Download - Distribuição F de Probabilidade
Agenda
I Densidade de probabilidade de uma variável aleatória F (υ1, υ2);
I Simpli�cação da densidade da distribuição F (υ1, υ2);
I Como calcular a moda da distribuição F (υ1, υ2);
I Resolução de questão do concurso da Marinha (CP-T/2016).
Distribuição F
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição F de Snedecor com υ1 e υ2graus de liberdade, denotada por Fυ1,υ2 , se sua função densidade for dada por:
f(x) =Γ(υ1+υ2
2
)Γ(υ12
)Γ(υ22
) · (υ1υ2
)υ12
· xυ12−1(
1 + υ1υ2x)υ1+υ2
2
, 0 < x <∞, υ1, υ2 = 1, 2, 3, . . .
Se k =Γ(υ1+υ2
2
)Γ(υ12
)Γ(υ22
) · (υ1υ2
)υ12
, podemos escrever a densidade como se segue
f(x) = k · xυ12−1(
1 + υ1υ2x)υ1+υ2
2
Distribuição F
f(x) = k · xυ12−1(
1 + υ1υ2x)υ1+υ2
2
, 0 < x <∞, υ1, υ2 = 1, 2, 3, . . .
Observe ainda, se �zermos
a =υ12
b =υ1υ2
c =υ1 + υ2
2
Distribuição F
A densidade �ca simpli�cada a
f(x) = k · xa−1
(1 + bx)c, 0 < x <∞
Finalmente, podemos a�rmar que afunção de densidade da F é da forma
f(x) = k · g(x)
h(x)
Onde g(x) = xa−1 e h(x) = (1 + bx)c.
Distribuição F
Figure: Densidade da F By IkamusumeFan - Own work, CC BY-SA 4.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=34777108
Regra de Derivação f(x) = g(x)/h(x)
A densidade de F é do tipo
f(x) = k · g(x)
h(x)⇒ f ′(x) = k · g
′(x)h(x)− g(x)h′(x)
[h(x)]2
Derivando a densidade f(x)
f(x) = k · g(x)
h(x)
Onde g(x) = xa−1 e h(x) = (1 + bx)c.{g(x) = xa−1 ⇒ g′(x) = (a− 1)xa−2
h(x) = (1 + bx)c ⇒ h′(x) = bc(1 + bx)c−1
Portanto
f ′(x) = k · (a− 1)xa−2 (1 + bx)c − xa−1bc(1 + bx)c−1
[(1 + bx)c]2
Para maximizar f(x), fazemos f ′(x) = 0, logo devemos ter
(a− 1)xa−2 (1 + bx)c − xa−1bc(1 + bx)c−1 = 0
Com isso
(a− 1)xa−2 (1 + bx)c = xa−1bc(1 + bx)c−1 ⇒ x =1− a
bc− ab− b
Distribuição F � Resumo
I A densidade da F é dada por
f(x) = k · xa−1
(1 + bx)c, 0 < x <∞
Com a =υ12, b =
υ1υ2
, c =υ1 + υ2
2e k =
Γ(υ1+υ2
2
)Γ(υ12
)Γ(υ22
)I Sua moda é dada por x =
1− abc− ab− b
. Fazendo as subistituições
xmodal =
[(υ1 − 2)
υ1
]·[
υ2(υ2 + 2)
]
CP�T/2016 - Prova Amarela � Questão 11
CP�T/2016 - Prova Amarela � Questão 11