Download - Dissertação Flavio.pdf
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MINISTRIO DA DEFESA
EXRCITO BRASILEIRO
DEPARTAMENTO DE CINCIA E TECNOLOGIA
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA MECNICA
KLEDSON FLVIO SILVEIRA SANTIAGO
ANLISE DA RESOLUO ESPACIAL DE TERMOS DIFUSIVOS
UTILIZANDO ORDEM DE ERRO E ESTABILIDADE
NUMRICA
Rio de Janeiro2012
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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
KLEDSON FLVIO SILVEIRA SANTIAGO
ANLISE DA RESOLUO ESPACIAL DE TERMOS DIFUSIVOSUTILIZANDO ORDEM DE ERRO E ESTABILIDADE NUMRICA
Dissertao de Mestrado apresentada ao Curso de Mestradoem Engenharia Mecnica do Instituto Militar de Engenha-ria, como requisito parcial para obteno do ttulo de Mestreem Cincias em Engenharia Mecnica.
Orientador: Prof. Leonardo S. de B. Alves, Ph.D.
Rio de Janeiro2012
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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
KLEDSON FLVIO SILVEIRA SANTIAGO
ANLISE DA RESOLUO ESPACIAL DE TERMOS DIFUSIVOSUTILIZANDO ORDEM DE ERRO E ESTABILIDADE NUMRICA
Dissertao de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Mecnica doInstituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obteno do ttulo de Mestre emCincias em Engenharia Mecnica.
Orientador: Prof. Leonardo S. de B. Alves, Ph.D.
Aprovada em 19 de setembro de 2012 pela seguinte Banca Examinadora:
Prof. Leonardo S. de B. Alves, Ph.D. da UFF - Presidente
Prof. Rodrigo Otvio de Castro Guedes, Ph.D. do IME
Prof. Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. da UFF
Rio de Janeiro2012
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Aos meus pais Tiago e Zilda, aos meus irmos Fbio ePricila, e minha namorada Thayza.
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AGRADECIMENTOS
Agradeo primeiramente a meu Deus que esteve ao meu lado no s nesse mestrado, mas
em toda minha vida. Minha famlia por sempre estar comigo e acreditar em mim. A minha
namorada Thayza que esteve ao meu lado dando-me todo apoio e companheirismo que precisei.
Ao meu orientador professor Leonardo por sua ajuda e ateno. Aos meus amigos de laboratrio
Gabriel, Oberdan, Ricardo, Vanessa, e em especial Renan e Eduardo, que passaram um pouco
de sua experincia pra poder ajudar. E ao Instituto Militar de Engenharia pela oportunidade de
realizao do curso de Mestrado em Engenharia Mecnica.
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"Juntamente com a Assemblia de Westminster e to-dos que a precederam eu creio que o fim principal dohomem glorificar a Deus e apreci-lo para sempre."
JAMES CLERK MAXWELL
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SUMRIO
LISTA DE ILUSTRAES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
LISTA DE ABREVIATURAS E SMBOLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.1 Reviso Bibliogrfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 MODELAGEM MATEMTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1 Equaes de Governo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1 Equaes de Navier-Stokes Compressvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.2 Equao do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.3 Modelagem do Termo Difusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Resoluo Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Anlises de Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 Ordem Terica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Ordem Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Mtodo da Soluo Manufaturada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Nmero de Onda Modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 RESOLUO ESPACIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1 Mtodo de Diferenas Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.1 Formulaes de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.1.1 Formulao No-Conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.1.2 Formulao Conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.2 Formulaes de Quarta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2.1 Formulao No-Conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2.2 Formulao Conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Mtodo dos Volumes Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1 Formulaes de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1.1 Formulao Conservativa de Volumes Finitos Tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1.2 Formulao Conservativa de Volumes Finitos SA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
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3.2.2 Formulaes de Quarta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2.1 Formulao Conservativa de Volumes Finitos de Zingg & Pulliam . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2.2 Formulao Conservativa de Volumes Finitos SA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1 Ordem de Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.1 Formulaes de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.2 Formulaes de Quarta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Erro e Estabilidade Numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 Anlise Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5 CONCLUSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7 APNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.1 APNDICE 1: Formulao No-Conservativa de Diferenas Finitas - 2aordem. . . . 89
7.2 APNDICE 2: Formulao Conservativa de Diferenas Finitas - 2aordem . . . . . . . . 98
7.3 APNDICE 3: Formulao de Volumes Finitos Tradicional - 2aordem . . . . . . . . . . . 107
7.4 APNDICE 4: Formulao Conservativa de Volumes Finitos SA 2(0) . . . . . . . . . . . 115
7.5 APNDICE 5: Formulao Conservativa de Volumes Finitos SA 2(1) . . . . . . . . . . . 123
7.6 APNDICE 6: Formulao Conservativa de Volumes Finitos SA 2(2) . . . . . . . . . . . 131
7.7 APNDICE 7: Formulao No-Conservativa de Diferenas Finitas - 4aordem. . . . 139
7.8 APNDICE 8: Formulao Conservativa de Diferenas Finitas - 4aordem . . . . . . . . 148
7.9 APNDICE 9: Formulao de Volumes Finitos de Zingg & Pullian . . . . . . . . . . . . . 157
7.10 APNDICE 10: Formulao Conservativa de Volumes Finitos SA 4(2) . . . . . . . . . . 165
7.11 APNDICE 11: Formulao Conservativa de Volumes Finitos SA 4(3) . . . . . . . . . . 173
7.12 APNDICE 12: Formulao Conservativa de Volumes Finitos SA 4(4) . . . . . . . . . . 181
7.13 APNDICE 13: Erro Numrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
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LISTA DE ILUSTRAES
FIG.2.1 Conditividade Trmica para diferentes valores de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
FIG.2.2 Temperatura para diferentes valores de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
FIG.4.1 Ordem numrica com malha de 101, 201 e 401 pontos. Formulao
Conservativa de Diferenas Finitas de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
FIG.4.2 Ordem numrica com malha de 201, 401 e 801 pontos. Formulao
Conservativa de Diferenas Finitas de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
FIG.4.3 Ordem numrica com malha de 101, 201 e 401 pontos. Formulao
Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
FIG.4.4 Ordem numrica com malha de 201, 401 e 801 pontos. Formulao
Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
FIG.4.5 Ordem numrica com malha de 101, 201 e 401 pontos. Formulao SA
2(0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
FIG.4.6 Ordem numrica com malha de 201, 401 e 801 pontos. Formulao SA
2(0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
FIG.4.7 Ordem numrica com malha de 101, 201 e 401 pontos. Formulao SA
2(1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
FIG.4.8 Ordem numrica com malha de 201, 401 e 801 pontos. Formulao SA
2(1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
FIG.4.9 Ordem numrica com malha de 101, 201 e 401 pontos. Formulao SA
2(2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
FIG.4.10 Ordem numrica com malha de 201, 401 e 801 pontos. Formulao SA
2(2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
FIG.4.11 Ordem numrica com malha de 101, 201 e 401 pontos. Formulao
Conservativa de Diferenas Finitas de Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
FIG.4.12 Ordem numrica com malha de 201, 401 e 801 pontos. Formulao
Conservativa de Diferenas Finitas de Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
FIG.4.13 Ordem numrica com malha de 101, 201 e 401 pontos. Formulao de
Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
FIG.4.14 Ordem numrica com malha de 201, 401 e 801 pontos. Formulao de
Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
FIG.4.15 Ordem numrica com malha de 101, 201 e 401 pontos. Formulao SA
4(2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8
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FIG.4.16 Ordem numrica com malha de 201, 401 e 801 pontos. Formulao SA
4(2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
FIG.4.17 Ordem numrica com malha de 101, 201 e 401 pontos. Formulao SA
4(3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
FIG.4.18 Ordem numrica com malha de 201, 401 e 801 pontos. Formulao SA
4(3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
FIG.4.19 Ordem numrica com malha de 101, 201 e 401 pontos. Formulao SA
4(4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
FIG.4.20 Ordem numrica com malha de 201, 401 e 801 pontos. Formulao SA
4(4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
FIG.4.21 Kx em funo de Kx, para segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
FIG.7.1 Ordem numrica para = 10 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao No-Conservativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
FIG.7.2 Ordem numrica para = 20 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao No-Conservativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
FIG.7.3 Ordem numrica para = 30 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao No-Conservativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
FIG.7.4 Ordem numrica para = 40 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao No-Conservativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
FIG.7.5 Ordem numrica para = 50 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao No-Conservativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
FIG.7.6 Ordem numrica para = 60 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao No-Conservativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
FIG.7.7 Ordem numrica para = 10 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
FIG.7.8 Ordem numrica para = 20 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
FIG.7.9 Ordem numrica para = 30 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
FIG.7.10 Ordem numrica para = 40 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
FIG.7.11 Ordem numrica para = 50 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
FIG.7.12 Ordem numrica para = 60 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
9
-
Formulao No-Conservativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
FIG.7.13 Ordem numrica para = 70 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
FIG.7.14 Ordem numrica para = 80 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
FIG.7.15 Ordem numrica para = 90 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
FIG.7.16 Ordem numrica para = 100 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
FIG.7.17 Ordem numrica para = 10 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
FIG.7.18 Ordem numrica para = 20 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
FIG.7.19 Ordem numrica para = 30 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
FIG.7.20 Ordem numrica para = 40 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
FIG.7.21 Ordem numrica para = 50 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
FIG.7.22 Ordem numrica para = 60 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
FIG.7.23 Ordem numrica para = 10 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
FIG.7.24 Ordem numrica para = 20 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
FIG.7.25 Ordem numrica para = 30 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
FIG.7.26 Ordem numrica para = 40 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
FIG.7.27 Ordem numrica para = 50 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
FIG.7.28 Ordem numrica para = 60 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
FIG.7.29 Ordem numrica para = 70 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
10
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Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
FIG.7.30 Ordem numrica para = 80 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
FIG.7.31 Ordem numrica para = 90 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
FIG.7.32 Ordem numrica para = 10 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
FIG.7.33 Ordem numrica para = 10 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Volumes Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
FIG.7.34 Ordem numrica para = 20 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Volumes Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
FIG.7.35 Ordem numrica para = 30 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Volumes Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
FIG.7.36 Ordem numrica para = 40 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Volumes Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
FIG.7.37 Ordem numrica para = 50 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Volumes Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
FIG.7.38 Ordem numrica para = 60 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Volumes Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
FIG.7.39 Ordem numrica para = 10 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Volumes Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
FIG.7.40 Ordem numrica para = 20 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Volumes Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
FIG.7.41 Ordem numrica para = 30 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Volumes Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
FIG.7.42 Ordem numrica para = 40 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Volumes Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
FIG.7.43 Ordem numrica para = 50 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Volumes Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
FIG.7.44 Ordem numrica para = 60 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Volumes Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
FIG.7.45 Ordem numrica para = 70 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Volumes Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
FIG.7.46 Ordem numrica para = 80 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
11
-
Formulao Conservativa de Volumes Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
FIG.7.47 Ordem numrica para = 90 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Volumes Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
FIG.7.48 Ordem numrica para = 100 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Volumes Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
FIG.7.49 Ordem numrica para = 10 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 1 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
FIG.7.50 Ordem numrica para = 20 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 1 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
FIG.7.51 Ordem numrica para = 30 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 1 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
FIG.7.52 Ordem numrica para = 40 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 1 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
FIG.7.53 Ordem numrica para = 50 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 1 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
FIG.7.54 Ordem numrica para = 60 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 1 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
FIG.7.55 Ordem numrica para = 10 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 1 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
FIG.7.56 Ordem numrica para = 20 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 1 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
FIG.7.57 Ordem numrica para = 30 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 1 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
FIG.7.58 Ordem numrica para = 40 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 1 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
FIG.7.59 Ordem numrica para = 50 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 1 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
FIG.7.60 Ordem numrica para = 60 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 1 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
FIG.7.61 Ordem numrica para = 70 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 1 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
FIG.7.62 Ordem numrica para = 80 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 1 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
FIG.7.63 Ordem numrica para = 90 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
12
-
Formulao Modificada 1 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
FIG.7.64 Ordem numrica para = 100 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 1 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
FIG.7.65 Ordem numrica para = 10 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
FIG.7.66 Ordem numrica para = 20 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
FIG.7.67 Ordem numrica para = 30 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
FIG.7.68 Ordem numrica para = 40 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
FIG.7.69 Ordem numrica para = 50 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
FIG.7.70 Ordem numrica para = 60 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
FIG.7.71 Ordem numrica para = 10 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
FIG.7.72 Ordem numrica para = 20 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
FIG.7.73 Ordem numrica para = 30 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
FIG.7.74 Ordem numrica para = 40 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
FIG.7.75 Ordem numrica para = 50 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
FIG.7.76 Ordem numrica para = 60 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
FIG.7.77 Ordem numrica para = 70 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
FIG.7.78 Ordem numrica para = 80 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
FIG.7.79 Ordem numrica para = 90 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
FIG.7.80 Ordem numrica para = 100 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
13
-
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
FIG.7.81 Ordem numrica para = 10 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
FIG.7.82 Ordem numrica para = 20 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
FIG.7.83 Ordem numrica para = 30 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
FIG.7.84 Ordem numrica para = 40 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
FIG.7.85 Ordem numrica para = 50 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
FIG.7.86 Ordem numrica para = 60 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
FIG.7.87 Ordem numrica para = 10 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
FIG.7.88 Ordem numrica para = 20 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
FIG.7.89 Ordem numrica para = 30 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
FIG.7.90 Ordem numrica para = 40 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
FIG.7.91 Ordem numrica para = 50 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
FIG.7.92 Ordem numrica para = 60 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
FIG.7.93 Ordem numrica para = 70 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
FIG.7.94 Ordem numrica para = 80 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
FIG.7.95 Ordem numrica para = 90 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
FIG.7.96 Ordem numrica para = 100 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Modificada 2 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
14
-
FIG.7.97 Ordem numrica para = 10 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao No-Conservativa. Quarta ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
FIG.7.98 Ordem numrica para = 20 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao No-Conservativa. Quarta ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
FIG.7.99 Ordem numrica para = 30 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao No-Conservativa. Quarta ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
FIG.7.100 Ordem numrica para = 40 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao No-Conservativa. Quarta ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
FIG.7.101 Ordem numrica para = 50 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao No-Conservativa. Quarta ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
FIG.7.102 Ordem numrica para = 60 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao No-Conservativa. Quarta ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
FIG.7.103 Ordem numrica para = 10 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. Quarta ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
FIG.7.104 Ordem numrica para = 20 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. Quarta ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
FIG.7.105 Ordem numrica para = 30 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. Quarta ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
FIG.7.106 Ordem numrica para = 40 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. Quarta ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
FIG.7.107 Ordem numrica para = 50 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. Quarta ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
FIG.7.108 Ordem numrica para = 60 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. Quarta ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
FIG.7.109 Ordem numrica para = 70 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. Quarta ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
FIG.7.110 Ordem numrica para = 80 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. Quarta ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
FIG.7.111 Ordem numrica para = 90 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. Quarta ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
FIG.7.112 Ordem numrica para = 100 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao No-Conservativa. Quarta ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
FIG.7.113 Ordem numrica para = 10 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. Quarta ordem. . . . . . . . . . . 148
15
-
FIG.7.114 Ordem numrica para = 20 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. Quarta ordem. . . . . . . . . . . 149
FIG.7.115 Ordem numrica para = 30 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. Quarta ordem. . . . . . . . . . . 149
FIG.7.116 Ordem numrica para = 40 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. Quarta ordem. . . . . . . . . . . 150
FIG.7.117 Ordem numrica para = 50 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. Quarta ordem. . . . . . . . . . . 150
FIG.7.118 Ordem numrica para = 60 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. Quarta ordem. . . . . . . . . . . 151
FIG.7.119 Ordem numrica para = 10 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. Quarta ordem. . . . . . . . . . . 151
FIG.7.120 Ordem numrica para = 20 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. Quarta ordem. . . . . . . . . . . 152
FIG.7.121 Ordem numrica para = 30 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. Quarta ordem. . . . . . . . . . . 152
FIG.7.122 Ordem numrica para = 40 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. Quarta ordem. . . . . . . . . . . 153
FIG.7.123 Ordem numrica para = 50 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. Quarta ordem. . . . . . . . . . . 153
FIG.7.124 Ordem numrica para = 60 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. Quarta ordem. . . . . . . . . . . 154
FIG.7.125 Ordem numrica para = 70 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. Quarta ordem. . . . . . . . . . . 154
FIG.7.126 Ordem numrica para = 80 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. Quarta ordem. . . . . . . . . . . 155
FIG.7.127 Ordem numrica para = 90 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. Quarta ordem. . . . . . . . . . . 155
FIG.7.128 Ordem numrica para = 100 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. Quarta ordem. . . . . . . . . . . 156
FIG.7.129 Ordem numrica para = 10 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao de Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
FIG.7.130 Ordem numrica para = 20 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao de Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
16
-
FIG.7.131 Ordem numrica para = 30 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao de Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
FIG.7.132 Ordem numrica para = 40 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao de Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
FIG.7.133 Ordem numrica para = 50 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao de Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
FIG.7.134 Ordem numrica para = 60 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao de Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
FIG.7.135 Ordem numrica para = 10 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao de Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
FIG.7.136 Ordem numrica para = 20 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao de Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
FIG.7.137 Ordem numrica para = 30 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao de Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
FIG.7.138 Ordem numrica para = 40 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao de Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
FIG.7.139 Ordem numrica para = 50 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao de Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
FIG.7.140 Ordem numrica para = 60 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao de Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
FIG.7.141 Ordem numrica para = 70 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao de Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
FIG.7.142 Ordem numrica para = 80 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao de Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
FIG.7.143 Ordem numrica para = 90 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao de Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
FIG.7.144 Ordem numrica para = 100 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao de Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
FIG.7.145 Ordem numrica para = 10 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 1. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
FIG.7.146 Ordem numrica para = 20 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 1. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
FIG.7.147 Ordem numrica para = 30 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 1. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
17
-
FIG.7.148 Ordem numrica para = 40 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 1. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
FIG.7.149 Ordem numrica para = 50 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 1. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
FIG.7.150 Ordem numrica para = 60 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 1. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
FIG.7.151 Ordem numrica para = 10 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 1. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
FIG.7.152 Ordem numrica para = 20 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 1. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
FIG.7.153 Ordem numrica para = 30 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 1. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
FIG.7.154 Ordem numrica para = 40 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 1. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
FIG.7.155 Ordem numrica para = 50 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 1. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
FIG.7.156 Ordem numrica para = 60 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 1. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
FIG.7.157 Ordem numrica para = 70 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 1. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
FIG.7.158 Ordem numrica para = 80 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 1. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
FIG.7.159 Ordem numrica para = 90 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 1. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
FIG.7.160 Ordem numrica para = 100 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 1. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
FIG.7.161 Ordem numrica para = 10 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 2. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
FIG.7.162 Ordem numrica para = 20 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 2. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
FIG.7.163 Ordem numrica para = 30 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 2. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
FIG.7.164 Ordem numrica para = 40 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 2. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
18
-
FIG.7.165 Ordem numrica para = 50 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 2. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
FIG.7.166 Ordem numrica para = 60 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 2. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
FIG.7.167 Ordem numrica para = 10 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 2. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
FIG.7.168 Ordem numrica para = 20 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 2. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
FIG.7.169 Ordem numrica para = 30 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 2. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
FIG.7.170 Ordem numrica para = 40 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 2. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
FIG.7.171 Ordem numrica para = 50 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 2. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
FIG.7.172 Ordem numrica para = 60 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 2. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
FIG.7.173 Ordem numrica para = 70 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 2. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
FIG.7.174 Ordem numrica para = 80 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 2. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
FIG.7.175 Ordem numrica para = 90 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 2. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
FIG.7.176 Ordem numrica para = 100 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 2. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
FIG.7.177 Ordem numrica para = 10 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 3. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
FIG.7.178 Ordem numrica para = 20 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 3. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
FIG.7.179 Ordem numrica para = 30 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 3. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
FIG.7.180 Ordem numrica para = 40 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 3. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
FIG.7.181 Ordem numrica para = 50 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 3. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
19
-
FIG.7.182 Ordem numrica para = 60 com malha de 101, 201 e 401 pontos.
Formulao modificada 3. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
FIG.7.183 Ordem numrica para = 10 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 3. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
FIG.7.184 Ordem numrica para = 20 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 3. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
FIG.7.185 Ordem numrica para = 30 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 3. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
FIG.7.186 Ordem numrica para = 40 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 3. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
FIG.7.187 Ordem numrica para = 50 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 3. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
FIG.7.188 Ordem numrica para = 60 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 3. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
FIG.7.189 Ordem numrica para = 70 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 3. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
FIG.7.190 Ordem numrica para = 80 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 3. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
FIG.7.191 Ordem numrica para = 90 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 3. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
FIG.7.192 Ordem numrica para = 100 com malha de 201, 401 e 801 pontos.
Formulao modificada 3. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
FIG.7.193 Erro Relativo para = 10 com malha de 101, 201 e 401 pontos. . . . . . . . . . . . . 189
FIG.7.194 Erro Relativo para = 20 com malha de 101, 201 e 401 pontos. . . . . . . . . . . . . 189
FIG.7.195 Erro Relativo para = 30 com malha de 101, 201 e 401 pontos. . . . . . . . . . . . . 190
FIG.7.196 Erro Relativo para = 40 com malha de 101, 201 e 401 pontos. . . . . . . . . . . . . 190
FIG.7.197 Erro Relativo para = 50 com malha de 101, 201 e 401 pontos. . . . . . . . . . . . . 191
FIG.7.198 Erro Relativo para = 60 com malha de 101, 201 e 401 pontos. . . . . . . . . . . . . 192
FIG.7.199 Erro Relativo para = 10 com malha de 201, 401 e 801 pontos. . . . . . . . . . . . . 192
FIG.7.200 Erro Relativo para = 20 com malha de 201, 401 e 801 pontos. . . . . . . . . . . . . 193
FIG.7.201 Erro Relativo para = 30 com malha de 201, 401 e 801 pontos. . . . . . . . . . . . . 193
FIG.7.202 Erro Relativo para = 40 com malha de 201, 401 e 801 pontos. . . . . . . . . . . . . 194
FIG.7.203 Erro Relativo para = 50 com malha de 201, 401 e 801 pontos. . . . . . . . . . . . . 194
FIG.7.204 Erro Relativo para = 60 com malha de 201, 401 e 801 pontos. . . . . . . . . . . . . 195
20
-
FIG.7.205 Erro Relativo para = 70 com malha de 201, 401 e 801 pontos. . . . . . . . . . . . . 195
FIG.7.206 Erro Relativo para = 80 com malha de 201, 401 e 801 pontos. . . . . . . . . . . . . 196
FIG.7.207 Erro Relativo para = 90 com malha de 201, 401 e 801 pontos. . . . . . . . . . . . . 196
FIG.7.208 Erro Relativo para = 100 com malha de 201, 401 e 801 pontos. . . . . . . . . . . . 197
21
-
LISTA DE TABELAS
TAB.4.1 Ordem de Erro mnima e mdia para malha 101-201-401 pontos, for-
mulao No-Conservativa Analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
TAB.4.2 Ordem de Erro mnima e mdia para malha 101-201-401 pontos, for-
mulao No-Conservativa Numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
TAB.4.3 Ordem de Erro mnima e mdia para malha 201-401-801 pontos, for-
mulao No-Conservativa Analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
TAB.4.4 Ordem de Erro mnima e mdia para malha 201-401-801 pontos, for-
mulao No-Conservativa Numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
TAB.4.5 Ordem de Erro mnima e mdia para malha 101-201-401 pontos, for-
mulao No-Conservativa Analtica de Quarta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
TAB.4.6 Ordem de Erro mnima e mdia para malha 101-201-401 pontos, for-
mulao No-Conservativa Numrica de Quarta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
TAB.4.7 Ordem de Erro mnima e mdia para malha 201-401-801 pontos, for-
mulao No-Conservativa Analtica de Quarta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
TAB.4.8 Ordem de Erro mnima e mdia para malha 201-401-801 pontos, for-
mulao No-Conservativa Numrica de Quarta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
TAB.4.9 Erro Relativo Mximo e Mdio, e CFL Mximo, para malha 101-201-
401 pontos. = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
TAB.4.10 Erro Relativo Mximo e Mdio, e CFL Mximo, para malha 101-201-
401 pontos. = 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
TAB.4.11 Erro Relativo Mximo e Mdio, e CFL Mximo, para malha 101-201-
401 pontos. = 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
TAB.4.12 Erro Relativo Mximo e Mdio, e CFL Mximo, para malha 101-201-
401 pontos. = 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
TAB.4.13 Erro Relativo Mximo e Mdio, e CFL Mximo, para malha 101-201-
401 pontos. = 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
TAB.4.14 Erro Relativo Mximo e Mdio, e CFL Mximo, para malha 101-201-
401 pontos. = 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
TAB.4.15 Erro Relativo Mximo e Mdio, e CFL Mximo, para malha 201-401-
801 pontos. = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
TAB.4.16 Erro Relativo Mximo e Mdio, e CFL Mximo, para malha 201-401-
801 pontos. = 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
22
-
TAB.4.17 Erro Relativo Mximo e Mdio, e CFL Mximo, para malha 201-401-
801 pontos. = 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
TAB.4.18 Erro Relativo Mximo e Mdio, e CFL Mximo, para malha 201-401-
801 pontos. = 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
TAB.4.19 Erro Relativo Mximo e Mdio, e CFL Mximo, para malha 201-401-
801 pontos. = 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
TAB.4.20 Erro Relativo Mximo e Mdio, e CFL Mximo, para malha 201-401-
801 pontos. = 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
TAB.4.21 Erro Relativo Mximo e Mdio, e CFL Mximo, para malha 201-401-
801 pontos. = 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
TAB.4.22 Erro Relativo Mximo e Mdio, e CFL Mximo, para malha 201-401-
801 pontos. = 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
TAB.4.23 Erro Relativo Mximo e Mdio, e CFL Mximo, para malha 201-401-
801 pontos. = 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
TAB.4.24 Erro Relativo Mximo e Mdio, e CFL Mximo, para malha 201-401-
801 pontos. = 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
23
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LISTA DE ABREVIATURAS E SMBOLOS
E Energia interna total por unidade de massa
h Coeficiente de transferncia de calor por conveco
L Comprimento do meio
P Presso
q Termo fonte
T Temperatura
T Soluo manufaturada
TL Temperatura do fluido externo
k Condutividade trmica
K Nmero de onda
K Nmero de onda modificado
ui Componentes do vetor velocidade
Viscosidade dinmica
Parmetro de controle dos gradientes, e nmero de pontos na malha espacial
Massa especfica
Cp Capacidade trmica a presso constante
24
-
RESUMO
O presente estudo apresenta uma extensa investigao numrica sobre o tratamento da difusode energia com propriedades variveis. Para tal, foram realizados testes numricos em umproblema unidimensional transiente de conduo de calor.Testes foram realizados com esquemas centrados para resoluo espacial, inicialmente comsegunda ordem de preciso e, posteriormente, com quarta ordem. Foram empregadas, paraambos os esquemas, as formulaes conservativas e no-conservativas do mtodo de diferenasfinitas. Os mesmos testes foram ainda realizados empregando uma formulao intrinsecamenteconservativa do mtodo de volumes finitos.Visando avaliar a estabilidade numrica dos esquemas espaciais analisados, o impacto destes namarcha temporal foi investigado atravs do passo mximo no tempo obtido com o mtodo deEuler. Tambm foram realizadas anlises de erro, ordem do erro e tambm resoluo espectraldos esquemas estudados.Por fim, foi proposta uma nova formulao para resoluo espacial de termos difusivos compropriedades variveis que tenta agregar as melhores caractersticas de cada esquema analisado.Os resultados obtidos pelo mtodo proposto foram consideravelmente superiores aos demaisesquemas analisados.
25
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ABSTRACT
This study presents an extensive numerical investigation on the treatment of diffusive termswith variable properties. In order to accomplish this, several tests were performed on the one-dimensional transient heat conduction problem.Firstly, tests were performed employing a second order accurate centered scheme for spatialresolution, further, fourth order schemes were analyzed as well . For both formulations, conser-vative and non-conservative finite difference methods were employed.Further the same tests were performed using a intrinsically conservative formulation of Fi-nite Volume method. In order to evaluate the influence of the treatment of diffusive terms onnumerical stability of these time-marching schemes, investigations were done considering themaximum time step allowable with the Euler method. Among other numerical features, wereanalyzed the behavior of the error and the order of accuracy produced by these schemes.Finally, we proposed a new formulation for diffusive terms of spatial resolution with variableproperties that combines notable features of each analyzed scheme. The results obtained by theproposed method were considerably better then the other schemes analyzed.
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1 INTRODUO
Ao longo das ltimas dcadas, o desenvolvimento de novos mtodos numricos para resolu-
o espacial das equaes de governo em fenmenos de transporte concentrou maiores esforos
na construo de aproximaes discretas para seus termos advectivos, dando menor ateno
aos termos difusivos. Isto se deve a maior complexidade do primeiro, quando comparado ao
segundo. Um exemplo est na rea aeroespacial (LANEY, 1998), onde a simulao de escoa-
mentos compressveis de alta velocidade utiliza as equaes de Euler para modelar a propagao
de ondas de choque e expanso, dentre outros fenmenos. O presente trabalho tenta preencher
esta lacuna. Ele est voltado para o estudo de termos difusivos contendo propriedades variveis,
como os existentes nas equaes de Navier-Stokes.
1.1 REVISO BIBLIOGRFICA
Antes de discutir o tratamento numricos dos termos difusivos, preciso distinguir entre as
duas abordagens mais comumente utilizadas na mecnica dos fluidos e transferncia de calor
computacional. Elas so os mtodos de diferenas finitas e volumes finitos (LOMAX et al.,
2001). A primeira abordagem baseada no uso de expanses em srie de Taylor ao redor de
um ponto discreto, aplicadas diretamente forma diferencial das equaes de governo (TAN-
NEHILL et al., 1997). Ela possui duas grandes vantagens, a deduo matemtica rigorosa da
ordem de erro e da estabilidade numrica de seus esquemas discretos e tambm a flexibilidade
na escolha de formulaes conservativas ou no-conservativas para seus esquemas. J a segunda
abordagem baseada na forma integral das equaes de conservao (VERSTEEG e MALA-
LASEKERA, 1995). Ela possui duas grandes vantagens, sua formulao intrinsecamente con-
servativa e sua capacidade de lidar com geometrias irregulares naturalmente. Devido a estas
diferenas entre os mtodos de diferenas e volumes finitos, as principais caractersticas dos
esquemas utilizados para discretizao dos termos difusivos podem variar significativamente.
Termos difusivos no possuem uma direo preferencial de propagao, como ocorre com
os termos advectivos devido ao transporte promovido pelo movimento do fluido. Logo, sua
discretizao mais simples e tradicionalmente feita atravs de aproximaes centradas. Por
esta razo, a maior parte da literatura sobre o assunto est contida em livros, como os citados
acima. Encontrar artigos recentes sobre o assunto no uma tarefa trivial. Desta forma, a revi-
so bibliogrfica desta dissertao se concentrou na discretizao dos termos difusivos utilizada
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para simulao de escoamentos modelados pelas equaes de Navier-Stokes.
Um destes estudos o trabalho de BASSI e REBAY (1997), que utiliza simulao numrica
para computar o escoamento viscoso compressvel em torno de aeroflios. Os autores utilizam
um mtodo de elementos finitos para soluo numrica das equaes de Navier-Stokes com-
pressveis. O estudo estende uma discretizao descontinua de elementos finitos originalmente
considerada para sistemas hiperblicos, tais como as equaes de Euler, para o caso das equa-
es de Navier-Stokes tratando os termos viscosos com uma formulao mista. As derivadas de
primeira ordem das variveis conservativas conduzem as derivadas de quarta ordem quando se
avalia o divergente dos fluxos viscosos. Entretanto, as derivadas de segunda ordem no podem
ser aplicadas diretamente numa formulao variacional fraca utilizando um espao de funo
descontnua. O mtodo combina diferentes caractersticas comumente associadas a elementos
finitos e mtodos de volumes finitos. Assim como em mtodos clssicos de elementos finitos,
de fato, a preciso obtida por meio de aproximao polinomial de alta ordem dentro de um
elemento, em vez de estncis de largura, como no caso de regimes de volumes finitos. A fsica
de propagao de ondas , no entanto, representada por resolver os problemas (aproximados)
de Riemann, que surgem a partir da representao descontnua da soluo. A este respeito o
mtodo semelhante a de um esquema de volume finito.
Outro trabalho o estudo feito por ZHONG (1998). Em seu estudo ele utiliza simulao
numrica direta para estudar o fenmeno da transio laminar-turbulenta em camadas limites
supersnicas na presena de ondas de choque. Ele utiliza um mtodo de diferenas finitas com
alta ordem de resoluo temporal e espacial. Neste estudo, a condio de contorno a pr-
pria onda de choque para evitar erros numricos causados no tratamento desta descontinuidade.
No que diz respeito ao tratamento do termo difusivo, o autor descreve as duas formulaes
tradicionais em diferenas finitas: conservativa e no-conservativa. A primeira garante conser-
vao dos fluxos difusivos, que so os fluxos condutivos ou viscosos no caso das equaes de
Navier-Stokes. Ela obtida essencialmente aplicando-se a aproximao discreta para a primeira
derivada duas vezes. Isto mais fcil de se implementar, porm leva a um estncil contendo um
maior nmero de pontos. J a formulao no-conservativa expande o operador difusivo, fa-
zendo aparecer a segunda derivada explicitamente. A discretizao desta verso leva ao menor
nmero de pontos possvel no estncil para uma dada ordem de erro. Por esta razo, a estabi-
lidade numrica da formulao no-conservativa maior que a da verso conservativa, porm
ela no garante conservao dos fluxos difusivos.
Em uma sequencia de trabalhos publicados por RANGO e ZINGG (2000), ZINGG (2000)
e RANGO (2001), uma anlise comparativa de diferentes tipos de discretizao espacial para
as equaes de Navier-Stokes apresentada. Eles utilizam o escoamento turbulento, subsnico
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e transnico ao redor de aeroflios como problema base para comparao das simulaes. O
principal foco destes estudos so os termos advectivos, mas uma nova discretizao dos termos
difusivos tambm apresentada. Como os autores utilizam volumes finitos, a primeira apro-
ximao, relacionada a primeira derivada externa, feita em relao as faces dos volumes. O
termo resultante, que inclui a multiplicao de uma propriedade do fluido e a primeira derivada
interna, ento aproximado usando informaes nos centros dos volumes. Por esta razo, o
nmero de pontos do estncil menor que o utilizado pela formulao conservativa equivalente
do mtodo de diferenas finitas, mas ainda maior que o utilizado pela formulao no- conser-
vativa equivalente deste mtodo. Os autores afirmam que a perda de preciso no significativa,
porm no apresentam resultados pra ordem de erro obtida numericamente.
O trabalho feito por LELE (1992) analisa esquemas compactos de diferenas finitas centra-
das com variadas ordem de erro. Verses parcialmente atrasadas e avanadas tambm so forne-
cidas para uso em problemas com condies de contorno no-peridicas. O autor enfatiza uma
anlise do nmero de onda e velocidade de fase modificados destes esquemas, demonstrando
que esquemas compactos se aproximam mais do ideal espectral do que esquemas explcitos
para um mesmo nmero de pontos no estncil. Desta forma, no h prejuzos significativos
na estabilidade numrica destes esquemas. Frmulas para a primeira e segunda derivadas so
fornecidas, podendo ser utilizadas para termos difusivos.
No estudo de SANDHAM et al. (2002) discutido esquemas de entropia consistentes para
simulao de escoamentos turbulentos complexos. Tratando a preservao de vorticidade como
uma varivel secundria, os desafios inerentes a essa metodologia residem na soluo numrica
das equaes dos sistemas no-lineares com restries no mtodo de discretizao. Os autores
ressaltam que o uso destes esquemas para termos difusivos das equaes de Navier-Stokes no
trivial devido derivao de termos que j contm derivadas. Este procedimento causa uma
desacoplamento par-mpar que deve ser evitado por introduzir oscilaes de alta frequncia na
soluo. Por esta razo, uma formulao no-conservativa recomendada.
NAGARAJAN et al. (2003) apresentam um esquema centrado de alta ordem compacto para
simulao de grandes vrtices dos escoamentos compressveis turbulentos. Os autores com-
param esquemas compactos clssicos de diferenas finitas com suas respectivas verses para
volumes finitos, ou seja, com pontos avaliados na interface em vez do centro das clulas. Estas
duas abordagens tambm so chamadas de colocadas e deslocadas, respectivamente. Utilizando
uma anlise do nmero de onda modificado, eles mostram que a verso deslocada possui com-
portamento muito superior nas regies de alto nmero de onda, tanto para a primeira quanto
para a segunda derivadas. Alm disso, a formulao conservativa deslocada para os termos di-
fusivos apresenta uma degradao muito pequena para altos nmero de onda, ao contrrio da
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formulao conservativa tradicional destes termos.
de alta ordem em estudos numricos podem reduzir o custo computacional.
J no trabalho desenvolvido por FORTUNE (2004) apresentado um estudo do som emi-
tido por uma camada de mistura temporal usando simulao numrica direta. Eles tambm
utilizaram um mtodo de diferenas finitas com alta ordem de erro na resoluo tanto espacial
quanto temporal. Condies de contorno peridicas e regies de absoro foram utilizadas para
minimizar erro nas fronteiras artificiais. Estes autores mencionam o uso de uma formulao
no-conservativa. Nela, aparecem segundas derivadas nas equaes de conservao de momen-
tum e energia. Isto feito para evitar a perda de preciso causada pela discretizao sucessiva
da primeira derivada. Isto mostra que a perda de estabilidade numrica causada pelo uso da
formulao conservativa vem acompanhada de uma perda de preciso. Contudo, resultados
numricos para a ordem de erro no so apresentados.
SHEN et al. (2007) desenvolveram esquemas robustos de alta ordem para as equaes de
Navier-Stokes compressveis utilizando o mtodo de diferenas finitas com formulaes con-
servativas. Tanto os termos advectivos quanto os difusivos so considerados neste trabalho.
Uma srie de problemas clssicos em escoamentos compressveis so simulados para demons-
trar as caractersticas destes esquemas. Os mtodos desenvolvidos so usados posteriormente
para a simulao de problemas fluido-estrutura (SHEN et al., 2008), sendo o tratamento dos
termos difusivos comparado com o formulado por RANGO e ZINGG (2000). Uma diferena
importante aparece no clculo da primeira derivada interna, que usa uma frmula com maior
ordem de erro sem causar um aumento no nmero de pontos do estncil final. Isto feito para
minimizar o problema da perda de ordem na discretizao dos termos difusivos na presena de
propriedades no constantes, observado pelos autores ao usar o esquema proposto por RANGO
e ZINGG (2000). Vale a pena mencionar que nenhum clculo de ordem de erro ou estabilidade
numrica apresentado nestes estudos.
1.2 OBJETIVO
Este estudo tem por objetivo investigar o tratamento do termo difusivo para propriedades va-
riveis, dando continuidade ao estudo feito por PIMENTEL (2010), focando em ordem de erro
e estabilidade numrica, uma vez que no foram apresentados resultados quantitativos para es-
tes dois critrios nos artigos pesquisados para esse trabalho. Inicialmente iremos nos concentrar
num problema modelo de conduo de calor 1D transiente, pois o modelo mais simplificado
que existe para considerar tal termo difusivo. Consideramos um modelo transiente para avaliar
o impacto do esquema escolhido para resoluo espacial na estabilidade numrica da marcha
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temporal, que reduz o maior passo no tempo permissvel. O estudo se inicia com uma anlise
de esquemas centrados de segunda-ordem para resoluo espacial, posteriormente avanando
para esquemas de quarta ordem. Formulaes conservativas e no-conservativas do mtodo de
diferenas finitas sero testadas em conjunto com a formulao intrinsecamente conservativa
do mtodo de volumes finitos. Uma vez encerrada a anlise quantitativa das diferentes meto-
dologias existentes na literatura para resoluo espacial de termos difusivos com propriedades
variveis, propomos uma nova formulao que tenta agregar as melhores caractersticas de cada
esquema.
O problema de difuso de calor poder ser utilizado para simular as dificuldades produzidas
na discretizao dos termos difusivos das equaes de Navier-Stokes apenas quando gradiente
elevados de temperatura e condutividade trmica existirem. Podemos gerar este efeito artifici-
almente utilizando o Mtodo da Soluo Manufaturada.
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2 MODELAGEM MATEMTICA
2.1 EQUAES DE GOVERNO
2.1.1 EQUAES DE NAVIER-STOKES COMPRESSVEL
Como mencionado na introduo, o principal objetivo deste trabalho examinar os dife-
rentes tratamentos numricos utilizados na literatura para aproximao dos termos difusivos
encontrados nas equaes de Navier-Stokes. Este sistema de equaes obtido a partir dos
princpios de conservao de massa,
t+
xj(uj) = 0 , (2.1)
quantidade de movimento linear,
t(ui) +
xj(uiuj + Pi,j) =
i,jxj
, (2.2)
e energia,
t(E) +
xj((E + P )uj) =
xj(i,jui + qj) , (2.3)
escritos na forma conservativa, em conjunto com as relaes constitutivas
i,j =
(ujxi
+uixj
) 2
3
(ukxk
)i,j e qi = k
T
xi, (2.4)
para o tensor tenses viscoso de um fluido Newtoniano e o fluxo de calor por conduo, sendo o
ltimo tambm conhecido como lei de Fourier, alm de uma equao de estado adequada. Neste
conjunto de equaes, representa a massa especfica, ui as componentes do vetor velocidade,
P a presso, E a energia interna total por unidade de massa, T a temperatura, a viscosidade
dinmica e k a condutividade trmica.
2.1.2 EQUAO DO CALOR
No presente trabalho, nosso interesse est voltado para os termos no lado direito das equa-
es (2.2) e (2.3), tambm conhecidos como termos viscosos ou difusivos na literatura voltada
para escoamentos compressveis. Uma anlise comparativa das diferentes metodologias empre-
gadas para o termo difusivo destas equaes pode ser feita se considerarmos um problema teste
mais simples, mas que ainda contm este termo. A equao que modela a conduo de calor
32
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uni-dimensional transiente em um meio com condutividade trmica varivel, dada por
CPT
t=
x
(kT
x
)+ q , (2.5)
onde CP a capacidade trmica a presso constante e q um termo fonte. As condies de
contorno escolhidas para este problema so de isolamento trmico
T
x
x=0
= 0 , (2.6)
e troca de calor por conveco
kT
x
x=L
+ hT (x = L, t) = hTL , (2.7)
sendo que uma temperatura prescrita constante e escolhida como condio inicial,
T (x, t = 0) = T0 , (2.8)
onde L o comprimento do meio, h o coeficiente de transferncia de calor por conveco e
TL a temperatura do fluido externo para o qual o meio ganha ou perde calor, dependendo se
T > TL ou T < TL, respectivamente. As expresses escolhidas para condutividade trmica e
termo fonte sero apresentadas posteriormente, aps a anlise a seguir.
2.1.3 MODELAGEM DO TERMO DIFUSIVO
Podemos notar que estes termos difusivos, tanto nas equaes (2.2) a (2.4) quanto na equa-
o (2.5), contm derivadas consecutivas das variveis e/ou parmetros do sistema, na forma
genrica
x
(fg
x
)=f
x
g
x+ f
2g
x2, (2.9)
sendo o lado esquerdo da equao acima escrito na forma conservativa e o lado direito na forma
no-conservativa, onde f e g representam variveis ou parmetros arbitrrios do problema em
questo. Desta forma, podemos nos voltar agora para uma anlise dos esquemas numricos a
serem utilizados.
2.2 RESOLUO TEMPORAL
O objetivo deste trabalho avaliar o desempenho de esquemas para resoluo espacial de
termos difusivos, o que pode ser feito em grande parte apenas com a anlise de equaes em
regime permanente. Contudo, uma caracterstica importante destes esquemas o impacto que
eles tem na estabilidade numrica do mtodo de marcha no tempo escolhido. Para avaliar esta
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caracterstica, escolhemos o mtodo de Euler explcito, uma vez que este condicionalmente
estvel para problemas de difuso de calor. Como sua verso implcita incondicionalmente
estvel, ela no permitiria uma avaliao de estabilidades numrica.
Neste esquema, a aproximao da derivada temporal da temperatura dada por:
T
t' T
t+O(t) (2.10)
com T = T n+1 T n e T representando o passo no tempo. Quanto mais estvel for oesquema utilizado, maior ser o passo no tempo que ele poder tolerar.
O regime permanente obtido quando a derivada temporal da temperatura reduzida a um
erro arbitrrio estabelecido de forma a tornar o erro temporal menor que o erro proveniente da
resoluo espacial, para que possamos avali-lo.
2.3 ANLISES DE ERRO
Verificao e validao so etapas importantes na construo de um cdigo computacional
confivel (SALARI e KNUPP, 2000; OBERKAMPF e ROY, 2010). A primeira se dedica a
demonstrar que os mtodos numricos sendo utilizados pelo usurio foram implementados de
maneira correta. J a segunda se dedica a demonstrar se o modelo matemtico escolhido pelo
usurio reproduz adequadamente a realidade que pretende estudar. Desta forma, a primeira deve
vir antes da segunda pois, caso contrrio, pode mascarar possveis problemas desta.
A anlise do erro numrico gerado por um mtodo e a ordem de erro deste representam um
rigoroso processo de verificao. A primeira nos permite avaliar se a soluo gerada converge
para um determinado comportamento na medida que as malhas espaciais e temporais so refi-
nadas. J a segunda nos diz se a taxa desta convergncia est condizente com seu valor terico.
Estas tcnicas tornam possvel identificar diversas fontes de erros que possam existir na pro-
gramao do cdigo implementado. Uma fonte comum de erro durante o desenvolvimento de
um cdigo computacional ocorre nos contornos do domnio, devido imposio de condies
equivocadas. Com a anlise de ordem, possvel verificar se as condies de contorno impostas
esto coerentes com a equao simulada, gerando, com isso, uma soluo de mesma ordem em
todo o domnio. Foi por esta razo que a temperatura no foi prescrita nos contornos. Como seu
erro nulo, tal condio afeta beneficamente o erro proveniente da discretizao do domnio,
podendo mascarar a anlise.
A ordem terica de um cdigo definida atravs de anlise da ordem do erro de truncamento
que surge durante a discretizao. J a ordem real do cdigo programado pode ser calculada
por um procedimento prtico. Ambas sero discutidas a seguir.
34
-
2.3.1 ORDEM TERICA
Uma simples anlise dos diferentes tipos de discretizao utilizados na literatura para
termos difusivos capaz de ilustrar as principais diferenas entre eles. Esta etapa no apenas
justifica o presente estudo, de um ponto de vista puramente terico, como tambm indica o
comportamento que deve ser esperado de cada metodologia.
Diferenas Finitas - Formulao Conservativa
Iremos considerar primeiro a discretizao do termo difusivo na forma descrita no lado es-
querdo da equao (2.9), ou seja, usando uma formulao conservativa, no contexto do Mtodo
de Diferenas Finitas. Discretizando a parte interna deste termo, no ponto i de uma malha
uniforme, com o operador algbrico mi gera
x
(fg
x
)i
' x
(fimi (g)
x+O(xm)
)i
, (2.11)
onde m a ordem do erro de truncamento associado a este operador. Repetindo este processo
no mesmo ponto, porm com a parte externa do termo original, usando o operador algbrico nino termo resultante acima gera
x
(fg
x
)i
' 1x
ni
(fimi (g)
x+O(xm)
)i
+O(xn) , (2.12)
onde n a ordem do erro de truncamento associado ao segundo operador, que pode ser igual ao
primeiro. Esta aproximao discreta toma a forma final
x
(fg
x
)i
' ni
(fi
mi (g)
)x2
+O(xm1,xn) . (2.13)
Duas concluses importantes podem ser extradas da frmula (2.13). A primeira est
implcita na aplicao consecutiva dos operadores para as derivadas interna e externa do termo
difusivo, uma vez que o operador final resultante desta aplicao possui um maior estncil. J a
segunda est explcita no erro de truncamento final, cuja ordem reduzida devido a esta mesma
aplicao consecutiva destes operadores.
Diferenas Finitas - Formulao No-Conservativa
Uma alternativa a formulao anterior vem da forma descrita no lado direito da equao
(2.9), chamada de formulao no-conservativa, ainda no contexto do Mtodo de Diferenas
Finitas. Os operadores da subseo anterior, para a primeira derivada, em conjunto com o
35
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operador algbrico oi , para a segunda derivada, geram{f
x
g
x+ f
2g
x2
}i
'(mi (f)
x+O(xm)
)(ni (g)
x+O(xn)
)+ fi
oi (g)
x2+O(xo) , (2.14)
ondeO a ordem do erro de truncamento associado ao operador para a segunda derivada. Desta
forma, esta equao pode ser re-escrita como{f
x
g
x+ f
2g
x2
}i
' mi (f)
ni (g)
x2+ fi
oi (g)
x2+O(xm1, xn1, xo) . (2.15)
Ao contrrio da expresso (2.13), a frmula acima no possui seu estncil aumentado,
uma vez que no h aplicaes consecutivas de um operador. Contudo, ainda observamos a
reduo de ordem no erro de truncamento na expresso (2.15), que agora aparece em maior
escala. Ela est claramente associada ao produto de aproximaes para derivadas. Alm disso,
esta reduo de ordem somente existe em regies onde as propriedades no so constantes.
Esta anlise indica que os erros introduzidos por esta aproximao sero maiores se ambas as
derivadas forem maiores.
Volumes Finitos
Outra abordagem amplamente utilizada para simulao computacional conhecida como
o Mtodo dos Volumes Finitos. Ele recebe destaque aqui por suas aproximaes terem um
carter ligeiramente distinto das geradas pelo Mtodo das Diferenas Finitas. Isso ocorre por
duas razes. Primeiro, este mtodo implicitamente conservativo e, em segundo lugar, avalia
suas variveis e parmetros tanto nas faces quanto nos centros das linhas, reas ou volumes
finitos provenientes da discretizao de equaes uni, bi ou tri-dimensionais, respectivamente.
Neste caso, a equao (2.9) escrita como
h
x
i
' mi (h)
x+O(xm) onde h = f
g
x, (2.16)
mantendo a notao de diferenas finitas usada at o momento, porm com uma importante
diferena. A barra sobre o operador algbrico indica que o mesmo utiliza pontos nas faces, por
exemplo i1/2, e no nos centros, por exemplo i, de cada volume para construir a aproximaodiscreta. Isto nos fora a aproximar os valores de f , que aproximado por , e da derivada de
g nas faces como funo de seus pares no centro dos volumes finitos. Logo,
h
x
i
' 1x
mi
((ni (f) +O(x
n))(oi (g)
x+O(xo)
))+O(xm) , (2.17)
36
-
onde n a ordem do erro de truncamento associado ao operador para a funo. Desta forma,
podemos escrever o operador final como
h
x
i
' mi
(ni (f)
oi (g)
)x2
+O(xn2, xo1, xm) . (2.18)
Esta simples derivao mostra que a formulao gerada pelo Mtodo dos Volumes Finitos
combina os problemas encontrados nas duas formulaes anteriores geradas pelo Mtodo de
Diferenas Finitas. Tanto a aplicao consecutiva de operadores algbricos quanto a multipli-
cao de aproximaes, aparecendo agora como funo vezes derivada no lugar de derivada
vezes derivada, so encontradas. Como consequncia, existe uma maior queda na ordem da
aproximao final.
2.3.2 ORDEM REAL
Um dos objetivos deste trabalho mensurar a consequncia prtica aparente perda de ordem
na estabilidade numrica e ordem de erro de cada um dos esquemas acima. A estabilidade
numrica determinada pelo maior passo no tempo fsico que o mtodo de marcha escolhido
pode dar ao utilizar cada um dos esquemas acima para resoluo espacial. Por outro lado, a
ordem de erro real pode ser calculada por um mtodo frequentemente empregado para tal. Ele
consiste em executar o cdigo em questo para malhas consecutivamente refinadas, sendo a
soluo obtida com a malha mais refinada considerada como uma soluo de referncia para
obteno do erro absoluto da soluo obtida com a malha menos refinada. Com isso, possvel
calcular o erro de discretizao em funo de x, sendo este parmetro a distncia entre os
pontos na malha para o clculo da ordem espacial.
Portanto, para qualquer mtodo discreto, sabe-se que a ordem do erro da soluo uma
funo de x, ou seja:
E E(h) (2.19)
Sabendo que o erro de truncamento em uma discretizao da ordem de hp, sendo p a ordem
terica da discretizao empregada, para duas malhas consecutivamente refinadas tem-se:
EMalha1 EMalha2 O(hp) (2.20)
EMalha2 EMalha3 O((
h
r
)p)(2.21)
sendo r o refinamento empregado na malha. Dividindo os erros obtemos:
37
-
EMalha1Malha2EMalha2Malha3
= rp (2.22)
Com isso, a ordem real do cdigo implementado pode ser obtida fazendo:
p =log
(EMalha1Malha2EMalha2Malha3
)log(r)
(2.23)
Quando a ordem calculada menor que a ordem terica do mtodo, deve-se rever a progra-
mao em busca de possveis erros no cdigo. Nos casos em que a ordem real calculada igual
ou aproximadamente igual ordem terica, aps alguns testes com diferentes malhas, significa
que a ordem do cdigo programado foi verificada com sucesso. Um cdigo com ordem real
verificada deve ser, por fim, validado para que seja considerado confivel.
2.4 MTODO DA SOLUO MANUFATURADA
Ele foi originalmente desenvolvido por ROACHE (1998) e pode ser usado para verificar es-
quemas numricos para as equaes de mecnica dos fluidos computacional (ROY et al., 2004)
e suas condies de contorno (BOND et al., 2005). Nesta abordagem de construo, a soluo
assumida como satisfazendo uma equao diferencial parcial de interesse. A ideia principal
do Mtodo da Soluo Manufaturada simplesmente produzir uma soluo exata sem estar
interessado na realidade fsica do problema (ROY, 2005). Uma funo analtica conhecida
inserida no lugar da varivel dependente na equao diferencial parcial, e todas as derivadas
so computadas analiticamente, manualmente ou atravs de algum programa de computao
simblica, como o Mathematica, utilizado nesta dissertao. A equao rearranjada de tal
maneira que todos os termos restantes que no satisfazem equao diferencial parcial original
so agrupados em um termo fonte. Este termo , ento, simplesmente acrescentado equao
diferencial parcial original de forma que a funo satisfaa exatamente nova equao dife-
rencial parcial, ou seja, as equaes diferenciais governantes so modificadas para produzir a
soluo manufaturada pr-estabelecida.
Este procedimento tambm pode ser aplicado a sistemas de equaes, com o termo fonte
gerado separadamente para cada equao. Tanto solues em regime permanente ou transiente
podem ser tratadas. Este mtodo pode ser usado tanto para evitar o crescimento exponencial
da soluo com o tempo quanto para evitar confuses entre instabilidades fsicas e numricas
(SALARI e KNUPP, 2000).
O Mtodo da Soluo Manufaturada pode ser aplicado de melhor forma em malhas refinadas
quando as propriedades de transporte difusivo e causam fluxos difusivos e convectivo de
38
-
mesma magnitude (BOND et al., 2005). Se o fluxo difusivo for significavelmente menor que
o fluxo convectivo, os erros presentes no cdigo para a equao de quantidade de movimento
linear ou energia podem no ser observveis no Mtodo da Soluo Manufaturada, a no ser
que a malha seja muito fina.
O mtodo, de modo geral, no verifica se o cdigo est correto como um todo, pois nem
todos os erros dos cdigos afetam a preciso. Verifica-se que o procedimento produz uma
soluo numrica correta, mas podem ainda existir erros no cdigo que reduzem a taxa de
convergncia iterativa mesmo que ainda produza a soluo correta; erros que podem causar
uma perda na eficincia e sem perda significativa na preciso (ROY, 2005).
Como foi visto na seo anterior, a perda de ordem na discretizao dos termos difusivos
ocorre devido ao produto entre derivadas da propriedade e do potencial. Desta forma, utilizare-
mos o Mtodo da Soluo Manufaturada para induzir grandes gradientes tanto na condutividade
trmica quanto na temperatura. A funo escolhida para a condutividade trmica tem a forma
(2.24) mostrada na figura 2.1.
k(x) =(kmax + kmin)
2+
[(kmax kmin)
2
]tanh[(x+ 1/2)] (2.24)
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
= 20.0 = 40.0 = 60.0 = 80.0
= 100.0
FIG. 2.1: Conditividade Trmica para diferentes valores de
39
-
J a funo escolhida para a temperatura tem a forma da equao (2.25), mostrada abaixo
na figura 2.2.
T (x) = TL
(1
2tanh
(
(x
L 1
2
))+
1
2
)(sen
(axL
)+ cos
(axL
))+ TR cos
(xL
)(12 1
2tanh
(
(x
L 1
2
)))(2.25)
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
0 20 40 60 80 100
= 20.0 = 40.0 = 60.0 = 80.0
= 100.0
FIG. 2.2: Temperatura para diferentes valores de
O termo fonte que precisa ser introduzido na equao (2.5) para gerar a soluo (2.25)
obtido de sua verso em regime permanente, ou seja,
q = x
(kT
x
)(2.26)
2.5 NMERO DE ONDA MODIFICADO
Uma anlise importante das diferentes discretizaes espaciais que sero implementadas
consiste na verificao do espectro de onda que elas conseguem reproduzir (LELE, 1992). Isto
pode ser verificado se os diferentes esquemas forem comparados com o mtodo de Fourier, que
gera a soluo mais precisa possvel dentre os mtodos conhecidos na literatura.
Para fazer esta comparao, assumimos
T (x) = ceiKx (2.27)
40
-
o que faz com que sua segunda derivada assuma a forma
2T
x2= K2ceiKx = K2T (x) (2.28)
ou seja,
1
T (x)
2T
x2= K2 (2.29)
onde K o nmero de onda.
Esta dependncia tambm pode ser estimada ao usarmos mtodos de diferenas finitas. Para
faz-lo, substitumos
Tj1 = ceiK(xjx) (2.30)
na aproximao escolhida, onde definimos
1
T (x)
2T
x2= K2 (2.31)
onde K o nmero de onda modificado.
Para ilustrar o procedimento, vamos considerar a discretizao explcita de segunda ordem
2T
x2
j
' Tj+1 2Tj + Tj1x2
(2.32)
e substituir (2.30) nela para encontrarmos, aps alguma manipulao
K2 = eiKx 2 + eiKx
x2(2.33)
que, escrita na forma trigonomtrica, se torna
(Kx)2 = 2 2 cos(Kx) (2.34)
A fim de verificar a equivalncia entre as derivadas no espao fsico e no espao espectral,
utiliza-se o nmero de onda modificado Kx em vez do nmero de onda Kx. On