os conteúdos a serem trabalhados, utilizando a relação dos temas
instituídos no Projeto Pedagógico da escola e o banco de dados disponível nos
computadores do laboratório.
D. listar os conteúdos que deverão ser ministrados durante o semestre, considerando a
sequência apresentada no livro didático e os programas disponíveis nos computadores
do laboratório.
E. propor o estudo dos projetos que foram desenvolvidos pelo governo quanto ao uso
de laboratórios de informática, relacionando o que consta no livro didático com as
tecnologias existentes no laboratório.
Gabarito: A
Tipo de questão: fácil
Conteúdo avaliado: Processo ensino-aprendizagem, abordagem pedagógica -
Pedagogia de Projetos
Autor(a): Rose Mary Almas de Carvalho
Comentário:
Considerada como uma postura pedagógica, a abordagem da Pedagogia de
Projetos propõe que os saberes escolares estejam integrados aos saberes sociais.
Possibilita, desse modo, que o aluno estude e aprenda algo que traga sentido e tenha
significado para a sua vida. Essa abordagem pressupõe uma metodologia de trabalho
pedagógico com a participação ativa do aluno e do professor no processo de ensino-
aprendizagem. Exige do aluno uma postura compromissada com o seu processo de
construção do conhecimento que está permeado pelas práticas vivenciadas na busca
de informações e da realidade investigada. Nesse processo, o professor auxilia o
aluno na identificação da situação-problema e nas suas reflexões, incentivando novas
buscas, descobertas, compreensões e reconstruções de conhecimento.
Entre as alternativas apresentadas, a correta é a alternativa A, pois considera o
desenvolvimento de um processo educacional contemplando os saberes escolares e
saberes sociais, tornando a aprendizagem significativa para o aluno, relacionada ao
processo de vida, pressuposto fundamental da abordagem da Pedagogia de Projeto.
As demais alternativas estão incorretas por não considerar no planejamento a
proposição de uma problemática que traga questões vivenciadas pelo aluno no mundo
das relações sociais.
Referências:
PRADO, Maria Elisabette Brisola Brito. Pedagogia de projetos: fundamentos e
implicações. IN: SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (Org.).
Integração das tecnologias na educação. Brasília: Ministério da Educação/SEED/TV
Escola/Salto para o Futuro. Disponível em <
http://portal.mec.gov.br/index.php?catid=111:tv-escola&id=13258:salto-para-o-
futuro&option=com_content&view=article>. Acesso em: 13 de junho de 2014.
QUESTÃO Nº 30
QUINO. Toda a Mafalda. Trad. Andréa Stahel M. da Silva et al. São Paulo: Martins
Fontes, 1993, p. 71.
Muitas vezes, os próprios educadores, por incrível que pareça, também vítimas de
uma formação alienante, nãosabem o porquê daquilo que dão, não sabem o
significado daquilo que ensinam e quando interrogados dão respostasevasivas: “é pré-
requisito para as séries seguintes”, “cai no vestibular”, “hoje você não entende, mas
daqui a dez anosvai entender”. Muitos alunos acabam acreditando que aquilo que se
aprende na escola não é para entender mesmo,que só entenderão quando forem
adultos, ou seja, acabam se conformando com o ensino desprovido de
sentido.VASCONCELLOS, C. S. Construção do conhecimento em sala de aula.
13ª ed. São Paulo: Libertad, 2002, p. 27-8.
Correlacionando a tirinha de Mafalda e o texto de Vasconcellos, avalie as afirmações
a seguir.
I. O processo de conhecimento deve ser refletido e encaminhado a partir da
perspectiva de uma prática social.
II. Saber qual conhecimento deve ser ensinado nas escolas continua sendo uma
questão nuclear para o processo pedagógico.
III. O processo de conhecimento deve possibilitar compreender, usufruir e
transformar a realidade.
IV. A escola deve ensinar os conteúdos previstos na matriz curricular, mesmo que
sejam desprovidos de significado e sentido para professores e alunos.
É correto apenas o que se afirma em
A I e III.
B I e IV.
C II e IV.
D I, II e III.
E II, III e IV.
Gabarito: D
Tipo de questão: Múltipla escolha. Grau de dificuldade: Fácil
Conteúdo avaliado: O conhecimento a partir da realidade do sujeito.
Autor(a): Renato Barros de Almeida
Comentário:
Tanto a tirinha de Quino com a personagem Mafalda quanto o texto de Vasconcelos
(2002) exploram o distanciamento dos conteúdos trabalhos no contexto escolar e a
realidade dos sujeitos em situação de aprendizagem. Em outras palavras, ambos os
textos exploram o ensino esvaziado de significado que os professores de um modo
geral têm difundido na educação básica. Ao ler as alternativas propostas como
respostas para a correlação entre a tirinha de Mafalda e o texto de Vasconcelos
(2002), pode-se concluir que o item de número IV destoa dos demais itens à medida
que se encontra fora do contexto da questão, entendendo que a escola deve ensinar o
conteúdo mesmo que este seja “desprovido de significado e sentido para professores
e alunos”. Percebe-se assim no contexto da questão que a alternativa IV contempla
um equívoco bem basilar. Dessa forma, as demais alternativas prevalecem corretas, o
que nos leva ao entendimento de que o gabarito de letra D responde corretamente e
de forma mais adequada ao que está proposto.
Referências:
FREIRE, P. A pedagogia da autonomia: Saberes necessários à prática educativa.
São Paulo: Paz e Terra, 1996.
HERNÁNDEZ, Fernando; VENTURA, Montserrat. A organização do currículo
por projetos de trabalho: o conhecimento é um caleidoscópio. Porto Alegre:
Artmed, 1998.
QUESTÃO Nº 31
Ao trabalhar o conteúdo de análise combinatória, o professor propôs que os alunos
calculassem quantos números distintos de três algarismos podem ser formados a
partir de quatro algarismos escolhidos por eles.
A seguir, são destacadas as escolhas dos algarismos e as respostas dadas por quatro
alunos dessa turma: Ana, Luis, Paulo e Roni.
I. Ana escolheu os algarismos 0, 3, 5 e 7. Sua resposta foi 24, por levar em
consideração apenas números com algarismos diferentes entre si.
II. Luis escolheu os algarismos 2, 4, 7 e 8. Sua resposta foi 24, por levar em
consideração apenas números com algarismos diferentes entre si.
III. Paulo escolheu os algarismos 3, 4, 5 e 6. Sua resposta foi 16, por levar em
consideração a possibilidade de haver algarismos repetidos nos números
formados.
IV. Roni escolheu os algarismos 1, 2, 3 e 4. Sua resposta foi 64, por levar em
consideração a possibilidade de haver algarismos repetidos nos números
formados.
O professor verificou que é coerente com as escolhas e a resposta somente o que se
justifica em
A. I.
B. II.
C. I e III.
D. II e IV.
E. III e IV.
Gabarito: D. II e IV.
Tipo de questão: fácil
Conteúdo avaliado: Análise Combinatória, problema de contagem
Autor(a): Alaídes Inácio Stival Ferreira
Comentário:
O Princípio Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem diz que:
"Se uma decisão D1 pode ser tomada de p1 modos e, qualquer que seja esta
escolha, a decisão D2 pode ser tomada de p2 modos, então o número de maneiras de
se tomarem consecutivamente as decisões D1 e D2 é igual a p1p2."
Que pode ser estendido para n decisões, resultando que o número de maneiras
de tomarem consecutivamente as decisões D1, D2, ..., Dn é igual a p1p2...pn.
Solução I
Analisando a resposta de cada aluno, temos:
I. Ana escolheu os algarismos 0, 3, 5 e 7, e considerou apenas números com
algarismos diferentes entre si.
Nesta escolha de algarismos devemos considerar ainda que o número
formado, por exemplo, pela sequencia de algarismos 035 é o número 35, que possui 2
algarismos. Com isso, na casa das centenas não podemos considerar o algarismo 0. E
números, como o 355, também não fazem parte desta lista, pois o algarismo 5 repetiu.
Assim temos, na casa das centenas: 3 possibilidades (excluímos o 0); na casa
das dezenas: 3 unidades (não podemos repetir o algarismo usado na casa das
centenas, porém o 0 pode entrar nesta posição); na casa das unidades: 2
possibilidades (não podemos utilizar os algarismos já usados anteriormente).
Portanto, 3 . 3 . 2 = 18 , resultando em 18 maneiras distintas, ou 18 números
distintos.
Logo a resposta de Ana é INCOERENTE.
II. Luis escolheu os algarismos 2, 4, 7 e 8, e considerou apenas números com
algarismos diferentes entre si.
Nesta escolha, número como o 447 não poderá ser listado pois o algarismo 4
repetiu.
Temos na casa das centenas: 4 possibilidades; na casa das dezenas: 3
possibilidades (não pode usar o algarismo da casa das centenas); na casa das
unidades: 2 possibilidades (não pode usar os algarismos usados anteriormente).
Portanto, 4 . 3 . 2 = 24, resultando em 24 maneiras distintas, ou 24 números
distintos.
Logo a resposta de Luís é COERENTE.
III. Paulo escolheu os algarismos 3, 4, 5 e 6, e considerou a possibilidade de
haver algarismos repetidos nos números formados; como, por exemplo, os números
553 e 444.
Temos na casa das centenas: 4 possibilidades; na casa das dezenas: 4
possibilidades (o algarismo usado anteriormente pode ser usado novamente); na casa
das unidades: 4 possibilidades (pode-se usar os algarismos já utilizados).
Portanto, 4 . 4 . 4 = 64, resultando em 64 maneiras distintas, ou 64 números
distintos.
Logo a resposta de Paulo é INCOERENTE.
IV. Roni escolheu os algarismos 1, 2, 3 e 4, e considerou a possibilidade de
haver algarismos repetidos nos números formados; como, por exemplo, os números
111 e 313.
É o mesmo raciocínio da resposta de Paulo, resultado em 64 maneiras
distintas, ou 64 números distintos.
Logo a resposta de Roni é COERENTE.
Solução II
Podemos resolver esta questão listando as possibilidades dos números, e
contando-os. Sendo importante um procedimento sistemático para listar todos os
números, sem repeti-los (os números, e não algarismos!)
Devemos identificar as diferentes escolhas (ou decisões em cada uma das
respostas) que devem ser tomadas e distinguir as possibilidades em cada uma delas.
Para cada número vamos considerar que é formado por "gavetas" onde
devemos colocar os algarismos. Assim a primeira "gaveta" é a centena, a segunda
"gaveta" é a dezena, e a terceira "gaveta" é a unidade do número que estamos
examinando.
Vamos examinar cada uma das respostas.
I. Ana escolheu os algarismos 0, 3, 5 e 7, e considerou apenas números com
algarismos diferentes entre si.
Com estas escolhas de algarismos, não podemos escolher o 0 para a casa das
centenas (pois assim estaríamos listando números como 057 que é o número 57 de 2
algarismos), restando-nos os algarismos 3, 5 e 7:
Resultando em 18 números distintos, fazendo com que a resposta de Ana seja
INCOERENTE.
II. Luis escolheu os algarismos 2, 4, 7 e 8, e considerou apenas números com
algarismos diferentes entre si.
Para cada um destes algarismos a listagem dos números é análoga aos de Ana,
mas como são 4 algarismos possíveis para a casa das centenas e cada um deles nos
resultam em 6 números distintos, temos 4.6 = 24 números, fazendo com que a
resposta de Luis seja COERENTE.
III. Paulo escolheu os algarismos 3, 4, 5 e 6, e considerou a possibilidade de
números com algarismos repetidos.
Podemos listá-los como o esquema abaixo, onde escolhemos o algarismo 3
para ocupar a casa das centenas.
7 3
0
5
0
3
5
5
0
3
5 3
0
7
0
3
7
7
0
3
3 5
0
7
0
5
7
7
0
5
Encontrando 16 possibilidades. E de forma análoga encontramos esta mesma
quantia para números com centena igual a 4, 5 ou 6. Como são 4 algarismos possíveis
para a centena temos 4.16 = 64 números, fazendo com que a resposta de Paulo seja
INCOERENTE.
IV. Roni escolheu os algarismos 1, 2, 3 e 4, e considerou a possibilidade de
números com algarismos repetidos.
Para cada um destes algarismos a listagem dos números é análoga aos de
Paulo, e como são também 4 algarismos possíveis para a casa das centenas temos
4.16 = 64 números, fazendo com que a resposta de Roni seja COERENTE.
Referências:
Coleção Professor de Matemática: Temas e Problemas - E. L. Lima, P. C. P.
Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado - 2a edição - Rio de Janeiro: SBM, 2006.
Coleção Professor de Matemática: A Matemática do Ensino Médio Vol. 2 - E.
L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado - 5a edição - Rio de Janeiro:
3
3
3
4
5
6
4
3
4
5
6
5
3
4
5
6
6
3
4
5
6
SBM, 2004.
QUESTÃO Nº 32
No intuito de proporcionar uma reestruturação dos princípios norteadores da
educação nacional, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei nº
9394/1996) transformou em direito do cidadão e dever do Estado antigos anseios
de diversos movimentos populares, entre eles, a oferta de educação escolar regular
para jovens e adultos, como se vê no trecho destacado a seguir:
Art. 4º O dever do Estado com educação escolar pública será efetivado mediante a
garantia de:
(...)
VII - oferta de educação escolar regular para jovens e adultos, com características e
modalidades adequadas às suas necessidades e disponibilidades, garantindo-se aos
que forem trabalhadores as condições de acesso e permanência na escola.
Considerando a modalidade de ensino de que trata esse fragmento da Lei n.º
9394/1996, e para tornar o ensino de matemática mais significativo para quem
aprende, o professor deve priorizar
I. atividades que promovam um processo de negociação de significados
constituídos com o conteúdo destacado e o sujeito social.
II. atividades que padronizem os procedimentos matemáticos realizados pelos
alunos, pois, dessa forma, promoverá o domínio da notação matemática.
III. atividades que, a partir de situações cotidianas, promovam a percepção da
relevância do conhecimento matemático.
IV. a linguagem simbólica, pois, dessa forma, poderá promover a percepção das
especificidades dessa área de conhecimento.
É correto apenas o que se afirma em
A. I.
B. II.
C. I e III.
D. II e IV.
E. III e IV.
Gabarito: C
Tipo de questão: médio
Conteúdo avaliado: Política educacional, educação de jovens e adultos e ensino da
matemática.
Autor(a): Rose Mary Almas de Carvalho
Comentário:
A contextualização da questão traz a temática da modalidade da Educação de
Jovens e Adultos (EJA), como também, do direito do cidadão à Educação e dever do
Estado em ofertá-la (LDB 9.394/96). Para Paulo Freire, alfabetizar é aprender a ler o
mundo em que se vive, a compreender seu contexto social. A expressão alfabetização é
empregada no sentido amplo, incluindo, portanto a alfabetização na linguagem
matemática e outras linguagens. Desse modo, concebe-se que
o processo de aprendizagem na alfabetização de adultos
está envolvida na prática de ler, de interpretar o que leem,
de escrever, de contar, de aumentar os conhecimentos que
já têm e de conhecer o que ainda não conhecem, para
melhor interpretar o que acontece na nossa realidade
(Freire, 2003, p. 48).
Freire ressalta que
Não é possível respeito aos educandos, à sua dignidade, a
seu ser formando-se, à sua identidade fazendo-se, se não
se levam em consideração às condições em que eles vêm
existindo, se não se reconhece à importância dos
“conhecimentos de experiências feitos” com que chegam à
escola. O respeito devido à dignidade do educando não me
permite subestimar, pior ainda, zombar do saber que ele
traz consigo para a escola (FREIRE, 2000, p.71).
No pensamento do autor evidencia-se a importância de se considerar no
processo educacional o saber do aluno, elaborado no seu processo histórico, a partir das
relações estabelecidas no mundo natural e social. Torna-se de fundamental
importância uma prática pedagógica problematizadora, de caráter reflexivo, que
desvele a realidade a partir de situações cotidianas que resulte uma compreensão crítica
da realidade (FREIRE, 1981, p. 80)
Com base no exposto, as afirmativas corretas são a I e III, pois propõem
atividades que contemplam situações cotidianas problematizadoras, permitindo ao
aluno o desenvolvimento de aprendizagem a partir de significados oriundos do mundo
natural e social. As afirmativas II e IV estão incorretas por propor atividades que
promovam a padronização dos procedimentos matemáticos e não a compreensão desses
procedimentos e a indicação da linguagem simbólica na promoção do conhecimento
matemático, distanciando-se, assim, de uma concepção de aprendizagem baseada na
construção de significados a partir de situações cotidianas que possam promover o
conhecimento da realidade vivida.
Referências:
FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa.
São Paulo: Paz e Terra, 2000.
FREIRE, Paulo. Pedagogia do oprimido. Rio de Janeiro, Paz e Terra, 1981.
QUESTÃO Nº 33
Para introduzir conceitos relativos a cilindros, um professor de matemática
do ensino médio pediu a seus alunos que fizessem uma pesquisa sobre
situações práticas que envolvessem essas figuras geométricas. Dois
estudantes trouxeram para a sala de aula as seguintes aplicações:
Situação I
O raio hidráulico é um parâmetro importante no dimensionamento de canais,
tubos, dutos e outros componentes das obras hidráulicas. Ele é definido
como a razão entre a área da seção transversal molhada e o perímetro
molhado. Para a seção semicircular de raio r ilustrada abaixo, qual é o valor
do raio hidráulico?
Situação II
Ao analisar as duas situações como possibilidades de recursos didáticos,
seria correto o professor concluir que
a) a situação I é inadequada porque induz os estudantes à apreensão
equivocada do conceito de cilindro.
b) a situação I é adequada porque permite a discussão de que todas as
interseções do cilindro com planos são semicircunferências.
c) a situação II é inadequada porque induz os estudantes à apreensão
equivocada do conceito de volume do cilindro.
d) a situação II é adequada porque permite mostrar que o volume do
cilindro é igual à quantidade de jabuticabas multiplicada pela média dos
volumes das jabuticabas.
e) as situações I e II são adequadas e permitem que sejam explorados os
conceitos de seção transversal, área da superfície cilíndrica e volume
do cilindro.
Gabarito: E
Tipo de questão: Componente Específico – Licenciatura/Objetivas
Conteúdo avaliado: Cilindros: área, volume e seções transversais
Autor(a): Gabriella B. V. M. Gonçalves
Comentário:
Relembremos alguns conceitos básicos sobre cilindros. Considere um plano
P e seja C um círculo de raio r contido em P. Tomemos um segmento de reta
AB que não seja paralelo e nem esteja contido no plano P. Chamamos de
cilindro circular a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a
AB com uma extremidade no círculo C. Tais segmentos são chamados de
geratrizes e a região circular limitada por C é dita base.
Lembremos que um cilindro é uma superfície no espaço R³. Entretanto, em
várias situações consideramos o cilindro como a região sólida contida dentro
do cilindro. O eixo de um cilindro circular é o segmento de reta cujas
extremidades são os centros dos círculos das bases.
Existem dois tipos de cilindros circulares. Dizemos que o cilindro circular
é reto quando a sua geratriz for perpendicular a sua base. E
será oblíquo quando sua geratriz não for perpendicular a sua base. Veja as
imagens abaixo:
Observe que a neste caso a geratriz coincide com a altura.
Em um cilindro, podemos identificar vários elementos:
1. Altura (H): A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos
paralelos que contêm as bases do cilindro.
2. Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do cilindro que não
estejam nas bases.
3. Área da base (AB): No caso do cilindro circular, é a área do círculo C.
Isto é,
AB=πr².
4. Área lateral(AB): É a área da superfície lateral do cilindro. Para
calcularmos a sua área lateral, basta multiplicarmos o perímetro da
base pela altura do cilindro, isto é, AL=2πr⋅H.
5. Área total (AT): É a área total do cilindro. Para calcularmos sua área
total devemos somar a área lateral com a área das suas duas bases (a
inferior e a superior). AT= AL +2⋅AB.
6. Seção transversal: É a região determinada pela interseção do cilindro
com um plano paralelo às bases. Todas as seções transversais são
congruentes.
7. Seção meridiana:É a região determinada pela intersecção do cilindro
com um plano que contém o eixo.
8. Volume: Para calcularmos o volume devemos multiplicar a área de sua
base por sua altura. V=AB⋅H
Após esta revisão, voltemos ao exercício.
O item a) é FALSO, pois a situação I se trata de uma seção transversal de
um cilindro circular.
O item b) é FALSO, pois as interseções do cilindro com planos são
circunferências.
O item c) é FALSO, pois podemos fazer uma analogia entre o volume do
cilindro com a quantidade de jabuticabas que cabem dentro do recipiente.
Assim teremos uma aproximação do volume. Esse exemplo cotidiano é
interessante para introduzir a ideia de volume apesar de não retratar o
volume real.
O item d) é FALSO. Como justificado no item anterior, desta maneira
encontramos uma aproximação do volume total real do recipiente cilíndrico.
Por fim, o item e) é VERDADEIRO. Estes exemplos retratam bem vários
conceitos básicos referentes ao cilindro.
Referências:
L. R. Dante, Matemática volume único, Editora Ática, 2009.
O. Dolce e J. N. Pompeo, Fundamentos de Matemática Elementar vol. 10 –
Geometria Espacial, Editora Atual, 2011.
http://www.somatematica.com.br/ (Acessado em 19/06/2014)
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/(Acessado em 19/06/2014)
QUESTÃO Nº 34
No que se refere à organização curricular, avalie as asserções a seguir.
Com relação à organização curricular na área de matemática, as ideias de linearidade
e acumulação têm presenças marcantes em diversas produções didáticas da área, pois
esse processo linear de trabalho pedagógico é fundamental para a apresentação da
conexão e hierarquia das estruturas matemáticas.
PORQUE
Por meio da linearidade, os conteúdos matemáticos são dispostos dos mais simples
para os mais complexos, obedecendo a uma estrutura lógica em que cada novo
assunto pode ser assimilado pelo aluno, o que propicia o desenvolvimento pleno de
sua autonomia acadêmica.
A respeito dessas asserções, assinale a resposta correta.
A. As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa
correta da primeira.
B. As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma
justificativa correta da primeira.
C. A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição
falsa.
D. A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição
verdadeira.
E. Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.
Gabarito: E
Tipo de questão: Asserção e Razão – Grau de dificuldade: médio
Conteúdo avaliado: Currículo e o ensino de matemática
Autor(a): Renato Barros de Almeida
Comentário:
É uma questão que apresenta duas afirmativas ou asserções que sustentam
proposições falsas a partir dos estudos e pesquisas ligadas às teorias curriculares e à
educação matemática. Cabe ressaltar que, com base nas referências das teorias
curriculares, a organização do Currículo não deve ser linear, hierarquizada, e ainda na
perspectiva de acumulação em uma visão depositária de conteúdo. Desta forma,
pode-se afirmar que ambas, asserção e razão, são proposições falsas, fato que
confirma o gabarito na letra E.
Referências:
LOPES, Alice Casimiro; MACEDO, Elizabeth. Teorias de currículo. São Paulo:
Cortez, 2011.
SACRISTÁN, José Gimeno. O currículo. Uma reflexão sobre a prática. Porto
Alegre: ArtMed, 2000.
QUESTÃO Nº 35
Na perspectiva da matemática, de uma forma geral, o jogo é objeto de estudo no
campo das probabilidades, enquanto, na perspectiva da pedagogia, é analisado como
possibilidade de produção de aprendizagens. A Educação Matemática propõe análises
que permeiam essas duas situações em conjunto, buscando uma interface voltada para
a exploração de conceitos e procedimentos matemáticos, análise de dados e
interpretação de soluções, por meio de atividades lúdicas em que o desenvolvimento
da autonomia do aluno pode ser estimulado. A partir dessas observações, analise as
asserções a seguir.
A interface mencionada no texto é possível, pois tanto a matemática quanto o jogo se
realizam no campo da materialidade.
PORQUE
Sob a perspectiva de atividade matemática, o jogo se encontra no plano
epistemológico da matemática que visa abstrair o real, proporcionando um espaço em
que o aluno pode, de forma criativa, testar, validar e socializar seus esquemas de
ação.
Acerca dessas asserções, assinale a resposta correta.
A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa
correta da primeira.
B) B As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma
justificativa correta da primeira.
C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição
falsa.
D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição
verdadeira.
E) Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.
Gabarito: D
Tipo de questão: média
Conteúdo avaliado: jogos na educação matemática.
Autor(a): Duelci Aparecido de Freitas Vaz
Comentário: a primeira afirmativa é falsa. A matemática não se realiza no campo da
materialidade, ela é essencialmente abstrata com possibilidades de ser aplicadas em
diversas ciências. No ensino, entretanto, é aconselhável considerar o suporte da
materialidade em algumas situações. O jogo contém a possibilidade de ser útil na
questão do ensino e aprendizagem da matemática e é parte integrante da Matemática.
O professor de Matemática pode criar atividades pedagógicas que propiciem ao aluno
situações de aprendizagem. Sob a perspectiva de atividade matemática, o jogo se
encontra no plano epistemológico da matemática que visa abstrair o real,
proporcionando um espaço em que o aluno pode, de forma criativa, testar, validar e
socializar seus esquemas de ação.
Referências: FIORENTINI, Dário, MIORIM, Maria A. Uma reflexão sobre o uso de
materiais concretos e jogos no ensino da matemática. Boletim SBEM, São
Paulo, v.4, n.7, 1996.
GRANDO, R. C. O jogo na educação: aspectos didático-metodológicos do
jogo na educação matemática. Unicamp, 2001.
HUIZINGA, Johan. Homo Ludens – O jogo como elemento da cultura. São
Paulo: Perspectiva, 1971.
KAMII, Constance. Desvendando a Aritmética - Implicações da teoria de
Piaget. Campinas, São Paulo: Papirus, 2001.
KISHIMOTO, T. M. (org.). Jogo, brinquedo, brincadeira e a educação. São
Paulo: Cortez, 2001.
LIBANÊO, José Carlos. Didática. São Paulo: Cortez, 1998.
MACEDO, Lino de, PETTY, Ana Lúcia Sicoli, PASSOS, Norimar Christe.
Aprender com jogos e situações problema. Porto Alegre: Artmed, 2000.
QUESTÃO Nº 36
Seja A um conjunto e seja ~ uma relação entre pares de elementos de A. Diz-se que ~
é uma relação de equivalência entre pares de elementos de A, se as seguintes
propriedades são verificadas, para quaisquer elementos a, a’ e a’’ de A:
I. a ~ a;
II. se a ~ a’, então a’ ~ a;
III. se a ~ a’ e a’ ~ a’’, então a ~ a’’.
Uma classe de equivalência do elemento a de A com respeito à relação ~ é o
conjunto {
O conjunto quociente de A pela relação de equivalência ~ é o conjunto de todas as
classes de equivalência relativamente à relação ~, definido e denotado como a seguir:
{
A função é chamada projeção canônica e é definida como
Considerando as definições acima, analise as afirmações a seguir.
I. A relação de equivalência ~ no conjunto A particiona o conjunto A em
subconjuntos disjuntos, as classes de equivalência.
II. A união das classes de equivalência da relação de equivalência ~ no conjunto A
resulta no conjunto das partes de A.
III. Qualquer relação de equivalência no conjunto A é proveniente de sua projeção
canônica.
IV. As três relações seguintes: =, , , são relações de equivalência no
conjunto dos números inteiros .
É correto apenas o que se afirma em
A I.
B II.
C I e III.
D II e IV.
E III e IV.
Gabarito: C
Tipo de questão: média
Conteúdo avaliado: Teoria dos conjuntos, Relação de equivalência.
Autor (a): JOELMIR DIVINO CARLOS FELICIANO
Comentário:
Essa questão está relaciona com a disciplina TEORIA DOS CONJUNTOS vista
por todos os alunos que fazem o curso de MATEMÁTICA
Esse tema é encontrado em todos os livros de ÁLGEBRA OU ÁLGEBRA
MODERNA e estudado com frequência pelos alunos.
Vamos analisar por parte cada item.
O item I. (VERDADEIRO).
Para resolver a questão, é necessário o conhecimento do conceito de relação de
equivalência descrito abaixo.
Definição: (Relação de Equivalência). Uma relação sobre um conjunto
recebe o nome de relação de equivalência sobre se, e somente se, é reflexiva,
simetria e transitiva. Ou seja, deve cumprir as seguintes propriedades:
i. Se então . REFLEXIVA, quando todo elemento de A se relaciona
consigo mesmo;
ii. Se e então . SIMÉTRICA, quando todo elemento de A pode
ser intercambiado entre si;
iii. Se com e , então . TRANSITIVA, quanto x se
relaciona com y, e y se relaciona com z, então x se relaciona com z.
Definição: Um sistema S de conjuntos não vazios é chamado de uma partição de
A se:
a) S e um sistema de conjuntos mutuamente disjuntos, i.e., se ,
então C ∩ D = ∅,
b) A união de S é o todo do conjunto A, i.e.,
Definição: Seja S uma partição de A. A relação em A é definida por
{ existe C S tal que a C e b C}, a e b são relacionados por se e
somente se eles pertencem ao mesmo conjunto da partição S.
Teorema: Seja S uma partição de A, então, é uma equivalência sobre A.
Como o teorema e a definição satisfazem o item I, concluímos que ele é
verdadeiro.
O item II. (FALSO).
A união das classes de equivalência da relação de equivalência ~ no conjunto A
resulta no conjunto A, ou seja ⋃ e não como o diz o texto que diz
que resulta no conjunto das partes de A.
O item III. (VERDADEIRO).
Vem diretamente da teoria dos conjuntos, pois qualquer relação de
equivalência no conjunto A é proveniente de sua projeção canônica.
Definição: Dada uma relação de equivalência ~ em A, o conjunto de todas as
classes de equivalência (módulo ~) é chamado de conjunto quociente.
A projeção canônica leva um elemento a de A até o elemento a’ do conjunto
quociente, uma relação de equivalência ~ em A origina um único conjunto quociente
A/~, portanto a relação é proveniente da projeção canônica.
O item IV. (FALSO).
A igualdade (=) e o satisfazem a definição de equivalência, porém a
desigualdade ( ) não satisfaz a definição por isso é falsa, ou seja.
A relação ( ) não é uma relação de equivalência em 𝓡, pois não é simétrica:
mas 1 não é .
Referências:
1. GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. Projeto Euclides, IMPA. 1979.
2. HALMOS, P. R. Naive Set Theory. Princeton, NJ. Van Nostrand. 1960.
3. HEFEZ, A. Curso de Álgebra, Vol. I. Coleção Matemática Universitária,
IMPA. 1993.
4. LIMA, E. L. Curso de Análise, Vol. I. Projeto Euclides, IMPA. 1976.
5. SIDKI, S. Introdução à Teoria dos Números. 10º Colóquio Brasileiro de
Matemática, IMPA. 1975.
6. SIERPINSKI, W. 250 Problems in Elementary Number Theory. American
Elsevier Publishing Company. 1970.
QUESTÃO Nº 37
Para resolver a equação , utiliza-se a fórmula de Taylor da função .
Considerando essa observação, analise as afirmações a seguir:
I. As raízes dessa equação, obtidas com uma aproximação de segunda ordem
na fórmula de Taylor, são √
.
II. O erro de truncamento de uma aproximação de segunda ordem para é
limitado por | |
.
III. Ao usar aproximações de quarta ordem em vez de aproximações de segunda
ordem para , os erros de truncamento são reduzidos em 25%.
É correto apenas o que se afirma em:
A) I
B) II
C) III
D) I e II
E) II e III
Gabarito: D
Tipo de questão: médio.
Conteúdo avaliado: Polinômio de Taylor. Derivadas de funções de uma variável
Autor: Samuel Lima Picanço
Comentário:
Esta questão envolve funções polinomiais e funções trigonométricas. Para resolvê-la,
o estudante deverá reconhecer o gráfico de funções polinomiais e funções
trigonométricas. Deverá ainda ter conhecimento de Cálculo Diferencial e Integral I,
principalmente nos conceitos e definições referentes ao assunto Polinômio de Taylor.
Vamos inicialmente analisar a primeira alternativa. Para tanto devemos escrever o
polinômio de Taylor de segunda ordem que aproxima .
Necessitamos das derivadas primeira e segunda da função .
e .
Agora, quem será . Este deve ser um número que torne mais conveniente a
solução de nossa equação. Para verificar isto, vamos representar no mesmo plano o
gráfico de e .
Vemos que os valores procurados estão “próximos” do zero. O que nos leva a utilizar
esse número como centro da aproximação do Polinômio de Taylor. Portanto,
podemos escrever:
.
Voltando na equação e substituindo por sua aproximação, temos:
Cuja solução é √
. Logo a primeira afirmação é verdadeira. Com base nisso, já
eliminamos as alternativas B, C e E.
Os valores de da
interseção dos gráficos
são as raízes procuradas.
|
| |
|
Como é no máximo 1, o erro de truncamento será máximo quando isso
acontecer. Portanto, o erro de truncamento não será maior que | |
. Logo a afirmação
é verdadeira.
Como as afirmações I e II são verdadeiras, a única alternativa possível é a D. Mesmo
assim iremos mostrar a falsidade em III.
O erro de truncamento para uma aproximação de ordem 4 é dada por:
|
| |
|
E para uma aproximação de segunda ordem é dada por:
|
| |
|
Calculando a razão entre e temos:
|
| |
| ,
sendo a razão entre os erros de ordem 4 e ordem 2. Efetuando-se as devidas
simplificações:
Esta razão não necessariamente é igual a 0,25. Portanto a afirmação está errada.
Referências: 1) Fleming, Diva Marília e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A – São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
2) Guidorizzi, Hamilton Luis. Um curso de cálulo Vol. I. Ed. L.T.C.
3) Stewart, James. Cálculo vol. I 5ª edição. Editora Pioneira.
QUESTÃO Nº 38
O conjunto {|
| | | } com a operação usual de produto de
matrizes, forma um grupo, em que o elemento neutro é a matriz identidade |
|. Dado
um elemento , defini-se a ordem de como sendo o menor inteiro positivo tal que
, caso exista. Se não existir, diz-se que tem ordem infinita.
Considerando |
| e , |
|avalie as asserções a seguir.
O elemento tem ordem seis.
PORQUE
tem ordem três e tem ordem dois.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da
primeira.
B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa
correta da primeira.
C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa.
D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira.
E) Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.
Gabarito: D
Tipo de questão: fácil
Conteúdo avaliado: Grupos, Multiplicação de Matrizes.
Autor(a): Henrique Carvalho Rodrigues
Comentário:
Para resolver esta questão, são necessários os conhecimentos básicos de Grupos, Domingues
(1982, p. 77) e multiplicação de matrizes, Domingues (1990, p. 20).
Vamos verificar que é um grupo. De acordo com Domingues (1982, p. 77), sejam um
conjunto não vazio e uma lei de composição interna em . Dizemos que é
um grupo em relação a essa lei se, e somente se,
a) isto é, vale a propriedade associativa (a,b,c,d
números inteiros é associativo);
b) existe de maneira que ou seja, existe elemento neutro
(matriz identidade);
c) todo elemento de é simetrizável (toda matriz em G possui inversa, pois |ad-bc|=1) em
relação à lei considerada: |
A questão trata das ordens dos elementos . De acordo com o enunciado, a ordem
de um elemento do grupo é um número tal que . Para determinar a ordem do
elemento , basta observar que , logo sua ordem é igual a 3. Já a ordem do elemento
, tem-se , portanto sua ordem é igual a 2.
A matriz |
| , e é importante observar que , assim tem-se
|
| . Podemos concluir com essas informações, que a alternativa correta
é a letra D, pois a primeira asserção é falsa, e a segunda asserção é verdadeira.
Referências:
1) Domingues, Hygino Hugueros e Iezzi, Gelson. Álgebra moderna. 2. ed. São Paulo: Atual,
1982.
2) Callioli, Carlos A., Domingues, Hygino Hugueros e Costa, Roberto C. F. Álgebra Linear e
aplicações. 6. ed. rev. São Paulo: Atual, 1990.
QUESTÃO Nº 39
O gráfico abaixo representa o traço da curva parametrizada diferenciável plana
( ) para .
A respeito dessa curva, avalie as afirmações a seguir.
I. é injetiva no intervalo .
II. tem curvatura constante.
III. para todo .
IV. tem vetor tangente unitário em , com V. O traço de está contido em um círculo de raio
É correto apenas o que se afirma em
A. II
B. I e II
C. I e IV
D. III e V
E. III, IV e V
Gabarito: D
Tipo de questão: média
Conteúdo avaliado: Geometria Diferencial
Autor(a): Wérica Pricylla de Oliveira Valeriano
Comentário:
Para resolver essa questão é necessário analisar cada uma das afirmações e
verificar quais são verdadeiras e quais são falsas.
I. é injetiva no intervalo
Uma função é injetiva se implica em .
Neste sentido vamos verificar se implica em . Assim,
partimos do pressuposto que
( ) ( )
No entanto, sabemos que
Logo, podemos concluir que se teremos . Logo a
função não é injetiva.
II. tem curvatura constante.
A curvatura de uma curva em um dado ponto é a medida de quão rapidamente a
curva muda de direção no ponto. Podemos calcular a curvatura do seguinte modo:
| |
| |. Mas, neste caso, podemos analisar o gráfico da função para constatar que
sua curvatura não pode ser constante, pois é nítido que nos seus extremos a curvatura é
mais acentuada do que em outros locais.
III. para todo ..
Sabemos que as funções e são periódicas, assim
Para todo .
Daí, temos que
( ( ))( )
( )
Ou seja, . A afirmação é verdadeira.
IV. tem vetor tangente unitário em , com
Teorema: Se ⟨ ⟩ , onde
são diferenciáveis, então ⟨ ⟩ .
O vetor ’ é chamado vetor tangente à curva definida por no ponto P. O
vetor tangente unitário pode ser encontrado da seguinte maneira,
| |.
Assim,
[( ) ] [( ) ]
[( ) ] [( ) ]
√( )
√
√
√
Podemos concluir que o vetor tangente não é unitário. A afirmação é falsa.
V. O traço de está contido em um círculo de raio
Para verificarmos se o traço de está contido em um círculo de raio vamos calcular o módulo de
| | √
| | √
| |
Assim, a afirmação é verdadeira.
Referências: STEWART, James. Cálculo. v.2. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
QUESTÃO Nº 40
Considerando E um espaço métrico, A E um conjunto aberto e (xn) E uma
sequência convergente para p A, analise as afirmações abaixo.
I. O complementar de A é fechado em E.
II. Toda vizinhança aberta de p está contida em A.
III. xn A, para todo n suficientemente grande.
É correto apenas o que se afirma em
(A) I.
(B) II.
(C) III.
(D) I e II.
(E) I e III.
Gabarito: E
Tipo de questão: fácil
Conteúdo avaliado: Topologia
Autor(a): Daniel Antônio Mendonça da Silva.
Comentário:
Para responder a questão 40 vamos definir o que é métrica, espaço métrico, limite de
uma sequência, ponto interior, conjunto aberto e conjunto fechado.
Definição 1: Uma métrica num conjunto E é uma função d: E x E → , que associa a
cada par ordenado de elementos x, y E um número real d(x, y), chamado a
distância de x a y, de modo que sejam satisfeitas as quatros condições abaixo para
quaisquer x, y, z E:
(1) d(x, x) = 0;
(2) Se x ≠ y então d(x, y) > 0;
(3) d(x, y) = d(y, x);
(4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(x, y).
Um espaço métrico é um par (E, d), onde E é um conjunto e d é uma métrica em E.
Na maioria das vezes diremos simplesmente “o espaço métrico E.”
Definição 2: Seja X um subconjunto de um espaço métrico E. Um ponto a X diz-se
um ponto interior a X quando é centro de uma bola aberta contida em X, ou seja,
quando existe r > 0 tal que d(x, a) < r x X. Chama-se o interior de X em E ao
conjunto int X formado pelos pontos interiores a X.
Definição 3: Um subconjunto A de um espaço métrico E diz-se aberto em E quando
todos os seus pontos são interiores, isto é, int(A) = A.
Definição 4: Seja (xn) uma sequência num espaço métrico E. Diz-se que o ponto a
E é limite da sequência (xn) quando, para todo número ε > 0 dado arbitrariamente,
pode-se obter n0 ℕ tal que n > n0 d(xn, a) < ε. E escreve-se então a = limxn.
Quando existe a = limxn E, diz-se que a sequência de pontos xn E é convergente
em E, e converge para a.
Definição 5: Diz-se que um conjunto F E é fechado no espaço métrico E quando
seu complementar E-F é aberto em E.
Definição 6: Seja G é um conjunto aberto contento um ponto p E. G é chamado de
vizinhança aberta do ponto p.
Proposição 7: Seja (xn) uma sequência no espaço métrico E. Dizer que limxn = a E
significa que, dada qualquer bola aberta B, de centro a, tem-se xn B para todo n
suficientemente grande.
I. O complementar de A é fechado em E.
Resposta:
Se A é um conjunto aberto em E, segue da definição 5 que o seu complementar é
um conjunto fechado em E. Logo, está afirmação está correta.
II. Toda vizinhança aberta de p está contida em A.
Resposta:
Vamos mostrar que está afirmação está errada, para isso vamos dar um contra-
exemplo.
Tomemos E = 2, p = (0, 0) e A = {x 2
; d(x, O) < 1}, onde O = (0, 0).
Seja B = {x 2; d(x, O) < 2}. Temos que A é vizinhança aberta de p, B é
vizinhança aberta de p, porém B ⊄ A.
III. xn A, para todo n suficientemente grande.
Resposta:
De limxn = p e da proposição 8 temos que existe uma bola B A tal que xn B,
para todo n suficientemente grande. Logo, xn A, para todo n suficientemente
grande. E a afirmação está demonstrada.
Com isso a resposta certa para a questão 40 é a letra “E”.
Referências:
[1] LIMA, Elon Lages. Espaços Métricos. 4.ed. Rio de Janeiro: Projeto Euclides,
IMPA, 2009.
[2]LIPSCHUTZ, Seymour.Theory and Problems of General Topology.New
York:Schaum’s Outline, 1965.
QUESTÃO Nº 41
Um peso atado a uma mola move-se verticalmente para cima e para baixo de tal
modo que a equação do movimento é dada por
em que é a deformação da mola no tempo . Sabe-se que e ,
para . Para a função deformação tem-se que quando é
igual a
A)
.
B)
.
C)
.
D)
.
E)
.
Gabarito: E
Tipo de questão: Média
Conteúdo avaliado: Equações Diferenciais
Autor(a): Danillo Flugge de Souza
Comentário:
A equação
é uma equação diferencial ordinária homogênea de ordem 2, com coeficientes
constantes. Ela tem a forma geral dada por
onde são números reais fixados. Que possui solução dada por
onde satisfaz a equação característica . Portanto, pelo Principio
da Superposição, a solução geral da equação (2) é dada por
onde . Cada solução é chamada de solução fundamental. Ou seja, o
determinante Wronskiano
[
]
Com base nisto, temos que para a equação (1), . Daí a equação
característica é logo que resulta em e
. Agora, verificando se . Pela equação (4), temos:
[
]
Ou seja, e são soluções fundamentais de (1). Portanto a solução geral de (1) é
dada por
Mas pela Fórmula de Euler,
reescrevemos = e = , que
substituindo em (5), resulta em
=( ) .
Note que e são soluções para equação (1) e . E
são constantes, portanto a solução geral pode ser escrita como
=
com e são constantes reais.
Uma vez que temos a solução geral da equação (1), iremos atacar o problema de fato.
Como e , para , temos
{
Daí e . Portanto substituindo estes valores da equação (7) obtemos
=
. Para , temos
Gabarito: E
Referências:
ZILL,Dennis G. Equações Diferenciais, volume 1/ Dennis G. Zill, Michael R.
Cullen.São Paulo: Pearson Makron Books,2001.
QUESTÃO Nº 42.
Considere a transformação linear definida por T: R2 →R
2, definida por
T(x,y) = . Com relação a esse operador, analise as asserções a
seguir.
O núcleo de T é um subespaço vetorial de R 2
de dimensão 1.
PORQUE
T é um operador normal.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa
correta da primeira.
B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma
justificativa correta da primeira.
C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição
falsa.
D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição
verdadeira.
E) Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.
Gabarito: D
Tipo de questão: Média
Conteúdo avaliado: operador linear, núcleo de uma transformação linear, operador
normal.
Autor(a): Maria José Pereira Dantas
Comentário:
Para resolver a questão, é necessário o conhecimento dos conceitos de
operador linear, núcleo de uma transformação linear e operador linear.
Para avaliação da primeira asserção (O núcleo de é um subespaço vetorial de
R 2
de dimensão 1).
1. O núcleo ou Kernel de uma transformação linear : R2 →R
2 é definido por
ker( )={( , ); ( , )=(0,0)}.
2. O núcleo ou kernel de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu
domínio.
A demonstração é simples:
Ker( ) não é vazio, pois 0V é um elemento de Ker( ), já que (0V) = 0V
Se Ker( ) então ( ) = ( = 0, logo, pela linearidade de ,
( ) = 0 e Ker( )
Se e Ker( temos ( ) = 0, logo ( ( ) = 0 =0, ou
seja, Ker( .
O núcleo de T é um subespaço vetorial de R 2
de dimensão 1 (FALSA).
Deve-se avaliar, então, o núcleo da transformação linear dada.
( , ) = . Ou seja,
Igualando-se as coordenadas, tem-se o sistema dado por:
{
Cuja solução é = 0 e = 0.
A primeira asserção é falsa, pois o núcleo encontrado é um subespaço vetorial
com dimensão zero, pois apenas o vetor nulo faz parte dele.
Para avaliação da segunda asserção:
T é um operador normal (VERDADEIRA)
1. : R2 →R
2 é um caso particular importante de espaços vetoriais - é o espaço
das transformações lineares de um espaço vetorial nele mesmo (operadores
lineares).
2. Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço
tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do
produto de operadores.
3. é um operador normal se o * = *
o , em que * é o operador adjunto
de .
4. Operador adjunto: Seja V um espaço vetorial. O operador adjunto, de um
determinado operador linear : R2 →R
2 é definido pela igualdade:
< u, v>=<u, *v>, V= W = R2, u,v R
2. Vale, também, que
<u, v>= < *u,v>
Sejam = (a,b) e = (c,d) R2.
Obtendo o operador adjunto *:
< )>=< (a,b), (c,d)> = (a,b). (2c+6d, 6c+2d) = 2ac+6ad + 6bc+2bd =
=(2a+6b).c + (6a+2b).d= <(2a+6b,6a+2b),(c,d)>=< * , >
Logo, T*u = T
*(a,b) = (2a+6b,6a+2b)
Mostrando a comutatividade dos operadores:
o *= ( *u)) = T(2a+6b,6a+2b) =
= (2(2a+6b)+6(6a+2b), 6(2a+6b)+2(6a+2b)) =
= <(4a+12b+36a+12b),(12a+36b+12a+4b)>=(40a+24b,24a+40b)
o *=(40a+24b,24a+40b)
*o = *
( u))= *(2a+6b,6a+2b)=
= (2(2a+6b)+6(6a+2b), 6(2a+6b)+2(6a+2b))=
= (4a+12b+36a+12b,12a+36b+12a+4b)=(40a+24b, 24a+40b)
T*oT = (40a+24b, 24a+40b)
Assim, T*oT=ToT
*. Isto mostra que T é um operador normal. A segunda asserção é
verdadeira.
Segue-se que a alternativa D é a correta, pois a primeira asserção é falsa e a segunda
é verdadeira.
Referências:
STEINBRUCH, A., WINTERLE, P. Álgebra Linear. Editora Makron Books. 1987.
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre:
Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. Álgebra Linear. Harbra. 1984.
QUESTÃO Nº 43
Considerando
√ o campo elétrico criado por uma carga q
localizada na origem, analise as afirmações abaixo.
I. O campo elétrico criado pela carga q é de classe em
II. Independe do raio da superfície esférica o fluxo do campo através de uma
superfície esférica de raio r, centrada na origem, cuja normal aponta para fora
da esfera.
III. É sempre um número maior que 4 o fluxo do campo através de uma
superfície esférica de raio r, centrada na origem, cuja normal aponta para fora
da esfera.
É correto o que se afirma em
A) II, apenas.
B) III, apenas.
C) I e II, apenas.
D) I e III, apenas.
E) I, II e III.
Gabarito: A
Tipo de questão: média
Conteúdo avaliado: Funções de várias variáveis, cálculo de áreas, volume e outros.
Autor (a): JOELMIR DIVINO CARLOS FELICIANO
Comentário:
Essa questão está relacionada com a disciplina CÁLCULO DE VÁRIAS
VARIÁVEIS OU CÁLCULO III, dependendo do nome que se coloca nas disciplinas
vista por todos os alunos que fazem o curso de MATEMÁTICA. Apesar de ser uma
aplicação á FÍSICA, este assunto é comum e fácil de ser encontrado nos livros de
cálculo de várias variáveis.
É uma questão com grau de dificuldade de FÁCIL/MÉDIO, pois o aluno
precisa estar bem preparado quanto à teoria (FLUXO DE UM CAMPO VETORIAL)
para respondê-la, ou seja, ter um razoável conhecimento sobre a LEI DE GAUSS.
A resposta correta é a letra A que contém o item II como verdadeiro.
Vamos analisar a questão por partes.
O item I. (FALSO).
Não existem classes para campo elétrico criado pela carga q.
O item II. (VERDADEIRO).
Para resolver a questão é necessário o conhecimento de fluxo de campo
vetorial e lei de Gauss apresentados como segue.
Definição: Fluxo de um campo vetorial através de uma superfície - resultado
da integral (soma), em toda a superfície, do produto escalar entre o campo vetorial e
o vetor normal (perpendicular) a cada elemento infinitesimal dessa superfície.
Esta definição nos diz que o fluxo de um campo vetorial qualquer (função da
posição), através de uma superfície S, é dado pela seguinte expressão:
∬
, (I), em que; é o chamado elemento infinitesimal da área
orientada. É uma “área vetorial”, isto é, tem uma área (módulo), mas essa área
existe e está orientada no espaço – perpendicularmente ao seu versor (vetor unitário)
normal (figura 1). (II).
Pela definição e pela expressão I, verificamos ser esta noção de fluxo, uma
grandeza escalar, um número, portanto. No nosso caso, o que significará esse
número? Qual a sua grandeza física (e consequente unidade física), quando o campo
vetorial não for um campo qualquer, mas for mesmo o campo elétrico ? Estaremos
então a quantificar o valor do fluxo do campo elétrico através de uma dada
superfície (e que superfície?).
Lei de Gauss
A lei de Gauss (ou lei do fluxo do campo elétrico) é a aplicação da expressão
do fluxo (I), para o campo elétrico , quando a superfície considerada é fechada e
encerra as cargas elétricas no seu interior. Relaciona o fluxo (quantidade de linhas do
campo elétrico) que atravessam a superfície e a quantidade de carga elétrica que
origina esse mesmo fluxo. A relação entre o fluxo e a superfície nos dá também a
noção de densidade de fluxo elétrico (quão próximas estão as linhas do campo
elétrico, entre si).
∬
, (II).
À superfície fechada por onde vamos calcular o fluxo – chamamos
apropriadamente – superfície gaussiana (SG na expressão II). É uma superfície
imaginária (matemática) que concebemos em torno das cargas elétricas. Na prática
equivalerá a um sensor que existe totalmente em torno dos fenômenos que queiramos
estudar.
Mas como resolvemos o problema de saber qual a orientação do versor normal à
superfície infinitesimal? A direção normal à superfície tem sempre dois sentidos.
Qual devemos escolher? No nosso caso particular da aplicação da lei de Gauss isso é
fácil de definir. Como usamos superfícies gaussianas fechadas, consideramos
sempre a normal que aponta de dentro para fora da superfície, portanto o nosso
versor é positivo nessa condição.
A lei de Gauss se refere a qualquer superfície fechada, logo se aplica
também a uma superfície esférica na qual o nosso problema está relacionado e
aponta a alternativa A como verdadeira.
O item III. (FALSO).
É falso pelo simples fato de dizer que é sempre um número maior que 4.
Como vimos na teoria acima em momento nenhum se afirma isso, pois a teoria não
define nenhum valor, logo isso vale para qualquer valor e não para um número maior
que 4.
Referências:
1. Marsden, Jerrold e Tromba, Anthony: Vector Calculus, 2nd Edition, W.H.
Freeman & Company, San Francisco, 1981.
2. Pinto, Diomara e Morgado, Maria Cândido Ferreira: Cálculo Diferencial e
Integral de Funções de Várias Variáveis, Editora UFRJ, Rio de Janeiro, 1997.
3. Stewart, James: Cálculo, Volume 2, 6a edição norte-americana, Editora
Cengage Learning, SP, 2010.
4. Fusaro Pinto, Márcia Maria, Introdução ao Cálculo Integral, Editora UFMG,
Belo Horizonte, 2010.
5. Avritzer, Dan, Geometria Analítica e Álgebra Linear: uma visão geométrica,
Tomo I, Editora UFMG, Belo Horizonte, 2009.
6. Avritzer, Dan, Geometria Analítica e Álgebra Linear: uma visão geométrica,
Tomo II, Editora UFMG, Belo Horizonte, 2009.
7. STEWART, James. Cálculo. v.2. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
QUESTÃO Nº 44
Um dos problemas mais antigos da Matemática é encontrar raízes de equações
polinomiais. Quando se fala de variáveis complexas, sabe-se que toda equação
polinomial de grau n possui exatamente n zeros. No entanto, um problema que surge
nesse ponto é que nem sempre conseguimos dizer quem são essas n raízes. Como
Corolário do Princípio do Argumento, um dos principais resultados da Análise
Complexa e particularmente da Teoria dos Resíduos, tem-se o Teorema de Rouché,
que possibilita, em algumas situações, localizar os zeros de equações polinomiais.
Segue abaixo o enunciado desse teorema.
Considere f e gfunções que são meromorfas (holomorfas a menos de um conjunto
discreto de polos) em um subconjunto não vazio, aberto e conexo U do conjunto
dos números complexos e uma curva fechada simples (sem
autointerseções), cujo interior Resteja contido em U. Se não contém polos de f e
nem zeros de g e |f(z)| > |g(z)|, para todo z , então
Z(f + g, R) – P(f + g, R) = Z(f, R) – P(f,R)
Em que Z(h, A) e P(h, A) denotam, respectivamente, o número de zeros e o número
de polos de uma função h em A.
Considerando o teorema acima e a equação z5 -2z
3 + 5 = 0, conclui-se que existem
raízes dessa equação que satisfazem à condição.
A)0 |z| 1.
B)1 |z| 2.
C)2 |z| 3.
D)3 |z| 4.
E) |z| 4.
Gabarito: B
Tipo de questão: Média.
Conteúdo avaliado:Funções de uma Variável Complexa: Funções Holomorfas,
Funções Meromorfas, Singularidades e Teoria de Resíduos.
Autor:Rayner Ferreira Barbosa da Costa
Comentário:
Para solucionar tal questão precisamos de alguns conceitos de Análise Complexa, tais
conceitos estão a seguir.
Definição 1- Uma função f:U é analítica ou holomorfa no ponto z0 se ela é
diferenciável numa vizinhança de z0. Uma função f:U é analítica ou holomorfa
em U, quando ela é holomorfa em todos os pontos de U.
Definição 2 – Singularidade de uma função complexa é um ponto do domínio onde a
função não é analítica. De forma mais precisa, tem-se que z0 e f uma função
complexa, dizemos que ftem uma singularidade isolada em z0, se existe r > 0 tal que
f é analítica no conjunto (z0,r) = {z ; 0 < |z - z0|< r} mas não é analítica em z0.
Caso f tenha uma singularidade isolada em z0, f pode ser representada em (z0,r) por
uma série de Laurent centrada em z0. Dizemos que z0 é uma polo de f se an 0 para
apenas um número finito não nulo de índices n negativos nesta série de Laurent.
A partir deste momento começaremos a resolver nossa questão.
Em primeiro lugar provaremos que as raízes da equação z5 -2z
3 + 5 = 0 não se
encontram na bola aberta centrada na origem e raio um, denotada por B(0,1) = {z
; |z| < 1}. Com efeito, usando o Teorema de Rouché, tome as seguintes funçõesf(z)=
5 e g(z)= z5– 2z
3, a curva = C(0,1) = {z ; |z|=1}. Logo a região interior a
é a B(0,1). Evidentemente temos que as funções f e g são meromorfas, é
uma curva fechada simples, não contém polos de f e nem zeros de g.Temos
também que |f(z)| > |g(z)|, para todo z De fato, |f(z)| = |5| = 5 e |g(z)| = |z5-
2z3| = |z
3(z
2 - 2)| = |z|
3|z
2 - 2| |z|
3(|z|
2 + 2) = 3, pois |z|= 1. De onde |f(z)| > |g(z)|,
para todo z Portanto estamos nas condições impostas pelo Teorema de
Rouché. Logo podemos concluir que Z(f + g, R) – P(f + g, R) = Z(f, R) – P(f,R), ou
equivalentemente tem-se que Z(z5 - 2z
3 + 5, B(0,1)) – P(z
5 - 2z
3 + 5, B(0,1)) = Z(5,
B(0,1)) – P(5,B(0,1)), como P(z5 - 2z
3 + 5, B(0,1)) = P(5,B(0,1)) = 0, pois tais
funções não possuem polos.
Segue-se então que
Z(z5 - 2z
3 + 5, B(0,1)) = Z(5, B(0,1)).
Como f(z)= 5 não possui zeros na B(0,1) segue-se que a equação z5 - 2z
3 + 5 = 0 não
possui raízes na B(0,1).
Agora resta mostrar que as raízes pertencem a B(0,2). O processo é bem semelhante
ao caso anterior. Com efeito, usando o Teorema de Rouché, tome as seguintes
funções f(z) = z5 e g(z) = – 2z
3 + 5, a curva = C(0,2) = {z ; |z|=2}. Logo a
região interior a é a B(0,2). Evidentemente temos que as funções f e g são
meromorfas, é uma curva fechada simples, não contém polos de f e nem
zeros de g. Temos também que |f(z)| > |g(z)|, para todo z De fato,
|f(z)| = | z5| = |z|
5= 2
5 = 32, pois |z| = 2 e |g(z)| = |– 2z
3 + 5| |2z
3| + 5 = 2|z|
3 + 5 =
2.23 + 5 = 21, pois |z| = 2. De onde |f(z)| > |g(z)|, para todo z Portanto estamos
nas condições impostas pelo Teorema de Rouché. Logo podemos concluir que Z(f +
g, R) – P(f + g, R) = Z(f, R) – P(f,R), ou equivalentemente tem-se que Z(z5 - 2z
3
+ 5, B(0,2)) – P(z5 - 2z
3 + 5, B(0,2)) = Z(z
5, B(0,2)) – P(z
5,B(0,2)), como P(z
5 -
2z3 + 5, B(0,2)) = P(z
5,B(0,2)) = 0, pois tais funções não possuem polos. Segue-se
então que Z(z5 - 2z
3 + 5, B(0,2)) = Z(z
5,B(0,2)). Observe que a função f(z) = z
5 tem
um zero em B(0,2) que é o número 0 de multiplicidade 5. Portanto, z5 - 2z
3 + 5 = 0
tem 5 raízes na B(0,2).
O resultado liquido dos dois casos acima diz que a equação z5 - 2z
3 + 5 = 0 possui
suas 5 raízes satisfazendo a condição 1 |z| 2.
Referências:
1) SOUZA, C.F.; COSTA, N.B.J. Introdução às funções de uma variável
complexa. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.
2) ÁVILA, G. S de S. Variáveis complexas e aplicações. 3. Ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2000.
3)SHOKRANIAN, S.Variável complexa 1. Brasília: Editora UnB, 2002.
QUESTÃO Nº 45
A aplicação ilustrada na figura abaixo é uma isometria entre a faixa plana
e o cilindro circular reto . A isometria leva o segmento de reta em um arco de
circunferência em e o segmento de reta em um segmento de reta de .
Nessa situação, a imagem do segmento de reta pela isometria é uma
A. Espiral da superfície .
B. Curva plana contida em
C. Geodésica da superfície
D. Linha assintótica da superfície
E. Linha de curvatura da superfície .
Gabarito: C
Tipo de questão: Difícil
Conteúdo avaliado: Geometria diferencial
Autor(a): Brunna Brito Passarinho
Comentário:
Esta é uma questão que diz respeito à Geometria Diferencial, com foco no assunto de
superfícies isométricas, geodésicas e curvaturas normal e principal.
Para conseguir responder a questão o aluno deve saber o que significa duas
superfícies serem isométricas e as consequências deste fato, quando uma curva no
espaço é considerada plana, quais são as geodésicas do plano e do cilindro, assim
como o que são linhas de curvatura e assintóticas de uma superfície.
A seguir faremos um breve resumo sobre os tópicos mencionados acima com o
intuito de justificar a validade de cada uma das alternativas propostas no enunciado
da questão.
Durante o texto utilizaremos e para denotar duas superfícies regulares, não
necessariamente a faixa do plano e o cilindro citados no enunciado da questão,
quando for necessário explicitaremos que estamos utilizando as superfícies citadas no
enunciado.
Def.1: Uma aplicação é uma isometria se é um difeomorfismo e para
todo e todos os pares , temos
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ .
Diz-se então que as superfícies e são isométricas.
Como consequência desta definição temos que a isometria entre superfícies
preserva a primeira forma fundamental de tais superfícies.
No caso da faixa do plano e do cilindro podemos considerar a seguinte
expressão para a isometria ,
e .
Assim, leva as retas horizontais , as verticais e as diagonais
,com ,do plano em paralelos (arcos de circunferências),
meridianos (retas) e hélices passando por do cilindro.
Recorde que uma hélice é uma curva diferenciável parametrizada a qual os vetores
tangentes em diferentes pontos formam um ângulo constante com uma direção fixa.
Por exemplo, a curva tem por traço uma hélice
(veja figura abaixo) contida num cilindro. Quando a hélice não completa o arco de
cilindro, isto é, , dizemos que o traço é um arco de hélice. Enquanto que para
os casos onde o arco de cilindro é coberto, , caracterizamos o traço como
hélice mesmo ou, em algumas literaturas, este traço é denominado como uma espiral
do cilindro.
Passemos agora à definição de geodésica de uma superfície.
Def.2: Uma curva parametrizada, não constante, é
chamada geodésica em se o seu campo de vetores
tangentes é paralelo ao longo de , isto é, se
.
Assim é dita geodésica parametrizada se é geodésica para
todo .
Na definição acima a condição
se refere à derivada covariante de um
campo de vetores ao longo de uma dada direção do plano tangente de uma superfície,
e geometricamente trata da projeção da derivada
sobre o plano tangente à
superfície num determinado ponto. A derivada covariante é um objeto que depende
apenas da primeira forma fundamental da superfície, isto pode ser visto expressando-
a numa parametrização da superfície. Assim esta é preservada por isometrias,
consequentemente as geodésicas também serão preservadas por isometrias, ou seja, a
imagem de uma geodésica de pela isometria será uma geodésica de .
Geometricamente, uma curva regular de uma superfície é uma geodésica se e só se
sua normal principal em cada ponto da curva é paralela à normal da superfície neste
ponto. Lembre-se que: a normal principal de uma curva é a reta que passa por um
ponto desta curva na direção do vetor normal à curva neste ponto e que a normal da
superfície num dado ponto desta é a reta que passa por este ponto e tem a direção do
vetor normal à superfície neste ponto.
Com esta noção geométrica iremos caracterizar as geodésicas do plano e do cilindro.
Considerando então o plano teremos que as geodésicas serão as retas. Pois ao
considerarmos qualquer reta num plano o vetor normal a esta reta será paralelo ao
vetor normal ao plano por este ponto (figura).
No caso do cilindro faremos a caracterização das geodésicas através da isometria
entre a faixa do plano e o cilindro, visto que isometrias preservam geodésicas. Como
mencionado anteriormente as retas horizontais, verticais e diagonais do plano são
levadas em circunferências, segmentos de reta e hélices no cilindro. Assim podemos
afirmar que estas curvas do cilindro são as geodésicas desta superfície. Estas serão
únicas pois as retas são as únicas geodésicas do plano.
Passaremos agora para os conceitos de linhas de curvatura e assintótica. Antes faz-se
necessário recordar mais algumas definições.
Def.3: Seja uma curva regular em passando por um ponto , a curvatura
de em , e ⟨ ⟩, onde é o vetor normal a e é o vetor normal a
em . O número é chamado a curvatura normal de em .
Def.4: Dado um vetor unitário , a curva resultante da interseção de com o
plano contendo e é chamada a seção normal de em segundo , e esta
curva tem vetor normal igual a ou zero.
Fazendo a junção destas duas definições conseguimos uma maneira de obter a
curvatura normal de uma curva, esta será igual em valor absoluto à curvatura da
seção normal de em , segundo .
Desta maneira como num plano as seções normais serão retas cuja curvatura é nula,
conclui-se que todas as curvaturas normais no plano serão nulas. Já no cilindro as
seções normais vão variar de retas, passando por elipses até chegar em círculos
(figura), desta maneira temos que a curvatura normal varia de zero (curvatura de
retas) até (curvatura dos círculos), sendo o raio do cilindro.
Ao ver o exemplo acima, do valor das curvaturas normais no cilindro, surge uma
terminologia para o valores máximo e mínimo da curvatura normal conforme
definição a seguir:
Def.5: O máximo da curvatura normal e o mínimo da curvatura normal , são
chamados curvaturas principais em ; as direções correspondentes a tais valores são
ditas direções principais em , estas direções correspondem aos vetores que foram
utilizados para a construção da seção normal que resultou no valor das curvaturas
normais em questão.
Desta maneira podemos afirmar que no plano todas as direções são principais, visto
que a curvatura normal é sempre constante igual a zero. Enquanto que no cilindro as
direções principais serão os vetores paralelos ao plano coordenado ortogonal ao eixo
do cilindro e também os vetores paralelos ao eixo do cilindro, pois correspondem aos
vetores tangentes às seções normais dadas por retas (mínimo da curvatura normal) e
círculos (máximo da curvatura normal) no cilindro.
Def.6: Se uma curva na superfície é tal que para todo ponto a reta
tangente a é uma direção principal em , então dizemos que é uma linha de
curvatura de .
Def.7: Seja um ponto em . Uma direção assintótica de em é uma direção de
para a qual a curvatura normal é nula. Assim, uma curva assintótica de é
uma curva conexa e regular da superfície tal que para todo ponto desta curva a reta
tangente à curva neste ponto é uma direção assintótica, isto é, para todo vetor
tangente à curva a seção normal neste ponto terá curvatura nula.
Análise das alternativas
A. Espiral da superfície . (ERRADA)
Como o cilindro obtido pela imagem da é incompleto, isto é, está faltando um
meridiano, temos que a imagem não completará um arco de cilindro,
constituindo apenas um arco de hélice, assim como ocorreu com a reta horizontal
cuja imagem é um arco de circunferência. Logo, esta imagem não pode ser
denominada uma espiral do cilindro.
B. Curva plana contida em . (ERRADA)
Por definição uma curva é dita plana quando seu traço (imagem) está contido num
plano. E, por hipótese, a imagem está contida num cilindro, que não é um
plano. Logo não é uma curva plana em .
C. Geodésica da superfície (CORRETA)
Na breve revisão teórica feita anteriormente vimos que as geodésicas do cilindro são
as retas, círculos ou hélices. Enquanto que as geodésicas do plano são as retas. Por
hipótese é um isometria, e como vimos, preserva geodésicas. Assim, como é
uma reta de segue que esta é uma geodésica de então concluímos que
será uma geodésica de .
D. Linha assintótica da superfície . (ERRADA)
Conforme argumento presente no item A. temos que a imagem de é um arco de
hélice, e ao considerarmos a seção normal de por qualquer ponto de teremos
elipses, cuja curvatura é não nula. Assim, com base na definição de linhas
assintóticas, concluímos que não é uma linha assintótica da superfície .
E. Linha de curvatura da superfície .
Novamente, recorde que a imagem de é um arco de hélice, e pelo que vimos na
resenha acima as linhas de curvatura do cilindro são as retas e as circunferências, pois
os vetores tangentes a qualquer uma destas curvas por qualquer ponto serão direções
principais do cilindro. Logo não é uma linha de curvatura da superfície
Referências:
1) Carmo, Manfredo Perdigão do. Geometria diferencial de curvas e superfícies –
4. Ed. – Rio de Janeiro: SBM, 2010.
2) Tenenblat, Keti. Introdução à geometria diferencial – 1ª reimpressão – Brasília:
Editora Universidade de Brasília, 1990.